2025屆高考數學一輪復習講義-空間向量與立體幾何

（7）空間向量與立體幾何

——2025屆高考數學一輪復習一站式復習之講義

【高考考情分析】

空間幾何體在高考中的命題重點包括空間幾何體的體積和表面積的計算以及與球有關的

切、接問題，題型以選擇題和填空題為主.在學習備考的過程中，既要訓練常規(guī)題型，還要明

晰高考命題新導向，如數學應用題、數學文化題以及多選題和雙空題，做到復習全面高效.

空間點、直線、平面之間的位置關系是立體幾何的基礎，主要以選擇題、填空題的形式出

現(xiàn)，命題熱點：（1）平面的基本性質及應用；（2）空間線線、線面位置關系的判斷；（3）求異

面直線所成的角.要注意對新題型多選題的訓練.

直線、平面平行或垂直的判定及性質是高考命題的熱點，主要考查直線與平面以及平面與

平面平行或垂直的判定定理和性質定理,題型既有選擇題,也有解答題,在解答題中常在第（1）

問設置線、面平行、垂直關系的證明或用線、面垂直的性質定理證明線線垂直等，要特別注意

應用判定定理與性質定理時條件的完整，這是對解答題的解題規(guī)范的基本要求.

利用向量法求解空間角每年必考，命題內容主要有三個方面：（1）異面直線所成的角；（2）

直線與平面所成的角；（3）平面與平面所成的角.其中對異面直線所成的角的考查一般以選擇

題、填空題的形式呈現(xiàn)，解題方法可以利用幾何法，也可以利用向量法，對線面角與二面角的

考查常出現(xiàn)在解答題的第（2）問，向量法是較好的解題方法，特別是在處理探索性問題時，

向量法更具優(yōu)勢.要掌握并會運用向量法求解空間角和距離問題，一是要特別重視坐標系的建

立，建系的原則是簡潔、清晰，便于表示相關點的坐標；二是要加強運算求解能力的訓練，熟

練、準確的運算是完成解答題的基本要求，在平時的訓練中要養(yǎng)成良好的習慣，該講對學生的

直觀想象、邏輯推理及數學運算素養(yǎng)要求較高.

【基礎知識復習】

1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積

多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和.一般地，表面積=側面積+底面積.

多面體側面展開圖面積公式

1

棱柱

/;//S棱柱表=S棱柱側+2s底

L111

（如三棱柱）111

棱錐

s棱錐表二s棱錐側+S底

（如三棱錐）三

」'、

\

\

棱臺)-----------1

11

人1s棱臺表-s棱臺側+s上底+S下底

（如三棱臺）

2.圓柱、圓錐、圓臺的表面積

旋轉體側面展開圖面積公式

底面積：S底二兀/

..<z

圓柱側面積：S側=2兀力

表面積：S=271r（r+/）

底面積：S底二兀產

圓錐f,2sr側面積：S側=?！?/p>

中(A，

表面積：S=7tr（r+/）

上底面面積：S上底=兀/2

下底面面積：S下底=兀，

I?1>

圓臺;1I,

側面積：S側=兀/（r+/）

表面積：S=兀卜〃+產+，/+-/）

3.柱體、錐體、臺體的體積

幾何體體積公式

=Sh（S為底面面積，h為高），%柱=兀/丸（廠為底面半徑，h

柱體

為高）

腺體=』S/z（S為底面面積，〃為高），七錐=」兀，丸（r為底面半徑，

Ttt"3四'比3

錐體

h為高）

%體(s，，s分別為上、下底面面積，〃為高)，

臺體

。介=:兀叫/2+/r+廠2)(/,外分另U為上、下底面半徑，%為高)

4.球的表面積和體積

(1)球的表面積：設球的半徑為R,則球的表面積為S=4兀即球的表面積等于它的大圓

面積的4倍.

(2)球的體積：設球的半徑為R,則球的體積為丫=3兀7?3.

3

5.直線與直線平行：

基本事實4平行于同一條直線的兩條直線平行.這一性質叫做空間平行線的傳遞性.

6.等角定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

7.直線與平面平行的判定定理

自然語言圖形語言符號語言

如果平面外一條

直線與此平面內a

aHa,bua,且

的一條直線平

abnaa.

行，那么該直線/—/

與此平面平行.

該定理可簡記為“若線線平行，則線面平行”.

8.直線與平面平行的性質定理

自然語言圖形語言符號語言

一條直線與一個

平面平行，如果過V-----------------------\

?--\/aa,auf3,

該直線的平面與1/\/

\1/，\1//

此平面相交，那么「y

ba(3=b今ab.

該直線與交線平a/

行.

該定理可簡記為“若線面平行，則線線平行”.

9.平面與平面平行的判定定理

自然語言圖形語言符號語言

aua,bua,

如果一個平面內的兩條相/又/

交直線與另一個平面平行，ab=P,aB,

那么這兩個平面平行.bB0ap

該定理可簡記為“若線面平行，則面面平行”.

（1）定義：已知兩條異面直線a,3,經過空間任一點。分別作直線a」a,b'b,我們把"與

。'所成的角叫做異面直線。與6所成的角（或夾角）.

（2）異面直線所成的角。的取值范圍：0°<0?90°.

（3）兩條異面直線互相垂直：兩條異面直線所成的角是直角，即。=90°時，。與〃互相垂直,

記作a.Lb.

12.直線與平面垂直的概念

定義如果直線/與平面a內的任意一條直線都垂直，我們就說直線

/與平面a互相垂直，記作

直線/叫做平面a的垂線，平面a叫做直線/的垂面.它們唯一

的公共點P叫做垂足.

畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊

形的一邊垂直，如圖所示

畫法圖示

過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條.

過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫

點到面的距離做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平

線到面的距離面的距離.

兩面間的距離一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面

的距離，叫做這條直線到這個平面的距離.

如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個

平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.

13.直線與平面垂直的判定定理

自然語言圖形語言符號語言

如果一條直線與一個

aua、bua,

平面內的兩條相交直

ab—P，I_La,

線垂直，那么該直線

/_Lb=>/J_a.

與此平面垂直.

該定理可簡記為“若線線垂直，則線面垂直”.

14.直線和平面所成的角

有關概念對應圖形

一條直線/與一個平面a相交，但不與這個平面a垂/

斜線____P/

直，圖中直線".

1)

斜足斜線和平面的交點，圖中點A.

過斜線上斜足以外的一點P向平面a引垂線P0,

射影過垂足。和斜足A的直線A0叫做斜線在這個平面

內的射影.

直線與定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角；

平面所規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；

成的角一條直線和平面平行或在平面內，它們所成的角是0°的角.

取值范

[0°,90°]

圍

15.直線與平面垂直的性質定理

自然語言圖形語言符號語言

ab

垂直于同一個平面的兩7

aLa,b

條直線平行./

16.二面角的概念

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫

概念

做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.

7,

圖示

棱為/,面分別為a,，的二面角記為

記法也可在a,,內（棱以外的半平面部分）分別取點RQ,記作二面角

P-1-Q.

在二面角。-，的棱/上任取一點。，以點。為垂足，在半

平面角文字

平面a和夕內分別作垂直于棱/的射線。4和08,則這兩條

射線構成的角NAOfi叫做這個二面角的平面角.

圖示仁…

OAua,OBCLp,a/?=/,OeZ,OALl,OBLI,

符號

是二面角?！?—的平面角.

范圍0°系以4。3180°

二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是

規(guī)定多少度，就說這個二面角是多少度.

平面角是直角的二面角叫做直二面角.

17.平面與平面垂直

（1）定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互

相垂直.平面a與平面夕垂直，記作如圖

自自然語言圖圖形形語語言言符符號號語語言言

(1)空間向量及空間向量的模：空間中具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小

叫做空間向量的長度或模.

(2)空間向量的表示：用字母a,b,c,…表示，或用有向線段表示，有向線段的長度表示

LiuuUUU

向量的模，a的起點是4終點是B,則a也可記作卷，其模記為⑷或|A3|.

(3)零向量：規(guī)定長度為0的向量叫零向量，記為0.

(4)單位向量：模為1的向量叫單位向量.

(5)相反向量：與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為-a.

(6)共線向量：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向

量叫做共線向量或平行向量.

規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量%都有0%.

(7)相等向量：方向相同且模相等的向量稱為相等向量，同向且等長的有向線段表示同一向

量或相等向量.

20.空間向量的運算律

?？臻g向量的加法、減法及數乘運算：

(1).a+ULbIL=OULA1U+AUBL1U=OB;

(2)a-b=UOUA-UOLUCU=UCUA;

UUumu

(3)當X>。時，初=4OA=P。；

,ULIUUUL

當X<0時，Aa=AOA=MN;

當；1=0時，相=0.

。.空間向量線性運算的運算律：

交換律：a+b=b+a；

結合律：a+(b+c)=(a+Z>)+c,九(")=(加)0；

分配律：(X+〃)a=Aa+〃〃，A(a+b)=Za+Ab,(其中％,//eR)

21.共線向量和共面向量

(1)共線向量：對任意兩個空間向量a,b(%0),a//。的充要條件是存在實數晨使.=".

(2)直線的方向向量：。是直線/上一點，在直線/上取非零向量a,則對于直線/上任意一

點P,由數乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實數晨使得討=20.把與向量a

平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

(3)共面向量：如果表示向量a的有向線段次所在的直線與直線/平行或重合，那么稱

向量a平行于直線I.如果直線OX平行于平面”或在平面"內，那么稱向量a平行于平面?.

平行于同一個平面的向量，叫做共面向量.

如果兩個向量a,8不共線，那么向量p與向量a,8共面的充要條件是存在唯一的有序實數對

(X,y),使p=xa+yb.

22.空間向量的夾角：已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點。，作次=a,OB=b,貝IJZA08

叫做向量a,8的夾角，記作3力.如果〈。,力=',那么向量a,8互相垂直，記作4

23.空間向量的數量積:已知兩個非零向量a,b,則|a|g|cos〈a,力叫做防。的數量積,記作a).

即a1=|a||b|cos〈a,6〉.特別地，零向量與任意向量的數量積為0.

由向量的數量積定義,可以得到:albC^ab-0;a-a=\a\\a\cos<a,?>=|a|2,

24.空間向量數量積的運算律：(湎小=癡小)，2eR；ab=ba(交換律)；a(b+c)=ab+ac

(分配律).

25.空間向量基本定理

(1)空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對任意一個空間向量p,存在

唯一的有序實數組(x,y,z).使得p=m+y/>+zc.

(2)如果三個向量a,b,c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是

｛p[p=m+M+?，x,yzwR｝.這個集合可看作由向量°,b,c生成的,我們把｛a,b,c｝叫做空

間的一個基底，a,b,c者B叫做基向量.空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.

(3)單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1,那么這

個基底叫做單位正交基底，常用｛i,j,4｝表示.

(4)正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解

26.空間向量及其運算的坐標表示

(1)空間直角坐標系

在空間選定一點。和一個單位正交基底｛i,j,肩.以點。為原點，分別以i,j,左的方向

為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時

我們就建立了一個空間直角坐標系。叫做原點，i,j,左都叫做坐標向量，通過每兩條

坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為。孫平面，Oyz平面，Ozx平面，它們把空間分成八個

部分.

(2)空間向量運算的坐標表示

空間向量運算的坐標表示：設。=(%,出，。2)，)=(4也也)，則

°+力=(4+4M2+，。3+4)，

a—〃=—4,々2一，夕3一4)，

Aa=(Xq,Aa2,Aa3),2GR,

ab=01bl+a2b2+a3b3.

空間向量的平行、垂直、長度和夾角余弦的坐標表示：

當BW0時，a》oa=26o6=，a,=Ab2,%=Ab3(2eR)；

a-L6oa-6=0oa四+a2b2+a3b3=0；

|a|=yjaa=+a1+a^；

a-b+ab+a3b3

cos(a,b)=22

\a\\b\+城+°；擊:+照+,

空間兩點間的距離公式：設。(占，必，4),￡(%，%，Z2)是空間中任意兩點，則

他=|附|=依一占了+(%一/)2+g-ZD?.

27.用空間向量研究直線、平面的位置關系

(1)空間直線的向量表示式

取定空間中的任意一點。，可以得到點P在直線/上的充要條件是存在實數/,使OP=Q4+S①,

將AB=a代入①式，得。尸=。4+M2②，①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,

空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.

(2)空間平面的向量表示式

取定空間任意一點。，可以得到，空間一點P位于平面A3C內的充要條件是存在實數x,使

OP=OA+xAB+yAC③.我們把③式稱為空間平面ABC的向量表示式.由此可知，空間中任意

平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.

(3)空間中直線、平面的平行

①直線與直線平行：設％,%分別是直線4，/2的方向向量，由方向向量的定義可知，如果兩

條直線平行，那么它們的方向向量一定平行；反過來，如果兩條直線的方向向量平行，那么這

兩條直線也平行，所以/—/zO%使得"1=%%.

②直線與平面平行：設"是直線/的方向向量，〃是平面夕的法向量，則

③平面與平面平行：設項,%分別是平面二，萬的法向量，則。Bon[n232GR,使得

nx-An2.

(4)空間中直線、平面的垂直

①直線與直線垂直：設直線4，的方向向量分別為％,%,則(_L[o%_L%o%.%=0.

②直線與平面垂直：直線/的方向向量為“，平面"的法向量為〃，則/n<x>326R,

使得u-An.

③平面與平面垂直：設平面e,〃的法向量分別為4,%，則c_L/?="[_1_%=7%=。.

28.點到直線的距離

向量AP在直線/上的投影向量為A。，設AP=a,則向量AP在直線/上的投影向量AQ=(e〃)".

在Rt^AP。中，由勾股定理，得尸Q=J|AP|2_|AQ|2=4_(”.研.

29.點到平面的距離

已知平面a的法向量為n,A是平面a內的定點，尸是平面a外一點.過點P作平面a的垂線I,

交平面。于點Q,則n是直線/的方向向量，且點P到平面a的距離就是AP在直線I上的投影

向量。尸的長度.因此尸。=AP.==答=空處.

1?11?11?1

30.異面直線所成的角

若異面直線4，4所成的角為6,其方向向量分別是"，V，則cos6=|cos〈“,v〉|=—=『.

|H||V||w||v|

31.直線與平面所成的角

直線A3與平面〃相交于點3,設直線A3與平面々所成的角為0,直線A3的方向向量為“，

平面a的法向量為n,則sind=|cos〈“,"〉|=""J".

Iu||n||u||n|

32.二面角

若平面a,6的法向量分別是％和%,則平面C與平面刀的夾角即為向量”［和內的夾角或其補

角.設平面＜z與平面P的夾角為。，則COS6=|COS〈"|,"2〉I=""

I%lln21

【重點難點復習】

1.柱體、錐體、臺體的體積

幾何體體積公式

腺體=S/z（S為底面面積，h為高），%柱=兀/人（廠為底面半徑，h

柱體

為高）

/體=J5/1（S為底面面積，h為高）,4錐=1口2丸（廠為底面半徑，

年怦■3因年3

錐體

。為高）

匕體=，/z（s'+V^+s）（s',s分別為上、下底面面積，力為高），

臺體

0臺=!兀乂/2+/「+/）（/,廠分另1J為上、下底面半徑，〃為高）

2.球的表面積和體積

（1）球的表面積：設球的半徑為H,則球的表面積為S=由求2,即球的表面積等于它的大圓

面積的4倍.

（2）球的體積：設球的半徑為則球的體積為丫二3兀收.

3

3.異面直線所成的角：

（1）定義：已知兩條異面直線a",經過空間任一點。分別作直線a'a,b'我們把儲與

//所成的角叫做異面直線。與6所成的角（或夾角）.

（2）異面直線所成的角。的取值范圍：0°<6>?90°.

（3）兩條異面直線互相垂直：兩條異面直線所成的角是直角，即。=90°時，a與〃互相垂直,

記作aLb.

4.直線和平面所成的角

有關概念對應圖形

一條直線/與一個平面a相交，但不與這個平面a

斜線

垂直，圖中直線".

/i

斜足斜線和平面的交點，圖中點A.

/A/—7

4-------7)/

過斜線上斜足以外的一點。向平面a引垂線PO,

射影過垂足。和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面r

內的射影.

直線與定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角；

平面所規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；

成的角一條直線和平面平行或在平面內，它們所成的角是0°的角.

取值范

[0°,90°]

圍

5.二面角的概念

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫

概念

做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.

圖示

棱為/,面分別為a,，的二面角記為

記法也可在內（棱以外的半平面部分）分別取點P,Q,記作二面角

P-1-Q.

平面角文字在二面角。的棱/上任取一點0,以點。為垂足，在半

平面a和，內分別作垂直于棱/的射線OA^OB,則這兩條

射線構成的角NAOB叫做這個二面角的平面角.

圖示

1二

(Mua,OBcz[3,a\J3=1,0el,OALl,OBLI,

符號

是二面角a-/-/7的平面角.

范圍0°麴kAOB180°

二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是

規(guī)定多少度，就說這個二面角是多少度.

平面角是直角的二面角叫做直二面角.

6.空間中直線、平面的平行

①直線與直線平行：設%,%分別是直線4，4的方向向量，由方向向量的定義可知，如果兩

條直線平行，那么它們的方向向量一定平行；反過來，如果兩條直線的方向向量平行，那么這

兩條直線也平行，所以4“4%OmNwR,使得“]

②直線與平面平行：設"是直線/的方向向量，〃是平面a的法向量，lua,則

I。0〃_1_〃0〃=0.

③平面與平面平行：設叫，％分別是平面，的法向量，則aAo/。/om/ieR,使

得?I]=An2.

7.空間中直線、平面的垂直

①直線與直線垂直：設直線/1,，2的方向向量分別為"1，"2，則（，，2O"1，"2O"1"=°?

②直線與平面垂直:直線/的方向向量為“，平面a的法向量為〃，則/Leo“n<=>32eR,

使得〃=

③平面與平面垂直：設平面a,，的法向量分別為〃1，%，則■尸=0.

8.點到直線的距離

如圖，向量AP在直線/上的投影向量為AQ,設AP=a,則向量AP在直線/上的投影向量

AQ=(au)u.在RtzXAPQ中，由勾股定理，得=-1?二次一⑹".

9.點到平面的距離

如圖，已知平面a的法向量為“，A是平面a內的定點，P是平面a外一點.過點P作平面a

的垂線/,交平面a于點。，則"是直線/的方向向量，且點P到平面a的距離就是AP在直

線/上的投影向量QP的長度.因此PQ=AP.g卜片胎=專「.

10.異面直線所成的角

若異面直線/,所成的角為°,其方向向量分別是“，v,則cose=|cos〈“#〉|=」±=IW.

——

n.直線與平面所成的角

直線A3與平面a相交于點3,設直線A3與平面a所成的角為。，直線A3的方向向量為”,

平面a的法向量為n,則sin。=|cos〈〃,"〉|=""J".

I"11〃II?II?I

12.二面角

若平面a,，的法向量分別是々和〃2,則平面a與平面，的夾角即為向量多和%的夾角或其

補角.設平面a與平面，的夾角為。，貝Ucose=|cos〈"|,〃,〉|="%.

I?,II?21

【基本方法與技能復習】

1.求空間幾何體的表面積的方法

(1)求多面體的表面積：只需將它們沿著棱''剪開"展成平面圖形，利用求平面圖形面積的

方法求多面體的表面積.

(2)求旋轉體的表面積：可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，

但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系.

(3)求不規(guī)則幾何體的表面積：通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出

這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積.

2.求空間幾何體體積的常用方法

（1）直接法；對于規(guī)則的幾何體，利用相關公式直接計算.

（2）割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)劃的

幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算.

（3）等體積法：通過轉換底面和高來求幾何體的體積，即通過將原來不容易求面積的底面轉

換為容易求面積的底面，或將原來不容易看出的高轉換為容易看出并容易求解的高進行求解、

常用于求三棱錐的體積.

3.有關幾何體的外接球、內切球計算問題的常用求解方法

（1）與球有關的組合體問題有兩種：一種是內切，一種是外接，解題時要認真分析圖形，明

確切點和接點的位置，確定有關“元素”間的數量關系，并作出合適的截面圖.如球內切于正

方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的

頂點均在球面上，正方體的體對角線等于球的直徑.

（2）對于球與旋轉體的組合，通常作它們的軸截面解題；對于球與多面體的組合，通過多面

體的一條側棱和球心（或“切點”“接點”）作出截面圖解題.

4.求異面直線所成角的方法

（1）平移法：平移的方法一般有三種類型：①利用圖中已有的平行線平移；②利用特殊點（線

段的端點或中點）作平行線平移；③補形平移.

（2）向量法：設異面直線a,6的方向向量分別為a,b,則異面直線a,6所成角的余弦值等

于|cos<a,5>|,再結合異面直線所成角的范圍，得到異面直線所成的角.

（3）坐標法：建立空間直角坐標系求解.

5.求直線和平面所成角的基本思路

（1）可先判斷直線和平面的位置關系，若直線與平面平行，則所成角為0°；若直線與平面

垂直，則所成角為90°.

（2）當直線和平面斜交時，常用以下步驟分析問題：

①作圖：作（或找）出斜線在平面內的射影，將空間角（斜線與平面所成的角）轉化為平面角

（兩條相交直線所成的銳角），作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，

注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關，這樣才能便于計算.

②證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角.

③計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.

6.證明直線與平面平行的常用方法

(1)利用線面平行的定義.

(2)利用線面平行的判定定理：關鍵是在平面內找與已知直線平行的直線，可先直觀判斷題

中是否存在這樣的直線，若不存在，則需作出直線，常考慮利用三角形的中位線、平行四邊形

的對邊平行或過已知直線作一平面，找兩平面的交線進行證明.

(3)利用面面平行的性質定理：①直線在一平面內，由兩平面平行，推得線面平行.

②直線在兩平行平面外，且與其中一平面平行，則這條直線與另一平面平行.

7.判定平面與平面平行的方法

(1)利用定義，常用反證法完成.

(2)利用面面平行的判定定理.

(3)利用面面平行的判定定理的推論.

(4)面面平行的傳遞性.

(5)利用線面垂直的性質.

(6)用向量法證明平面與平面平行.

8.證明線面垂直的常用方法

(1)利用線面垂直的判定定理.

(2)利用面面垂直的性質定理.

(3)利用面面平行的性質.

(4)利用垂直于平面的傳遞性.

9.證明面面垂直的常用方法

(1)面面垂直的判定定理：此方法將面面垂直問題轉化為線面垂直問題，一般找到其中一個

平面的一條垂線，再證這條垂線在另一個平面內或與另一個平面平行.

(2)只要證明兩個平面所構成的二面角的平面角為90。即可.

(3)面面垂直的性質定理

10.利用空間向量證明平行問題的方法

(1)線線平行：證明兩條直線的方向向量共線.

(2)線面平行：①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明該直線的方向向

量與平面內某直線的方向向量平行；③證明該直線的方向向量可以用平面內的兩個不共線的向

量線性表示.

(3)面面平行：①證明兩個平面的法向量平行；②轉化為線線平行、線面平行問題.

1L利用空間向量證明垂直問題的方法

(1)線線垂直：證明兩直線的方向向量垂直，即證它們的數量積為零.

(2)線面垂直：①證明直線的方向向量與平面的法向量共線；②證明直線的方向向量與平面

內的兩條相交直線的方向向量都垂直.

(3)面面垂直：①其中一個平面與另一個平面的法向量平行；②兩個平面的法向量垂直.

12.向量法求角問題的解題步驟

(1)識圖：分析幾何體，找出確定幾何體底面和高的條件，根據所學知識，理清圖形中的數

量關系；

(2)建系設點：尋找題目中有三條直線兩兩垂直的特征，建立空間直角坐標系，從而確定點

的坐標；

(3)求向量坐標：用終點坐標減去起點坐標寫出所需要的向量坐標；

(4)計算或證明：利用證明兩個非零向量垂直的充要條件和向量夾角的余弦公式進行計算和

證明.

13.解決立體幾何中探索性問題的技巧

(1)涉及線段上點的位置的探索性問題一般是先根據條件猜測點的位置再給出證明，所求點

多為中點或三等分點中某一個，也可以根據相似知識找點，求解時注意三點共線條件的應用.

(2)借助空間直角坐標系，把幾何對象上動態(tài)點的坐標用參數(變量)表示出來，將幾何對

象坐標化，這樣根據所要滿足的題設要求得到相應的方程或方程組.若方程或方程組有滿足題

設要求的解，則通過參數的值反過來確定幾何對象的位置；若方程或方程組沒有滿足題設要求

的解，則表示滿足題設要求的幾何對象不存在.

【典型例題復習】

1.【2024年新課標I卷】已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為石，

則圓錐的體積為（）

A.2屈B.3扃C.67371D.9后

2.【2024年新課標H卷】已知正三棱臺ABC-A與G的體積為三，AB=6,4用=2，則AA與

平面ABC所成角的正切值為（）

A.-B.lC.2D.3

2

3.【2023年新課標I卷】（多選）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體

容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

4.【2023年新課標H卷】（多選）已知圓錐的頂點為P,底面圓心為0,A3為底面直徑，

ZAPB=120°,上4=2,點C在底面圓周上，且二面角尸—AC—O為45。，則（）

A.該圓錐的體積為KB.該圓錐的側面積為4百兀

C.AC=272D.ZXB4c的面積為G

5.【2023年新課標I卷】在正四棱臺ABCD-A4GR中，AB=2,4旦=1,A4,=0,則該

棱臺的體積為.

6.【2024年新課標I卷】如圖，四棱錐P-ABCD中，上4,底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,

AB=6

p

(1)若ADLPB,證明：AD〃平面P3C；

(2)若AD，。。，且二面角A—CP—￡＞的正弦值為縣，求AD

7

7.【2024年新課標H卷】如圖，平面四邊形A3CD中，AB=8,CD=3,AD=5y/3,ZADC=90°,

.91

ZBAD=30°,點、E,R滿足AE=—AD,AF=-AB,將△AEF沿ER翻折至△PEF,使得

52

(1)證明：EF±PD：

(2)求平面PCD與平面P3R所成的二面角的正弦值.

答案以及解析

1.答案：B

解析：設圓柱和圓錐的底面半徑均為「，因為它們的高均為百，且側面積相等，所以

2?！毙?兀川(我2+),得戶=9,所以圓錐的體積丫=37^2x6=3，^,故選B.

2.答案：B

解析：設正三棱臺ABC-A5cl的高為〃，三條側棱延長后交于一點P,作平面A3C于

點。，尸。交平面于點。J連接。4,。|4，如圖所示.由A3=3從耳，可得尸Q=g丸，

2

P。=斗,又S“C、=；X22—=6,SAABC=1X6X^=9^/3,所以正三棱臺A3C-4的

的體積V=K=」x9百—，義君義工”=工，解得丸=遞，故尸0=。/1=26.

廣一MOLr—3232332

由正三棱臺的性質可知，0為底面ABC的中心，則OA=2x，62—32=2百,因為P0,平面

3

pn

ABC,所以NPAO是4A與平面ABC所成的角，在RtZ\PAO中，tanZPAO=—=1,故選B.

B

3.答案：ABD

解析：對于A選項，正方體內切球的直徑為1m,故A符合題意;

對于B選項，如圖①，正方體內部最大的正四面體棱長為網=收111,V2m>1.4m,故B

符合題意;

圓柱可看作長度為L8m的線

段.如圖②，正方體的體對角線為AG=6m<1.8m,故C不符合題意；對于D選項，圓柱高

為0.01m,可忽略不計，底面直徑為1.2m,圓柱可看作直徑為1.2m的圓.如圖③，E,F,G,

/為各棱的中點，六邊形…為正六邊形,其邊長為其內切圓直徑

2

圖③

4.答案：AC

解析：對于A,依題意，圓錐母線長/=%=依=2,PO=B4cos60°=l,

AO=BO=PA-sin60°=J3,所以底面圓的半徑廠=6，圓錐的體積為^兀乂逐了」=兀，故A

正確；對于B,該圓錐的側面積為兀廠/=兀-3'-2=2百兀；故B錯誤；

對于C,如圖，取AC的中點M,連接PM,則OM±AC,又因為B4=PC,所以，AC,

故NPMO為二面角尸—AC—O的平面角，即/尸MO=45。，所以tan45Q=?=1,即OM=1,

OM

所以AC=2VI3r方廬=2x萬1=2夜，故C正確；

對于D,由選項C可知，AC=242,PMLAC,PM=JPA2-f-AC1=74^2=72,所以

5.答案：巫

6

解析：如圖，連接AC,BD交于點O,連接AQ,BR交于點a，連接OOl,過點4作AXH1AC

于點H,則0a為正四棱臺ABCD