與三角形相關(guān)的壓軸題-三年（2019-2021）中考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（解析版）

專題22與三角形相關(guān)的壓軸題

一、選填題

1.（2021?山東淄博市?中考真題）如圖，在RhABC中，NACB=90°,CE是斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)￡作

石尸交AC于點(diǎn)若8C=4,△AM的面積為5,貝Usin/CEF的值為（）

C

A.-B.—C.-D.—

5555

【答案】A

【分析】由題意易得△人￡/設(shè)CE=5E=AE=X,則有A8=2X,則有=記，

］（）4J4f-16

EF=—,然后可得而=一"一—，過(guò)點(diǎn)C作CHLAB于點(diǎn)H,進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理可求解

x—

x

問(wèn)題.

【詳解】解：；，NACB=9（）°,

二ZAEF=ZACB=90°,：.^AEF^ACB，

CE是斜邊AB上的中線，，CE=BE=AE=-AB,

2

設(shè)CE=5E=AE=x,則有AB=2x,

3C=4,由勾股定理可得AC=y/AB2-BC2=J4f-16，

?..△4所的面積為5,；.￡7;'=此，

X

BCAC4_44廠-16

42

^,AEF^^ACB,/.=——,即10x,化簡(jiǎn)得：x—25x+100=0?

EFAE—

x

解得：丁=5或元2=20,當(dāng)f=5時(shí)，貝I4c=2,與題意矛盾，舍去；

??,當(dāng)％2=2。時(shí)，即工=2石，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)從如圖所示：

c

AB=4逐,AC=8,CE=2非，EF//CH,：.ZCEF=ZECH.sinZB=—=—

AB5

???CH=BCsinZB=--HE=^CE2-CH2=—.

55

HE3

AsinZC￡F=sinZECH=—=-；故選A.

CE5

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)、相似三角形

的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?湖北鄂州市?中考真題）如圖，中，NACB=90°,AC=2日8C=3.點(diǎn)P為八48c

內(nèi)一點(diǎn)，且滿足Ef+.當(dāng)月?的長(zhǎng)度最小時(shí)，AACP的面積是（）

A.3B.36C.D.-

42

【答案】D

【分析】由題意知NAPC=90。，又AC長(zhǎng)度一定，則點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AC中點(diǎn)。為圓心，-ACK

2

為半徑的圓弧，所以當(dāng)8、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短；在汝公夕?。中，利用勾股定理可求8。的長(zhǎng)，井

得到點(diǎn)P是80的中點(diǎn)，由線段長(zhǎng)度即可得到APCO是等邊三角形，利用特殊Rt^APC三邊關(guān)系即可求解.

【詳解】解：?.?242+尸。2...ZAPC=90°

取AC中點(diǎn)。，并以。為圓心，LAC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓

2

由題意知：當(dāng)8、尸、。三點(diǎn)共線時(shí)，最短.\AO=PO=CO

??.CO=；4c=gX="3C=3...BO=VfiC2+CO2=2G

BP=BO-PO=道???點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)

???在Rt\BCO中，CP=、B0=6=P0：.^PCO是等邊三角形，ZACP=60°

2

在Rt\APC中，AP=CPxtan60°=3SMPC=<APxCP==亭.

【點(diǎn)睛】本題主要考察動(dòng)點(diǎn)的線段最值問(wèn)題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和隱形圓問(wèn)題，屬于動(dòng)態(tài)幾何綜合題型，

中檔難度.解題的關(guān)鍵是找到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，即隱形圓.

3.（2021?遼寧中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如果AABC

是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)尸是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足NAPB=NBPC=NCR4=120°.（例

如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）.若AB=AC=幣,BC=28，尸為AAbC的費(fèi)馬點(diǎn)，則

PA+PB+PC=；若A6=2G,3C=2,AC=4,P為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則以+P5+PC=

【答案】52不

【分析】①作出圖形，過(guò)B,C分別作ND5P=NZ）CP=300,勾股定理解直角三角形即可

②作出圖形，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，P為AMC的費(fèi)馬點(diǎn)則B,P,P',C'四點(diǎn)共線，即

PA+PB+PC=BC'，再用勾股定理求得即可

【詳解】①如圖，過(guò)A作AOLBC,垂足為ZX

過(guò)氏C分別作NDBP=ZDCP=30°,則PB=PC,P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)

A

AD=^AB2-BD2=V7^3=2PA+PB+PC=5

②如圖：

???AB=2>j3,BC=2,AC=4..-.AB2+BC2=\6,BC2=16

AB2+BC2=AC2ZABC=90°

sinABAC=—=-=sin30°ABAC=30°

AC2

將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°由旋轉(zhuǎn)可得：/XAPC^AAP'C

AP'=AP,PC=P'C,AC=ACZCAC'=NPAP=60°

.?.△AP尸是等邊三角形，，NB4C'=90°

???P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)即B,P,P',C四點(diǎn)共線時(shí)候，PA+PB+PC=BC

PA+PB+PC=BP+PP+PC=BC'=AB'+AC2=7（273）2+42=2近

故答案為：①5,②2幣

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的

關(guān)鍵.本題旋轉(zhuǎn)△PAB,aPBC也可，但必須繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn).

4.（2021?山東棗莊市?中考真題）如圖，NBOD=45°,30=00,點(diǎn)A在OB上，四邊形ABCD是矩

形，連接AC,BD交于點(diǎn)、E，連接OE交AD于點(diǎn)廠.下列4個(gè)判斷：①OELBD；②NAOB=30°；

③DF=OAF；④若點(diǎn)G是線段OF的中點(diǎn)，則△AEG為等腰直角三角形，其中，判斷正確的是

.（填序號(hào)）

DC

AB

【答案】①③④

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得BE=上，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可判斷①；先根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)可得NODB=NOBD=67.5°，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得NOR4=45°,然后根據(jù)角

的和差即可判斷②；先證WAAOFM&4Z）3,從而可得"=AB，再設(shè)Q4=AD=2a（a>0）,從而可

得Af=（2血一2）a,OF=（4—2&）a,由此即可判斷③；先證出AAOGM△ADE，從而可得

AG=AE,NQ4G=/DAE,再根據(jù)等腰三角形的定義可得△AEG為等腰三角形，然后根據(jù)角的和差可

得ZE4G=90°,由此即可得判斷④.

【詳解】解：?.?四邊形ABC。是矩形，，AO，A8,8E=DE=LB。，

2

'：BO=DO,：.OE±BD（等腰三角形的三線合一），則①正確；

BO=DO,ZBOD=45°，,ZODB=ZOBD=1（180°-NBOD）=67.5°,

又?.?ADL4B，.?.?△OD4是等腰直角三角形，

:.ZODA=45°,OA=AD,ZADB^ZODB-ZODA^67.5°-45°^22.5°,則②錯(cuò)誤；

?.?BO=0O,8E=r>E,.?.NAOE22.5°=NAQ8（等腰三角形的三線合-），

2

ZAOF=ZADB

在“OF和ZVIDB中，<OA=OA,

ZOAF=NDAB=90°

:.^AOF=^ADB(ASA),,-,AF=AB，

設(shè)OA=4。=2a(a>0),?緲=OD=《O#+3=2缶,

AF=AB=OB—OA=2>/2a—2a=(2>/2—2)。?

DF=AD-AF^2a-(2^-2)a=(4-272)?,

???與=(，—產(chǎn)皿=V2,DF=OAF，則③正確；

AF(2V2-2)a

?/^AOF=^ADB,/.OF=BD，

???點(diǎn)G是線段O尸的中點(diǎn)，.?.OG='OE=L60=OE,

22

OA=DA

在AAOG和△?1￡)￡中，\^AOG=ZADE,:.^AOG=^ADE(SAS),

OG=DE

AG=AE,ZOAG=NDAE,,.^AEG為等腰三角形，

?.?NQ4G+NDAG=ZOAD=90°,/.ZDAE+ZDAG=90°,即NEAG=90°,

.?.△AEG為等腰直角三角形，則④正確；綜上，判斷正確的是①③④，故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理等知

識(shí)點(diǎn)，較難的是④，正確找出兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵.

5.（2021?內(nèi)蒙古呼和浩特市?中考真題）已知菱形ABCD的面積為2百，點(diǎn)E是一邊8C上的中點(diǎn)，點(diǎn)尸

是對(duì)角線3。上的動(dòng)點(diǎn).連接AE，若AE平分N&4C,則線段PE與PC的和的最小值為,最

大值為.

【答案】百2+V7

【分析】先作出圖形，根據(jù)E是8c的中點(diǎn)，AE平分NR4c可知AC=A5,根據(jù)將軍飲馬知識(shí)即可求出

最小值，當(dāng)P與點(diǎn)。重合時(shí)求出最大值.

【詳解】如圖，連接PC,：E是BC的中點(diǎn)，AE平分NBACBE=EC,NCAE=NBAE

設(shè)點(diǎn)E到43、AC的距離為點(diǎn)A到8c的距離為c

???4E平分㈤=b（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）

AQrArc

SMEC=A5xa=BEXC,S^-ACxb=ECxc-

ECBEaECb

???a=b,BE=CE；.AB=AC--△ABC是等腰三角形

?/￡是3c的中點(diǎn),AE平分4c.?.AE_L3C（三線合一）

又?.?西邊形ABC￡>是菱形AB=6C，△A3C是等邊三角形

己知菱形ABCD的面枳為2G設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a（a>0）

則AE='。2一（^）2=手4...s=BCxAE.--26=ax孚a解得：a=2:.AE=&

?.?A、。關(guān)于BO對(duì)稱PE+PC=PE+A4?AE=g則PE+PC最小值為：73

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)PE+PC最大過(guò)E作垂足為H

???四邊形A8CO是菱形.?.EH〃OC

???E是BC的中點(diǎn),??.￡H=LOC=，AC=L.OH=-OB=—

24222

.\DH=DO+OH=->/3

2

在RtADHE中OE=^DH2+HE2^(|V3)2+(1)2=出

則DE+OC=2+，7PE+PC最大為：2+J7

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三線合一，勾股定理，線段和最值問(wèn)題，由于題目沒(méi)

有給圖形，能夠根據(jù)題中信息正確的作出圖形，并判斷出AABC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

6.(2021?河南中考真題)小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1,在Rtz^ABC中，ZACB^90°，

N8=30。，AC=1.第一步，在A3邊上找一點(diǎn)。，將紙片沿CO折疊，點(diǎn)A落在A'處，如圖2,第二

步，將紙片沿C4'折疊，點(diǎn)。落在次處，如圖3.當(dāng)點(diǎn)次恰好在原直角三角形紙片的邊上時(shí)，線段AD的

長(zhǎng)為.

圖1

【答案】g或2—6

【分析】因?yàn)辄c(diǎn)M恰好在原直角三角形紙片的邊上，所以分為當(dāng)I落在AB邊上和8c邊上兩種情況分析,

勾股定理求解即可.

【詳解】解：當(dāng)以落在AB邊上時(shí)，如圖(1)：設(shè)。。'交于點(diǎn)E，

由折疊知：ZEA'D=ZA=mo.AD=AD=A!D'.DiyLAE.A'CAC

?.?ZACB=90°,ZB=30。，AC=1A8=2,BC=百

設(shè)AD=x，則在中，A'E=-x在RhECB中,EC=-BC=—

222

?.?AC=AC;.L+立=1即X=2-G

22

B

B

當(dāng)〃落在3c邊上時(shí)，如圖（2）因?yàn)檎郫B，ZACD=ZAfCD=ZA,CD,=30°,

A'D'=-A'C=-A'B,A'C=A'B=AC=\.\AD=A'D'=

222

故答案為：—或2—

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱變換，勾股定理，直角三角形中30。的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?四川達(dá)州市?中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊A4BC中，點(diǎn)E,尸分別是邊AC,8c上的

動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF,連接BE,AE交于點(diǎn)P，連接CP,則CP的最小值為.

【答案】273.

【分析】首先證明NAPB=120。，推出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，OA為半徑的弧.連接C。交?0

于尸'，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P'時(shí)，CP取到最小值.

【詳解】如圖所示，：邊長(zhǎng)為6的等邊△A8C,

AC^AB=6，ZACB=ZCAB=60°

乂：AE=CF△ACF^ABAE（5?IS）；.ZCAP^ZPBA

：.ZEPA=/PBA+ZPAB=ZCAP+ZPAB=ZCAB=60。

ZAPB=120。；.點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，04為半徑的弧此時(shí)ZAOB=\2Q°

連接CO交。。丁P，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到尸時(shí)，CP取到最小值

yCA=CB.CO=CO.OA^OB：.△ACO=^BCO{SSS）

：.ZACO=ZBCO=30°,ZAOC=ZBOC=60°；.ZCAO=ZCBO=90°

73廠OC=AB.=二=4百

又???AC=6O尸=OA=ABtan30°=6xJ=2V5，cos30°百

3T

:.CP'=OC-OP'=4曲-26=2百即CRin=2百故答案為：2百

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓、特殊角的三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí).關(guān)

鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，該題綜合性較強(qiáng).

8.（2020?黑龍江牡丹江市?中考真題）如圖，在RMABC中，CA^CB,M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在上，

AE1CD,BFLCD,垂足分別為E,F,連接.則下列結(jié)論中：①BF=CE；②ZAEM=ZDEM；

③AE-CE=6ME；?DE2+DF2^2DM2^⑤若AE平分NS4C，則EF:BE=V^:1；@

CF?DM=BM?DE,正確的有.（只填序號(hào)）

B

【答案】①②③④⑤⑥

【分析】證明ABCFWz^CAE,得至|JBF=CE,可判斷①；再證明△BFMgZ\CEM,從而判斷AEMF為等腰

直角三角形，得至I」EF=J^EM,可判斷③，同時(shí)得至l」NMEF=/MFE=45°,可判斷②；再證明△DFM^4

NEM,得到ADMN為等腰直角三角形，得到DN=J^DM,可判斷④；根據(jù)角平分線的定義可逐步推斷出

DE=EM,再證明△ADEWZVKCE,得到DE=CE,則有空=空=空=也也=正，從而判斷⑤：最

BFCEDEDE

后證明ACDMsADE,得到色■=3”結(jié)合BM=CM,AE=CF,可判斷⑥.

AEDE

【詳解】解：VZACB=90°,ZBCF+ZACE=90°,VZBCF+ZCBF=90°,AZACE=ZCBF,

XVZBFD=90°=ZAEC,AC=BC,/.△BCF^ACAE(AAS),，BF=CE,故①正確；

由全等可得：AE=CF,BF=CE,；.AE-CE=CF=CE=EF,連接FM,CM,

?點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，；.CM=LAB=BM=AM,CM1AB,

2

在ABDF和RDM中，ZBFD=ZCMD,ZBDF=ZCDM,

，/DBF=NDCM,又BM=CM,BF=CE,；.△BFM也△CEM,；.FM=EM,ZBMF=ZCME,

VZBMC=90°,；./EMF=90。，即aEMF為等腰直角三角形，:.EF=OEM=AE-CE，故③正確，

NMEF=NMFE=45。，：NAEC=90。，；.NMEF=NAEM=45。，故②正確，設(shè)AE與CM交于點(diǎn)N,連接DN,

VZDMF=ZNME,FM=EM,ZDFM=ZDEM=ZAEM=45°,AADFM^ANEM,，DF=EN,DM=MN,

.?.△DMN為等腰直角三角形，；.DN=&DM,而/DEA=90。，

/?DE2+DF2=DN2=2DM2,故④正確；VAC=BC,ZACB=90°,，NCAB=45。,

TAE平分NBAC,AZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5°,VZDEM=45°,AZEMD=67.5°,即DE=EM,

VAE=AE,ZAED=ZAEC,ZDAE=ZCAE,「?△ADEg/XACE,ADE=CE,

???△MEF為等腰直角三角形，.?.EF=&EM，：.—=—=—=^EM=42,故⑤正確;

BFCEDEDE

：NCDM=NADE,ZCMD=ZAED=90°,/.△CDM^ADE,二——=----=-----,

ADAEDE

：BM=CM,AE=CF,：.也,：.CF-DM=BM-DE，故⑥正確；故答案為：①②③④⑤⑥.

CFDE

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，

等量代換，難度較大，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，找到全等三角形說(shuō)明角相等和線段相等.

4

9.（2021?湖南中考真題）如圖，在6c中，AB=5,AC=4,sinA=《，3。_LAC交AC于點(diǎn)。.點(diǎn)

P為線段BO上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+^PB的最小值為.

【答案】y

3

（分析］過(guò)點(diǎn)P作PH1AB于點(diǎn)H,由題意易得875=4,則有AD=3,然后可得PH=-PB,進(jìn)而可得

33

PC+=PB即為PC+PH,若使PC+二PB的值為最小，也就相當(dāng)于PC+PH為最小，則有當(dāng)點(diǎn)C、P、

55

H三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PH的值為最小，最后問(wèn)題可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)H,如圖所示:

_________.3

,■AD-yAB2—BD2=3，?,sinNABD=—,

33

PH=PB-sinZABD=-PB,PC+-PB=PC+PH，

55

3

若使PC+《P8的值為最小，也就相當(dāng)于尸C+P”為最小，

當(dāng)點(diǎn)C、P、，三點(diǎn)共線時(shí)，PC+P”的值為最小，如圖所示：

416

VAC=4,AC/7=AC-sinA=4x-=—,

55

PC+3PB的最小值為收；故答案為3.

555

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用"胡不歸’'模型找到最小值的情況，然后進(jìn)行

求解即可.

10.（2021?湖北鄂州市?中考真題）如圖，四邊形A5DC中，AC=BC,ZACB=90°,AD_L80于點(diǎn)。.若

【答案】2而

【分析】設(shè)A。、BC交于點(diǎn)F,過(guò)C作CE_LAD，用求出C尸、BF,即求出8c的

長(zhǎng)，又因?yàn)锳C=3C，NACB=90。從而求得AS.

【詳解】如圖，設(shè)AD、BC交于點(diǎn)F,過(guò)C作CELAD，

、、、、

?、

*\\

/、

、

a

C

4cB=90。AD1BD.-.A、B、a。在以AB為直徑的圓上

?.?AC=BC，ZACB=90。?.，^ABC=45。...Ac=AC/.ZADC=ZABC=45°

CD=472:.CE=ED=4?:AD上BD，CE1AD..BD//CE

“DFB2二=：」^」二。八2EF上

/\CEFsAABDF-

在Rt^CEF和RNBDF中CF=A/CE2+EF2=產(chǎn)+于=羊

BF=yjDF2+BD-=^(1)2+22=/.BC=：CF+BF=^^+^1=2713

33

AC=BC.ZACB=90°AB=25/26

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的直徑所對(duì)的圓周角為90°,同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的判定與性質(zhì),

勾股定理，本題能找到ZADC=ZABC=45°是解題的關(guān)鍵.

11.（2021?江蘇宿遷市?中考真題）如圖，在“BC中，AB=4,BC=5,點(diǎn)D、尸分別在BC、AC上，CD=2BD,

CF^2AF,BE交4。于點(diǎn)F,則AAFE面積的最大值是________.

A

D

4

【答案】一

3

【分析】連接DF,先根據(jù)相似三角形判定與性質(zhì)證明一=一，得到工詆=士5加",進(jìn)而根據(jù)CD=2BD,

AE35

CF^2AF,得到S^AEF=—S^ABCM^ABC中,A6=4,8c=5,得到當(dāng)4B_LBC時(shí)，A48C面積最大，即

可求出AAFE面積的最大值.

_CFCD2

【詳解】解：如圖，連接。凡?.,8=28，CF—2AF,??----------——,

CACB3

DFCD2

?：ZC=ZC,:.△CDFsA/\CBA,：.——=——=一、NCFD=NCAB,

BACG3

““DFDE2.3

：.DF//BA,:.△DFEs/^ABE,：.——=——=二§，??S&AEF——S"0萬(wàn),

ABAE

CF=2AF,S^ADF=—SAADCS^AEF=-i'△AOC、

22

CD-2BD,S^=—5S&AEF=p

ADCAAec)

?r△ABC中，AB=4,BC=5,.*.當(dāng)AB_L8c時(shí)，△A8C面積最大，為4x5=10,

2

244

此時(shí)△人「￡面積最大為10x—=—.故答案為：

153

A

DR2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定得到一=—,理解等高三角

AE3

形的面積比等于底的比是解題關(guān)鍵.

二.解答題

1.（2021?四川資陽(yáng)市?中考真題）已知1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.

E

AA

圖-D圖3

圖1

(1)如圖1,已知點(diǎn)。在3C邊上，ZDAE^90°,AD^AE,連結(jié)CE.試探究BD與CE的關(guān)系；

(2)如圖2,已知點(diǎn)。在下方，ZDAE=90°,AD=AE,連結(jié)CE.若B￡>，AD,AB=2710-

CE=2,AD交于點(diǎn)尸，求AE的長(zhǎng)；

(3)如圖3,已知點(diǎn)。在8c下方，連結(jié)A。、BD、CD.若NC8D=30°,Z5AD>15°,AB2=6,

A￡>2=4+6，求sinNBC。的值.

【答案】(1)BD=CE,理由見(jiàn)詳解；(2)A尸=5；(3)sinZBCD=—

14

【分析】

(1)由題意易得NRM>=NC4E,則易證△ABD也AACE,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解；

(2)過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)”，由題意易得AH=BH=2亞，^ABD^AACE,然后可得BD=CE=2,

進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得AO=6,設(shè)。f=x,則AE=6—x,易得ABDFSAAHF，則有

"="=9=巨所以BF=^(6-x),HF=^x，最后問(wèn)題可求解；

AFHFAH55''

(3)將△"￡>繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到"CG,過(guò)點(diǎn)A作APL8C于點(diǎn)P,作OTL8C于點(diǎn)T,分別過(guò)點(diǎn)

G作GMLBC,GN_LAP,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,交AP于點(diǎn)、N,由題意易得NABC=NACB=45°,

=2百，則有ZABD=ZACG=75°,BD=CG,AD=AG,然后可得NP=GM,NG=PM、設(shè)

CM=x,NP=GM=瓜,NG=PM=&x,AN=超-瓜,進(jìn)而根據(jù)勾股定理可求解x的值，然

后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解.

【詳解】

解：(1)BD=CE,理由如下：

ABAC=90°,NDAE=90°,

/.ZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC=90°，

NBAD=NCAE,

,:AB=AC,AD=AE,

?*-BD=CE；

(2)過(guò)點(diǎn)A作。于點(diǎn)H,如圖所示：

A

,E

B

7HC

D圖2

???ABAC=90°,AB=AC,

.?.△BAC是等腰直角三角形，

???A8=2面，

???AH=BH=2后，

ZDAE=90。,

ZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC=90°,

/.ZBAD^ZCAE,

AD^AE，

：./\ABD^/\ACE{SAS),

CE=2,

：.BD=CE=2,

?:BD±AD，

AD=\lAB2-BD2=6，

ZADB=ZAHF=90°,/DFB=NHFA,

/.ABDFS^AHF，

設(shè)OF=x,則AF=6—x，

.BFDFBD_2后

BF=~(6~x),HF=y/5x，

BH=BF+HF=^(6—x)+&=2y/i，

解得：x=\,

二4尸=5；

(3)將"BD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AACG,過(guò)點(diǎn)A作APL8C于點(diǎn)P,作QT1.BC于點(diǎn)T,分別過(guò)點(diǎn)

G作GMLBC,GN±AP,交BC的延長(zhǎng)線丁點(diǎn)M,交.AP于點(diǎn)、N,如圖所示：

VZBAC=90°,AB=AC,AB2=6-

...△8AC是等腰直角三角形，

二ZABC=ZAC3=45。，BC=2。

，AP=CP=B

'：ZCBD=3Q0,

二ZABD^75°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AABDgA4CG，

二ZABD=ZACG=75°,BD=CG,AD=AG,

：.ZBCG=ZACB+ZACG=120。，

/.NGCM=60°，

VGM1BC,GNLAP,APLBC,

二四邊形GMPN是矩形，

NP=GM,NG=PM,

設(shè)CM=x,NP=GM=氐,

：.NG=PM=PC+CM=&x,AN=AP—NP=#>—KX,

在RmANG中，AN2+NG2=AG2=AD2-

AD2=4+73，

化簡(jiǎn)得：4x~-（6-2>/5）x+2-yjs-0,

解得：x=—,x=-——

122-2

ABAD>15°,

.?.當(dāng)x=2z立時(shí)，易知與NB4D>150相矛盾,

2

1

?.x——,

2

二BD=CG=l,

DT=-BD=-,BT=y/3DT=—<

222

-"-TC=BC-BT=^，

2

二在RmDTC中，DC=yjDT2+TC2=J7，

DT，萬(wàn)=S.

AsinZBCD

Be-77--L4

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)、

相似三角形的性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

3

2.（2021?浙江金華市?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-/萬(wàn),（）），點(diǎn)B在直線/：y=6%上，

O

過(guò)點(diǎn)3作AB的垂線，過(guò)原點(diǎn)O作直線/的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)C.

（1）如圖，點(diǎn)B,C分別在第三、二象限內(nèi)，BC與A。相交于點(diǎn)D

①若BA=BO,求證：CD=CO.

②若NCBO=45°,求四邊形A80C的面積.

（2）是否存在點(diǎn)B,使得以A8,C為頂點(diǎn)的三角形與ABCO相似？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

【分析】（1）①等腰三角形等角對(duì)等邊，則NR4D=NAO5,根據(jù)等角的余角相等和對(duì)頂角相等，得到

/CDO=NCOD,根據(jù)等角對(duì)等邊，即可證明8=CO；

②添加輔助線，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H,根據(jù)直線/的解析式和角的關(guān)系，分別求出線段A氏8cOB、

%的長(zhǎng)，則S四邊形Moe=SAABC+SQCBO—22*OCJ；

（2）分多鐘情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)C在第二象限內(nèi)，ZACB=ZCBOBl；②當(dāng)點(diǎn)C在第二象限內(nèi)，

NACB=/BCO時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，/AC6=NCBO時(shí).

【詳解】解：（1）①證明：如圖1,

'：BA=BO,AZ1=Z2.

二BA1BC，：.N2+N5=90。.

而N4=N5，

N2+N4=90°.

OBYOC，AZl+Z3=90°.

N3=N4,

.*CD=CO.

3

②如圖1,過(guò)點(diǎn)A作A”，08于點(diǎn)兒由題意可知tan/1=—，

8

A//3

在Rt^AHO中，tanZ1=-----=—.設(shè)AH=3m，OH=8m.

OH8

VAH2+OH2=OA2?（3m）2+（8/?2）2=（V73），解得加=1.

：.AH=3,OH=8.

?；NCBO=45。,ZABC=90°，

:.ZABH=45°,

___AH_._AH￡7

:.BH=--------=3,AB=---------=3A/2

tan45°sin45°

：?OB=OH—BH=5.

VOBIOC,"30=45。，

/.OC=OBxtan45°=5,BC=-°B—=572,

cos45°

S.ABC=；ABxBC=2必5母=15,

1125

CB：

S“CB。O=-2OBxOC=2-x5x5=2—

§四邊形AB"=S4ABe+S.CBO=Q'

（2）過(guò)點(diǎn)A作A”J.OB于點(diǎn)H,則有AH=3,OH=8.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在第二象限內(nèi)，ZACB=ZCBO^,設(shè)OB=t

???ZACB=Z.CBO，,ACIIOB.

又,：AHLOB,OCLOB,

：.AH=0C=3.

'：AHVOB,ABIBC,

...Zl+Z2=90°,Z2+Z3=90°,

r.Z1=Z3,

.AH_HB

:?&AHBs^BOC

~BO~~OC

38—/

...一=——，整理得產(chǎn)—8r+9=0，解得r=4±J7.

???OB=4土不.

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)C在第二象限內(nèi)，NACB=NBCO時(shí)，延長(zhǎng)AB,CO交于點(diǎn)G,

則當(dāng)GCB，:.AB=GB.

又,：AHLOB,OCVOB,

：.ZAHB=ZGOB=9QP,

而ZABH=ZGBO，

：.^ABH%GBO,

：.OB=HB=、OH=4

2

③當(dāng)點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，ZACB=ZCBOW\，AC908相交于點(diǎn)E,則有班：=CE.

3）如圖4,點(diǎn)B在第三象限內(nèi).

在R/AABC中，Zl+Z2=90°,ZACB+ZCAB=90°,/.Z2=ZCAB

二AE—BE-CE，

又?；

二ZAHE=/COE=9Q。,

而ZAEH=NCEO

:.AAHE烏ACOE，

：.HE=OE=-OH=4

2

AE=\lAH2+HE2=5,

BE=5,

...OB=BE+OE=9

(切如圖5,點(diǎn)8在第一象限內(nèi).

在RMABC中ZACB+ZC4B=90°,ZCBO+NABE=90°

：.ZCAB=ZABE,：.AE^BE^CE.

又：AHl.OB,OC±OB,

：.ZAHE=/COE=9Q。

而ZAEH=/CEO,：.^AHE^COE

：.HE=OE=-OH=4

2

?*-AE=yjAH2+HE2=5，

:.BE=5,

OB=BE-OE=T

綜上所述，OB的長(zhǎng)為4+J7,4-J7,4,9,I.

【點(diǎn)睛】本題涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四邊形的面積和相似三角形等知識(shí)，綜

合性較強(qiáng).在題中已知兩個(gè)三角形相似時(shí)，要分情況考慮.

3.(2021?安徽中考真題)如圖1,在四邊形ABC。中，NABC=N」BCD,點(diǎn)￡在邊BC上，且AE//CD

,DE//AB,作CF//AD交線段4E于點(diǎn)尸，連接8尸.

(1)求證：AABF名△E4D；

(2)如圖2,若AB=9,CD=5,ZECF=ZAED,求BE的長(zhǎng)；

BE

(3)如圖3,若8b的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)A。的中點(diǎn)M,求一的值.

AAA

圖1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）6；（3）1+J5

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及已知條件易證NABE=NA￡B，NDCE=NDEC，即可得=

DE=DC；再證四邊形AFCO是平行四邊形即可得A尸=CD,所以=根據(jù)SAS即可證得

△ABgAEAD；

（2）證明△EBFSAEW,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解;

ADAVDp

(3)延長(zhǎng)5M、ED交于點(diǎn)G.易證可得——=—=——：設(shè)CE=1,BE=x，

DCDECE

DC=DE=a,由此可得AB=AE=ox，AF=CD=a-.再證明ZWlB且△M￡>G，根據(jù)全等三角形

FAAB

的性質(zhì)可得。G=AB=oc.證明48s△FEG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得一=—,即

FEEG

a_axBF

解方程求得x的值，繼而求得一上的值.

a(x-V)<z(x+1)EC

【詳解】

(1)證明：-.-AE//CD,

:.ZAEB=NDCE；

-.■DE//AB,

：.ZABE=/DEC,Z1=Z2?

?;ZABC=/BCD,

:.ZABE=ZAEB4DCE=NDEC,

.'.AB=AE,DE=DC,

\-AF//CD,AD//CF,

四邊形AFCO是平行四邊形

AF^CD

:.AF=DE

在AABE與A￡AD中.

AB=EA

?Z1=Z2,

AF=ED

：.^ABF^^EAD(SAS)

(2)-.-AASF^AEW.

:.BF=AD，

在OAFCD中，AD=CF,

：.BF=CF，

/FBC=NFCB,

又???NFC5=N2,Z2=Z1.

：.ZFBC=Z1,

在AEBF與AEAB中.

JZEBF=Zl

\NBEF=NAEB'

.--△E8F^A￡AB：

.EB_EF

"~EA~~EB：

\-AB=9,

：.AE=9；

?：CD=5,

：.AF=5；

.-.EF=4，

EB4

---=---,

9EB

：.BE=6或一6(舍)；

(3)延長(zhǎng)8M、ED交于點(diǎn)、G.

?.?△ABE與AOCE均為等腰三角形，ZABC=NDCE,

/XABE^^DCE，

.AB_AE_BE

DC~1)E~~CE'

設(shè)CE=1,BE=x,DC=DE=a,

則AB=AE=ax,AF-CD-a，

EF=a(x-l),

?：ABIIDG,

N3=NG；

在AWAB與△MDG中，

Z3=ZG

,N4=N5,

MA^MD

AMDG(AAS)；

DG=AB=ax.

EG=a(x+\)；

-：ABIIEG，

..△MBs△此G,

FA_AB

"~FE~~EG'

aax.

a(x-l)?(x+l)

x(x-l)=x+l,

—2x—1-0>

(x-1)2=2，

x=1±V2,

%=1->/2(舍)，/=1+yfl，

【點(diǎn)睛】

本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)及判定、相似三角形的性質(zhì)及判定，熟練判定三角形全等

及相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

4.（2021?四川樂(lè)山市?中考真題）在等腰AA6c中，AB=AC,點(diǎn)。是3C邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重

合），連結(jié)AD.

（1）如圖1,若NC=60°,點(diǎn)。關(guān)于直線A3的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，結(jié)AE,DE,則=

（2）若NC=60°,將線段A￡＞繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6（）。得到線段AE，連結(jié)BE.

AnAT）

①在圖2中補(bǔ)全圖形；②探究與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3,若——=——=k,且

BCDE

ZADE=ZC,試探究BE、BD、AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）30。；（2）①見(jiàn)解析；②CD=BE；見(jiàn)解析；（3）AC=A（3O+5E）,見(jiàn)解析

【分析】（1）先根據(jù)題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計(jì)算即可

（2）①按要求補(bǔ)全圖即可

②先根據(jù)已知條件證明△A8C是等邊三角形，再證明/SAE噲八4￡）。，即可得出C￡）=BE

（3）先證明”=區(qū)，再證明4