第四章 頻率域濾波

第四章頻率域濾波大綱1、頻率域濾波原理2、傅里葉變換3、高通濾波4、低通濾波1、頻率域濾波原理頻率域濾波原理頻域變換也是眾多圖像變換中的一種。為了更加有效的對數(shù)字圖像進行處理，常常需要將原始圖像以某種方式變換到另外一個空間，并利用圖像在變換空間中的特有性質(zhì)對圖像信息進行加工，然后再轉(zhuǎn)換回圖像空間就可以得到所需的效果。類似此類的轉(zhuǎn)換方法稱為圖像變換技術(shù)。圖像變換是雙向的，一般將從圖像空間轉(zhuǎn)換到其它空間的操作稱為正變換，由其它空間轉(zhuǎn)換回圖像空間稱為反變換或者逆變換。圖像變換頻率域濾波原理基于傅里葉變換的數(shù)字圖像頻域處理過程如圖所示。首先通過正向傅里葉變換將原始圖像從空域轉(zhuǎn)換到頻率域。然后使用頻域濾波器將某些頻率成分過濾掉，保留某些特定頻率。最后使用傅里葉逆變換將濾波后的頻率域圖像重新轉(zhuǎn)換到空間域，得到處理后的圖像。頻率域濾波優(yōu)勢相較于圖像空間域處理，頻率域圖像處理有如下優(yōu)點：一、可以通過頻率域成分的特殊性質(zhì)完成一些空間域圖像處理難以完成的任務(wù)。二、頻率域處理更有利于信號處理的解釋，它可以對濾波過程中產(chǎn)生的某些效果做出比較直觀的解釋。三、頻率域濾波器可以作為空間濾波器設(shè)計的指導(dǎo)，通過傅里葉反變換可以將頻率域濾波器轉(zhuǎn)換為空間域變換的操作。通過頻率域濾波做前期設(shè)計，然后實施階段用空間域濾波實現(xiàn)。2、傅里葉變換一維傅里葉變換傅里葉變換是常見正交數(shù)學(xué)變換的一種，可以將一維信號或函數(shù)分解為具有不同頻率不同幅度的正弦信號或余弦信號的組合。著名的法國數(shù)學(xué)家傅里葉在其1822年出版的《熱分析理論》一書中指出：任何周期信號都可以表示為不同頻率的正弦波和余弦波的組合，即所謂的傅里葉級數(shù)。隨著快速傅里葉變換算法的發(fā)明及數(shù)字計算機的出現(xiàn)，使得傅里葉變換得到了廣泛的應(yīng)用。傅里葉分析中最重要的結(jié)論就是幾乎“所有”的信號或函數(shù)都可以分解成簡單的正弦波和余弦波之和。從而提供了一種具有物理意義的函數(shù)表達方式。傅里葉變換的核心貢獻在于一、如何將每種正弦波和余弦波的比例(頻率)求出來。二、給定每種正弦波和余弦波的比例，可以恢復(fù)出原始信號。一維傅里葉變換傅里葉變換中基函數(shù)的物理意義非常明確，每一個基函數(shù)都是一個單頻率諧波，而對應(yīng)的系數(shù)(又稱頻譜)則表明了原函數(shù)在此基函數(shù)上投影的大小，或者也可以看作原函數(shù)中此種頻率諧波成分的比重。實際應(yīng)用中，需要求解的更多問題是離散信號的處理。定義離散情況的傅里葉變換公式，，其中，則其傅里葉正變換為其對應(yīng)傅里葉逆變換為一維傅里葉變換例：門限函數(shù)求其傅里葉變換解：門限函數(shù)及其傅里葉變換圖像二維傅里葉變換二維傅里葉變換本質(zhì)上是一維傅里葉變換情形向二維進行簡單擴展。離散情形完全與之類似。設(shè)是一幅尺寸為M×N的圖像函數(shù)，相應(yīng)的二維離散傅里葉變換可以表示為圖像頻率域濾波過程圖像變換是對圖象信息進行變換，使能量保持但重新分配。以利于加工、處理（濾除不必要信息(如噪聲)，加強/提取感興趣的部分或特征）。目前基于傅里葉變換的頻域濾波主要包括低通濾波、高通濾波、帶通濾波及同態(tài)濾波四類，后續(xù)將對低通濾波、高通濾波進行重點講述。3、圖像低通濾波圖像低通濾波圖像從空間域變換到頻率域后，其低頻分量對應(yīng)圖像中灰度值變化比較緩慢的區(qū)域，高頻分量則表征圖像中物體的邊緣和隨機噪聲等信息。低通濾波是指保留低頻分量，而通過濾波器函數(shù)減弱或抑制高頻分量的在頻域進行的濾波。低通濾波與空域中的平滑濾波器一樣可以消除圖像中的隨機噪聲，減弱邊緣效應(yīng)，起到平滑圖像的作用。理想低通濾波器二維理想低通濾波器的傳遞函數(shù)如下圖像低通濾波理想低通濾波器的平滑作用非常明顯，但由于變換有一個陡峭的波形，它的反變換有強烈的振鈴特性，使濾波后圖像產(chǎn)生模糊效果。因此這種理想低通濾波實用中并不采用。理想低通濾波器的傅里葉逆變換二維圖像的理想低通濾波，可以看到明顯的振鈴效應(yīng)圖像低通濾波理想低通濾波器在數(shù)學(xué)上定義得很清楚，在計算機模擬中也可實現(xiàn)，但在截斷頻率處直上直下的理想低通濾波器不能用實際的電子器件實現(xiàn)，物理上可實現(xiàn)的是巴特沃斯低通濾波器。巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)如下Butterworth低通濾波器的截面二維圖像的Butterworth低通濾波結(jié)果4、圖像高通濾波圖像高通濾波圖像的邊緣、細(xì)節(jié)主要在高頻，圖像模糊是由于高頻成分較弱產(chǎn)生的。為了消除模糊，突出邊緣，可以采用高通濾波的方法，使低頻分量得到抑制，從而達到增強高頻分量，使圖像的邊沿或線條變得清晰，實現(xiàn)圖像的銳化。理想高通濾波器：形狀與低通濾波器的形狀正好相反，其傳遞函數(shù)二維圖像的理想高通濾波圖像高通濾波巴特沃斯高通濾波器：形狀與巴特沃斯低通濾波器的形狀正好相反，同樣的，因為高低頻率間平滑過渡，振鈴現(xiàn)象不明顯。其傳遞函數(shù)二維圖像巴特沃斯高通濾波結(jié)果圖像高通濾波高頻增強濾波器：高通濾波將低頻分量濾掉，導(dǎo)致增強圖中邊緣得到加強但平坦區(qū)域灰度很暗接近于黑色。高頻增強濾波器對頻域里的高通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)加一個常數(shù)以將一