藝術生專用2025版高考數(shù)學總復習第十章概率第3節(jié)幾何概型課時沖關

PAGEPAGE4第3節(jié)幾何概型1．某學生從學校到家的500米路程中要經過一條寬為5米的河，一次回家路上，他不慎將成果單丟失，若丟失在陸地上，就可以找回，若丟失在河里，就無法找回．那么該生能找回成果單的概率為()A．0.99 B．0.9C．0.01 D．0.1解析：A[該生能找回成果單的概率p＝eq\f(500－5,500)＝0.99，故選A.]2．(2024·廣東八校聯(lián)考)在如圖所示的圓形圖案中有12片樹葉，構成樹葉的圓弧均相同且所對的圓心角為eq\f(π,3)，若在圓內隨機取一點，則此點取自樹葉(即圖中陰影部分)的概率是()A．2－eq\f(3\r(3),π) B．4－eq\f(6\r(3),π)C.eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),2π) D.eq\f(2,3)解析：B[設圓的半徑為r，依據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式得陰影部分的面積S＝24eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)πr2－\f(\r(3),4)r2))＝4πr2－6eq\r(3)r2，圓的面積S′＝πr2，所以此點取自樹葉(即圖中陰影部分)的概率為eq\f(S,S′)＝4－eq\f(6\r(3),π)，故選B.]3．在區(qū)間[－6,7]內任取一實數(shù)m，f(x)＝－x2＋mx＋m的圖象與x軸有公共點的概率為()A.eq\f(2,13) B.eq\f(4,13)C.eq\f(7,13) D.eq\f(9,13)解析：D[∵函數(shù)f(x)＝－x2＋mx＋m的圖象與x軸有公共點，∴Δ＝m2＋4m解得m≤－4或m≥0.由幾何概型概率公式可得所求概率為p＝eq\f(－4－－6＋7－0,7－－6)＝eq\f(9,13).故選D.]4．如圖，在一個棱長為2的正方體魚缸內放入一個倒置的無底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內隨機地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內在圓錐外面的魚吃到”的概率是()A．1－eq\f(π,4) B.eq\f(π,12)C.eq\f(π,4) D．1－eq\f(π,12)解析：A[魚缸底面正方形的面積為22＝4，圓錐底面圓的面積為π.所以“魚食能被魚缸內在圓錐外面的魚吃到”的概率是1－eq\f(π,4)，故選A.]5．在一邊長為a的正方形內有一內接圓，現(xiàn)有一名學生向該正方形內投放一粒種子．該粒種子落在圓內的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(π,4)C.eq\f(1,8) D.eq\f(π,8)答案：B6．在區(qū)間[2，a]上隨機取一個數(shù)x，若x≥4的概率是eq\f(2,3)，則實數(shù)a的值為__________.解析：在區(qū)間[2，a]上隨機取一個數(shù)x，則x≥4的概率是eq\f(a－4,a－2)＝eq\f(2,3)，解得a＝8.答案：87．有一個底面半徑為1，高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機抽取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________.解析：圓柱的體積V柱＝πR2h＝2π，半球的體積V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(2,3)π.∴圓柱內一點P到點O的距離小于等于1的概率為eq\f(1,3).∴點P到點O的距離大于1的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，以該菱形的4個頂點為圓心的扇形的半徑都為1.若在菱形內隨機取一點，則該點取自黑色部分的概率是__________.解析：在菱形ABCD中，∵AB＝2，∠ABC＝60°，SABCD＝2×2×sin60°＝2eq\r(3).以A和C為圓心的扇形面積和為2×eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×1＝eq\f(2π,3)以B和D為圓心的扇形面積和為2×eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×1＝eq\f(π,3)∴菱形內空白部分的面積為π則在菱形內隨機取一點，該點取自黑色部分的概率是eq\f(2\r(3)－π,2\r(3))＝eq\f(6－\r(3)π,6).答案：1－eq\f(\r(3),6)π9．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內隨機取點M(1)求四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率；(2)求M落在三棱柱ABC－A1B1C1解：(1)正方體ABCD－A1B1C1D1中，設M－ABCD的高為h，令eq\f(1,3)×S四邊形ABCD×h＝eq\f(1,6)，∵S四邊形ABCD＝1，∴h＝eq\f(1,2).若體積小于eq\f(1,6)，則h<eq\f(1,2)，即點M在正方體的下半部分，∴P＝eq\f(\f(1,2)V正方體,V正方體)＝eq\f(1,2).(2)∵V三棱柱＝eq\f(1,2)×12×1＝eq\f(1,2)，∴所求概率p′＝eq\f(V三棱柱,V正方體)＝eq\f(1,2).10．如圖所示，圓O的方程為x2＋y2＝4.(1)已知點A的坐標為(2,0)，B為圓周上隨意一點，求eq\x\to(AB)的長度小于π的概率；(2)若N(x，y)為圓O內隨意一點，求點N到原點的距離大于eq\r(2)的概率．解：(1)圓O的周長為4π，所以eq\x\to(AB)的長度小于π的概率為eq