專題02配方法的應(yīng)用(原卷版+解析)

配方法的應(yīng)用學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若（x，y是實數(shù)），則M的值一定是(

)A．0 B．負數(shù) C．正數(shù) D．整數(shù)2．若為任意實數(shù)，且，則的最大值為（

）A． B． C．100 D．3．已知關(guān)于x的多項式的最小值為8，則m的值可能為（

）A．1 B．2 C．4 D．54．已知三角形的三條邊為，且滿足，則這個三角形的最大邊的取值范圍是（

）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜135．已知，，下列結(jié)論正確的個數(shù)為(

)①若是完全平方式，則；②B－A的最小值是2；③若n是的一個根，則；④若，則A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．設(shè)為實數(shù)，則x、y、z

中至少有一個值（

）A．大于 B．等于 C．不大于 D．小于7．已知P＝，Q＝（m為任意實數(shù)），則P、Q的大小關(guān)系為（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．無法判斷8．新定義：關(guān)于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0與a2(x﹣m)2+k＝0稱為“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0與3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0與(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代數(shù)式ax2+bx+2026能取的最小值是（）A．2020 B．2021 C．2023 D．20189．對于二次三項式（m為常數(shù)），下列結(jié)論正確的個數(shù)有（

）①當(dāng)時，若，則②無論x取任何實數(shù)，等式都恒成立，則③若，，則④滿足的整數(shù)解共有8個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．閱讀材料：在處理分數(shù)和分式的問題時，有時由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實際運算時難度較大，這時，我們可將分數(shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（整式）與一個真分數(shù)（真分式）的和（差）的形式，通過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效．將分式分離常數(shù)可類比假分數(shù)變形帶分數(shù)的方法進行．如：a﹣1，這樣，分式就拆分成一個分式與一個整式a﹣1的和的形式，下列說法正確的有（

）個．①若x為整數(shù)，為負整數(shù)，則x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一個整式與一個真分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：5m﹣11（整式部分對應(yīng)等于5m﹣11，真分式部分對應(yīng)等于），則m2+n2+mn的最小值為27．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題11．已知等腰三角形的面積S與底邊x有如下關(guān)系：S＝﹣5x2+10x+14，將這個解析式配方，得S=_______________，則x＝______時，S有最大值，最大值是____________．12．已知多項式A＝x2﹣x+(3)，若無論x取何實數(shù)，A的值都不是負數(shù)，則k的取值范圍是________．13．當(dāng)a＝_____時，多項式a2+2a+2有最小值為_____．14．已知實數(shù)滿足x2＋3x﹣y﹣3＝0，則x＋y的最小值是______．15．若，則的最小值是__________．16．對于二次三項式，若x取值為m，則二次三項式的最小值為n，那么m+n的值為_________．17．若實數(shù)x，y滿足條件2x2﹣6x＋y2＝0，則x2＋y2＋2x的最大值是________．18．已知代數(shù)式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，則A____B（填＞，＜或＝）．19．已知實數(shù)a、b滿足a－b2＝4，則代數(shù)式a2－3b2＋a－14的最小值是________．20．已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，當(dāng)b≥0，－2≤c＜1時，整數(shù)a的值是_________．三、解答題21．閱讀材料：若，求x、y的值．解：∵，∴．∴，∴，，∴，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)試說明不論x，y取什么有理數(shù)時，多項式的值總是正數(shù)．(2)已知a、b滿足．求a、b的值．22．已知，求的值．23．利用我們學(xué)過的完全平方公式及不等式知識能解決代數(shù)式一些問題，觀察下列式子：①，∵，∴．因此，代數(shù)式有最小值﹣2；②，∵，∴．因此，代數(shù)式有最大值4；閱讀上述材料并完成下列問題：(1)代數(shù)式的最小值為______；(2)求代數(shù)式的最大值．24．（1）若，求m、n的值．解：因為，所以由此，可求出______；______；根據(jù)上面的觀察，探究下面問題：（2）已知，求的值；（3）已知，，求的值．25．閱讀材料題：我們知道，所以代數(shù)式a2的最小值為0，學(xué)習(xí)了多項式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來求一些多項式的最小值．例如：求的最小值問題．解：∵，又∵，∴∴的最小值為﹣6．請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：(1)探究：；(2)代數(shù)式有最（填“大”或“小”）值為；(3)如圖，長方形花圃一面靠墻（墻足夠長），另外三面所圍成的棚欄的總長是20m，棚欄如何圍能使花圃面積最大？最大面積是多少？26．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應(yīng)用．例：已知x可取任何實數(shù)，試求二次三項式的最值．解：∵無論x取何實數(shù)，總有．∴，即無論x取何實數(shù)，有最小值，是．(1)問題：已知，試求y的最值．(2)【知識遷移】在中，是邊上的高，矩形的頂點P、N分別在邊上，頂點Q、M在邊上，探究一：，求出矩形的最大面積的值；（提示：由矩形我們很容易證明，可以設(shè)，經(jīng)過推導(dǎo)，用含有x的代數(shù)式表示出該矩形的面積，從而求得答案．）(3)探究二：，則矩形面積S的最大值___________．（用含a，h的代數(shù)式表示）27．請閱讀下列材料：我們可以通過以下方法求代數(shù)式+6x+5的最小值．+6x+5＝+2?x?3+﹣+5＝﹣4∵≥0∴當(dāng)x＝﹣3時，+6x+5有最小值﹣4．請根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)x2+5x﹣1＝+b，則ab的值是_______．(2)求證：無論x取何值，代數(shù)式的值都是正數(shù)；(3)若代數(shù)式2+kx+7的最小值為2，求k的值．28．閱讀材料：若a，b都是非負實數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，“=”成立．證明：∵，∴．∴．當(dāng)且僅當(dāng)時，“=”成立．舉例應(yīng)用：已知，求函數(shù)的最小值．解：．當(dāng)且僅當(dāng)，即時，“=”成立．∴當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，．問題解決：(1)已知，求函數(shù)的最小值；(2)求代數(shù)式的最小值．29．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應(yīng)用．例：已知可取任何實數(shù)，試求二次三項式最小值．解：無論取何實數(shù)，總有．，即的最小值是．即無論取何實數(shù)，的值總是不小于的實數(shù)．問題：（1）已知，求證是正數(shù)．知識遷移：（2）如圖，在中，，，，點在邊上，從點向點以的速度移動，點在邊上以的速度從點向點移動．若點，同時出發(fā)，且當(dāng)一點移動到終點時，另一點也隨之停止，設(shè)的面積為，運動時間為秒，求的最大值．30．利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a－b）2＝a2－2ab+b2的特點可以解決很多數(shù)學(xué)問題．解決下列問題：(1)分解因式：；(2)當(dāng)x、y為何值時，多項式2x2+y2－8x+6y+20有最小值？并求出這個最小值；(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2＝8a+6b－25，求△ABC周長的最大值．配方法的應(yīng)用學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若（x，y是實數(shù)），則M的值一定是(

)A．0 B．負數(shù) C．正數(shù) D．整數(shù)【答案】C【詳解】解：M＝3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+14＝（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）+2（x2﹣4xy+4y2）+1＝（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2+1∵，，，∴（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2+1＞0，故C正確．故選：C．2．若為任意實數(shù)，且，則的最大值為（

）A． B． C．100 D．【答案】C【詳解】解：，∵，∴，∴，的最大值為．故選：C．3．已知關(guān)于x的多項式的最小值為8，則m的值可能為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【詳解】解：原式，當(dāng)x-=0，即x=時，原式取得最小值9-=8，整理得：，解得：m=±2，則m的值可能為2，故選：B．4．已知三角形的三條邊為，且滿足，則這個三角形的最大邊的取值范圍是（

）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13【答案】C【詳解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0，∴（a-5）2+（b-8）2=0，∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三條邊為a，b，c，∴b-a＜c＜b+a，∴3＜c＜13．又∵這個三角形的最大邊為c，∴8＜c＜13．故選：C．5．已知，，下列結(jié)論正確的個數(shù)為(

)①若是完全平方式，則；②B－A的最小值是2；③若n是的一個根，則；④若，則A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】解：①∵A=x2+6x+n2是完全平方式，∴n=±3，故結(jié)論正確；②∵B-A=2x2+4x+2n2+3-（x2+6x+n2）=x2-2x+n2+3=（x-1）2+n2+2，而（x-1）2+n2≥0，∴B-A≥2，∴B-A的最小值是2，故結(jié)論正確；③∵A+B=x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3=3x2+10x+3n2+3，把x=n代入3x2+10x+3n2+3=0，得3n2+10n+3n2+3=0，即6n2+10n+3=0，解得當(dāng)時，當(dāng)時，故結(jié)論錯誤；④∵（2022-A+A-2019）2=（2022-2019）2=（2022-A）2+（A-2019）2+2（2022-A）（A-2019）=（2022-A）2+（A-2019）2+2×2=9，∴（2022-A）2+（A-2019）2=5；故結(jié)論錯誤；

故選B．6．設(shè)為實數(shù)，則x、y、z

中至少有一個值（

）A．大于 B．等于 C．不大于 D．小于【答案】A【詳解】解：x+y+z＝＝，∵≥0，≥0，≥0，＞0，∴x+y+z＞0，∴x、y、z中至少有一個大于0．故選：A．7．已知P＝，Q＝（m為任意實數(shù)），則P、Q的大小關(guān)系為（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．無法判斷【答案】C【詳解】解：∵P＝，Q＝，∴Q﹣P＝＝＝m2﹣2m+1+1＝（m﹣1）2+1＞0，則P＜Q，故選：C．8．新定義：關(guān)于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0與a2(x﹣m)2+k＝0稱為“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0與3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0與(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代數(shù)式ax2+bx+2026能取的最小值是（）A．2020 B．2021 C．2023 D．2018【答案】B【詳解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0與（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，∴，解得：，∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021，則代數(shù)式ax2+bx+2026能取的最小值是2021．故選：B．9．對于二次三項式（m為常數(shù)），下列結(jié)論正確的個數(shù)有（

）①當(dāng)時，若，則②無論x取任何實數(shù)，等式都恒成立，則③若，，則④滿足的整數(shù)解共有8個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【詳解】①當(dāng)時，若，則∴或者，故①錯誤；②等式化簡后為∵無論x取任何實數(shù)，等式都恒成立，∴，即∴，故②正確；③若，，則兩個方程相加得：，∴∴，故③錯誤；④整理得：∴∵整數(shù)解∴，，，∴，，，，，，，，，∴整數(shù)解共9對，故④錯誤；綜上所述，結(jié)論正確的有②；故選：A．10．閱讀材料：在處理分數(shù)和分式的問題時，有時由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實際運算時難度較大，這時，我們可將分數(shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（整式）與一個真分數(shù)（真分式）的和（差）的形式，通過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效．將分式分離常數(shù)可類比假分數(shù)變形帶分數(shù)的方法進行．如：a﹣1，這樣，分式就拆分成一個分式與一個整式a﹣1的和的形式，下列說法正確的有（

）個．①若x為整數(shù)，為負整數(shù)，則x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一個整式與一個真分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：5m﹣11（整式部分對應(yīng)等于5m﹣11，真分式部分對應(yīng)等于），則m2+n2+mn的最小值為27．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】解：∵為負整數(shù)，為負整數(shù)，故①的結(jié)論正確；∵，又，∴，且有最小值2，∴有最大值3，∴，∴②的結(jié)論正確；∵，∴m＝x＋2，n?6＝?（x＋2），∴m＝x＋2，n＝4?x．∴m2＋n2＋mn＝(m＋n)2?mn＝36?（?x2＋2x＋8）＝x2?2x＋28＝(x?1)2＋27，∵(x?1)2≥0，∴m2＋n2＋mn有最小值為27，∴③的結(jié)論正確，故選：D．二、填空題11．已知等腰三角形的面積S與底邊x有如下關(guān)系：S＝﹣5x2+10x+14，將這個解析式配方，得S=_______________，則x＝______時，S有最大值，最大值是____________．【答案】

1

19【詳解】解：配方得：S＝﹣5x2+10x+14＝﹣5（x﹣1）2+19，∴當(dāng)x＝1時，S最大＝19，故答案為：﹣5（x﹣1）2+19，1，19．12．已知多項式A＝x2﹣x+(3)，若無論x取何實數(shù)，A的值都不是負數(shù)，則k的取值范圍是________．【答案】【詳解】解：∵A＝x2﹣x+（3）＝x2﹣x+（3）＝（x）2（3），若x取任何實數(shù)，A的值都不是負數(shù)，∴（3）≥0，解得：；故答案為：．13．當(dāng)a＝_____時，多項式a2+2a+2有最小值為_____．【答案】

-1

1【詳解】解：∵a2+2a+2＝（a+1）2+1，∴當(dāng)a＝﹣1時，多項式a2+2a+2有最小值，最小值是1．故答案為：﹣1，1．14．已知實數(shù)滿足x2＋3x﹣y﹣3＝0，則x＋y的最小值是______．【答案】-7【詳解】∵x2＋3x﹣y﹣3＝0∴∴∵∴∴x+y的最小值為-7故答案為：-715．若，則的最小值是__________．【答案】【詳解】由，得∴∴的最小值是?1故答案為：?116．對于二次三項式，若x取值為m，則二次三項式的最小值為n，那么m+n的值為_________．【答案】-9【詳解】解：==，∵，∴，即當(dāng)時，二次三項式的最小值為-6，∴，∴，故答案為：-9．17．若實數(shù)x，y滿足條件2x2﹣6x＋y2＝0，則x2＋y2＋2x的最大值是________．【答案】15【詳解】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，∴y2＝﹣2x2+6x，∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16，∵（x﹣4）2≥0，∴x2+y2+2x≤16，∵y2＝﹣2x2+6x≥0，解得0≤x≤3，當(dāng)x＝3時，x2+y2+2x取得最大值為15，故答案為：15．18．已知代數(shù)式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，則A____B（填＞，＜或＝）．【答案】<【詳解】解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2﹣2<0，∴A﹣B<0，∴A<B，故答案為：<．19．已知實數(shù)a、b滿足a－b2＝4，則代數(shù)式a2－3b2＋a－14的最小值是________．【答案】6【詳解】∵a－b2＝4∴將代入a2－3b2＋a－14中得：∵∴當(dāng)a=4時，取得最小值為6∴的最小值為6∵∴的最小值6故答案為：6．20．已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，當(dāng)b≥0，－2≤c＜1時，整數(shù)a的值是_________．【答案】2或3【詳解】解：∵a?b＝2，∴a＝b＋2，∴＝0，∴，∵b≥0，?2≤c＜1，∴，∴，∴，∴3＜≤12，∵a是整數(shù)，∴b是整數(shù)，∴b＝0或1，∴a＝2或3，故答案為：2或3．三、解答題21．閱讀材料：若，求x、y的值．解：∵，∴．∴，∴，，∴，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)試說明不論x，y取什么有理數(shù)時，多項式的值總是正數(shù)．(2)已知a、b滿足．求a、b的值．【答案】(1)說明見解析；(2)，【詳解】（1）解：∵，，∴，∴不論x，y取什么有理數(shù)時，多項式的值總是正數(shù)．（2）解：∵，∴，∴，∴，，∴，．22．已知，求的值．【答案】【詳解】解：將等式整理配方，得，則，，，，，，．23．利用我們學(xué)過的完全平方公式及不等式知識能解決代數(shù)式一些問題，觀察下列式子：①，∵，∴．因此，代數(shù)式有最小值﹣2；②，∵，∴．因此，代數(shù)式有最大值4；閱讀上述材料并完成下列問題：(1)代數(shù)式的最小值為______；(2)求代數(shù)式的最大值．【答案】(1)﹣3；(2)當(dāng)a＝﹣3，b＝2時，代數(shù)式的最大值是3【詳解】（1）解：﹣4x+1＝＝，∵，∴，∴當(dāng)x＝2時，這個代數(shù)式﹣4x+1的最小值為﹣3．故答案為：﹣3；（2）＝﹣﹣6a﹣9﹣+4b﹣4+3＝﹣﹣+3，∵≥0，≥0，∴﹣，﹣，∴＝﹣﹣+3，∴當(dāng)a＝﹣3，b＝2時，代數(shù)式的最大值是3．24．（1）若，求m、n的值．解：因為，所以由此，可求出______；______；根據(jù)上面的觀察，探究下面問題：（2）已知，求的值；（3）已知，，求的值．【答案】（1）4，4；（2）；（3）3．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：4，4；（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，；（3）∵a?b＝4，∴a＝b＋4，∴將a＝b＋4代入，得，∴，∴，∴b＋2＝0，c?3＝0，解得b＝?2，c＝3，∴a＝b＋4＝?2＋4＝2，∴a＋b＋c＝2?2＋3＝3．25．閱讀材料題：我們知道，所以代數(shù)式a2的最小值為0，學(xué)習(xí)了多項式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來求一些多項式的最小值．例如：求的最小值問題．解：∵，又∵，∴∴的最小值為﹣6．請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：(1)探究：；(2)代數(shù)式有最（填“大”或“小”）值為；(3)如圖，長方形花圃一面靠墻（墻足夠長），另外三面所圍成的棚欄的總長是20m，棚欄如何圍能使花圃面積最大？最大面積是多少？【答案】(1)；(2)大，16；(3)當(dāng)長方形花圃垂直于墻的長度為5m，平行于墻的長度為10m時，花圃的面積最大，最大為【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：∵，又∵，∴，∴，∴的最大值為16，故答案為：大，16；（3）解：設(shè)長方形花圃垂直于墻的長度為xm，則平行于墻的長度為（20-2x）m，長方形花圃面積為S，∴，又∵，∴，∴，∴當(dāng)時，S有最大值，最大值為50，∴當(dāng)長方形花圃垂直于墻的長度為5m，平行于墻的長度為10m時，花圃的面積最大，最大為．26．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應(yīng)用．例：已知x可取任何實數(shù)，試求二次三項式的最值．解：∵無論x取何實數(shù)，總有．∴，即無論x取何實數(shù)，有最小值，是．(1)問題：已知，試求y的最值．(2)【知識遷移】在中，是邊上的高，矩形的頂點P、N分別在邊上，頂點Q、M在邊上，探究一：，求出矩形的最大面積的值；（提示：由矩形我們很容易證明，可以設(shè)，經(jīng)過推導(dǎo)，用含有x的代數(shù)式表示出該矩形的面積，從而求得答案．）(3)探究二：，則矩形面積S的最大值___________．（用含a，h的代數(shù)式表示）【答案】(1)11；(2)18；(3)【詳解】（1）解：∵無論x取何實數(shù)，總有，∴，∴，即y有最大值，是11；（2）探究一：∵四邊形PQMN是矩形，∴PNBC，∴∠APN＝∠ABC，∠ANP＝∠ACB，∴△APN∽△ABC，∴，設(shè)PN＝x，∴，∴，由已知可得四邊形EDMN是矩形，∴，∴，∵無論x取何實數(shù)，總有，∴，∴，∴矩形PQMN的最大面積的值為18；（3）探究二：由探究一可知，△APN∽△ABC，∴，設(shè)PN＝x，∴，∴，∴，∴，∵無論x取何實數(shù)，總有，∴，∴，∴矩形PQMN的最大面積的值為．27．請閱讀下列材料：我們可以通過以下方法求代數(shù)式+6x+5的最小值．+6x+5＝+2?x?3+﹣+5＝﹣4∵≥0∴當(dāng)x＝﹣3時，+6x+5有最小值﹣4．請根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)x2+5x﹣1＝+b，則ab的值是_______．(2)求證：無論x取何值，代數(shù)式的值都是正數(shù)；(3)若代數(shù)式2+kx+7的最小值為2，求k的值．【答案】(1)；(2)見解析；(