專題06二次函數(shù)的圖象與性質(原卷版+解析)

專題06二次函數(shù)的圖象與性質考點1：二次函數(shù)的圖象；考點2：二次函數(shù)的增減性；考點3：二次函數(shù)的相關結論。題型01二次函數(shù)的圖象題型01二次函數(shù)的圖象1．函數(shù)y=1A．B．C．D．2．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數(shù)的圖象可能為（）A．B．C．D．3．二次函數(shù)y＝ax2+bx+1的圖象與一次函數(shù)y＝2ax+b在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A．B．C．D．4．（易錯題）已知a，b是非零實數(shù)，|a|＞|b|，在同一平面直角坐標系中，二次函數(shù)y1＝ax2+bx與一次函數(shù)y2＝ax+b的大致圖象不可能是（）A．B．C．D．5．拋物線y＝﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示，若y＞0，則x的取值范圍是．6．如圖是二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函數(shù)y2＝mx+n（m≠0）的圖象，當y2＞y1，x的取值范圍是．7．小明為了通過描點法作出函數(shù)y＝x2﹣x+1的圖象，先取自變量x的7個值滿足：x2﹣x1＝x3﹣x2＝…＝x7﹣x6＝d，再分別算出對應的y值，列出表：xx1x2x3x4x5x6x7m1＝y(tǒng)2﹣y1，m2＝y(tǒng)3﹣y2，m3＝y(tǒng)4﹣y3，m4＝y(tǒng)5﹣y4，…；s1＝m2﹣m1，s2＝m3﹣m2，s3＝m4﹣m3，…（1）判斷s1、s2、s3之間關系，并說明理由；（2）若將函數(shù)“y＝x2﹣x+1”改為“y＝ax2+bx+c（a≠0）”，列出表：xx1x2x3x4x5x6x7yy1y2y3y4y5y6y7其他條件不變，判斷s1、s2、s3之間關系，并說明理由；（3）小明為了通過描點法作出函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，列出表：xx1x2x3x4x5x6x7y1050110190290412550由于小明的粗心，表中有一個y值算錯了，請指出算錯的y值（直接寫答案）．題型02二次函數(shù)的增減性題型02二次函數(shù)的增減性8．下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（）A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+19．已知二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+5，當函數(shù)值y隨x值的增大而增大時，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞210．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x1，x2，x3對應的函數(shù)值分別為y1，y2，y3．當﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時，y1，y2，y3三者之間的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y311．拋物線y＝x2+3上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，則下列結論正確的是（）A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不對12．（易錯題）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4m2x﹣3（m為常數(shù)，m≠0），點P（xp，yp）是該函數(shù)圖象上一點，當0≤xp≤4時，yp≤﹣3，則m的取值范圍是（）A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣113．（易錯題）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2﹣2ax上的點，下列命題正確的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＜y2 C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，則y1＝y(tǒng)2 D．若y1＝y(tǒng)2，則x1＝x214．在函數(shù)y＝（x﹣1）2中，當x＞1時，y隨x的增大而．（填“增大”或“減小”）15．已知函數(shù)y＝﹣x2﹣2x，當時，函數(shù)值y隨x的增大而增大．16．函數(shù)y＝x2+mx﹣4，當x＜2時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是．題型03二次函數(shù)的相關結論題型03二次函數(shù)的相關結論17．如圖，二次函數(shù)y＝a（x+2）2+k的圖象與x軸交于A，B（﹣1，0）兩點，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＜0 B．點A的坐標為（﹣4，0） C．當x＜0時，y隨x的增大而減小 D．圖象的對稱軸為直線x＝﹣218．對于二次函數(shù)y=?14x2+A．當x＞0時，y隨x的增大而增大 B．當x＝2時，y有最大值﹣3 C．圖象的頂點坐標為（﹣2，﹣7） D．圖象與x軸有兩個交點19．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+12（a為常數(shù)，且a＞0），下列結論：①函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限；③當x＜0時，y隨x的增大而減??；④當x＞0時，y隨A．①② B．②③ C．② D．③④20．已知P1（x1，y1）P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0）上的點，現(xiàn)有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2；②點（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個21．（易錯題）如圖，已知拋物線y1＝﹣x2+4x和直線y2＝2x．我們規(guī)定：當x取任意一個值時，x對應的函數(shù)值分別為y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中較小值為M；若y1＝y(tǒng)2，記M＝y(tǒng)1＝y(tǒng)2．①當x＞2時，M＝y(tǒng)2；②當x＜0時，M隨x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M＝2，則x＝1．上述結論正確的是（填寫所有正確結論的序號）．22．對于二次函數(shù)y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列結論：①其圖象與x軸一定相交；②若a＜0，函數(shù)在x＞1時，y隨x的增大而減小；③無論a取何值，拋物線的頂點始終在同一條直線上；④無論a取何值，函數(shù)圖象都經(jīng)過同一個點．其中所有正確的結論是．（填寫正確結論的序號）23．（易錯題）定義：[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[m，1﹣m，2﹣m]的二次函數(shù)的一些結論：①當m＝1時，函數(shù)圖象的對稱軸是y軸；②當m＝2時，函數(shù)圖象過原點；③當m＞0時，函數(shù)有最小值；④如果m＜0，當x＞12時，y隨x的增大而減?。渲兴姓_結論的序號是24．下列關于拋物線y＝x2﹣2mx+m2+m+1（m為常數(shù)）的結論：①拋物線的對稱軸為直線x＝m；②拋物線的頂點在直線y＝x+1上；③拋物線與y軸的交點在原點的上方；④拋物線上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2m，則y1＜y2.其中正確結論的序號是．

專題06二次函數(shù)的圖象與性質考點1：二次函數(shù)的圖象；考點2：二次函數(shù)的增減性；考點3：二次函數(shù)的相關結論。題型01二次函數(shù)的圖象題型01二次函數(shù)的圖象1．函數(shù)y=1A．B．C．D．解：由函數(shù)y=1x2可知，函數(shù)是雙曲線，它的兩個分支分別位于第一、二象限，當x＞0時，y隨x的增大而減??；當x＜0時，y答案：A．2．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數(shù)的圖象可能為（）A．B．C．D．解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D選項不符合題意；當a＞0時，∵b＞0，∴對稱軸x=?b故B選項不符合題意；當a＜0時，b＞0，∴對稱軸x=?b故C選項符合題意，答案：C．3．二次函數(shù)y＝ax2+bx+1的圖象與一次函數(shù)y＝2ax+b在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A．B．C．D．解：A、由拋物線可知，a＞0，b＜0，c＝1，對稱軸為直線x=?b2a，由直線可知，a＞0，b＜0，直線經(jīng)過點（B、由拋物線可知，對稱軸為直線x=?b2a，直線不經(jīng)過點（C、由拋物線可知，對稱軸為直線x=?b2a，直線不經(jīng)過點（D、由拋物線可知，對稱軸為直線x=?b2a，直線不經(jīng)過點（答案：A．4．（易錯題）已知a，b是非零實數(shù)，|a|＞|b|，在同一平面直角坐標系中，二次函數(shù)y1＝ax2+bx與一次函數(shù)y2＝ax+b的大致圖象不可能是（）A．B．C．D．解：y=ax2+bxy=ax+b解得故二次函數(shù)y＝ax2+bx與一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐標系中的交點在x軸上為（?ba，0）或點（1，a+在A中，由一次函數(shù)圖象可知a＞0，b＞0，二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＞0，?ba＜0，a+b在B中，由一次函數(shù)圖象可知a＞0，b＜0，二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，則a+b＞0，故選項B有可能；在C中，由一次函數(shù)圖象可知a＜0，b＜0，二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故選項C有可能；在D中，由一次函數(shù)圖象可知a＜0，b＞0，二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，則a+b＜0，故選項D不可能；答案：D．5．拋物線y＝﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示，若y＞0，則x的取值范圍是﹣3＜x＜1．解：根據(jù)拋物線的圖象可知：拋物線的對稱軸為x＝﹣1，已知一個交點為（1，0），根據(jù)對稱性，則另一交點為（﹣3，0），所以y＞0時，x的取值范圍是﹣3＜x＜1．答案：﹣3＜x＜1．6．如圖是二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函數(shù)y2＝mx+n（m≠0）的圖象，當y2＞y1，x的取值范圍是﹣2＜x＜1．解：從圖象上看出，兩個交點坐標分別為（﹣2，0），（1，3），∴當有y2＞y1時，有﹣2＜x＜1，答案：﹣2＜x＜1．7．小明為了通過描點法作出函數(shù)y＝x2﹣x+1的圖象，先取自變量x的7個值滿足：x2﹣x1＝x3﹣x2＝…＝x7﹣x6＝d，再分別算出對應的y值，列出表：xx1x2x3x4x5x6x7m1＝y(tǒng)2﹣y1，m2＝y(tǒng)3﹣y2，m3＝y(tǒng)4﹣y3，m4＝y(tǒng)5﹣y4，…；s1＝m2﹣m1，s2＝m3﹣m2，s3＝m4﹣m3，…（1）判斷s1、s2、s3之間關系，并說明理由；（2）若將函數(shù)“y＝x2﹣x+1”改為“y＝ax2+bx+c（a≠0）”，列出表：xx1x2x3x4x5x6x7yy1y2y3y4y5y6y7其他條件不變，判斷s1、s2、s3之間關系，并說明理由；（3）小明為了通過描點法作出函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，列出表：xx1x2x3x4x5x6x7y1050110190290412550由于小明的粗心，表中有一個y值算錯了，請指出算錯的y值（直接寫答案）．解：（1）s1＝s2＝s3．m1＝y(tǒng)2﹣y1＝3﹣1＝2，同理m2＝4，m3＝6，m4＝8．∴s1＝m2﹣m1＝4﹣2＝2，同理s2＝2，s3＝2．∴s1＝s2＝s3．（2）s1＝s2＝s3．m1＝y(tǒng)2﹣y1＝ax22+bx2+c﹣（ax12+bx1+c）＝d[a（x2+x1）+b]．m2＝y(tǒng)3﹣y2＝ax32+bx3+c﹣（ax22+bx2+c）＝d[a（x3+x2）+b]．同理m3＝d[a（x4+x3）+b]．m4＝d[a（x5+x4）+b]．s1＝m2﹣m1＝d[a（x3+x2）+b]﹣d[a（x2+x1）+b]＝2ad2．同理s2＝2ad2．s3＝2ad2．∴s1＝s2＝s3．（3）412．題型02二次函數(shù)的增減性題型02二次函數(shù)的增減性8．下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（）A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1解：選項A中，函數(shù)y＝x2+1，x＜0時，y隨x的增大而減小；故A不符合題意；選項B中，函數(shù)y＝﹣x2+1，x＞0時，y隨x的增大而減小；故B不符合題意；選項C中，函數(shù)y＝2x+1，y隨x的增大而增大；故C不符合題意；選項D中，函數(shù)y＝﹣2x+1，y隨x的增大而減?。蔇符合題意；答案：D．9．已知二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+5，當函數(shù)值y隨x值的增大而增大時，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴x＞1時，y隨x增大而增大，答案：B．10．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x1，x2，x3對應的函數(shù)值分別為y1，y2，y3．當﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時，y1，y2，y3三者之間的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3解：∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴對稱軸x＝1，頂點坐標為（1，﹣4），當y＝0時，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴拋物線與x軸的兩個交點坐標為：（﹣1，0），（3，0），∴當﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時，y2＜y1＜y3，答案：D．11．拋物線y＝x2+3上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，則下列結論正確的是（）A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不對解：拋物線y＝x2+3開口向上，對稱軸為y軸，∵拋物線y＝x2+3上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，答案：D．12．（易錯題）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4m2x﹣3（m為常數(shù)，m≠0），點P（xp，yp）是該函數(shù)圖象上一點，當0≤xp≤4時，yp≤﹣3，則m的取值范圍是（）A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣1解：∵二次函數(shù)y＝mx2﹣4m2x﹣3，∴對稱軸為x＝2m，拋物線與y軸的交點為（0，﹣3），∵點P（xp，yp）是該函數(shù)圖象上一點，當0≤xp≤4時，yp≤﹣3，∴①當m＞0時，對稱軸x＝2m＞0，此時，當x＝4時，y≤﹣3，即m?42﹣4m2?4﹣3≤﹣3，解得m≥1；②當m＜0時，對稱軸x＝2m＜0，當0≤x≤4時，y隨x增大而減小，則當0≤xp≤4時，yp≤﹣3恒成立；綜上，m的取值范圍是：m≥1或m＜0．答案：A．13．（易錯題）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2﹣2ax上的點，下列命題正確的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＜y2 C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，則y1＝y(tǒng)2 D．若y1＝y(tǒng)2，則x1＝x2解：∵拋物線y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，∴該拋物線的對稱軸是直線x＝1，當a＞0時，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＞y2，故選項B錯誤；當a＜0時，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＜y2，故選項A錯誤；若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，則y1＝y(tǒng)2，故選項C正確；若y1＝y(tǒng)2，則|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故選項D錯誤；答案：C．14．在函數(shù)y＝（x﹣1）2中，當x＞1時，y隨x的增大而增大．（填“增大”或“減小”）解：∵函數(shù)y＝（x﹣1）2，∴a＝1＞0，拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴當x＞1時，y隨x的增大而增大．答案：增大．15．已知函數(shù)y＝﹣x2﹣2x，當x＜﹣1時，函數(shù)值y隨x的增大而增大．解：∵y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，a＝﹣1＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝﹣1，∴當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，答案：x＜﹣1．16．函數(shù)y＝x2+mx﹣4，當x＜2時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是m≤﹣4．解：∵x＜2時，y隨x的增大而減小，∴?m∴m≤﹣4．答案：m≤﹣4．題型03二次函數(shù)的相關結論題型03二次函數(shù)的相關結論17．如圖，二次函數(shù)y＝a（x+2）2+k的圖象與x軸交于A，B（﹣1，0）兩點，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＜0 B．點A的坐標為（﹣4，0） C．當x＜0時，y隨x的增大而減小 D．圖象的對稱軸為直線x＝﹣2解：∵二次函數(shù)y＝a（x+2）2+k的圖象開口方向向上，∴a＞0，故A錯誤，∵圖象對稱軸為直線x＝﹣2，且過B（﹣1，0），∴A點的坐標為（﹣3，0），故B錯誤，D正確，由圖象知，當x＜0時，由圖象可知y隨x的增大先減小后增大，故C錯誤，答案：D．18．對于二次函數(shù)y=?14x2+A．當x＞0時，y隨x的增大而增大 B．當x＝2時，y有最大值﹣3 C．圖象的頂點坐標為（﹣2，﹣7） D．圖象與x軸有兩個交點解：∵二次函數(shù)y=?14x2+x﹣4可化為y=?又∵a=?1∴當x＝2時，二次函數(shù)y=?14x2+答案：B．19．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+12（a為常數(shù)，且a＞0），下列結論：①函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限；③當x＜0時，y隨x的增大而減小；④當x＞0時，y隨A．①② B．②③ C．② D．③④解：∵a＞0時，拋物線開口向上對稱軸為x=22a=1a＞0，當x＜0時，y隨x的增大而減小，當x答案：B．20．已知P1（x1，y1）P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0）上的點，現(xiàn)有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2；②點（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：∵拋物線y＝ax2+4ax+3的對稱軸為直線x=?4a∴①正確；當x＝0時，y＝3，則點點（0，3）在拋物線上，∴②正確；當a＞0時，x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；當a＜0時，x1＞x2＞﹣2，則y1＜y2；∴③錯誤；當y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣4，∴④錯誤；故正確的有2個，答案：B．21．（易錯題）如圖，已知拋物線y1＝﹣x2+4x和直線y2＝2x．我們規(guī)定：當x取任意一個值時，x對應的函數(shù)值分別為y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中較小值為M；若y1＝y(tǒng)2，記M＝y(tǒng)1＝y(tǒng)2．①當x＞2時，M＝y(tǒng)2；②當x＜0時，M隨x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M＝2，則x＝1．上述結論正確的是②③（填寫所有正確結論的序號）．解：①當x＞2時，拋物線y1＝﹣x2+4x在直線y2＝2x的下方，∴當x＞2時，M＝y(tǒng)1，結論①錯誤；②當x＜0時，拋物線y1＝﹣x2+4x在直線y2＝2x的下方，∴當x＜0時，M＝y(tǒng)1，∴M隨x的增大而增大，結論②正確；③∵y1＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴M的最大值為4，∴使得M大于4的x的值不存在，結論③正確；④當M＝y(tǒng)1＝2時，有﹣x2+4x＝2，解得：x1＝2?2（舍去），x2＝2+當M＝y(tǒng)2＝2時，有2x＝2，解得：x＝1．∴若M＝2，則x＝1或2+2，結論④綜上所述：正確的結論有②③．答案：②③．22．對于二次函數(shù)y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列結論：①其圖象與x軸一定相交；②若a＜0，函數(shù)在x＞1時，y隨x的增大而減小；③無論a取何值，拋物線的頂點始終在同一條直線上；④無論a取何值，函數(shù)圖象都經(jīng)過同一個點．其中所有正確的結論是①③④．（填寫正確結論的序號）解：令y＝0，則ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1＝0，解得x1＝1，x2=a?1所以，函數(shù)圖象與x軸的交點為（1，0），（a?1a，0），