天津市師范大學(xué)南開附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題.含解析_第1頁(yè)
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PAGE18-天津市師范高校南開附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題.(含解析)一、選擇題(本大題共9小題,共45.0分)1.直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和,則它的傾斜角是()A.45° B.﹣45° C.135° D.45°或135°【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知的兩點(diǎn)計(jì)算出斜率,再依據(jù)傾斜角的正切值為斜率,即可求得傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和,故,設(shè)直線傾斜角為,故,又,故可得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查已知兩點(diǎn)求直線斜率,以及斜率與傾斜角之間的關(guān)系.2.與向量共線的單位向量是()A.或 B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】求出的,再由與共線的單位向量是,求出結(jié)果.【詳解】解:∵向量的模為,故與向量共線的單位向量是,即或.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的共線問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.3.如圖,在平行六面體中,底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,若,且,則的長(zhǎng)為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由幾何圖形可得,然后兩邊平方,依據(jù)向量的數(shù)量積可得,進(jìn)而得到的長(zhǎng)度.【詳解】因?yàn)?,所以||2=()2=||2+||2+||2).故A1C的長(zhǎng)為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用,利用數(shù)量積可解決垂直、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題,用向量求長(zhǎng)度時(shí),可將向量用基底或坐標(biāo)表示出來(lái),然后依據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算或坐標(biāo)運(yùn)算求解即可,體現(xiàn)了向量具有數(shù)形二重性的特點(diǎn).4.已知過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為,則等于()A.10 B.180 C.6 D.6【答案】D【解析】【分析】依據(jù)直線MN的斜率求出a的值,再利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算的值.【詳解】過(guò)點(diǎn),的直線斜率為,

解得,

.

所以D選項(xiàng)是正確的.【點(diǎn)睛】本題考查了直線斜率的公式與應(yīng)用問(wèn)題,也考查了兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.5.設(shè)點(diǎn),,直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交,則的斜率的取值范圍是()A.或 B.C. D.以上都不對(duì)【答案】A【解析】【分析】由題意得,所求直線l的斜率k滿意或,求出即可.【詳解】如圖所示,由題意得,所求直線l的斜率k滿意或,即,或,∴,或,即直線的斜率的取值范圍是或.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6.若光線從點(diǎn)射到y(tǒng)軸上,經(jīng)y軸反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn),則光線從點(diǎn)P到點(diǎn)Q走過(guò)的路程為()A.10 B.5+C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),易知光線從點(diǎn)P到點(diǎn)Q走過(guò)的路程為.【詳解】找到Q點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),

由對(duì)稱性可知P,Q間距離等于間的距離,

求得.所以本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查求點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題和兩點(diǎn)間的距離公式,要求熟記公式,駕馭數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用,屬基礎(chǔ)題.7.直三棱柱ABC—A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,E為BB′的中點(diǎn),異面直線CE與所成角的余弦值是()A. B. C.- D.【答案】D【解析】【分析】以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】直三棱柱中,,,為的中點(diǎn).以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,0,,,2,,,0,,,0,,,2,,,0,,設(shè)異面直線與所成角為,則.異面直線與所成角的余弦值為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn),考查運(yùn)算求解實(shí)力,是基礎(chǔ)題.8.已知直線的傾斜角為,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),,且,直線與直線平行,則()A.-4 B.0 C.-2 D.【答案】C【解析】∵l的斜率為?1,因?yàn)椋缘男甭蕿?,∴.由∥得,,得b=?2,所以,a+b=?2.

故選C.9.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面相互垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(1,1,1) B. C. D.【答案】C【解析】試題分析:設(shè)交于點(diǎn),連結(jié),因?yàn)檎叫闻c矩形所在的平面相互垂直,,點(diǎn)在上,且平面,所以,又,所以是平行四邊形,所以是的中點(diǎn),因?yàn)?,所以,故選C.考點(diǎn):空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo).二、填空題(本大題共8小題,共40.0分)10.已知,,若,且與反向,則________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意可設(shè),且,然后可得出,依據(jù)解出,即可得出的值.【詳解】解:∵,且與反向,∴設(shè),,∴,∴,∵,∴解得,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的共線問(wèn)題,考查運(yùn)算實(shí)力,是基礎(chǔ)題.11.已知,,,若,,共面,則實(shí)數(shù)________.【答案】【解析】【分析】由空間向量的共面定理,列出方程組求出實(shí)數(shù)的值.詳解】解:由,,,且,,共面,所以存在實(shí)數(shù)m,n,使得,即,列方程組,得,解得,;所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量共面定理,考查運(yùn)算實(shí)力,是基礎(chǔ)題.12.若直線的方向向量為.平面的法向量為,則直線與平面的關(guān)系為________.【答案】【解析】【分析】利用向量共線定理、線面垂直的判定定理即可推斷出.【詳解】解:∵,∴,因此.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量共線定理,線面垂直的向量方法,考查運(yùn)算實(shí)力,是基礎(chǔ)題.13.長(zhǎng)方體中,,,那么直線和平面的距離是________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合長(zhǎng)方體,將原距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和平面的距離解決,最終轉(zhuǎn)化為直角三角形斜邊上的高求解即可.【詳解】解:∵直線平面,∴直線和平面的距離即為點(diǎn)和平面的距離.∵面面,在面內(nèi)過(guò)作的垂線,即為面的垂線,也就是直角三角形斜邊上的高d,由面積法得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線面距離求法,屬于基礎(chǔ)題.14.過(guò)點(diǎn)(-2,-3)且在x軸,y軸上的截距相等的直線方程為____________.【答案】或【解析】【分析】分類探討,當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn),即截距都為零,易得直線方程;當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn),由截距式,設(shè)出直線方程,把P點(diǎn)坐標(biāo)代入,能求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn),即截距都為零時(shí),

直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),,

直線方程為,

整理得直線方程為;

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn),依據(jù)截距式,設(shè)直線方程為,

把代入,得,則直線方程為.

故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要仔細(xì)審題,留意分類探討思想的合理運(yùn)用.15.設(shè),是空間兩個(gè)不共線向量,已知,,,且,,三點(diǎn)共線,實(shí)數(shù)________.【答案】1【解析】【分析】由題意可得向量和共線,存在實(shí)數(shù),使,可得關(guān)于k,的方程組,進(jìn)行求解即可.【詳解】解:∵A,B,D三點(diǎn)共線,∴向量和共線,故存在實(shí)數(shù),使,由題意可得,即,故可得,解得,故.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查向量基本定理和共線定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16.已知直線,直線,若,則實(shí)數(shù)的值為_______.【答案】或【解析】【分析】由兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式,進(jìn)而可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】已知直線,直線,若,則,解得或.故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩直線平行求參數(shù),考查計(jì)算實(shí)力,屬于基礎(chǔ)題.17.如圖,在正四棱錐中,,點(diǎn)為的中點(diǎn),.若,則實(shí)數(shù)_____【答案】4【解析】【分析】連結(jié)AC,交BD于O,以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出實(shí)數(shù)λ.【詳解】解:連結(jié)AC,交BD于O,以O(shè)原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=AB=2,則A(,0,0),D(0,,0),P(0,0,),M(,0,),B(0,,0),(0,﹣2,0),設(shè)N(0,b,0),則(0,b,0),∵λ,∴﹣2,∴b,∴N(0,,0),(,,),(,0),∵M(jìn)N⊥AD,∴10,解得實(shí)數(shù)λ=4.故答案為4.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法,考查空間向量、正四棱錐的結(jié)構(gòu)牲等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn),考查運(yùn)算求解實(shí)力,是中檔題.三、解答題(本大題共4小題,共65.0分)18.已知直線與直線的交點(diǎn)為M.(Ⅰ)求過(guò)點(diǎn)M且與直線平行的直線l的方程;(Ⅱ)若直線過(guò)點(diǎn)M,且點(diǎn)到的距離為,求直線的方程.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)聯(lián)立直線方程可求出交點(diǎn),依據(jù)所求直線過(guò)交點(diǎn)且與平行即可求解(Ⅱ)分斜率存在與不存在兩種狀況探討,利用點(diǎn)到直線距離求解即可.【詳解】(Ⅰ)聯(lián)立,解得:.所以與平行的的直線方程為:,整理得:.(Ⅱ)當(dāng)斜率不存在時(shí),不合題意;當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè),即:.由題得:,解得:,;所以,所求直線的方程為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的交點(diǎn),平行直線,點(diǎn)到直線的距離,分類探討,屬于中檔題.19.已知空間三點(diǎn),,,設(shè),.(1)若,,求;(2)若與相互垂直,求;(3)若向量與平行,求.【答案】(1)或;(2)或;(3)或.【解析】【分析】(1)依據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示與共線定理,利用模長(zhǎng)公式,即可求出;(2)利用兩向量垂直數(shù)量積為0,列方程求出k的值;(3)依據(jù)向量共線定理,列出方程求出k的值.【詳解】解:(1)點(diǎn),,,∴,由,設(shè),且,∴,解得,∴或;(2),,若與相互垂直,則,∴,即,化簡(jiǎn)得,解得或;(3)向量,,由向量與平行,則,解得或.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量平行和垂直的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.20.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為,,.(1)求邊和所在直線的方程;(2)求邊上的中線所在直線的方程;(3)求邊上的中垂線的方程.【答案】(1)邊所在直線的方程:,邊所在直線的方程:;(2);(3).【解析】【分析】(1)由于A、C兩點(diǎn)分別在y軸和x軸,由直線方程的截距式列式,化簡(jiǎn)可得所在直線的方程;再由A、B的坐標(biāo),利用直線方程的兩點(diǎn)式列式,化簡(jiǎn)即可得出所在直線的方程.(2)利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式,算出的中點(diǎn)D坐標(biāo)為,利用直線方程的兩點(diǎn)式列式,化簡(jiǎn)即可得出上的中線所在直線的方程.(3)由,得邊上的中垂線的斜率為,的中點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)斜式可求出直線方程.【詳解】解:(1)∵,,∴直線的截距式方程得:,化簡(jiǎn)得.∵,,∴由直線的兩點(diǎn)式方程,得方程為,即,綜上所述,邊所在直線的方程為,邊所在直線的方程為.(2)設(shè)中點(diǎn),由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得,,∴中點(diǎn)D坐標(biāo)為.再由直線的兩點(diǎn)式方程,得所在直線的方程為,化簡(jiǎn)得,即為所求邊上的中線所在的直線的方程.(3)由,得邊上的中垂線的斜率為,又的中點(diǎn)坐標(biāo)為,由點(diǎn)斜式,得邊上的中垂線的方程為,即.【點(diǎn)睛】本題考查直線的方程的求解,直線垂直的斜率關(guān)系,考查運(yùn)算實(shí)力,是基礎(chǔ)題.21.在直四棱柱中,已知,,,為上一點(diǎn),且.(1)求證:平面;(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】【分析】(1)先證明,再利用線面平行的判定即可得證;(2

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