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文檔簡介

專題18三角恒等變換7題型分類

彩題如工總

題型1:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用

題型7:三角恒等變換的綜合應(yīng)用

題型2:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的逆用與變形

題型6:給值求角

專題18三角恒等變換7

題型分類題型3:角的變換問題

題型5:給值求值」/

題型4:給角求值

彩和正寶庫

一、兩角和與差的正余弦與正切

(1)sin(6Z±/?)=sinacosp±cosasinp;

(2)cos(a±0=cos?cosft.sinorsin0;

tana±tan/3

③tan(a±/?)=

1.tanatan0

注:兩角和與差正切公式變形

tani±tan/=tan(cr±0(1tanatan/3);

tanetan/——.c+tan/JancTan/r

tan(cr+0)tan(cr-p)

二、二倍角公式

(1)sin2a=2sinacosa;

②cos2a=cos26Z—sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a;

2tana

③tan2a=

l-tan2?

三、降次(幕)公式

.1.八.21-cos2a1+cos2a

sinacosa=—sm2a;sina=;cos2a

注:1+cosla=2cos2a;1-cos2a=2sin2a;1+sin2。=(sina+cosa)2;1-sin=(sina-cosa)2.

四、半角公式

1-COS6Za,/1+COS6Z

sin—=±心萬=±《=~

22

asintz1-cosa

tan——=

21+cosasina

五、輔助角公式

m.a.b

asina+bcosa=[a1+b2sin(a+。)(其中'八高,cos(b=-,,tan0=-)

y/a2+b2a>

六、其他常用變式

.c2sincrcos?2tana八cos2er-sin2er1-tan2aasina1-cosa

sinla=---------=-------;cos2a=^―:------~=------~;tan—=-------=—;----

sina+cosa1+tanasina+cosa1+tana21+cosasina

七、拆分角問題:①;a=(a+/3)-/3-②a=齊一(分-0;③a=;[([+尸)+(“-/?)];

④夕=;[(a+0-(a-尸)];⑤(+a=5-£-a).

注意:特殊的角也看成已知角,如a=}(?a).

彩他題秘籍

(一)

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

1.兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣,可用a,"的三角函數(shù)表示a±£的三角函數(shù),在使

用兩角和與差的三角函數(shù)公式時,特別要注意角與角之間的關(guān)系,完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的.

2.運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時,不但要熟練、準(zhǔn)確,而且要熟悉公式的逆用及變形.公式的逆用和變

形應(yīng)用更能開拓思路,增強從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.

題型1:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用

1-1.(2024高三下?廣東廣州?階段練習(xí))sine=亭,則tan(a—4)=()

A.2A/2-1B.272-3

C.2V2+3D.3-2萬

【答案】B

【分析】由同角三角函數(shù)的關(guān)系,求出tana,再由兩角差的正切公式求tan(a-〃).

【詳解】sina=走,as

,則有coso=Jl-sin?a=——,tana-Sm6Z=—

33cosa2

1+tancrtan.

故選:B.

jrjr34

1-2.(2024?安徽淮南?二模)已知0<1<萬,5〈尸<兀4111=丁85(。+齊)=一二,貝!Jsin〃=()

242424.24一…24

A.——B.-----C.-----或一D.0或一

2525252525

【答案】A

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出cosa=g4,sin(cr+^)=±3j,湊角法求出sin4=三24或sin/=。,舍去

不合題意的解,得到答案.

jr3I-----------4

【詳解】因為0<a</,sina=y,所以cos】=一sin?a=二,

因為0<&<],]<分<71,所以£<與,

4

因為cos(a+/?)=-不,

所以sin(a+夕)=土=±g

當(dāng)sin(tz+')=]時,sin[3=sin](o+/)-o]=sin(cr+,)coso-cos(cr+〃)sin6Z

344324

=—X——|——x—=—

555525

因為5<尸<兀,

所以sin?>0,故sin尸=1|滿足題意,

當(dāng)sin(?+£)=-1時,sin尸=sin[(2+")-cr]=sin(2+4)cosa-cos(?+4)sincr

3443c

=——x—+—x—=0

5555

因為]<尸<兀,故sin/?=0不合題意,舍去;

故選:A

1-3.(2024高一上.廣東廣州.期末)已知cosa+cos/?=;,sina—sin/?=;,則cos(a+/)的值為()

A.-"B,上C.59-59

---D.—

72727272

【答案】c

【分析】將條件中兩式平方相加后整理即可得答第L

2,"I'

【詳解】(COS2+COS尸)2=cos<74-2cosaCOS+C(

21

(sina-sin,)=sin?a_2sinasin,+sin2夕=§,

兩式相加得2+2(cosacos尸一sinasin夕)=2+2cos,(a+^)=-+-=—,

v74936

/.cos(a+/)=-.

故選:C.

題型2:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的逆用與變形

¥,貝ljsin(£-2c)=_____.

2-1.(2024?山東泰安?二模)已知sina+J^cosa=

【答案】T

【分析】利用輔助角公式求得sin(a+4)根據(jù)住

二角公式和誘導(dǎo)公式化簡目標(biāo)式,即可求得結(jié)果.

【詳解】因為sina+石cosa=¥,故可得sin]

0C-\—=—,

3J3

貝(|sin(g-2aj=sin(2c+,]=sin|^2^a+=-cosHa+0

=2sin2_]=_g

故答案為:

2-2.(2024高三上?山東青島?期末)已知sina+sin0=1,cos(7+cos/?=A/2,貝iJcos(a-£)=_____.

【答案】1/0.5

【分析】將已知兩式平方相加,結(jié)合兩角差的余空多公式,即可求得答案.

【詳解】因為sina+sin4=l,cosa+cos£=0,

故(sincr+sin/?)2=sin2a+sin2/7+2sinasin/?=1,

(cos。+cos/7)2=COS26Z+cos2/7+2cosacosj3=2,

以上兩式相力口可得2+2sinasin/?+2cosacos尸=3,即2(sinasin£+cosacos/7)=1,

故cos(a_Q)=g,

故答案為:g

2-3.(2024高三?全國?對口高考)1@口15。+匕1130。+1a1115。川21130。的值是.

【答案】1

【分析】利用正切的和差公式變形即可得解.

e、i"c(「Cccc\tan15°+tan30°、

【詳解】因為tan45°=tan(15。+30°)=-----------------------=1,

'71-tan15°-tan30°

所以tanl50+tan300=l-tanl50?tan30°,故tanl5°+tan30°+tanl50?tan30°=l.

故答案為:1.

2-4.(2024高一?全國?課后作業(yè))tan50。-tan20。一代tan50。tan20。=.

3

【答案】B

3

【分析】由正切的差角公式,可得tan(50_切)=tan50Tan20,經(jīng)過等量代換與運算可得答案.

\'l+tan50tan20

【詳解】tan50°-tan20°--tan50°tan20°

3

=tan(50°-20°)(1+tan50°tan20°)-tan50°tan20°=tan30°(l+tan50°tan20°)一tan50°tan20°

=—+—tan50°tan20°-—tan50°tan20°=—.

3333

故答案為:B.

3

2-5.(2024高三下?河南平頂山?階段練習(xí))若sin(2+/7)+6cos(a+m=4sin、+^cos/7,則()

A.tan(cr+/7)=-V3B.tan(cr+/7)=V3

C.tan(a-£)=-百D.tan(a-0=6

【答案】C

【分析】利用輔助角及兩角和與差的正弦公式化簡,可得sin(a+5-尸]=0,進(jìn)而求解.

【詳解】由sin(。+分)+6cos(a+尸)=4sin+]]cos/,

可得2sin(6Z+y0+—|=4sin[cr+—|cosy0,

即sin[a+4+=sin[a+cos尸+cos[a+]}in0=2singer+yjcos0,

化簡可得cos(a+g)sin'=sin^+^cosy0,

即sin[a+]_;0]=O,

jr

所以a—夕+g=kit,k£Z,

TT

即a—4=-§+E,kEZ,

可得tan(a—尸)=_如.

故選:C.

彩傅題秘籍

/(二)

角的變換問題

常用的拆角、配角技巧:2a=(ar+A)+(a-0;?=(?+/?)-/?=(?-/?)+/?;

夕=£^_£^=a+2尸)_(a+,);a-^=(a-/)+(/-y?);15°=45°-30°;7+a=^~[y~a]

題型3:角的變換問題

3-1.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)設(shè)=則tan(a+;j等于()

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】C

【分析】先用兩角差的正切公式可求出tana的值,再用兩角和的正切公式即可求解

【詳解】因為tan(a=鱉幺」=:,所以tana=:,

I4J1+tan6743

,,(兀、taner+1,

故tan|a+:----------=-4,

I4)1-tan67

故選:C.

3-2.(2024四川?三模)若a為銳角,且儂卜+日卜],則sin[ar+g]=()

A.一還B.一立C.正D.述

10101010

【答案】D

【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和的正弦公式計算.

【詳解】由a為銳角,且3卜+曰=|,所以$也卜+鼻|=,則

sinL+^=sin717171A71(兀\

a-\--+-—=sinCCH---COS--------FCOSCCH---

I3j12412J4I12J4525210

故選:D

3-3.(2024高一上?福建福州?期末)己知5山"1=|,£€(4,胃,則sine的值為()

A3—4^/3口3+4A/3廠3—2^3八3+2,\/3

io101010

【答案】A

【分析】

先求出cos1+5利用差角公式求解答案.

【詳解】因為a,所以c+ge1-,所以cos[a+g]=Jl-sin2[a+g]=Jl-'=[;

..(兀兀)/兀、兀(7lA.71

smcr=sinaH------=sina+—cos----cosa+—sin—

I3I3I3)3

314

=—x--------x

52510

故選:A.

3-4.(2024高一上?黑龍江哈爾濱?期末)已知cos(a+V=g,cos3—^[二/0廣中誦],則cos(a+0=

()

人16「33-56n63

A.—B.—C.—D.—

65656565

【答案】D

【分析】先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出$巾+高和$巾-/然后利用兩角和的余弦公式展開

代入即可求出cos(a+P).

【詳解】;cos1+|"j=g,cos(£-1^=ga,£eW

二7嗚爭TV。

sinl6Z+—l>0,sinl1<0,

71

cos(cr+y0)=cosCX.+-+T

=cos[尸一V)cos(a+看)-sin[夕一sin4123563

—x------x(z----)=——

51351365

故選:D

彩健甄祕籍(二)

給角求值

(1)給角求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角",使其角相同或具有某種關(guān)系,借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.

(2)給角求值問題的一般步驟

①化簡條件式子或待求式子;

②觀察條件與所求之間的聯(lián)系,從函數(shù)名稱及角入手;

③將已知條件代入所求式子,化簡求值.

題型4:給角求值

^一匚壬由、?行加叭心底吉l-A/3tanlO°.、

4-1.(2024圖二上?重慶沙坪壩?階段練習(xí))求值:/。=()

A/1-COS20

A.1B.&C.73D.20

【答案】D

【分析】先化切為弦將tan10。轉(zhuǎn)化為s里in1與0°,然后根據(jù)二倍角的正弦和余弦公式、輔助角公式以及誘導(dǎo)公

cos10

式進(jìn)行化簡求值.

/rsin10°

【詳解】原式,―cos10°COS10°_逐sin10°

一V2sin210°-0sin10。cos10。

_2cos(10。+60。)_2忘cos70。_2立cos(90。-20。)_20sin20°_2吏

--J2-sin20°-sin20°一sin20°一,

—sin20°

2

故選:D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛:解答本題的關(guān)鍵在于弦切互化以及三角恒等變換公式的運用,一方面需要利用

tan10°=絲cin1f=0以及輔助角公式將分子化為一個整體,另一方面需要利用二倍角的正余弦公式將分母化為一

cos10

個整體.

cos70°-cos20°_

4-2.(2024?廣東湛江?一模)

cos65°

【答案】-正

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式,準(zhǔn)確化簡,即可求解.

【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式,可得:

cos70°-cos20°_cos(90°-20°)-cos20°_sin20°-cos20°

cos65°cos65°cos(45°+20°)

_sin200-cos20°_0

cos45°cos200-sin45°sin20°\

故答案為:-0.

4-3.(2024?重慶?模擬預(yù)測)式子2sml8(3cos.-sin9一」化簡的結(jié)果為()

cos6+V3sin6

A.5B.1C.2sin9D.2

【答案】B

【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式可化簡所求代數(shù)式.

2sinl8(3cos*29-sin29-cos29-sin29)

【詳解】原式=

2sin(6+30)

_2sin18(2COS29-2sir?9)_2sinl8cosl8_sin36

2sin36sin36sin36

故選:B.

44(2024高一下.江蘇蘇州?期中)計算:72-=()

cos40+cos60

A.一變B.--C.@D.1

2222

【答案】C

【分析】利用兩角和差的正弦公式,二倍角余弦公式和同角關(guān)系化簡即可.

(cos20°)2-(—sin20°)2

[詳解]因為sin”.sin80sin(60-20°)?sin(60°+20°)二22

=Lv~i

cos40+cos60cos40+—--2sin220°

22

—cos220°--sin220°--sin220

1所以原式=42

44=4」

2(--sin220°)2(--sin220°)22

44

故選:C

彩他題祕籍

(四)

給值求值

給值求值:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于“變角",使其角相同

或具有某種關(guān)系,解題的基本方法是:①將待求式用已知三角函數(shù)表示;②將已知條件轉(zhuǎn)化而推出結(jié)論,

其中"湊角法”是解此類問題的常用技巧,解題時首先要分析已知條件和結(jié)論中各種角之間的相互關(guān)系,并根

據(jù)這些關(guān)系來選擇公式.

題型5:給值求值

5-1.(2024?全國)已知tana=2,貝|cos(a-'=

【答案】嚕

1jr

【詳解】由1011。=2得51112=2以)52,又sin2a+cos2c=l,所以8$2。=二,因為?!辏?,耳),所以

cosa=為,sina=冬叵,因為cos(a—色)=cosacos/+sinasin/,所以cos(a—工)=

554444

非62非亞3麗

----x------1-------x-----=--------.

525210

5-2.(2024高三上?河北?期末)已知tang=2,則Jin。sin。值為_____.

21-cosc/1+cosU

【答案】、3

【分析】根據(jù)二倍角公式,結(jié)合同角商數(shù)關(guān)系即可求解,或者利用正切的二倍角公式,結(jié)合弦切互化求解.

.ee

2osin—cos—2csi.n—ecoso—

sin0sin02222

【詳解】(法一)

1-cos01+cos0r2。.?7一y)

l22J“I

00,eee0

2sin—cos—2sm—cos—cos—sin—

,2222_22_i…e

zitan

o?2e.ee2

2sin—2cos—sin—cos—1than—e

22222

1c3

=----2=----.

22

2-tan—e

_2x2__4

(法二)因為tan—=2,所以tan6=2

-1^4-3

1-tan—

2

sin。sin。2sincos2sincos2sincos2cos82

則1-cos。1+cos6(1一cos8)(1+cos。)1-cos20sin26sin。tan。

3

故答案為:-

5-3.(2024?山東濟(jì)寧?三模)已知cos?]:—a)=|,貝Ijsin2a=.

【答案】1/0.2

【分析】由輔助角公式和二倍角的余弦公式化簡即可得出答案.

713

【詳解】因為COS?~~a

5

故答案為:—.

=^~,則

5-4.(2024?江西?模擬預(yù)測)已知sin|a+《cos12a_g

【答案】

【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角公式即可求解.

【詳解】由題意可得,

5

故答案為:

9

1+2石sin6cose+cos2e_1(、

5-5.(2024.全國.模擬預(yù)測)若.(3吟=5,則sin2"三=

sin6+耳I6)

31

【答案】--

【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式和輔助角公式化簡可得sin(e+m]=-1,然后由2。-[=-9

V6/86V6;2

可解.

1+2^3sin0cos0+cos20_2A/3sin0cos0+2cos20

【詳解】因為.(q3兀)—cos8

=-2V3sin6>-2cos6>=-4sinp+^j=|

所以sin(9+;1

8

所以sin120—£)=sin+=—cos2(8+《)=—l+Zsin?]夕+631

32

31

故答案為:-至

彩儺瓢祕籍(五)

給值求角

給值求角:解此類問題的基本方法是:先求出"所求角"的某一三角函數(shù)值,再確定"所求角”的范圍,最后借

助三角函數(shù)圖像、誘導(dǎo)公式求角.

題型6:給值求角

6-1.(2024高三上?上海嘉定?期中)若?/為銳角,sina=理,cos(a+0=-《,則角〃=.

【答案】|

【分析】結(jié)合兩角差的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得cos£,進(jìn)而求得夕.

【詳解】由于d尸為銳角,所以0<c+6〈兀,

所以cosa=Vl-sin2a=—,sin(a+=Ql-cos?(a+0)=,

所以cosp=cos[(a+^)—a]=cos(a+#)cosa+sin(a+;0)sina

1115A/34>/3

---------X——I------------X-----------

1471472

所以夕=:.

故答案為:—

4C1II-1C兀5兀c

6-2.(2024高三上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))已知cos2"=《tanp——,中0<av—,—〈尸v兀.

746

⑴求sin[a+7)的值;

(2)求4-2a的值.

【答案】⑴平

【分析】(1)根據(jù)題意利用倍角公式可得cos。,sine,再結(jié)合兩角和差公式運算求解;

3

(2)根據(jù)同角三角關(guān)系可得tan2a=(,利用兩角和差公式求2a),并結(jié)合角的范圍分析求解.

4Q1

【詳解】(1)因為cos2a=2cos2a—l=l-2sin2a=w,可得cos?a=記,sin?a=而,

又因為0<a〈巴,則cose>0,sine>0,可得cosa=亞,sina=?

41010

所以sin[a+:=sinacosAcosesin久巫丁+亞x包=述

441021025

TTTT4/-------------3

(2)因為。<1<一,貝!]。<2。<一,且cos2a=-,可得sin2a=-cos2a=-,

4255

csinla3

所以tan2a=------=—,

cosla4

可得加(…

又因為、7?T<分<n,可得T?T<夕一2。<兀,所以4一2a=S邛ir.

634

6-3.(2024高一上?福建三明?階段練習(xí))已知ae(0,7t),尸e(,sina-cosa=^2L,sin(&+,)=[.

⑴求tana;

(2)求角夕.

【答案】(1)7

【分析】(1)sina-cosa=主2兩邊平方得sin2a=]>0,從而求出71,得至}Jsina+cosa=4立

525

聯(lián)立求出正弦和余弦,得到正切值;

3

(2)由題目條件得到0<a<&+尸〈兀,故cosa>cos(a+⑶,由同角三角函數(shù)關(guān)系求出cos(a+/?)=-《,進(jìn)

而由sinQ=sin[(a+⑶-句求出正弦值,結(jié)合角的范圍得到答案.

【詳解】(1)sina-cosa=①,兩邊平方得sin2a-Zsinacosa+cos?a=身

525

1Q

所以l-sin2a=——,

25

7

從而sin2a=——>0,

25

因為ae(0,7t),所以ae/gj,

故sina>0,cosa>0,sina+cosa>0,

所以sina+cosa=Jsin2a+2sinacosa+cos2a=Jl+sin2a=弓,②

聯(lián)立①②解得sina二述垃

cosa——,

1010

,,sin。r

故tana=-------=7;

cosa

4

(2)因為0微,sin(a+尸)=(,

5

所以0<1<1+6<兀,

由于y=cos%在(0㈤上單調(diào)遞減,

所以cosa>cos(a+"),

____________O

其中cos(a+y0)=土Jl-sin?(a+尸)=土g,

由(1)知sina=2屈.,cosor=,

1010

而[〉卷,與cosa>cos(a+R)矛盾,舍去,

一3<無,滿足要求,

510

3

故cos(a+/7)=-

5

所以sin4=sin[(a+4)一cr]=sin(cr+/?)cos。-cos(a+月)sina

4037A/2V2

=—x----F—x----=---,

5105102

因為夕

所以£

6-4.(2024高三上?江西撫州?階段練習(xí))已知cosa=半,sin£=嚕,且則a+£

的值是.

【答案w

【分析】由平方關(guān)系求得Sina,cos?,再求出cos(0+廣)即可得解.

【詳解】解:因為cosaJ''sinP=~~,且ae[。,]],

所以sina=舍,cos/3=,且媛+/£(°,兀),

則cos(a+用2*題一旦

v75105102

rr

所以e+尸=:.

故答案為:y.

4

彩得瓢祕籍一

(K)

三角恒等變換的綜合應(yīng)用

(1)進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘恰⒆兒瘮?shù)名稱、變結(jié)構(gòu),尤其是角之間的關(guān)系;注意公式的逆用和變

形使用.

(2)形如y=asinx+6cosx化為>=sin(x+°),可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對

稱性.

題型7:三角恒等變換的綜合應(yīng)用

7-1.(2024.湖南.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=sin2x+sinxcosx-l.

(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵當(dāng)時,求“X)的最大值,并求當(dāng)取得最大值時x的值.

JT3冗

【答案】(1)最小正周期為兀;單調(diào)遞增區(qū)間為-g+E,丁+E優(yōu)eZ)

OO_

(2)最大值為正二L此時x=

【分析】(1)化簡函數(shù)=結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解;

(2)由xe0,|,求得2x-:e,得到一等<sin(2x.£|vl,進(jìn)而求得外力取得最大值時x的

值.

【詳解】(1)解:S^//(.^)=sin2x+sinxcosx-l=--^^^+gsin2x—l

V2..V2011_A/2.<叫1

=sin2x----cos2x———sin2x——.

2(22J224;2

所以/'(X)的最小正周期為7號=兀,

冗冗冗冗3冗

令——+2kli<2x——<—+2kn,keZ,解得——+ku<x<卜kn,keZ,

24288

rr3冗

所以“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為-3+配丁+也(左eZ).

OO_

(2)解:因為xe0,],所以,

所以一孝Wsin'x-:卜1,所以TW/(x)W,!二,

當(dāng)2》W,即工="時,f(x)=1二L

428J、,max2

所以“X)的最大值為叵口,此時X=乎.

2o

7-2.(2024高三上?天津?期中)己知函數(shù)〃尤)=2cos£xsingT+[,o>0,〃x)圖象的兩條相鄰對

稱軸之間的距離為

⑴求〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

⑵若/(g)=Y,且當(dāng),求sinS-當(dāng)?shù)闹?

25666

?小生、…57i,11K,R‘一

【答案】⑴[r五+E,^^_+E],l£Z

(2)-1

IT

【分析】(1)根據(jù)題意,化簡/(x)=sin(0x-g),結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),即可求解;

JT37T4

⑵根據(jù)題意,求得sin(e-;)=-}得到cos(e.)=;結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,即可求解.

?、斗他、Z1\々刀4\CCDX.((D71^73-COXA?COXV38、\/3

【詳解】(1)解:由/(x)=2cos—sin—X-一+—=2cos一(-sin-cos-)+—

、)2(23)2222222

1.6.,兀、

=—sincox------coscox=sin(cox-----),

223

因為“X)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為T,可得g=即7=兀,

27t71

所以。=亍=2,可得〃x)=sin(2x-§),

JrJr37r57r1Ijr

令一+2fal<lx——<——+2kit,左eZ,角星得---\-kit<x<----+far,A;GZ,

2321212

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為+詈+E]#ez.

(2)解:由〃x)=sin(2x-a,可得■/'§)=$皿,-三)=一|,

因為匹[J,當(dāng),可得。一裊[一勺,所以cos("勺=]

6632235

Sir7TJTJT4

所以sin(6---)=sin[(8-cos(6-y)=--.

7-3.(2024高三?全國?對口高考)已知/(x)=sin20x+岑sin2gx-;(X£R,G>0).若/(x)的最小正周期

為2Tl.

⑴求的表達(dá)式和/W的遞增區(qū)間;

TT5冗

⑵求“X)在區(qū)間一上的最大值和最小值.

|_oo

【答案】(D/(x)=sin]xqj的單調(diào)遞增區(qū)間為2標(biāo)\,2E+g(fceZ).

⑵〃x)在區(qū)間1-J,斗上的最大值和最小值分別為1和_£

【分析】(1)化簡函數(shù)解析式,利用周期公式求。,可得其函數(shù)解析式,再由正弦函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)/■(%)的

遞增區(qū)間;

rr5兀

(2)利用不等式性質(zhì)及正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)/(x)在區(qū)間-二,三上的最大值和最小值.

o0

【詳解】(1)因為"X)=sin?0x+[sin2Ox-;,

所以y(x)=-----------+2ySin2cox--,

所以/(x)=sin2a>x-^coscox,

所以〃x)=sin[28-5],

因為的最小正周期為2兀,(y>0,

所以2三7r=2兀,所以。=1:,

2。2

所以/(x)=sin(x_£],

/TV

令2kli——<x——<2kn+—,左eZ,可得2E——<x<2kjiH-----,keZ,

26233

jrQjr

所以函數(shù)〃尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為2kK--,2hi+—/eZ),

(2)因為一笠

66

所以一1Vx-Jw多,

363

所以一咚wSin,-胃VI,/(%)<!,

所以當(dāng)x=g時,函數(shù)/(X)取最大值,最大值為1,

當(dāng)%=一?時,函數(shù)/(X)取最小值,最小值為一今.

02

74(2024?浙江)設(shè)函數(shù)〃x)=sinx+cosMx£R).

(1)求函數(shù)y=[/(x+'J的最小正周期;

(2)求函數(shù)y=/(x)/(x-?]在0,|上的最大值.

【答案】(1)乃;(2)1+1.

2

【分析】(1)由題意結(jié)合三角恒等變換可得>=1-sin2光,再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解;

(2)由三角恒等變換可得y=sin(2尤-?)+母,再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.

【詳解】(1)由輔助角公式得/(尤)=sinx+cosx=&sin[x+5],

所以該函數(shù)的最小正周期7=甘=萬;

(2)由題意,A/2sin卜+(J?41sinx=2sin卜+(Jsinx

=2sinx(變sinx+變cos尤

=A/2sin2%+J7sin尤cos%

_r-1-COS2%形._V2.y[2^V2_.<")夜

=72---------------1

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