空間向量運算的坐標表示高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修一

1.3.2空間向量運算的坐標表示1.空間向量的坐標運算(1)空間向量的坐標:一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.注意:向量的坐標與點的坐標表示方法不同,如向量a=(x,y,z),點A(a,b,c).(2)類比平面向量的坐標運算學習空間向量的坐標運算:空間向量的加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積運算公式與平面向量的類似,學習中可以類比推廣.推廣時注意向量坐標表示的元素個數(shù)不同,向量在平面上用二元有序?qū)崝?shù)對表示,如a=(x,y),而在空間中,向量用三元有序?qū)崝?shù)組表示,如b=(x,y,z).2.空間向量數(shù)量積及其性質(zhì)的坐標表示(1)兩個空間向量平行、垂直與兩個平面向量平行、垂直的表達式實質(zhì)上是一致的.判定空間兩直線平行或垂直只需判斷兩直線對應的方向向量是否平行或垂直即可.(2)空間兩條直線夾角的取值范圍與向量夾角的取值范圍不同,當兩直線方向向量的夾角為鈍角時,兩直線的夾角是與此鈍角互補的銳角.探究點一

空間向量的坐標運算解:(1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2).a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6).a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7.(2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14.(a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8.例1(1)已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b).

C

B圖1-3-10變式

(3)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),則(2a+3b)·(a-2b)=

.

[解析](3)由a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),得2a+3b=(26,-13,-2),a-2b=(-8,4,-8),故(2a+3b)·(a-2b)=26×(-8)+(-13)×4+(-2)×(-8)=-244.-244[素養(yǎng)小結]利用向量坐標運算解決問題的關鍵是熟記向量坐標運算的法則,同時掌握下列技巧:(1)在運算中注意相關公式的靈活運用,如(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,(a+b)·(a+b)=(a+b)2等.(2)進行向量坐標運算時,可以先代入坐標再運算,也可先進行向量式的化簡再代入坐標運算.探究點二

空間向量平行、垂直的坐標表示及應用

(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分別是CC1,BC,CD,A1C1的中點.求證:①AB1∥GE,AB1⊥EH;②A1G⊥DF,A1G⊥DE.

(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分別是CC1,BC,CD,A1C1的中點.求證:①AB1∥GE,AB1⊥EH;②A1G⊥DF,A1G⊥DE.

(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分別是CC1,BC,CD,A1C1的中點.求證:①AB1∥GE,AB1⊥EH;②A1G⊥DF,A1G⊥DE.

D

變式

(3)如圖1-3-11,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,E是側(cè)棱CC1上的任意一點,在線段A1C1上是否存在一個定點P,使得D1P總垂直于AE,請說明理由.圖1-3-11

[素養(yǎng)小結]利用空間向量證明垂直、平行的一般步驟:(1)建立空間直角坐標系,建系時要盡可能地利用條件中的垂直關系.(2)建立空間圖形與空間向量之間的關系,用空間向量表示出問題中所涉及的點、直線、平面的要素.(3)通過空間向量的運算求出直線的方向向量,再研究平行、垂直關系.(4)根據(jù)運算結果解釋相關問題.拓展

已知長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)接于球O,底面ABCD是邊長為2的正方形,E為AA1的中點,若OA⊥BD,OA⊥BE,則球O的表面積為

.

16π探究點三

利用空間向量的坐標運算求夾角及長度例3

如圖1-3-12,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是DD1,BD,BB1的中點.(1)求異面直線EF與CG所成角的余弦值;(2)求線段CF的長.圖1-3-12

B[素養(yǎng)小結]利用空間向量的坐標運算求夾角與距離的一般步驟:(1)建系:根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當?shù)目臻g直角坐標系.(2)求坐標:①求出相關點的坐標;②寫出向量的坐標.(3)論證、計算:結合公式進行論證、計算.(4)轉(zhuǎn)化:轉(zhuǎn)化為夾角與距離問題.拓展

如圖1-3-13①所示,在△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC邊上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°,得到圖1-3-13②.(1)證明:平面ADB⊥平面BDC;(2)設E為BC的中點,求直線AE與直線DB所成角的余弦值.圖1-3-13

1.求解向量運算的坐標表示問題通常利用坐標運算的公式即可.例1已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b).解:a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2),a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6),a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7,(2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14,(a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8.

C2.注意區(qū)別向量平行與垂直的坐標表示.例3設向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),計算2a+3b,3a-2b,a·b,并確定λ,μ的關系,使λa+μb與z軸垂直.解:2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(12,13,16).3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(5,13,-28).a·b=(3,5,-4)·(2,1,8)=-21.由(λa+μb)·(0,0,1)=(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)·(0,0,1)=-4λ+8μ=0,知λ=2μ,故只要λ,μ滿足λ=2μ即可使λa+μb與z軸垂直.例4已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),分別求滿足下列條件的實數(shù)k的值:(1)(ka+b)∥(a-3b);(2)(ka+b)⊥(a-3b).

3.利用向量的坐標解決探究性問題,一般先假設滿足題意的元素存在,再建立坐標系,轉(zhuǎn)化為向量求解.

1.已知a=(1,2,1),b=(2,-4,1),則2a+b等于 (

)A.(4,-2,0) B.(4,0,3)C.(-4,0,3) D.(4,0,-3)[解析]2a+b=2(1,2,1)+(2,-4,1)=(4,0,3),故選B.B

D

C

A5.已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),