人教A版高中數學（必修第一冊）同步講義 第四章 指數函數與對數函數 章末重點題型大總結（教師版）

第第頁第四章指數函數與對數函數章末題型大總結一、思維導圖二、題型精講題型01有關指數、對數的運算【典例1】（2023春·四川雅安·高二統考期末）計算：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例2】（2022秋·四川成都·高一石室中學?？计谥校┣笙铝懈魇降闹担?1)計算：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【變式1】（2023春·吉林長春·高二長春外國語學校?？计谀?）已知SKIPIF1<0，求實數SKIPIF1<0的值；（2）SKIPIF1<0【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）計算(1)SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)2【詳解】（1）SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=2題型02數的大小比較問題【典例1】（2023春·貴州六盤水·高一統考期末）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關系（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由對數函數的性質，可得SKIPIF1<0，又由指數函數的性質，可得SKIPIF1<0，由冪函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0為單調遞增函數，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：D.【典例2】（2021秋·廣東汕尾·高一海豐縣海城仁榮中學?？茧A段練習）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0.故選：C.【變式1】（2023春·廣西北?！じ叨y考期末）設SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】SKIPIF1<0故選：A.【變式2】（2023春·河南安陽·高二統考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故選:C.題型03定義域問題【典例1】（云南省紅河哈尼族彝族自治州2022-2023學年高一下學期期末學業(yè)質量監(jiān)測數學試題）函數SKIPIF1<0的定義域為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由題得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故選：A.【典例2】（2023春·重慶永川·高一重慶市永川北山中學校?？奸_學考試）已知函數SKIPIF1<0是定義在R上的增函數，則實數a的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【詳解】∵函數SKIPIF1<0在R上單調遞增，∴SKIPIF1<0，即實數a的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【變式1】（2023春·北京順義·高二牛欄山一中?？计谀┖瘮礢KIPIF1<0的定義域為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）函數SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，則實數m的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由函數SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，成立；當SKIPIF1<0時，需滿足SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0．綜上所述，m的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.題型04值域問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例2】（2023春·陜西榆林·高一統考期末）已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)判斷函數SKIPIF1<0的奇偶性并予以證明；(2)若存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立，求實數SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)偶函數，證明見解析(2)1【詳解】（1）函數SKIPIF1<0為偶函數，證明如下：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，關于原點對稱，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶函數.（2）若存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減，SKIPIF1<0函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0實數SKIPIF1<0的最大值為1.【典例3】（2023春·江蘇揚州·高一統考開學考試）已知函數SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求實數a的值，并用單調性定義證明SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增；(2)若當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，求實數m的值．【答案】(1)a＝1，證明見解析(2)2【詳解】（1）由SKIPIF1<0得a＝1．任取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增．（2）由（1）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得m＝2或SKIPIF1<0（舍去），所以m＝2．【典例4】（2023春·河南焦作·高一統考期末）已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上存在零點，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若a＞1，且對任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求a的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0．【詳解】（1）函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調遞減，則由零點存在定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．（2）若對任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．因為a＞1，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞減，SKIPIF1<0單調遞增，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．當1＜a＜2時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不符合條件，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，符合條件，所以a的取值范圍是SKIPIF1<0．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，所以SKIPIF1<0，因為對SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【變式2】（2023秋·云南紅河·高一統考期末）已知函數SKIPIF1<0.(1)當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的解集；(2)求函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最小值SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）當SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.（2）易知SKIPIF1<0的對稱軸為SKIPIF1<0，則①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，則SKIPIF1<0.②當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，則SKIPIF1<0③當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，則SKIPIF1<0綜上SKIPIF1<0.【變式3】（2023春·河南新鄉(xiāng)·高一統考期末）已知函數SKIPIF1<0．(1)求不等式SKIPIF1<0的解集；(2)若不等式SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）令SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在定義域SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0在定義域SKIPIF1<0上單調遞減，所以SKIPIF1<0在定義域SKIPIF1<0上單調遞增，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，即不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，可得SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號，所以SKIPIF1<0，即實數SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.【變式4】（2023春·新疆昌吉·高二統考期末）已知SKIPIF1<0（實數b為常數）．(1)當SKIPIF1<0時，求函數SKIPIF1<0的定義域D；(2)若不等式SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時恒成立，求實數b的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為單調遞增函數，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即b的取值范圍為SKIPIF1<0．題型05指數（型）函數的圖象與性質【典例1】（2023秋·廣西河池·高一統考期末）已知函數SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】作出SKIPIF1<0的圖象，如圖所示：

由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故選：D．【典例2】（2023春·陜西寶雞·高二統考期末）已知函數SKIPIF1<0.(1)試判斷函數的單調性，并加以證明；(2)若關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，求實數SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)在SKIPIF1<0上單調遞增，證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，證明如下：任取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增.（2）由（1）可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的值域為SKIPIF1<0，所以m的取值范圍是SKIPIF1<0.【典例3】（2023春·福建·高二統考學業(yè)考試）函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求函數SKIPIF1<0的定義域；(2)若SKIPIF1<0為奇函數，求m的值；(3)當SKIPIF1<0時，不等SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，求k的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）依題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0.（2）若SKIPIF1<0為奇函數，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,所以不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0取等，所以SKIPIF1<0.故k的取值范圍為SKIPIF1<0.【變式1】（多選）（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知函數SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【詳解】由圖象可知，函數SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）在SKIPIF1<0上單調遞增，則SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.對于A選項，SKIPIF1<0，A對；對于B選項，SKIPIF1<0，B對；對于C選項，SKIPIF1<0，C錯；對于D選項，由題意可知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，D對.故選：ABD.【變式2】（2023春·湖北荊州·高一校聯考期中）已知函數SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0時，此時值域也是SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0為奇函數，并求不等式SKIPIF1<0的解集.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)證明見解析，SKIPIF1<0【詳解】（1）當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0單調遞減，且SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，根據復合函數的單調性可知，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0單調遞增，且SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，根據復合函數的單調性可知，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.綜上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，定義域為SKIPIF1<0，且函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增.因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為奇函數.則不等式SKIPIF1<0，可化為SKIPIF1<0.又函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.【變式3】（2023春·江蘇南京·高二統考期末）已知函數SKIPIF1<0.(1)當SKIPIF1<0時，解不等式SKIPIF1<0；(2)當SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立時，求整數SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)4【詳解】（1）當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0（2）因為SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,所以整數SKIPIF1<0的最小值為4.題型06對數（型）函數的圖象與性質【典例1】（2023春·湖北荊門·高二統考期末）設函數SKIPIF1<0在定義域SKIPIF1<0上滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數，且SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的奇函數，且SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.故選:D.【典例2】（2023春·陜西寶雞·高一統考期末）已知函數SKIPIF1<0的最小值為0，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【詳解】函數SKIPIF1<0最小值為0，設SKIPIF1<0，所以只要滿足SKIPIF1<0恒成立，函數對稱軸為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，滿足題意；②SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，需滿足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，此時實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.綜上，實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.【典例3】（2023春·浙江麗水·高二統考期末）已知函數SKIPIF1<0是偶函數．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若實數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】（1）由已知可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0是偶函數，所以SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據對勾函數的單調性可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增.又SKIPIF1<0單調遞增，根據復合函數的單調性可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增.又函數SKIPIF1<0單調遞增，根據復合函數的單調性可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增.又因為函數SKIPIF1<0為偶函數，所以有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以，由SKIPIF1<0即可得出SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.平方整理可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【典例4】（2023秋·重慶長壽·高一統考期末）已知函數SKIPIF1<0為奇函數.(1)求實數SKIPIF1<0的值，判斷函數SKIPIF1<0的單調性并用定義證明；(2)求關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集.【答案】(1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數，證明見解析(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【詳解】（1）解：因為SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0是奇函數，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數，證明如下：任取SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為增函數，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數.（2）解：由（1）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數，且SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0，即為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以不等式的解集為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【變式1】（2023春·廣西北海·高二統考期末）設SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，根據基本不等式有SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式2】（2023春·山東日照·高二統考期末）已知函數SKIPIF1<0是偶函數．(1)求k的值；(2)若方程SKIPIF1<0有解，求實數m的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由已知可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0為R上的偶函數，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，經檢驗，SKIPIF1<0滿足題意，故SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為方程SKIPIF1<0有解，即SKIPIF1<0有解，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【變式3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數SKIPIF1<0為定義在SKIPIF1<0上的偶函數，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的圖象過點SKIPIF1<0．(1)求a的值：(2)求SKIPIF1<0的解析式；(3)求不等式SKIPIF1<0的解集．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）解：因為當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的圖象過點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（2）設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．

因為SKIPIF1<0為定義在SKIPIF1<0上的偶函數，則SKIPIF1<0．

綜上所述，SKIPIF1<0（3）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0

解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．

故不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0．題型07函數與方程【典例1】（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高級中學校考期末）已知函數SKIPIF1<0，則函數SKIPIF1<0的零點的個數是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【詳解】令SKIPIF1<0．①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，由于SKIPIF1<0，由零點存在定理可知，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．作出函數SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象如下圖所示：

由圖象可知，直線SKIPIF1<0與函數SKIPIF1<0的圖象有三個交點；直線SKIPIF1<0與函數SKIPIF1<0的圖象有兩個交點；直線SKIPIF1<0與函數SKIPIF1<0的圖象有且只有一個交點．綜上所述，函數SKIPIF1<0的零點個數為SKIPIF1<0．故選：D．【典例2】（多選）（2023春·陜西西安·高一西安市鐵一中學?？计谀┮阎瘮礢KIPIF1<0，若函數SKIPIF1<0有三個零點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則下列結論正確的是（

）A．m的取值范圍為SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0最大值為1【答案】AC【詳解】函數SKIPIF1<0圖象如圖所示：

由圖可得SKIPIF1<0，A正確；當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，B錯誤；又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0，C正確又SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故等號不成立,即SKIPIF1<0，D錯誤,故選：AC.【典例3】（2023春·山東煙臺·高二統考期末）已知函數SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0有兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因為方程SKIPIF1<0有兩個不相等的實數根，如圖，

所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時方程SKIPIF1<0有1個解，如圖，

當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0有1個解需滿足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.綜上所述，實數a的取值范圍為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】（多選）（2023春·山東德州·高二統考期末）已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0是偶函數，則SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的單調減區(qū)間是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0有兩個零點【答案】ABD【詳解】對于A，若SKIPIF1<0是偶函數，定義域為SKIPIF1<0，對于任意的SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A正確，對于B,SKIPIF1<0由SKIPIF1<0復合而成，由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減，開口向上的二次函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增，所以由復合函數單調性的判斷可知SKIPIF1<0的單調減區(qū)間是SKIPIF1<0，B正確，對于C，由B可知，SKIPIF1<0的單調減區(qū)間是SKIPIF1<0，單調增區(qū)間為SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最大值，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0值域為SKIPIF1<0，故C錯誤，對于D，由C可知SKIPIF1<0值域為SKIPIF1<0，如圖：當SKIPIF1<0時，此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有兩個交點，故D正確，

故選：ABD【變式2】（2023秋·云南紅河·高一統考期末）已知函數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.函數SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)，若函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恰有20個零點，則實數SKIPIF1<0的取值范圍為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恰有20個零點，則函數SKIPIF1<0圖象與函數SKIPIF1<0圖象在區(qū)間SKIPIF1<0上有20個交點，由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0是周期為2的函數，作函數SKIPIF1<0與函數SKIPIF1<0的部分圖象如下：

易知當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0圖象與函數SKIPIF1<0圖象有17個交點，故在SKIPIF1<0上有3個交點，顯然SKIPIF1<0不滿足題意，所以則需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【變式3】（2023秋·山西運城·高一統考期末）已知函數SKIPIF1<0.(1)若函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求函數SKIPIF1<0的最小值；(2)設SKIPIF1<0，若函數SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖象有SKIPIF1<0個公共點，求實數SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）解：因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則二次函數SKIPIF1<0的對稱軸方程為SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，即當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，即當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.綜上：SKIPIF1<0.（2）解：SKIPIF1<0，因為函數SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖象有SKIPIF1<0個公共點，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因為函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，所以方程SKIPIF1<0有兩個不等的正根，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，實數SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.題型08函數模型及其應用【典例1】（2023春·湖南長沙·高一湖南師大附中?？计谀┠辰虒W軟件在剛發(fā)布時有100名教師用戶，發(fā)布5天后有1000名教師用戶，如果教師用戶人數SKIPIF1<0與天數t之間滿足關系式：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為常數，SKIPIF1<0是剛發(fā)布的時間，則教師用戶超過30000名至少經過的天數為（

）（參考數據：SKIPIF1<0）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【詳解】由題意得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以教師用戶超過20000名至少經過SK