專題03線段的雙中點(diǎn)模型(原卷版+解析)

專題03線段的雙中點(diǎn)模型對(duì)于剛接觸幾何的七年級(jí)學(xué)生來說，關(guān)于線段的計(jì)算是有很大難度的，這就要求學(xué)生面對(duì)這類題時(shí)具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般來講，這類題通常由問題出發(fā)，先由線段和差確定解題方向，然后輔以線段中點(diǎn)來解決。但是，對(duì)于有公共部分的線段雙中點(diǎn)模型，可以寫出的線段和差種類較多，這就增加了思考的難度。如果掌握了這個(gè)模型的結(jié)論，那就可以快速選取正確的線段和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案?？傊?，基本模型的掌握既可以快速得出小題的答案，又可以為大題的解決確立方向。模型1.

線段的雙中點(diǎn)模型圖1圖21）雙中點(diǎn)模型（兩線段無公共部分）條件：如圖1，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.2）雙中點(diǎn)模型（兩線段有公共部分）條件：如圖2，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.例1．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)校考期末）如圖，已知線段，，若點(diǎn)M，N分別為，的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．例2．（2023·重慶七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若長，則長（）A． B． C． D．例3．（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線上順次三個(gè)點(diǎn)，已知cm，cm．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，那么cm．例4．（2023·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，B，C是線段上任意兩點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，若，，則的長度是（）A． B． C． D．以上都不對(duì)例5．（2023春·山東威海·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)B在線段AC上，，分別是的中點(diǎn)．對(duì)于結(jié)論：①；②B是的中點(diǎn)；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)例6．（2022秋·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，依此類推……，線段的長為．例7．（2023秋·河北廊坊·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知線段，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則線段的長度是（

）A． B． C．或 D．或例8．（2023秋·河南南陽·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知線段，，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．(1)若，求線段的長度．(2)當(dāng)線段在線段上從左向右或從右向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷線段的長度是否發(fā)生變化，如果不變，請(qǐng)求出線段的長度；如果變化，請(qǐng)說明理由．例9．（2022秋·河北邢臺(tái)·七年級(jí)校聯(lián)考期末）已知直線l上有A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)．(1)如圖，若點(diǎn)C為的中點(diǎn)，且，求線段的長．(2)若，且，求線段的長．（用含a的代數(shù)式表示）例10．（2022春·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，我們稱為點(diǎn)在線段上的點(diǎn)值，記作．如點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，則，記作；反過來，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，若，則__________；若，則____________；(2)如圖2，已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，運(yùn)動(dòng)速度均為，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，請(qǐng)用含有的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運(yùn)用：(3)已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度分別為和，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即以原速返回，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．則當(dāng)為何值時(shí)，等式成立．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022秋·甘肅武威·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段AB=10cm，點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，BC=4cm，若M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，則線段MN的長度是（

）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm2．（2023秋·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段的長為6，點(diǎn)C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），D為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，隨著點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)，線段的長度為（）A．不確定 B．2.5 C．3 D．3.53．（2023秋·安徽亳州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段，線段，且在同一條直線上，點(diǎn)B在A、C之間，此時(shí)的中點(diǎn)M、N之間的距離為（）A． B． C． D．4．（2023秋·山東棗莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若線段，在線段的延長線上取一點(diǎn)，使是的中點(diǎn)；在線段的延長線上取一點(diǎn)，使是的中點(diǎn)，在線段的延長線上取一點(diǎn)，使是的中點(diǎn)…，按這樣操作下去，線段的長度為（

）A． B． C． D．5．（2023秋·湖北黃石·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2022秋·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，線段，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，，點(diǎn)D，E分別為的中點(diǎn)，則線段的長為（

）

A． B．1 C． D．27．（2022秋·北京西城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，是線段的中點(diǎn)．若，，則的長為．8．（2023·四川達(dá)州·七年級(jí)校考期末）在直線上取，兩點(diǎn)，使，再在直線上取一點(diǎn)，使，，分別是，的中點(diǎn)，則．9．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，若，則的長為．

10．（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，有兩根木條，一根長為，另一根長為，在它們的中點(diǎn)處各有一個(gè)小圓孔（圓孔直徑忽略不計(jì)，抽象成兩個(gè)點(diǎn)），將它們的一端重合，放置在同一條直線上，此時(shí)兩根木條的小圓孔之間的距離是．

11．（2022秋·湖北武漢·七年級(jí)校考期末）已知線段，延長至點(diǎn)C，使，點(diǎn)D、E均為線段延長線上兩點(diǎn)，且，M、N分別是線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，的長為．12．（2022秋·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，已知線段a，b．①作射線；②在射線上依次截取；③在線段上截取．(1)由作圖可知________．（用含a，b的式子表示）(2)若，，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，求線段的長．13．（2023秋·吉林延邊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．(1)求線段的長；(2)求線段的長．14．（2022秋·福建莆田·七年級(jí)校聯(lián)考期末）已知：如圖，線段a和線段b(1)尺規(guī)作圖：求作線段，并在線段的延長線上，求作線段；(作圖工具只限直尺和圓規(guī)，保留作圖痕跡)；(2)若、分別是、的中點(diǎn)，求的長(用含、的式子表示)．15．（2022秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)在同一直線上，分別是的中點(diǎn)．（1）若，求的長；（2）若，求的長；（3）若，求的長；（4）從（1）（2）（3）的結(jié)果中能得到什么結(jié)論？16．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)、、分別為線段上的點(diǎn)（在點(diǎn)左邊），且滿足．(1)如圖1，若，，為中點(diǎn)時(shí)，求的長；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系．17．（2022秋·河南南陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖，已知線段，點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)．①若，則線段的長度是_________；②若，，求線段的長度(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)；（2）在（1）中，把點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)改為：點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，，．其它條件不變，則線段的長度是___________（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）18．（2022秋·湖南長沙·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知線段，點(diǎn)O在線段AB上，點(diǎn)C，D分別是，的中點(diǎn)．(1)______；______；(2)求線段的長度；(3)小南在反思過程中突發(fā)奇想：若點(diǎn)O在線段的延長線上，點(diǎn)C，D分別是，的中點(diǎn)，請(qǐng)幫小南畫出圖形分析，并求線段的長度．19．（2023秋·河北承德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）應(yīng)用題：如圖，已知線段，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)．(1)若，求的長；(2)若為的中點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是______；(3)試著說明，不論點(diǎn)在線段上如何運(yùn)動(dòng)，只要不與點(diǎn)和重合，那么的長不變．20．（2023秋·湖南邵陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直線上，線段，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度在直線上運(yùn)動(dòng)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，；(2)若點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；(3)當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并說明你的理由．21．（2023秋·福建泉州·七年級(jí)?？计谀靖拍钆c發(fā)現(xiàn)】當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的“點(diǎn)值”，記作．例如，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，即，則；反之，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：“”與“”具有相同的含義．(1)【理解與應(yīng)用】如圖，點(diǎn)C在線段AB上．若，，則________；若，則________．(2)【拓展與延伸】已知線段，點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，先向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立即按原速向點(diǎn)B方向返回．當(dāng)P，Q其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）．①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是個(gè)定值，求m的值；②t為何值時(shí)，．

專題03線段的雙中點(diǎn)模型對(duì)于剛接觸幾何的七年級(jí)學(xué)生來說，關(guān)于線段的計(jì)算是有很大難度的，這就要求學(xué)生面對(duì)這類題時(shí)具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般來講，這類題通常由問題出發(fā)，先由線段和差確定解題方向，然后輔以線段中點(diǎn)來解決。但是，對(duì)于有公共部分的線段雙中點(diǎn)模型，可以寫出的線段和差種類較多，這就增加了思考的難度。如果掌握了這個(gè)模型的結(jié)論，那就可以快速選取正確的線段和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案?？傊?，基本模型的掌握既可以快速得出小題的答案，又可以為大題的解決確立方向。模型1.

線段的雙中點(diǎn)模型圖1圖21）雙中點(diǎn)模型（兩線段無公共部分）條件：如圖1，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.2）雙中點(diǎn)模型（兩線段有公共部分）條件：如圖2，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.例1．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)校考期末）如圖，已知線段，，若點(diǎn)M，N分別為，的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由中點(diǎn)的定義可求得線段、的長度，再利用線段的和差可求得答案．【詳解】解：、分別是線段、的中點(diǎn)，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離、線段的中點(diǎn)，掌握中點(diǎn)把線段分成兩條相等的兩條線段是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·重慶七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若長，則長（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線段的中點(diǎn)判斷，，再證明，結(jié)合，可得長．【詳解】解：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，∴，又∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離、線段中點(diǎn)的性質(zhì)，由圖得出是解答本題的關(guān)鍵．例3．（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線上順次三個(gè)點(diǎn)，已知cm，cm．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，那么cm．【答案】2【分析】由cm，cm得，cm，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得出的長度，最后根據(jù)即可得到答案．【詳解】解：cm，cm，cm，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，cm，cm，cm，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)之間的距離，線段的和差，線段的中點(diǎn)的定義，利用線段差及中點(diǎn)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，B，C是線段上任意兩點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，若，，則的長度是（）A． B． C． D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，得出，，根據(jù)，，得出，求出，根據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵M(jìn)是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡(jiǎn)潔性．同時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．例5．（2023春·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)B在線段AC上，，分別是的中點(diǎn)．對(duì)于結(jié)論：①；②B是的中點(diǎn)；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合線段的和差逐一分析判定即可．【詳解】∵，∴，即，①正確；∵是的中點(diǎn)．∴，∴B是的中點(diǎn)，②正確；∵是的中點(diǎn)∴，∴，③正確；∵，∴，④正確；綜上分析可得，正確的有：①②③④，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)，線段的和差，結(jié)合圖形找出線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例6．（2022秋·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，依此類推……，線段的長為．【答案】【分析】先分別求出、、的值，根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：因?yàn)榫€段，是的中點(diǎn)，所以；因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以；因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以；，所以，所以，答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、求兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)字類規(guī)律探究，能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．例7．（2023秋·河北廊坊·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知線段，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則線段的長度是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】本題需要分兩種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)C在線段的延長線上時(shí)，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，計(jì)算即可．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，如圖所示：∵，，∴，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，∴，，∴；②當(dāng)點(diǎn)C在線段的延長線上時(shí)，如圖所示：∵，，∴，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，∴，，∴；綜上所述，線段的長度是，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段上兩點(diǎn)間的距離，主要利用了線段中點(diǎn)的定義，難點(diǎn)在于要分情況討論．例8．（2023秋·河南南陽·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知線段，，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．(1)若，求線段的長度．(2)當(dāng)線段在線段上從左向右或從右向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷線段的長度是否發(fā)生變化，如果不變，請(qǐng)求出線段的長度；如果變化，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)不變，還是，理由見解析【分析】（1）由題意可得，，結(jié)合中點(diǎn)的含義可得；（2）由已知可得，，再由，結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)即可解．【詳解】（1）解∶，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，；（2）線段的長度不發(fā)生變化．點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差運(yùn)算，中點(diǎn)的含義；熟練掌握線段的和差運(yùn)算，靈活應(yīng)用中點(diǎn)的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．例9．（2022秋·河北邢臺(tái)·七年級(jí)校聯(lián)考期末）已知直線l上有A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)．(1)如圖，若點(diǎn)C為的中點(diǎn)，且，求線段的長．(2)若，且，求線段的長．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出的長即可得到答案；（2）分如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)C在延長線上時(shí)，如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，兩種情況根據(jù)線段中點(diǎn)的定義進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，且，∴，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，∴，∴；（2）解：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)C在延長線上時(shí)，∵，且，∴，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，∴，，∴如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，∵，且，∴，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，∴，，∴；綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，熟知線段中點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．例10．（2022春·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，我們稱為點(diǎn)在線段上的點(diǎn)值，記作．如點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，則，記作；反過來，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，若，則__________；若，則____________；(2)如圖2，已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，運(yùn)動(dòng)速度均為，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，請(qǐng)用含有的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運(yùn)用：(3)已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度分別為和，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即以原速返回，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．則當(dāng)為何值時(shí)，等式成立．【答案】(1)，(2)，，(3)存在和使等式成立【分析】（1）根據(jù)定義直接得出結(jié)果即可求解；（2）根據(jù)題意，得出，，相加即可求解；（3）分在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)之前，在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)返回之后，兩種情況分類討論即可求解．【詳解】（1）根據(jù)定義可得：∵，則；∵，∴,則；故答案為：．，；（2）∵∴∵∴∴∴（3）①在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)之前∵∴∵∴∴∵∴∴②在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)返回之后∵∴∵∴∴∵∴∴∴存在和使等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，線段的和差，理解新定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022秋·甘肅武威·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段AB=10cm，點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，BC=4cm，若M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，則線段MN的長度是（

）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm【答案】D【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再利用線段的中點(diǎn)定義求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫圖如下：∵，M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，∴；∵，M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，根據(jù)題意畫出正確的圖形是解此題的關(guān)鍵．2．（2023秋·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段的長為6，點(diǎn)C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），D為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，隨著點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)，線段的長度為（）A．不確定 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【分析】由D為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)得到，，進(jìn)一步即可得到的長度．【詳解】解：∵D為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，∴，，∴．故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了線段中點(diǎn)的相關(guān)計(jì)算，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·安徽亳州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段，線段，且在同一條直線上，點(diǎn)B在A、C之間，此時(shí)的中點(diǎn)M、N之間的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由中點(diǎn)的定義，分別求出和的長度，然后即可求出的長度．【詳解】解：根據(jù)題意，如圖：∵點(diǎn)M、N分別為是的中點(diǎn)，，，∴，∴；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段中點(diǎn)的定義進(jìn)行計(jì)算．4．（2023秋·山東棗莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若線段，在線段的延長線上取一點(diǎn)，使是的中點(diǎn)；在線段的延長線上取一點(diǎn)，使是的中點(diǎn)，在線段的延長線上取一點(diǎn)，使是的中點(diǎn)…，按這樣操作下去，線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，和兩點(diǎn)之間的距離，找出題目中的規(guī)律，即可得到結(jié)論．【詳解】由題意可知：如圖寫出線段的長，，是的中點(diǎn)得，，是的中點(diǎn)得，，是的中點(diǎn)得，……根據(jù)線段的長，找出規(guī)律，∵，，，，，……，∴線段（為正整數(shù)）∴線段故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的定義，找出題目中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.5．（2023秋·湖北黃石·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，，，然后根據(jù)線段之間的和差倍分關(guān)系逐個(gè)求解即可．【詳解】解：∵M(jìn)是中點(diǎn)，∴，∵P是中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)Q是中點(diǎn)，∴，對(duì)于①：，故①正確；對(duì)于②：，，故②正確；對(duì)于③：，而，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：，，故④正確；故對(duì)3個(gè)，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查線段之間的和差倍分問題，利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡(jiǎn)潔性，同時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．6．（2022秋·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，線段，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，，點(diǎn)D，E分別為的中點(diǎn)，則線段的長為（

）

A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)中點(diǎn)的定義分別求出的長，然后根據(jù)求解即可．【詳解】∵點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，線段，，∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴；∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴．故選擇：C【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)，線段的和差等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022秋·北京西城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，是線段的中點(diǎn)．若，，則的長為．【答案】3【分析】根據(jù)中點(diǎn)的定義求出，，再由，可得出答案．【詳解】，是線段的中點(diǎn)，，，又為的中點(diǎn)，，，．故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解答本題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．8．（2023·四川達(dá)州·七年級(jí)?？计谀┰谥本€上取，兩點(diǎn)，使，再在直線上取一點(diǎn)，使，，分別是，的中點(diǎn)，則．【答案】或【分析】分情況討論點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段的反向延長線上，即可求解．【詳解】由題意知點(diǎn)的位置有兩種情況，①點(diǎn)在線段上，，，，分別是，的中點(diǎn)，，，，②點(diǎn)在線段的反向延長線上時(shí)，由①得，，或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是分情況討論點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段外兩種情況．9．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，若，則的長為．

【答案】【分析】設(shè)，則，故，，根據(jù)列出方程計(jì)算即可．【詳解】∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，∴，，，∴，設(shè)，則，故，，∴，解得，故，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)，一元一次方程，熟練掌握定義，靈活用一元一次方程是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，有兩根木條，一根長為，另一根長為，在它們的中點(diǎn)處各有一個(gè)小圓孔（圓孔直徑忽略不計(jì)，抽象成兩個(gè)點(diǎn)），將它們的一端重合，放置在同一條直線上，此時(shí)兩根木條的小圓孔之間的距離是．

【答案】或【分析】分兩種情況畫出圖形求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)A、C（或B、D）重合，且剩余兩端點(diǎn)在重合點(diǎn)同側(cè)時(shí)，

（厘米）；（2）當(dāng)B、C（或A、C）重合，且剩余兩端點(diǎn)在重合點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，

（厘米）．所以兩根木條的小圓孔之間的距離是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了兩點(diǎn)之間的距離問題，正確畫圖很重要，本題滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問題時(shí)，要防止漏解．11．（2022秋·湖北武漢·七年級(jí)?？计谀┮阎€段，延長至點(diǎn)C，使，點(diǎn)D、E均為線段延長線上兩點(diǎn)，且，M、N分別是線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，的長為．【答案】15或29【分析】分時(shí)和時(shí)兩種情況，畫出對(duì)應(yīng)的圖形分別討論求解即可．【詳解】解：∵，，N是線段的中點(diǎn)，∴，，①若，如圖1所示：∴，∴，∵，∴，∴，∵M(jìn)是線段的中點(diǎn)，∴，∴，②若，如圖：∴，∴，∵，∴，∴，∵M(jìn)是線段的中點(diǎn)，∴，∴；故答案為：15或29．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差問題，畫出線段有助于更直觀地解題，注意分情況討論．12．（2022秋·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，已知線段a，b．①作射線；②在射線上依次截??；③在線段上截?。?1)由作圖可知________．（用含a，b的式子表示）(2)若，，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，求線段的長．【答案】(1)(2)11【分析】（1）由作圖可知，，，根據(jù)可得答案；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得出，，由（1）可知，，根據(jù)可得答案．【詳解】（1）由作圖可知，，，．故答案為：；（2）為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，，，，，由（1）可知，，．【點(diǎn)睛】本題考查作圖基本作圖，兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的定義，解答此類題目時(shí)要注意線段之間的和差關(guān)系．13．（2023秋·吉林延邊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．(1)求線段的長；(2)求線段的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義求出，再利用可得結(jié)果；（2）首先求出，再根據(jù)中點(diǎn)的定義求出，最后根據(jù)．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴；（2）∵，，∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·福建莆田·七年級(jí)校聯(lián)考期末）已知：如圖，線段a和線段b(1)尺規(guī)作圖：求作線段，并在線段的延長線上，求作線段；(作圖工具只限直尺和圓規(guī)，保留作圖痕跡)(2)若、分別是、的中點(diǎn)，求的長(用含、的式子表示)．【答案】(1)見解析(2)【分析】在射線上截取，在射線上截取，則，在射線上截取，在線段上截取，則；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出，即可求解．【詳解】（1）解：在射線上截取，在射線上截取，則，在射線上截取，在線段上截取，則；如圖所示，即為所求；（2）∵，，、分別是、的中點(diǎn)，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了作線段等于已知線段，線段的和差，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)在同一直線上，分別是的中點(diǎn)．（1）若，求的長；（2）若，求的長；（3）若，求的長；（4）從（1）（2）（3）的結(jié)果中能得到什么結(jié)論？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）線段的長度等于線段的一半，與點(diǎn)的位置無關(guān).【分析】（1）先求解再利用中點(diǎn)的含義求解再利用線段的差可得答案；（2）先利用含的代數(shù)式再利用中點(diǎn)的含義，用含的代數(shù)式再利用線段的差可得答案；（3）先利用含的代數(shù)式再利用中點(diǎn)的含義，用含的代數(shù)式再利用線段的差可得答案；（4）由（1）（2）（3）總結(jié)出結(jié)論即可.【詳解】解：（1），分別是的中點(diǎn)，（2），分別是的中點(diǎn)，（3），分別是的中點(diǎn)，（4）由（1）（2）（3）的結(jié)果中可得：線段的長度等于線段的一半，與點(diǎn)的位置無關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的中點(diǎn)的含義，線段的和差關(guān)系，掌握利用線段的中點(diǎn)及線段的和差關(guān)系求解線段的長度是解題的關(guān)鍵.16．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)、、分別為線段上的點(diǎn)（在點(diǎn)左邊），且滿足．(1)如圖1，若，，為中點(diǎn)時(shí)，求的長；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)【分析】（1）如圖，設(shè)，根據(jù)，可得，得到，，由中點(diǎn)的定義得出，最后將數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可；（2）如圖，設(shè)，，由中點(diǎn)的定義得到，所以，從而得到，最后利用和可得到關(guān)于、等量關(guān)系式，從而問題得解．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)，∵，，∴，，∴，∴，∴，，∵為中點(diǎn)，∴，∴．∴的長為．（2）如圖，設(shè)，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．∴線段與之間的數(shù)量關(guān)系為．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差，中點(diǎn)的定義，運(yùn)用了方程的思想．根據(jù)題意得到等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·河南南陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖，已知線段，點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)．①若，則線段的長度是_________；②若，，求線段的長度(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)；（2）在（1）中，把點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)改為：點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，，．其它條件不變，則線段的長度是___________（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）【答案】（1）①4，②，（2）或或【分析】（1）①根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，即可求解；②，即可求解；（2）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論即可：當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊時(shí)．【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)，，∴，∴，故答案為：4；②∵點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)，，∴，∴；（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，由（1）可得：；當(dāng)點(diǎn)C在A左邊時(shí)，，∵點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右邊時(shí)，∵點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)，，∴，∴；綜上：或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義，具有分類討論的思想．18．（2022秋·湖南長沙·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知線段，點(diǎn)O在線段AB上，點(diǎn)C，D分別是，的中點(diǎn)．(1)______；______；(2)求線段的長度；(3)小南在反思過程中突發(fā)奇想：若點(diǎn)O在線段的延長線上，點(diǎn)C，D分別是，的中點(diǎn)，請(qǐng)幫小南畫出圖形分析，并求線段的長度．【答案】(1)2；2(2)6(3)6【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得，，根據(jù)線段的和差，可得答案；（3）點(diǎn)O在線段的延長線上，點(diǎn)C，D分別是，的中點(diǎn)，因此，，，根據(jù)線段的和差，可得答案，根據(jù)上面的分析可得出結(jié)論是成立的．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)C、D分別是、的中點(diǎn)∴；；故答案為：2，2；（2）∵點(diǎn)C、D分別是、的中點(diǎn)，∴，，∴；（3）仍然成立，如圖：理由：∵點(diǎn)C、D分別是、的中點(diǎn)，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解決本題的關(guān)鍵是利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差得出答案．19．（2023秋·河北承德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）應(yīng)用題：如圖，已知線段，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別是和的中