化工問題的建模與數(shù)學(xué)分析方法練習(xí)題帶答案測試題題庫各章節(jié)練習(xí)題

各章習(xí)題選解（僅供參考）第一章習(xí)題1.（√）在一個有效容積為V的半連續(xù)式攪拌反應(yīng)器中，由原料Ａ生產(chǎn)物質(zhì)Ｂ，若濃度為c0流量為Q的Ａ溶液加入空反應(yīng)器，反應(yīng)遵循以下連串-可逆步驟且所有的反應(yīng)均為一級，證明在反應(yīng)器中Ｂ的克分子數(shù)NB是以下微分方程的解式中證明：對A、B分別作質(zhì)量衡算，有A：B：由（2）得到：（3）代入（2），得：令 得 證畢。2.冬天的池塘水面上結(jié)了一層厚度為l的冰層，冰層上方與溫度為Tw的空氣接觸，下方與溫度為0℃的池水接觸。當(dāng)Tw＜0℃時，水的熱量將通過冰層向空氣中散發(fā)，散發(fā)的熱量轉(zhuǎn)化為冰層增加的厚度。已知水結(jié)冰的相變潛熱為Lf，冰的密度為ρ，導(dǎo)熱系數(shù)為k，導(dǎo)溫系數(shù)為α，求：1)當(dāng)氣溫Tw不隨時間變化時，給出冰層厚度隨時間變化的關(guān)系，若Lf＝3.35×105J/kg，ρ＝913kg/m3，k＝2.22W/m°K，Tw＝－10℃，問冰凍三尺，需幾日之寒？2）當(dāng)氣溫隨時間變化時，設(shè)Tw＝Tw(t)已知，導(dǎo)出冰層厚度變化的完整數(shù)學(xué)模型。解：冰層的溫度為0℃，水通過冰層向空氣散發(fā)熱量，記為Q，該熱量用于水結(jié)成冰。假設(shè)冰層面積為s，厚度為l根據(jù)導(dǎo)熱方程，可得：代入數(shù)值，Lf＝3.35×105J/kg，ρ＝913kg/m3，k＝2.22W/m°K，Tw＝－10℃，l＝1m，求解積分上式得：t＝79.7天≈80天若冰凍三尺，在Tw＝－10℃時，需要約80天。(2)若Tw＝Tw(t)，冰層厚度為l根據(jù)熱量守恒：兩邊積分：厚度變化與Tw的關(guān)系為：3.（√）在一個半分批式攪拌反應(yīng)器中進(jìn)行著一級放熱化學(xué)反應(yīng)，反應(yīng)速率常數(shù)由Arrhenius關(guān)系式給出，反應(yīng)熱由釜內(nèi)的冷卻盤管移出，請自行設(shè)定有關(guān)的參數(shù)，導(dǎo)出該反應(yīng)器的數(shù)學(xué)模型。解：設(shè)物料以恒定的體積流量F加入，則反應(yīng)器中反應(yīng)物濃度CA與溫度T由以下物料衡算與熱量衡算方程給出eq\o\ac(○,1)物料衡算方程eq\o\ac(○,2)能量衡算方程eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)合并，得數(shù)學(xué)模型為式中K(T－Tc)A為冷卻移熱，kCAV(-ΔHr)為反應(yīng)熱。4．（√）采用微元分析法推導(dǎo)出柱坐標(biāo)系中的不定常熱傳導(dǎo)方程。解：考慮柱坐標(biāo)系中熱傳導(dǎo)方程的形式。柱坐標(biāo)系下的三個空間變量：向徑r，經(jīng)度角，高度z。在這三個方向上，與自變量的微分變化所對應(yīng)的線段微元長度分別是由偏導(dǎo)數(shù)的定義，溫度梯度T在三個方向的分量即溫度在每個方向上的微元增量除以相應(yīng)的線元長度，即于是Fourier熱傳導(dǎo)定律在柱坐標(biāo)系中的分量形式為接著考慮各方向輸入和輸出的微元通量，首先考慮r方向于是r方向的凈輸入通量為：（9）對方向作同樣的分析，z方向的分析，微元體內(nèi)的積累項：（16）將三個方向輸入微元的熱流凈增量加和并令其等于積累項，就得到（17）5.風(fēng)吹過皮膚表面時，人會有干燥涼爽的感覺，這是因為風(fēng)的吹拂強化皮膚表面的對流傳熱與傳質(zhì)，形成一個速度，溫度，濃度（含水量）的邊界層，設(shè)流動為層流（微風(fēng)），考慮出汗的蒸發(fā)潛熱，求：1）列出皮膚表面的三傳問題的邊界層方程，根據(jù)實際情況適當(dāng)簡化并給出問題的邊界條件；2）將上述問題無量綱化，并解釋所得到的各無量綱參數(shù)的物理意義；3）試分析速度分布，溫度分布，含水量分布分別與哪些無量綱參數(shù)有關(guān)，并用簡單的函數(shù)關(guān)系示意；4）根據(jù)所得結(jié)果定性的解釋一些經(jīng)驗常識：為什么風(fēng)越大越感覺到冷？為什么出汗后擦了汗感覺更涼快？當(dāng)空氣中濕度變化時，對表面散熱會帶來哪些影響？在冬天和夏天，人體對空氣濕度的增加會有什么樣的感覺？解：1）同時考慮流動傳熱傳質(zhì)時的邊界層傳遞方程是表示重力在x方向的分量，為熱膨脹系數(shù)，為密度變化系數(shù)水汽化潛熱水蒸發(fā)速度由于可忽略，，可忽略，化簡后邊界條件y＝0，u＝0（皮膚表面氣流速度）T＝T0（皮膚表面溫度）c＝c0（皮膚表面的含水量）y＝δ1u＝u∞（速度邊界層外氣流速度）y＝δ2T＝T∞（溫度邊界層外氣流溫度）y＝δ3c＝c∞（濃度邊界層外氣流中含水量濃度）δ1，δ2，δ3分別為速度邊界層，溫度邊界層，濃度邊界層的厚度。2）無量綱化無量綱物理性質(zhì)的比值無量綱化后邊界條件在對于較大的Pr或Sc，熱傳導(dǎo)與擴(kuò)散效應(yīng)與黏性比較相對較弱，熱邊界層和擴(kuò)散邊界層位于速度邊界層內(nèi)部，反之，對于較小的Pr或Sc，熱傳導(dǎo)與擴(kuò)散速率大于黏性傳遞速率，熱和擴(kuò)散邊界層就有可能擴(kuò)展到速度邊界層之外。3）速度分布，溫度分布，含水量分布的簡單函數(shù)關(guān)系式4）風(fēng)越大，皮膚表面的氣體更新速度越快，水的蒸發(fā)速度變快，傳熱越快，感覺到冷出汗后感覺更涼快，是因為減小了汗水層的厚度，蒸發(fā)速度加快當(dāng)空氣中濕度變大時，皮膚表面水的蒸發(fā)速度變慢，不利于傳熱夏天空氣濕度增加，汗水蒸發(fā)困難，人感覺悶熱冬天空氣濕度增加，少量的汗水在皮膚表面使人感覺溫暖。6．（√）在管式反應(yīng)器模型（1.4.15）中，當(dāng)Pe0時，相當(dāng)于完全返混的情況。試從方程（4.15）出發(fā)，通過適當(dāng)?shù)捏w積積分和取極限Pe0，導(dǎo)出均相釜式反應(yīng)器模型。解：當(dāng)Pe0時，由原方程（4.15）及邊界條件可知，c=const，說明在完全返混的情況下，反應(yīng)器內(nèi)具有均勻的濃度。對于任意的Peclet數(shù)，對方程4.15進(jìn)行體積積分得到（31）式中為反應(yīng)器內(nèi)的平均濃度。將邊界條件（4.15）代入（31），得到（32）上式對任意Peclet數(shù)均成立，僅當(dāng)Pe0時，反應(yīng)器內(nèi)濃度均勻，，上式成為無量綱的理想混合釜式反應(yīng)器數(shù)學(xué)模型。7.（√）烯烴在Zieglar－Natta催化劑顆粒上的氣相聚合過程可用最簡單的固體核模型來描述，如附圖所示。氣相中的烯烴單體在催化劑顆粒（圖中陰影部分）表面聚合后生成一多孔的固體聚合物殼層并將催化劑包裹在內(nèi)部，外部的氣相烯烴單體只有擴(kuò)散穿過此固體聚合物殼層后才能到達(dá)催化劑表面參與反應(yīng)。試求：（i）證明單體在殼層中的擴(kuò)散及聚合物粒子的生長由以下方程描述式中Ｍ為單體濃度(mol/m3)，ρs為聚合物殼層的密度(kg/m3),Ｄ為單體在殼層中的擴(kuò)散系數(shù)(m2/s),MＷ為單體的分子量，R為聚合物顆粒的半徑。（ii）設(shè)催化劑核半徑為rc，單體在外部氣相本體中的濃度為ＭＢ，以上述參量為r和M的特征尺度，并引入適當(dāng)?shù)臅r間尺度，將上述方程無量綱化。然后根據(jù)氣相單體與固體聚合物密度之間的巨大差別(ρs/ρg~103)將問題進(jìn)一步簡化。（iii）設(shè)單體在催化劑核表面的濃度恒為0（瞬時反應(yīng)），R的初始值為R0(R0>rc)，求解上述簡化后的模型并給出聚合物粒子半徑R隨時間的變化關(guān)系。提示：對單體的濃度分布可采用擬穩(wěn)態(tài)假定。解：為簡化計算，令單體分子量Mw的單位是kg問題建模如圖1所示，對微元dr作物料衡算得 如圖2.對微元dR作物料衡算得 圖1圖2無量綱化與簡化分析：本問題存在著兩個特征時間尺度，一個是單體組分內(nèi)擴(kuò)散通過聚合物殼層的時間尺度，該尺度可以從內(nèi)擴(kuò)散方程（19）中得出，為此，近似取代替，M/r代替，M/r2代替，就可估算出；另一個是聚合物顆粒生長的特征時間尺度2，可以從方程（20）中用類似的比值代替微分的辦法估算出。在對問題進(jìn)行無量綱化時，不同時間尺度的選擇代表著所關(guān)注的不同過程。eq\o\ac(○,1)如果選取為時間尺度，式（20）和（21）可分別無量綱化為（仍然用當(dāng)前變量表示無量綱變量）：此時式（23）中出現(xiàn)一個小參數(shù)。時間尺度1稱為快時間尺度，選擇這一尺度所得到的方程（22）中不含有小參數(shù)，表示我們關(guān)注的是單體M通過聚合物殼層的不定常擴(kuò)散而不是粒子的生長。略去（23）中的小參數(shù)項后得到，說明在考慮單體內(nèi)擴(kuò)散時，由于時間較短，可以將粒子半徑作為常數(shù)考慮。 因此，選擇1為時間尺度顯然不妥，得到的不是我們希望關(guān)注的問題。eq\o\ac(○,2)如果選取為時間尺度，（20）、（21）式可無量綱化為：此時粒子生長方程（26）不含小參數(shù)，粒徑將隨時間變化，表示我們關(guān)注的是顆粒的生長。而單體內(nèi)擴(kuò)散方程（25）中的時間導(dǎo)數(shù)項含小參數(shù)，可以略去，說明在慢時間尺度2上考慮粒子生長時，單體的內(nèi)擴(kuò)散過程可以忽略時間變化項，內(nèi)擴(kuò)散可以作為擬穩(wěn)態(tài)過程來考慮。 從eq\o\ac(○,1)和eq\o\ac(○,2)中得到的不同簡化模型說明時間尺度的選擇需要根據(jù)建模目的來考慮，使簡化后的模型能夠代表所關(guān)注的過程的主要特征。（3）對單體的濃度分布作擬穩(wěn)態(tài)（時間導(dǎo)數(shù)項為零）假設(shè)，即（25）中的，得解得代入（26），得解得8.在缺乏數(shù)學(xué)模型的某些情況下，僅僅根據(jù)量綱分析或尺度比較也可以獲得一些很有價值的結(jié)果，考慮以下例子：1）對于固體顆粒在黏性流體中的Stock流動問題，顆粒受到的阻力f僅僅與顆粒尺度d，動力學(xué)粘度μ和速度υ有關(guān)，即f＝f（d，μ，υ）根據(jù)量綱齊次化的要求，物理方程等式兩邊的量綱應(yīng)該相同，而有參數(shù)d，μ，υ組成的具有離地量綱的參量只可能是dμυ，因此上述函數(shù)關(guān)系只可能取一下形式，f＝Adμυ式中A是一個只與顆粒形狀有關(guān)的常數(shù)，上式即為Stock定律。現(xiàn)根據(jù)上述量綱分析方法分析湍流的消磁度運動。湍流中存在一系列大小不同的渦旋，能量從大尺度渦旋順序傳遞給消磁度渦旋，同時將機械能耗散為熱能，其中最小的渦旋尺度稱為Kolmogorov尺度，在這個尺度上，黏性和能量耗散占優(yōu)，因此只有運動學(xué)粘度v(m2/s)和能量耗散速率ε(W/Kg）兩個產(chǎn)量起作用，其他物理量都可以用這兩個量表示。試根據(jù)量綱齊次化原理推導(dǎo)出Kolmogorov尺度λ及局部速度υλ與v，ε的關(guān)系（可相差一個常數(shù)）習(xí)題8：湍動射流2）流體在自由空間中的射流形成一個夾角為α的圓錐型區(qū)域，如圖所示，設(shè)U＝U（x）為距噴口x處的平均流速，R＝R（x）為x處的射流半徑，試根據(jù)總動量沿x方向守恒的要求確定速度U和射流區(qū)總流量沿x的變化關(guān)系（可相差一個常數(shù)）習(xí)題8：湍動射流3）對于放熱反應(yīng)，當(dāng)反應(yīng)器尺寸增大時，其體積按長度的三次方增長，而表面積卻按平方增長，因此體積增大有利于熱量的增加，而體積減小有利于冷卻散熱。這是化學(xué)工程中說明“放大效應(yīng)”的一個典型例子。根據(jù)類似的道理解釋為什么生活在寒冷地區(qū)的動物一般體型較大（例如北方人就比南方人高大），而且形狀趨于圓滑，而熱帶地區(qū)的動物體型較小且趨于瘦長（例如南方人比北方人相對較瘦，且身體凸出部分的輪廓更為明顯）。解：1）分析：題中出現(xiàn)的符號意義如下Kolmogorov尺度λm能量耗散速率εW/Kg運動學(xué)粘度vm2/s局部速度m/s從f＝Adμυ可知f量綱與dμυ相同，又ε的量綱W/Kg與的量綱相同（f力－N，υ速度－m/s，ρ密度－Kg/m3，V體積－m3）可知V與λ3量綱相同，f與λv量綱相同，υ與υλ量綱相同，帶入ε＝中2）分析：總動量沿x方向守恒，設(shè)＝C（C為常數(shù)）。又，將R帶入總動量表達(dá)式中，3）分析：將人體看成一個反應(yīng)器，食物在體內(nèi)消化放出熱量，除供人體正?；顒铀璧哪芰亢蛢Υ嬖隗w內(nèi)外，以熱量的形式通過體表釋放到體外。人體散熱與人體表面積和外界溫度和人體溫度的差值成正比，表面積與人體尺寸的平方成正比?？捎洖樯幔紸*溫度差*表面積。人體放熱與人體體積成正比，體積與人體尺寸的立方成正比，可記為放熱＝B*體積（A，B為關(guān)于人體散熱放熱的常數(shù)）。為保持人體溫度一定，放熱與散熱需要平衡，散熱＝放熱。寒冷地區(qū)的外界溫度和人體溫度的差值比熱帶地區(qū)大，所以需要的體積與表面積比也大，即表現(xiàn)為人體尺寸大，也就是人的體型較大，而形狀圓滑是為了減小表面積所致。熱帶地區(qū)的人體型瘦長，身體凸出部分輪廓明顯，可以增大表面積，方便散熱。9.在水平液面上垂直插入一個半徑為R的毛細(xì)管，此時液體將在表面張力的拉動下沿著管中上升。彎曲液面形成的毛細(xì)壓強可以用以下Yong－Laplace方程計算式中σ為氣液表面張力，θ為氣液界面與固壁之間的接觸角，管中流體一方面受到毛細(xì)壓強的驅(qū)動而上升，一方面又受到重力和粘性阻力的作用，設(shè)流動速度遵從粘性管流的Poiseuille分布，求：1)對于兩端開口的毛細(xì)管，證明液位高度H隨時間t的變化滿足以下方程式中μ為液體的動力學(xué)粘度，ρg為重力。2）對于上端封閉的毛細(xì)管，設(shè)總管長為l，管內(nèi)氣體滿足理想氣體狀態(tài)方程，試推導(dǎo)相應(yīng)的液位高度H的變化方程。3）從上述方程中求出最大液位高度Ho和時間變化關(guān)系H(t),據(jù)此討論H變化的趨勢。解：彎曲液面形成的毛細(xì)壓強可以用以下Yong－Laplace方程計算，同時又受到重力的作用產(chǎn)生壓強，總的ΔP為：式中σ為氣液表面張力，θ為氣液界面與固壁之間的接觸角，R為毛細(xì)管半徑。Poiseuille分布，體積流率的表達(dá)式為：式中μ為液體的動力學(xué)粘度，ρg為重力。若毛細(xì)管上端是封閉的，則ΔP由三部分組成，還有一部分是液面上端產(chǎn)生的壓強。式中Po為大氣壓強，L為毛細(xì)管長。當(dāng)達(dá)到最高液位Ho時，，則：＝0積分得：從上式可以看出，H先增高，到最大值后開始下降。10.氣液兩相的傳質(zhì)過程與色譜過程有許多類似之處，例如，氣相通過反應(yīng)器（鼓泡塔、板式塔、填料塔等）的流動可以看成是溶質(zhì)通過固定相的運動，氣液傳質(zhì)阻力可類比于氣固傳質(zhì)阻力，氣液兩相的逆流操作模式也與移動床相似。此外，氣液兩相在界面上處于平衡狀態(tài)，由Henry定律表述，與§7.2節(jié)考慮的微孔分子篩的內(nèi)擴(kuò)散過程類似。與色譜問題不同的是，許多氣液反應(yīng)器（鼓泡塔與攪拌釜）中的液相或液固兩相一般都處于全混流狀態(tài)，而色譜柱中固定相是靜止的，移動床中固體接近平推流。試根據(jù)與移動床的類比建立如圖所示的鼓泡塔反應(yīng)器的穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型，圖中氣體從塔底加入，經(jīng)分布器之后形成分散的氣泡并在液體中浮升，最后從容器的上部輸出；液體則從塔頂加入，從底部流出。氣相中的組分A被液體吸收后在液相中發(fā)生一級化學(xué)反應(yīng)。鼓泡塔中氣相的流動可考慮為平推流，液相考慮為全混流。其它已知的參數(shù)為：鼓泡塔液位高度l，氣含率εg，空塔氣速U，加入液體的質(zhì)量流率F，單位體積氣液傳質(zhì)系數(shù)kLa，一級反應(yīng)動力學(xué)常數(shù)kA，Henry系數(shù)HA。所建立的數(shù)學(xué)模型要求包括以下內(nèi)容：習(xí)題10：鼓泡塔反應(yīng)器 1）設(shè)cg和cL習(xí)題10：鼓泡塔反應(yīng)器 2）如果是強放熱反應(yīng)，反應(yīng)熱通過溶劑蒸發(fā)和氣液相的連續(xù)流動移出，請自行設(shè)定有關(guān)物性參數(shù)，給出溫度T滿足的方程。解：數(shù)學(xué)模型一般包括物料衡算、熱量衡算和動量衡算，對于鼓泡塔的氣液反應(yīng)體系，氣液兩相的溫度場計算是不必要，因為塔內(nèi)混合良好，溫差很小。動量衡算也非必要。物料衡算是要考慮到對流、相間傳質(zhì)、軸向分散及化學(xué)反應(yīng)等影響因素。假設(shè)塔內(nèi)等溫，作氣相及液相的物料衡算：氣相：流入項傳質(zhì)項返混項積蓄項液項：流入項傳質(zhì)項返混項反應(yīng)項積蓄項式中：假設(shè)氣相平推流液相全混流邊界條件：氣相：Z＝0：Z＝1：液相：Z＝0：Z＝1：進(jìn)氣溫度為Tg，液體為Tl，氣體熱容cg，液體熱容cp，液體的質(zhì)量流量Fl，氣體的質(zhì)量流量Fg，單位時間反應(yīng)熱為Q，C為常數(shù)。鼓泡塔內(nèi)溫度均勻，塔內(nèi)溫度和排出的氣體液體溫度均記為T，根據(jù)能量守恒：習(xí)題11：填料吸收塔11．填料塔廣泛用于氣體吸收，氣液兩相采用逆流操作，液體從塔頂均布后加入，沿填料表面成液膜下降，氣體從塔底加入，沿塔上升并與液體實現(xiàn)逆流接觸，氣體中的活性組分被液體吸收后從塔底流出，凈化后的氣體從塔頂排出，如圖所示。設(shè)從塔底加入的氣體中含有待吸收組分A和惰性氣體，惰氣流量為G（mol/s），從塔頂加入的液體惰性溶劑的流量為L（mol/s），組分A在液相中以一級反應(yīng)進(jìn)行分解，給定塔的直徑D和塔高H、單位體積填料的液體持液量L（m3/m3）和氣液傳質(zhì)系數(shù)kLa，以及化學(xué)反應(yīng)速率常數(shù)kA、氣液相Henry系數(shù)HA，試用微元分析法建立一數(shù)學(xué)模型，描述氣相濃度yA(mol/mol惰氣)和液相濃度xA(mol/mol溶劑)的沿塔分布，然后從模型中消去xA，得到y(tǒng)A的單一方程，并給出適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。習(xí)題11：填料吸收塔提示：可假設(shè)在氣液界面上滿足Henry定律，則兩相傳質(zhì)速率為kLa(yA－HAxA)。解：分析此填料塔用于氣體的化學(xué)吸收，塔內(nèi)物料平衡涉及兩相：氣相和液相?？煞謩e對氣相及液相中的待吸收組分作質(zhì)量守恒，守恒方程中將涉及到的未知量包括：待吸收組分A在氣相中的濃度yA（molA/mol惰性氣體）和待吸收組分A在液相中的濃度xA(molA/mol溶劑)。守恒方程數(shù)與未知量數(shù)均為2，在給定邊界條件下可以得到微分方程的特解。假設(shè)1設(shè)待吸收組分A在液相中的反應(yīng)速率為：該反應(yīng)為一級反應(yīng)，反應(yīng)速率常數(shù)為k（單位mol/m3·s）2設(shè)吸收塔在連續(xù)操作過程中處于穩(wěn)態(tài)，進(jìn)而在質(zhì)量衡算方程中涉及到的積累項均為0解答步驟在填料塔任一高度h處取一厚度為dh的體積微元（見習(xí)題11圖），分別考慮微元中氣相和液相的待吸收組分A的質(zhì)量守恒：氣相式中氣液相間的傳質(zhì)方向是由氣相到液相，因而傳遞量屬于輸出項，其傳質(zhì)速率為：，其中kL是以氣相摩爾分率差為總傳質(zhì)推動力的總傳質(zhì)系數(shù)（單位kmol/(m2·s·Δy)），a是單位體積填料層所提供的有效傳質(zhì)面積（單位m2傳質(zhì)面積/m3填料體積）。因而：式中D是填料塔直徑，為所取微元內(nèi)的填料體積。由于氣相中不發(fā)生待吸收組分A的分解反應(yīng)，因而：吸收塔處于穩(wěn)態(tài)操作，因而：根據(jù)質(zhì)量守恒：即：整理得：液相：式中氣液相間的傳質(zhì)方向是從氣相到液相，因而傳弟量屬于輸入項，它的大小與氣相輸出項中的氣液傳質(zhì)量相同，為：因而：式中-rA為組分A在液相中的應(yīng)反應(yīng)速率，單位：mol/m3·s。而是在所取填料微元中的持液量。根據(jù)質(zhì)量守恒：即：整理得：相應(yīng)邊界條件：在填料塔底部h=0yA=yb式中yb為進(jìn)料氣體中組分A的濃度頂部h=HxA=xa式中xa為進(jìn)料液體中組分A的濃度至此，聯(lián)立關(guān)于氣相與液相質(zhì)量守恒的兩個常微分方程，并加入邊界條件：求解此一階常微分方程組即可得到氣液相中組分A的濃度沿著塔高方向上的分布。 下面對此常微分方程組進(jìn)一步化簡，消去xA，以得到一個只含yA二階常微分方程。 對式（1-11-1）變形，得： 代入式（1-11-2）得到： 相應(yīng)邊界條件： 化簡得： 從而得到關(guān)于yA的一個二階常微分方程及其邊界條件：這是一個常系數(shù)二階常微分方程，將實際生產(chǎn)中的數(shù)據(jù)代入后可以很容易解出關(guān)于組分A在氣相中的濃度yA沿塔高方向上的分布，進(jìn)而得到組分A在液相中的濃度xA沿塔高方向上的分布。12.在一鼓泡容器內(nèi)，初始時刻裝有體積為V的氨鹽水(NH3－NaCl－H2O)，隨后以流量F通入CO2氣體，在液相中即發(fā)生以下碳酸化反應(yīng)(1)(2)(3)這是制取純堿(Na2HCO3)的基本反應(yīng)，是一個連串反應(yīng)過程。其中反應(yīng)(1)為快速反應(yīng)，發(fā)生在氣液界面附近的液膜之內(nèi)，而反應(yīng)(2)、(3)為慢反應(yīng)，發(fā)生在液相本體之中。設(shè)各步反應(yīng)均為擬一級反應(yīng)，其中NH3和Na+大大過量，其濃度可近似考慮為常數(shù)。容器中的氣含率ε、氣液比表面積aV和液膜厚度δ均為已知量，液膜體積aVδ<<1，試分別對液膜和液相本體導(dǎo)出該反應(yīng)過程的數(shù)學(xué)模型，給出分批式和連續(xù)式兩種操作情況下的反應(yīng)器模型。提示：液膜中的反應(yīng)-擴(kuò)散過程可視為擬穩(wěn)態(tài)過程，CO2的氣液界面濃度和本體濃度可設(shè)為已知，NH2COO-的本體衡算方程需考慮液膜向液相本體的傳遞速率。解：分析：在此串連反應(yīng)中,反應(yīng)（1）為快反應(yīng)，其反應(yīng)速率遠(yuǎn)大于反應(yīng)物CO2 在液相中的擴(kuò)散速率，因而該反應(yīng)只發(fā)生在氣液界面附近的液膜之內(nèi)，在液相本體中，CO2的濃度已為零。反應(yīng)（2）、（3）為慢反應(yīng)，因而液相中反應(yīng)物的混合速率遠(yuǎn)大于反應(yīng)速率，即由液膜中通過反應(yīng)（1）生成的NH2COO-在還未發(fā)生顯著的化學(xué)反應(yīng)之前就已混合均勻，可以認(rèn)為NH2COO-以及其反應(yīng)產(chǎn)物HCO3-在整個反應(yīng)器中均勻分布。而在反應(yīng)器中，液膜體積avδ<<1，即液相本體的體積遠(yuǎn)大于液膜體積，所以反應(yīng)（2）、（3）絕大部分都在液相本體中完成。由于鼓泡反應(yīng)器中液膜與液相本體中分別進(jìn)行著不同的反應(yīng)（對于快反應(yīng)（1），主要發(fā)生在液膜中，而對于慢反應(yīng)（2）、（3）則主要發(fā)生在液相本體中），因而需要分開討論。對于液膜，可以采用擬穩(wěn)態(tài)假設(shè)，即不論是分批式還是連續(xù)式操作，液膜內(nèi)的物質(zhì)濃度都不隨時間變化，積累量均為零。對于液相本體，則需將分批式與連續(xù)式操作區(qū)分對待。此題中鼓泡反應(yīng)器所涉及到的物質(zhì)包括有：CO2、NH3、NH2COO-、H+、H2O、HCO3-、Na+及NaHCO3共八種，并且其濃度分布包括在液膜內(nèi)濃度分布及液相本體中的濃度分布，共涉及有八個變量在分批式及連續(xù)式兩種操作情況下在兩個不同相（液膜及液相本體）中的濃度分布。但是，通過分析，可以先排除許多量：1CO2：在本反應(yīng)器中，CO2作為反應(yīng)物參加快反應(yīng)（1），由前面的分析可知，CO2在液相本體中的濃度為零，因而我們只需要求出在液膜中CO2濃度分布即可，根據(jù)擬穩(wěn)態(tài)假設(shè)，所得到的濃度分布既可用于分批式操作，也可用于連續(xù)式操作。2NH3、H2O、Na+：在本反應(yīng)器中，這三種反應(yīng)物都處于大大過量，其濃度可近似考慮為常數(shù)，因而可以在反應(yīng)器模型中將其作為已知量處理，并視為常數(shù)。3NH2COO-、HCO3-：由前面的分析可知，這兩種物質(zhì)在液相本體中均處于均勻分布，并且它們參與的反應(yīng)（2）、（3）都是在液相本體中完成，在液膜中的反應(yīng)可以忽略，即液膜中NH2COO-、HCO3-的濃度分布對于反應(yīng)器模型沒有任影響。因而我們只需求得NH2COO-和HCO3-在液相本體中的濃度隨時間的分布即可（在空間上均勻分布），而二者在液膜中的濃度分布無需涉及。4H+、NaHCO3：在本反應(yīng)器中，這兩種物質(zhì)均只出現(xiàn)在反應(yīng)產(chǎn)物中，并沒有以反應(yīng)物的形式參加反應(yīng)，并且在反應(yīng)速率方程中也沒有涉及，因而在建立的反應(yīng)器模型中不涉及兩者的濃度。綜上所述，本反應(yīng)器模型共涉及：CO2在液膜中的濃度分布，NH2COO-和HCO3-在液相本體中濃度隨時間的分布共三個變量。其中CO2在液膜中的濃度分布即可用于分批式操作，又用于連續(xù)式操作。而NH2COO-和HCO3-在液相本體中濃度隨時間的分布則必須分為分批式操作和連續(xù)式操作進(jìn)行討論。假設(shè)1在本題中，用符號A指代組分CO2，符號B指代NH2COO，符號C指代HCO3-。2反應(yīng)（1）、（2）、（3）均為擬一級反應(yīng)，因而其反應(yīng)速率分別為：3反應(yīng)器體積為V，而反應(yīng)器中氣含率為ε，易知反應(yīng)器中的液體量為：（1-ε）V。再由反應(yīng)器中的氣液比表面積為av（單位：有效氣液接觸面積m2/液體體積m3），得到反應(yīng)器中的液膜面積（即氣液接觸面積）為av（1-ε）V，液膜體積為：av（1-ε）Vδ。4假設(shè)在反應(yīng)過程中反應(yīng)器內(nèi)的液體體積不變，即忽略反應(yīng)過程中的體積變化，因此在質(zhì)量衡算方程中反應(yīng)器內(nèi)的液體休積（1-ε）V為常數(shù)。解答步驟1液膜中CO2的濃度分布：液膜中CO2的反應(yīng)-擴(kuò)散過程可視為擬穩(wěn)態(tài)過程，因而不論是分批式還是連續(xù)式均可以作為穩(wěn)態(tài)處理。由于液膜厚度遠(yuǎn)小于氣泡直徑，因而可以單位面積對液膜內(nèi)的CO2（用符號A代表）作質(zhì)量守恒：式中1表示單位面積，DA為CO2在液膜中的傳質(zhì)系數(shù)，由于液膜內(nèi)始終處于穩(wěn)態(tài)，濃度CA不隨時間變化，因而CA僅是坐標(biāo)x的函數(shù)，CO2的質(zhì)量守恒方程為一常微分方程。根據(jù)質(zhì)量守恒：式中CNH3為液膜中NH3的濃度，可視為常數(shù)。與之相應(yīng)的邊界條件為：因而可以得到關(guān)于CO2（A）在液膜中濃度分布的二階常微分方程：可以解得：此式即是CO2在液膜中的濃度分布，而液膜內(nèi)CO2總的反應(yīng)速率為：式中-R1是在鼓泡反應(yīng)器所有液膜中的反應(yīng)（1）的總反應(yīng)速率，單位mol/s。將前面得到的CO2濃度沿x方向上的分布代入體積積分中，很容易就可以把體積積分變?yōu)殛P(guān)于x的線積分，求得-R1，但這里我們利用穩(wěn)態(tài)模型，即CO2在液膜內(nèi)總的反應(yīng)速率-R1應(yīng)等于CO2通過氣液相界面，自氣相向液相的傳遞量：式中S是反應(yīng)器中總的氣液接觸面積，即液膜面積：利用CA沿x方向上的分布函數(shù)，易得到：式中負(fù)號表示CO2在液膜中的反應(yīng)是作為反應(yīng)物不斷消耗的。2分批式操作中NH2COO-和HCO3-在液相本體中濃度隨時間的分布：在液相本體中對NH2COO-作質(zhì)量守恒方程：式中-R1是在所有液膜中反應(yīng)（1）的總反應(yīng)速率（單位mol/s），它也就等于在所有液膜中NH2COO-的生成速率，而液膜內(nèi)始終處于穩(wěn)態(tài)，即所有生成的NH2COO-都從液膜傳遞到液相本體中，因而在液相本體中NH2COO-的輸入項就是-R1。在分批式操作中鼓泡反應(yīng)器內(nèi)液體沒產(chǎn)出，因而式中（1-ε）V為反應(yīng)器中的液相體積，由于NH2COO-在反應(yīng)（2）中是反應(yīng)物，在反應(yīng)過程中不斷消耗，因而在生成項中為負(fù)。根據(jù)質(zhì)量守恒：整理得：消去總體積，得到：這是一個常微分方程，加入相應(yīng)的初始條件：得到：對此常微分方程求解，即可得到在分批式操作條件下NH2COO-濃度隨時間的分布。同樣，在液相本體中對HCO3-作質(zhì)量守恒：根據(jù)質(zhì)量守恒：得到：消去總體積，得到：這也是一個常微分方程，其中可以通前面NH2COO-的質(zhì)量恒算得到，、均為常數(shù)，可由實驗得到。加入相應(yīng)的初始條件：得到：對此常微分方程求解，即可得到在分批式操作條件下HCO3-濃度隨時間的分布。3連續(xù)式操作中NH2COO-和HCO3-在液相本體中濃度隨時間的分布：假設(shè)在連續(xù)式操作過程中反應(yīng)液的體積流量為q。同樣，在液相本體中對NH2COO-作質(zhì)量守恒方程：由于進(jìn)料的氨鹽水中不含NH2COO-，因而輸入項只包含NH2COO-自液膜擴(kuò)散到液相本體中的量R1。由于是連續(xù)操作，反應(yīng)器處于穩(wěn)態(tài)：根據(jù)質(zhì)量守恒：得到：化簡得：在連續(xù)操作過程中，在液相本體里NH2COO-的濃度不隨時間變化，為一常數(shù)。同樣，在液相本體中對HCO3-作質(zhì)量守恒方程：由于進(jìn)料的氨鹽水中不含HCO3-：根據(jù)質(zhì)量守恒：得到：化簡得：在連續(xù)式操作中，在液相本體里HCO3-的濃度也不隨時間變化，為一常數(shù)。 綜上所述：在分批式操作中，本反應(yīng)器的模型為：在連續(xù)式操作中，本反應(yīng)器的模型為：第二章習(xí)題求以下微分方程的解解：(1)（2）（3）2.求解第一章給出的連續(xù)結(jié)晶器的穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型式中，成核速率B，生長速率G，流量F均可考慮為常數(shù)，加入流體的粒數(shù)分布為l的任意函數(shù)nin=nin(l)。解：求解以下方程：的解。分離變量得： 積分得： （C為常數(shù)）設(shè)，將n的表達(dá)式代入原微分方程，得：則，C1為常數(shù)。代入n表達(dá)式得原微分方程解：l＝0時， 則原方程解為：3.電極加熱爐中石墨電極棒的傳熱問題可用以下方程描述式中D，U，A，T0均為常數(shù)，但導(dǎo)熱系數(shù)kＴ為溫度的線性函數(shù)，kT=k0-T，試求出上述方程的通解（建議：采用改進(jìn)的p變換，可使求解更為簡捷）。解：設(shè),則有原方程變?yōu)?,其中為任意常數(shù);將帶入,變形得:積分得X~T關(guān)系式為:其中為任意常數(shù)。4.設(shè)反應(yīng)物A，B在液膜中發(fā)生以下瞬時反應(yīng)v為化學(xué)計量系數(shù)，該反應(yīng)受擴(kuò)散限制，試導(dǎo)出相應(yīng)的W-變換并求出反應(yīng)物A，B和產(chǎn)物P的濃度分布。解：此反應(yīng)受擴(kuò)散限制（1）（2）(1)-(2)得（3）令（4）易由（3）可知由定義式（4）可得的邊界條件為；；其中為液膜厚度由以上邊界條件可得（5）在處，，此時（5）中，得將定義式（4）兩邊平方，利用瞬時反應(yīng)，不能共存的條件知，，于是有將上式兩邊開平方，得（6）根據(jù)（4），（6），可以將，用新變量表出，（7），（8）將（5）代入（7），（8）得，，產(chǎn)物的濃度分布為5．O2和CO2在生物組織中的傳遞過程對于呼吸作用和光合作用具有根本的重要性。在生物組織中，溶解在液體（血液、組織液）中的O2通過滲透與擴(kuò)散兩種機制輸送到組織內(nèi)部供細(xì)胞呼吸，研究表明，在某一臨界溶氧濃度c*以上，單位體積的氧消耗速率為常數(shù)，設(shè)為q，因此，對于厚度為l的一片組織，代謝過程中氧的衡算方程為 式中U為液體滲透流率，D為溶氧擴(kuò)散系數(shù)。設(shè)該組織外部的溶氧濃度為常數(shù)，則邊界條件可表示為 試求出溶氧濃度沿組織厚度方向的分布，據(jù)此判斷氧濃度在何處達(dá)到最小值？滲透速率U需滿足什么條件才能保證在組織內(nèi)部不會出現(xiàn)缺氧的情況（c(x)>c*）？解：齊次方程的特征方程為解得所以齊次方程的通解為（1）利用比較系數(shù)法，求得非齊次方程的特解（2）所以，非齊次方程的通解為（3）邊界條件為所以溶氧濃度沿組織厚度方向的分布為（4）對關(guān)于求一次，及二次導(dǎo)數(shù)式中令得所以，氧濃度在達(dá)到最小值為保證組織內(nèi)部不會出現(xiàn)缺氧的情況，要求即需要滿足6．（√）求以下變系數(shù)方程的級數(shù)解（a）（b）(c)（a）解：將冪級數(shù)（4.5）代入方程，逐項比較系數(shù)，令首項的系數(shù)為0，得到指標(biāo)方程為指標(biāo)方程的兩個根為，屬于第一種情況，可以將c代入遞推公式確定各系數(shù)。令項的系數(shù)為0，得遞推公式為首先將代入遞推公式，有可得則方程的第一解為接著將代入遞推公式，整理得則方程的第二解為最后得到方程的通解為（b）指標(biāo)方程，重根c1=c2=0遞推公式為,將遞推公式表示成an對參數(shù)c的函數(shù)形式于是含有任意參數(shù)c的冪級數(shù)y(x,c)由下式給出當(dāng)c=0時，上式給出方程的第一解第二解即對各項求導(dǎo)，并令c＝0得所以方程的通解為（c）將冪級數(shù)代入后比較系數(shù)得到指標(biāo)方程遞推公式指標(biāo)方程的根為兩根相差一個整數(shù)m時，遞推公式中am的系數(shù)將成為0而使之無法確定。首先確定由大根得到的級數(shù)，遞推公式為然后將c1＝0代入得到第一解為注：級數(shù)推導(dǎo)詳見微積分下冊第274頁考慮以下含任意常數(shù)c的級數(shù)y(x,c)上述級數(shù)在c＝-2處有奇異性，第二解y2由下式給出方程的通解為7.環(huán)形法蘭上的散熱問題可用以下方程描述式中k和h分別為法蘭的導(dǎo)熱系數(shù)和向周邊環(huán)境的傳熱系數(shù)，T0為環(huán)境溫度。邊界條件為在內(nèi)圓邊界r=r1處:T=T1在外圓邊界r=r2處:T=T2試用有關(guān)的Bessel函數(shù)給出上述問題的通解并說明如何由邊界條件確定通解中的任意常數(shù)。（提示：作變換，化為標(biāo)準(zhǔn)形式）解：8.（√）用矩陣解法求以下一階線性微分方程組的通解，并將通解用實函數(shù)表示。（1）（2）（1）解：系數(shù)矩陣A的特征方程為解得A的特征值當(dāng)時，特征向量方程為式中的兩個方程線性相關(guān)，取x1為獨立變量，令x1＝1，得到相應(yīng)的特征向量為類似的得到對應(yīng)的特征向量為因此，微分方程的通解為（2）解：系數(shù)矩陣A的特征方程為解得A的特征值當(dāng)時，特征向量方程為式中的方程線性相關(guān)，取x1為獨立變量，令x1＝1，得到相應(yīng)的特征向量為,相應(yīng)的復(fù)數(shù)形式的解為上述實部和虛部為方程的兩個線性無關(guān)特解，因此方程組的通解為9.（√）對于上題（1）中的系數(shù)矩陣,請用下述方法求矩陣函數(shù)expAt待定系數(shù)法lagrange插值法解：將特征根代入方程，得到解得矩陣函數(shù)為將特征根代入方程（7.24）得10.如所示,兩相互聯(lián)接的攪拌釜中裝有體積分別為V1和V2的溶液,初始時刻釜中溶質(zhì)濃度分別為y10與y20,從t=0開始,兩釜中的溶液以流量q通過管道泵送而相互交換,管道體積可以忽略,求兩釜中的溶質(zhì)濃度隨時間的變化關(guān)系。圖圖6.1兩串聯(lián)攪拌釜之間的質(zhì)量交換qqV1y1V2y2.習(xí)題10：兩互聯(lián)攪拌釜的動態(tài)響應(yīng)解：由條件得，對第一個釜：對第二個釜： 以上方程組成如下方程組：設(shè)，有：其特征方程為： 展開得：其特征值為：，為相異實根。與對應(yīng)的特征向量方程為：取為獨立變量，則。令，得特征向量：與對應(yīng)的特征向量方程為：取為獨立變量，則。令，得特征向量：綜上，微分方程組的通解為：、為常數(shù)由初始條件，，得：解得： 代入得到原方程組的通解為：其中11．設(shè)=i為矩陣A的特征值，試根據(jù)特征向量方程(2.4.6)證明Sylvester定理(2.5.24)。解:對于求齊次方程的通解,有式2.4.6:定義方程2.4.6欲有非零解,其充分必要條件是可表示為:由Cayley-Hamilton定理有,其中m>n;則任何由矩陣級數(shù)定義的函數(shù)f(A)都可用不高于n-1次的A的多項式表示:考慮其參數(shù)形式,若欲確定其中的(i=0,1…,n-1),常用的方法是用函數(shù)上的n個點上的值(i=1,2…,n),lagrange插值法來得到,因是n-1次的多項式,故可通過lagrange插值的方法來準(zhǔn)確表達(dá),即其中將參數(shù)代換為A上式同樣成立,有此式即為Sylvester定理.12.不同形狀的催化劑顆粒上的反應(yīng)-擴(kuò)散問題可用以下方程描述式中s為顆粒的形狀指數(shù)，s=0為片形，s=1為長圓柱形，s=2為球形，D為內(nèi)擴(kuò)散系數(shù)，k為一級反應(yīng)速率常數(shù)，hm為外表面?zhèn)髻|(zhì)系數(shù)，cb為流體相本體濃度。(a)選擇適當(dāng)?shù)奶卣鞒叨葘栴}無量綱化；(b)分別求取s=0，1，2時的粒內(nèi)濃度分布；(c)求催化劑有效系數(shù)與Thiele模數(shù)和Biot數(shù)之間的關(guān)系，并討論這兩個參數(shù)對的影響趨勢。解：(1)取顆粒的半徑為x的特征尺度。取cb為cA的特征尺度?？蓪栴}無量綱化。選擇R與cb分別為自變量x與因變量的特征尺度，作變換r=x/R,c=/cb代入方程和邊界條件，整理得：(2)S=0S=1將上式對c求導(dǎo)，再令c=0,得第二解：cA=A+BA,B均為任意常數(shù)。S=2(3)所以與成正比，與成反比。13.對于可逆反應(yīng)，反應(yīng)的轉(zhuǎn)化率由于受到化學(xué)平衡的限制而難以提高，采用反應(yīng)－分離耦合操作的方法就可以打破這一限制。設(shè)在一催化劑顆粒內(nèi)部發(fā)生上述雙組分可逆反應(yīng)，同時也篩選出了某種吸附劑，使得A、B的吸附性能呈現(xiàn)較大差別，這樣，我們就可以將催化劑與吸附劑摻混，然后采用逆流移動床來實現(xiàn)反應(yīng)－分離耦合操作。設(shè)吸附等溫線為線性，反應(yīng)關(guān)于固相濃度為一級，忽略顆粒內(nèi)外的傳質(zhì)阻力和床層返混，則逆流移動床數(shù)學(xué)模型由以下方程描述 式中，c和n分別表示流體和固體相的濃度，,s分別為流體和固體的運動速度，求解上述方程，給出濃度A、B的沿塔分布。2）如果令，，則二者分別表示床層任一截面上組分A、B的凈流率。研究表明，只有當(dāng)qA和qB的方向相反時，才能實現(xiàn)A、B的分離，此時邊界上的間斷條件表述為塔底（z=0）： 塔頂（z=l）： 式中上標(biāo)“＋”與“－”分別表示塔頂和塔底邊界外部的值，根據(jù)上述條件確定流體相和固體相的出口濃度。3）如果取以下參數(shù) 計算相關(guān)的濃度分布并作圖考察各參數(shù)變化的影響。解：1)原方程組可化為如下形式：其特征方程為： 展開得：其特征值為：，為相異實根。與對應(yīng)的特征向量方程為：取為獨立變量，得。令，得到特征向量：與對應(yīng)的特征向量方程為：取為獨立變量，得。令，得到特征向量：綜上，微分方程組的通解為：、為常數(shù)即： 且 時，，知：解得： 則得到原方程組的解：時，，知：解得：則得到原方程組的解：即A、B的沿塔分布。2) 時，因，否則靜流率為0，則由條件得：時，同上原因，由條件得：3) 由條件得：則代入原濃度分布為：14．（√）發(fā)生在催化劑顆粒上的放熱反應(yīng)總是與傳熱相互耦合，從而導(dǎo)致多重穩(wěn)態(tài)的產(chǎn)生和相關(guān)的穩(wěn)定性問題，CO在鉑催化劑表面的氧化反應(yīng)曾被作為一個典型的體系而得到廣泛的研究?，F(xiàn)考慮CO在鉑金屬絲表面的氧化，相應(yīng)的質(zhì)量與熱量衡算方程可表示為試從上述方程出發(fā)，在穩(wěn)態(tài)解附近作線性近似，導(dǎo)出相關(guān)的穩(wěn)定性判據(jù)。解：方程右端為零時，所得的解是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，設(shè)為（AS,TS）,考慮系統(tǒng)的小擾動并令代入原方程，即得擾動（x，y）滿足的瞬態(tài)方程將k展為泰勒級數(shù)，并忽略二階及其后的高階項，得到線性近似方程相應(yīng)的特征方程為特征根實部的正負(fù)由參數(shù)決定，分為以下情況：當(dāng)tr<0,>0時，兩特征根的實部為負(fù)值，系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)tr>0,或者<0時，至少有一個特征根的實部為正值，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；當(dāng)tr=0,>0時，兩特征根為相異的虛根，x與y將圍繞穩(wěn)態(tài)進(jìn)行振蕩，系統(tǒng)是穩(wěn)定的但不是漸進(jìn)穩(wěn)定的。系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的物理變量判據(jù)為第二種解法：方程右端為零時，所得的解是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，設(shè)為（AS,TS）,考慮系統(tǒng)的小擾動原方程化為將k展成泰勒級數(shù)，并忽略二階以上項方程化為略去方程的高階項再按穩(wěn)定性的常規(guī)方法判斷。15．考慮催化劑顆粒的內(nèi)擴(kuò)散阻力時，一般情況下顆粒熱穩(wěn)定性問題的分析將變得十分復(fù)雜，但是，若對內(nèi)擴(kuò)散過程采用擬穩(wěn)態(tài)假定，則問題就可以大大簡化。試從第一章給出的催化劑顆粒簡化模型(1.5.15）、(1.5.16）出發(fā)，對熱量衡算方程采用穩(wěn)態(tài)附近的線性近似，然后針對薄片型催化劑顆粒（s＝0）導(dǎo)出相關(guān)的失穩(wěn)條件（斜率條件）。解：當(dāng)時，有： 特征方程： 得： 則方程的解為： 代入熱量衡算方程為：對系統(tǒng)：設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為，考慮小擾動代入以上方程得到擾動滿足的瞬態(tài)方程：將展成泰勒級數(shù)，并忽略二階及其后的高階項，得到線性近似方程：其特征方程為以下代數(shù)方程的解：其中當(dāng)時系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，得到相應(yīng)的斜率條件：16.在釜式反應(yīng)器的熱穩(wěn)定性問題中，如果采用控制裝置來對移熱過程進(jìn)行自動調(diào)節(jié)，就有可能把一個本來不穩(wěn)定的反應(yīng)器狀態(tài)變成穩(wěn)定狀態(tài)。設(shè)控制裝置對反應(yīng)器增加了一個正比于溫度偏差的移熱速率，使得總的移熱速率成為試給出相應(yīng)條件下釜式反應(yīng)器的熱穩(wěn)定性判據(jù)并結(jié)合圖2.6分析在何種情況下系統(tǒng)只存在唯一且穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)解。解：反應(yīng)器的質(zhì)量與熱量衡算方程：設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)定解為，考慮系統(tǒng)的小擾動：代入衡算方程，得到擾動滿足的瞬態(tài)方程：式中將和展開為泰勒級數(shù)，并忽略二階及其后的高階項，得到線性近似方程：上述方程的特征根為以下代數(shù)方程的解：式中特征根實部的正負(fù)由參數(shù)和決定，分為以下情況：當(dāng)時，兩特征根的實部均為負(fù)值，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。當(dāng)或時，至少有一個特征根的實部為正值，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)時，兩特征根為相異的虛根，x與y將圍繞穩(wěn)態(tài)進(jìn)行振蕩，系統(tǒng)穩(wěn)定但不是漸近穩(wěn)定。因此漸近穩(wěn)定時的判據(jù)為：當(dāng)直線形的移熱曲線與S形的放熱曲線只有一個交點時，表明系統(tǒng)只存在唯一且穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)解。第三章習(xí)題1.（√）設(shè)函數(shù)，是一階擬線性偏微分方程（1.1）的解，是任意常數(shù)，求證：的任意函數(shù)也是方程（1.1）的解。證明：由分別對x，y求導(dǎo)，得由于g1，g2滿足偏微分方程（1.1），因此有將方程分別對x，y求導(dǎo)（7）將（7）代入偏微分方程（1.1）左端，再利用關(guān)系式（6），得（8）說明偏微分方程（1.1）也得到滿足，因此也是方程的解。2.求下列方程的通解（1）解：由于與存在函數(shù)關(guān)系，我們得到方程的通解為，為任意函數(shù)（2）解：方程通解表示為隱函數(shù)，為任意函數(shù)（3）解：由（2）得：代入（1）得：整理得：兩邊同乘以得：即：由于與存在函數(shù)關(guān)系，我們得到方程的通解為，為任意函數(shù)（√）求下列問題的解解：該問題的特征線方程為（1）初始曲線表示為（2）由（1）、（2）聯(lián)立解出（3）消去s,，得（4）解：特征線方程為（1）（2）由方程（1）解出（3）由初值（2）得代回方程（3），消去s,，得4．（√）在固定化酶反應(yīng)器中，生物活性細(xì)胞被制備成顆粒狀填充于固定床中，反應(yīng)動力學(xué)由Michaelis-Menten方程給出，設(shè)流動為平推流，初、邊值由給出，求濃度分布。解：依題意，該固定床反應(yīng)器的數(shù)學(xué)模型為（1）上述問題的特征線方程為（2）初始曲線I由方程（1）解出初值影響區(qū)的解消去，得邊值影響區(qū)的解消去，得5.變截面色譜柱中的線性吸附曲線由以下方程表述式中，流量為常數(shù)，，為截面積，若定義以下無量綱變量,則可將方程化為以下形式現(xiàn)考慮環(huán)形平面區(qū)域的色譜過程，為溶質(zhì)注入端的環(huán)形邊界半徑，設(shè)問題為圓對稱，初始濃度為0，注入的溶質(zhì)濃度為常數(shù)，請在r-t平面上繪出邊值影響區(qū)的特征線，并討論截面積的變化對波在r方向傳播的影響。解：其特征線方程為:在邊值影響區(qū)，特征線為用r、t表示后為邊值影響區(qū)的特征線即如上圖所示。由上圖可看出，隨r增大，A(r)增大，增大，減小，在r方向上的波速減小。此外，A(r)還跟該環(huán)形區(qū)域的厚度有關(guān)，即式中的值，當(dāng)增大時，A(r)增大，特征曲線的曲率增大，增大，減小，在r方向上的波速減小。所以，總的來說，隨A(r)增大，特征曲線的曲率增大，增大，減小，在r方向上的波速減小。（√）河口附近漲潮后形成水位h的梯級分布落潮時的水位遵循以下方程請描述水位h在落潮時的衰減過程。解：該問題的特征線方程為（1）初始曲線（2）由（1）解得（3）代入（2）中消去初始變量，就得到用隱函數(shù)分段表示的解h(z,t)。7.移動床平衡色譜模型在Langmuir吸附情況下由以下方程給出 求： 1）對于單組分色譜問題，根據(jù)波的追趕現(xiàn)象討論移動床中激波生成的條件，并給出激波間斷關(guān)系。 2）對于雙組分吸附分離問題，給出穩(wěn)態(tài)條件下的解答。設(shè)進(jìn)料流股中含有A、B兩種組分，試確定合適的操作速度r以便將A、B分離。解：1）對于單組分色譜問題，模型簡化為其中，令得模型的特征曲線方程為由前兩式可得波速的方程當(dāng)時，，波速為正方向，此時通量－濃度關(guān)系為下凸型，隨著濃度c的增加，波速單調(diào)遞增。當(dāng)時，，波速為反方向，此時通量－濃度關(guān)系為上凸型，隨著濃度c的增加波速單調(diào)遞減。因此，激波生成條件可見下表：下凸型（）上凸型（）前低后高型（）激波稀疏波前高后低型（）稀疏波激波根據(jù)激波間斷條件，取，則有由于飽和問題不產(chǎn)生激波，因此只考慮洗脫問題：設(shè)，，。圖1.洗脫過程濃度分布圖圖1.洗脫過程濃度分布圖圖1給出了濃度分布圖像及相應(yīng)的特征線，由于，每條特征線的濃度保持常數(shù)。曲線S右側(cè)的特征線來自初值影響區(qū)，該區(qū)域，因此，濃度波的速度可由波速方程中令得到，為一組平行的直線；S左側(cè)的特征線來自邊值影響區(qū)，從t軸出發(fā)，該區(qū)域，因此，濃度波的速度可由波速方程中令得到，為一組平行的直線。因此，令，對上式進(jìn)行積分可得其中為積分常數(shù)。由初始條件，得到＝0。由此最終得到激波軌跡的解答：2）在穩(wěn)態(tài)條件下，＝0。設(shè)組分A濃度為，初始濃度為；組分B濃度為，初始濃度為。因此模型簡化為兩個常微分方程：對上述兩式進(jìn)行積分可得：其中，、為積分常數(shù)。根據(jù)初始條件、可確定、的大小。解方程可得為使A、B組分充分分離，這里假設(shè)A為弱吸附組分，B為強吸附組分。調(diào)整使A在床層中正向傳輸而B在床層中反向傳輸，則可達(dá)到理想的分離效果。移動床中溶質(zhì)的凈通量為所以由，解得8. 在一定的濃度范圍，某離子交換過程的等溫線可用表示，離子交換柱的模型為請對以下兩種情況給出兩題的解答飽和過程；洗脫過程。解:將吸附等溫線代入離子交換色譜柱模型中，得到：該模型的特征曲線方程為：由前兩式可得波速方程1）對于飽和過程，，，。相應(yīng)的初始曲線在t-x平面上的投影為x軸與t軸。由可知，在濃度曲線上濃度c恒定。該過程濃度分布如圖2所示：在左邊區(qū)域，自t軸引出的特征線、、…的任意一點的斜率，由于為常數(shù)，所以該斜率也為常數(shù)，特征線為一組發(fā)散的平行直線。由可得初始曲線，，。求解特征曲線方程可得該區(qū)域，該區(qū)域圖2.飽和過程濃度分布圖在右邊區(qū)域，自x軸引出的特征線、、…的任意一點的斜率，由于為常數(shù)，所以該斜率也為常數(shù)，特征線為一組發(fā)散的平行直線。由可得初始曲線，，。求解特征曲線方程可得該區(qū)域，該區(qū)域圖2.飽和過程濃度分布圖由于，所以兩組特征線自原點發(fā)散，沒有交點，中間形成一個空白區(qū)域，該區(qū)域濃度恒為0，即，該區(qū)域因此，飽和問題的解為2）對于洗脫問題，，。相應(yīng)的初始曲線在t-x平面上的投影為x軸和t軸，由于可知在特征線上濃度c恒定。其濃度分布如圖3所示。對比本題偏微分方程與方程可知，在本題中，。由圖可知，、沿曲線S出現(xiàn)強間斷，間斷面為。由激波間斷條件可得：在激波曲線S左側(cè)為邊界影響區(qū)，由知該區(qū)域特征線上濃度恒定，由邊界條件可知，。代入激波間斷條件可得。由初始條件對上式進(jìn)行積分可得：因此，洗脫問題的解為：圖3.洗脫問題濃度分布圖圖3.洗脫問題濃度分布圖9.（√）高速公路單行道上由于交通事故而塞車，但塞車段長度達(dá)到時事故排除恢復(fù)正常通行。設(shè)塞車段后方車輛密度為，交通流方程為(3.24)~(3.26)，求恢復(fù)通行后的車流密度與車速分布。解：交通流問題的車流密度由以下方程描述分析：車輛密度波的波速為 波速隨密度單調(diào)降低，因此，在x=-處，初始時刻就將形成一個激波，沿x軸反向傳播，波速由激波間斷條件確定；而在x=0處，形成一個中心稀疏波，沿x軸正反兩個方向傳播，其波速和軌跡由特征線方程確定；經(jīng)過一定時間間隔后，反向傳播的稀疏波將趕上反向傳播的激波前沿，形成侵蝕，類似于3.1節(jié)介紹的化學(xué)劑段塞的運動圖象；最后，由于稀疏波的不斷侵蝕，激波消失?？刹捎门c3.1節(jié)類似的分析方法獲得稀疏波侵蝕后的解答。10.某色譜反應(yīng)器的吸附等溫線為Freundlich型化學(xué)反應(yīng)為一級反應(yīng)，，求：解出階躍注入時的濃度分布；（2）討論當(dāng)時的定常吸附情況，這時有兩種做法：一種是先求出任意m值情況下的解然后再取極限；另一種是先在數(shù)學(xué)模型中直接取極限，然后再求解該數(shù)學(xué)模型。兩種結(jié)果有很大差異，分析其原因并判斷哪一種結(jié)果更為合理？解：式中其特征曲線方程為由前兩式可得波速方程由于m>1,波的傳播速度隨濃度c的增加而增大，因此根據(jù)我們的初值和邊界條件，必然發(fā)生波的追趕而且初始間斷面從一開始就是激波面。其濃度分布和相應(yīng)特征線分別如下圖a、b所示（a）(b)根據(jù)激波間斷條件有，在初值影響區(qū)，由特征線方程組所以可得當(dāng)時，解為如果在數(shù)學(xué)模型中直接取極限，則：問題變?yōu)槠酵屏鞣磻?yīng)器的動態(tài)響應(yīng)，解得（具體過程參見教科書p143）：在初值影響區(qū)（）在邊值影響區(qū)（）應(yīng)該以第一種解法為宜，因為當(dāng)m趨于無窮大時，仍然有吸附平衡的問題，在t=0的兩側(cè)，反應(yīng)器中的吸附濃度不是從0階躍到K，而是同樣也要經(jīng)歷一個平衡飽和的過程，但是在第二種解法中，則把整個色譜反應(yīng)器內(nèi)的n處理為了階躍的函數(shù)，這實際上是由于函數(shù)在c趨向于零的同時m趨向于無窮，這個時候?qū)⑺O限看為一個確定值是不合適的。所以第一種解法更合理。11.聚合物驅(qū)油過程的分流函數(shù)在一定條件下可用下式表述設(shè)，求上述驅(qū)油問題的解并討論粘度比增大對驅(qū)油過程的影響（可設(shè)粘度比在0.1~10之內(nèi)變化）。解：波速或特征線方程為：由-----------------------------------------------------------（1）代入式（3.5.58）：------------------------------------------------------------（2）與已知f表達(dá)式對照可得-------------------------------------（3）將方程（1）與方程（3）代入（3.3.63），并令得：---------------------------------------------------------（4）可得：當(dāng)，同時時，關(guān)系曲線如圖：可見，a在0.2到20之間變化時，方程（4）存在0～1之間的解，且隨著a的增大而增大。因此，該注水驅(qū)油問題的完整解答如下：無線性間斷波；中間稀疏波由方程（4）確定；激波由方程（4）確定；初值影響區(qū)當(dāng)黏度比增大時，隨之增大，高飽和區(qū)間變小，而低飽和區(qū)間變大，同時激波軌跡值增大。12.對于雙組分Langmuir吸附問題，若色譜柱內(nèi)初始時刻含有溶質(zhì)，即試討論當(dāng)初始組成（c10，c20）給定時，對于不同的進(jìn)料組成（c1f，c2f），溶質(zhì)在色譜柱內(nèi)的大致分布情況，請在濃度平面上繪出不同進(jìn)料狀態(tài)下的組成路線，確定不同相干波的類型，并草繪出相應(yīng)的濃度空間分布。解：對于雙組分Langmuir吸附問題，若色譜柱內(nèi)初始含有溶質(zhì)，即t＝0：c1＝c10，c2＝c20x＝0：c1＝c1f，c2＝c2f試討論當(dāng)初始組成（c10，c20）給定時，對于不同的進(jìn)料組成（c1f，c2f），溶質(zhì)在色譜柱內(nèi)的大致分布情況，請在濃度片面上繪出不同進(jìn)料狀態(tài)下的組成路線，確定不同相干波的類型，并草繪出相應(yīng)的濃度分布空間。解：由雙組分Langmuir吸附問題的解我們可以得到特征路徑，它們是由方程的奇異解和通解共同確定的，如下所示。圖3.12.1雙組分Langmuir吸附問題的特征路徑當(dāng)初始組成I（c10，c20）給定時，不同的進(jìn)料組成F（c1f，c2f）總是需要沿著特征路徑按照一定的方向先經(jīng)過M（定常態(tài)）再到達(dá)初始組成I點。路線方向由規(guī)則1確定：從進(jìn)料狀態(tài)F到初始狀態(tài)I的組成路線總是首先沿著過F點的、具有最低波速的慢路徑行進(jìn)，然后順序轉(zhuǎn)換到次慢的特征路徑，最后沿著最快的特征路徑到達(dá)初始狀態(tài)I。而相干波的類型則由規(guī)則2確定：如果沿著組成路線的方向波速增大，則與此相應(yīng)的相干波為稀疏波，如果減小則為激波。對于Langmuir吸附，若沿組成路線的方向強吸附組分濃度增大，則該相干波為稀疏波，否則就是激波。根據(jù)不同進(jìn)料組成F與初始組成I相對位置，有以下4種情況：進(jìn)料F點位于初始I點右下位置右下位置是相對于I點所在特征路徑而言，即由I點發(fā)出的慢路徑和由指向I點的快路徑包括的部分。圖3.12.2濃度空間的特征路徑網(wǎng)絡(luò)與組成路線根據(jù)上述兩條規(guī)則我們不難判斷組成路線及相干波的類型，F(xiàn)點先沿著慢路徑到達(dá)定常點M，方向與c2（強吸附組分）增大的方向相反，為激波；到達(dá)M后再沿著快路徑達(dá)到初始點I，為稀疏波，簡圖如下所示圖3.12.3情況1組成路線簡圖組成路線確定之后，就需要根據(jù)特征線法確定x－τ平面上的特征線。組成路線為F→M→I，激波F→M的特征線在圖3.12.4（上）中為一條重合的直線C＋，其左側(cè)濃度為進(jìn)料狀態(tài)F，右側(cè)為定常狀態(tài)M。稀疏波M→I的特征線對應(yīng)于扇型直線族C－，其中不同的特征線攜帶著M到F點之間不同的濃度組成，其斜率(c)隨著濃度由M點趨向I點而逐漸減小。在激波特征線C＋與稀疏波特征線族C－之間的區(qū)域為濃度平臺區(qū)，該區(qū)域的濃度值恒為定常狀態(tài)M，不隨特征線斜率變化。從x軸到特征線族C－之間的區(qū)域為初始狀態(tài)區(qū)，該區(qū)域尚未受到濃度波的擾動。根據(jù)特征線圖3.12.4（上），我們?nèi)菀子蓤D解法得到任意時刻=1的各組分濃度空間分布。在圖中作平行于x軸的直線=1，該直線與各特征線相交于不同的空間位置x1,x2,x3,，由于各特征線上的濃度值是已知的，連接各交點處的濃度值就可繪出該時刻不同組分的空間分布，示于圖3.12.4（下）。圖3.12.3情況1x-平面上的特征線（上）＝1時刻的濃度空間分布（下）2）進(jìn)料F點位于初始I點左下位置圖3.12.5情況2組成路線簡圖按照以上同樣的方法我們可以得到組成路線簡圖、特征線圖及濃度空間分布圖。圖3.12.6情況2x-平面上的特征線（上）＝1時刻的濃度空間分布（下）3）進(jìn)料F點位于初始I點右上位置圖3.12.7情況3組成路線簡圖圖3.12.8情況3x-平面上的特征線（上）＝1時刻的濃度空間分布（下）4）進(jìn)料F點位于初始I點左上位置圖3.12.9情況4組成路線簡圖圖3.12.10情況4x-平面上的特征線（上）＝1時刻的濃度空間分布（下）第四章習(xí)題1.（√）判別以下方程的類型，并指出變系數(shù)中自變量取值范圍（1）（2）（3）（4）解：（1）a＝1，b＝2，c＝3，b2－ac>0，是雙曲型方程（2）b＝0.5，b2－ac>0，是雙曲型方程（3）b2－ac＝x2y2，當(dāng)x＝0或y＝0時，是拋物線型方程，否則是雙曲型方程（4）b2－ac＝xy，當(dāng)x＝0或y＝0時，是拋物線型方程，當(dāng)x和y同號時是雙曲型方程，否則是橢圓型方程2.（√）證明：（1）圓形區(qū)域上Laplace方程在圓對稱情況下的通解為式中r為徑向極坐標(biāo)，A、B為任意常數(shù)（2）球形區(qū)域上Laplace方程在球?qū)ΨQ情況下的通解為式中r為徑向球坐標(biāo)，A、B為任意常數(shù)證明：（1）在極坐標(biāo)下，圓型區(qū)域內(nèi)，laplace方程的表達(dá)式為在圓對稱情況下，原方程可化為，解得（2）同理可證3.（√）用分離變量法求解以下一維熱傳導(dǎo)方程的定解問題(1)解：設(shè)由（4）（5）代入（2）其中An由下式確定：(2)解：首先將方程化齊，為此，令代入方程，得解得于是用分離變量法解問題（12）得特征值特征函數(shù)及 因此，問題的解為4.解下列矩形域的拉普拉斯方程定解問題解：首先假設(shè)問題的解具有以下變量分離的形式（1）代入原方程，得到關(guān)于X(x)的特征值問題和Y(y)的方程（2）（3）類似與書P199中對于方程（4.2.5）、（4.2.6）的討論，這里的參數(shù)λ只能取正值，否則只能得到零解。因此方程（2）的通解是（4）由邊界條件X'(0)=0知c2=0，再由知，若要有非零解,c1≠0，必須＝0，由此λ應(yīng)取以下值（n=1,2,3,…）（5）由此得到（n=1,2,3,…）（6）由方程（3）可得（7）將λ值代入方程（7），得（n=1,2,3,…）（8）從而由方程（1）得到，（9）式（9）中An=A1nCn，Bn=B1nCn，均為任意常數(shù)。根據(jù)疊加原理構(gòu)造以下級數(shù)形式的解（10）令上式滿足y的邊界條件，得到確定系數(shù)An，Bn的方程將以上兩式的右端展開為的傅立葉級數(shù)，然后逐項比較系數(shù)，得到由此解得代入方程（10），于是問題的解最終為（n=1,2,3,…）5．對于第一章習(xí)題2所述的池塘結(jié)冰問題，如果空氣溫度TW每天呈現(xiàn)周期性變化，其規(guī)律用以下方程描述 求冰層中的溫度分布及厚度l的時間變化趨勢，若給定冰的導(dǎo)溫系數(shù)，TW＝－10℃，T＝5℃，＝86400s，再問冰凍三尺需幾日之寒？ 提示：在求冰層中溫度分布時，其厚度可作為常數(shù)考慮。在一般情況下，還可以將氣溫TW進(jìn)一步考慮為時間t的Fourier級數(shù)以反映天氣的逐日變化和中長期變化的影響。解：a）可用一維熱傳導(dǎo)方程來描述該過程，假定厚度l不變假定定解為下列形式，T=F(t)G(x)。由于溫度變化是周期的，則F(t)中解的指數(shù)為虛數(shù)，原一維熱傳導(dǎo)方程可化為即解得由此將產(chǎn)生4個特解當(dāng)時，T有界，故將T4和T3舍去，將T1和T2相加得到另一個特解用三角函數(shù)進(jìn)行表示，依照邊界條件確定常數(shù)A，B和λ比較得在x＝0處，其平均溫度是零瞬間時初始瞬變的結(jié)果。這一變化的階梯解是：將此式子附加至解，得:上式并不滿足初始條件，所以不能用于很小的時間范圍。但是對于很大的t值，趨于零，結(jié)果形成的表示式可以很好地表示在初始瞬變已消失的情況下的周期溫度分布：b）厚度l的時間變化趨勢由一維熱傳導(dǎo)公式可得：其中為潛熱兩端分別積分可得將具體數(shù)值代入上式，用matlab解得t＝6882779.6s＝79.6天。隨著時間的增加，負(fù)積溫逐漸累積，冰層不斷加厚，但是速度越來越緩慢。6．（√）求圖示的半環(huán)形區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)態(tài)溫度分布()邊界條件為：當(dāng)r＝c時，u＝u0，其余邊界保持0度。解：極坐標(biāo)系下的熱傳導(dǎo)方程為（提示：本題作法與第四章第2節(jié)情況3介紹的圓上Laplace方程的第一邊值問題解法類似，參見p204，區(qū)別有兩點：一是此處為半圓，0<<，需要用＝0和＝處的齊次邊界條件代替式（2.34）的周期性邊界條件來確定特征值；二是此處為環(huán)形區(qū)域，不包括r=0點，因此允許方程（2.37）中R(r)的兩個解同時存在，然后根據(jù)內(nèi)、外兩條半圓形邊界上的條件確定級數(shù)展開式的系數(shù)。）7.（√）在一降膜反應(yīng)器中，液膜在重力下沿固壁表面向下流動，吸收氣相中的反應(yīng)組分并在液相中進(jìn)行一級化學(xué)反應(yīng)，參見圖7.1。設(shè)膜內(nèi)流速分布由下式給出（此處y＝０為氣液界面）則膜內(nèi)反應(yīng)物的濃度分布由以下方程描述式中δ為膜厚，D為反應(yīng)物在液相中的擴(kuò)散系數(shù)，k為一級反應(yīng)速率常數(shù)。邊界條件為試導(dǎo)出上述問題的特征值問題，判斷特征值和特征函數(shù)是否存在，給出其正交性定義。假設(shè)特征函數(shù)Yn(y)為已知,試給出膜內(nèi)濃度分布c(x,y)的級數(shù)形式的解，并給出其中系數(shù)的計算公式。解：首先將邊界條件化零，為此令-------------------------------------------（1）得------------------------------------------------（2）解出化為u的齊次邊值問題------------------------------------------（4）其次，解上述問題，令，得-----------------------------------（5）-------------------------------------------------(6)-------------------------------------(7)式（7）為方程（4）的特征值問題，由于，故由Sturm-Liouville問題的基本定理，特征值及特征函數(shù)都存在，且特征函數(shù)帶權(quán)函數(shù)v(y)/D正交，正交性定義如下特征根＝n由問題（7）中的齊次邊界條件確定。最后，假定特征值問題（7）的解Yn(y)已獲得，則由（6）--------------------------(9)系數(shù)An由下式確定于是所求的解答為8.證明對于周期邊界條件由方程(4.3.7a)所確定的特征函數(shù)在[a,b]內(nèi)是帶權(quán)ρ(x)正交的。解：假設(shè)，則有(1)×ym－(2)×yn得對上式兩端積分得應(yīng)用邊界條件上式可變?yōu)橥瑫r由于周期性邊界條件且，因此，即特征函數(shù)ym、yn得帶權(quán)正交。若周期性條件滿足第一類齊次條件或者第二類齊次條件或自然邊界條件，顯然，同樣得證。9.（√）將以下特征值問題化為sturm－Liouville方程的規(guī)范形式，并求出特征值和特征函數(shù)解：將特征值方程化為規(guī)范形式如下顯然特征根0，特征函數(shù)yn(x)帶權(quán)e-2x正交方程的通解為為使方程有非零解，可令通解可表示為由邊界條件和使問題有非零解，只有因此特征值為相應(yīng)的特征函數(shù)為10．（√）設(shè)一半徑為R的均質(zhì)圓盤，周邊維持在溫度TR,上下表面與環(huán)境有熱交換，初始溫度為T0，則圓盤的溫度分布可用以下問題描述解：令原方程化為再將邊界條件化齊，設(shè)特解由以下方程確定將以上方程化為0階變形Bessel方程，并根據(jù)邊界條件得到再求解的齊次邊值問題令，分離變量后得到特征值問題的解為0階Bessel函數(shù)最后用富里葉－貝賽爾級數(shù)表示由,v(r)得到F，再得到T的分布11．（√）在原子能電站的反應(yīng)堆中，球形的核燃料顆粒（鈾或钚）在受控裂變時生成速率為Q的單位體積熱源，這一熱量必須通過流動的冷卻劑移出反應(yīng)器。為了了解和預(yù)測顆粒溫度的變化，需要考慮不定常的熱量衡算方程。對于單顆粒燃料，該方程為初始與邊界條件式中Tf為流動的冷卻劑流體溫度(常數(shù))。試用分離變量法求出顆粒上的溫度分布。解：該問題的方程與邊值中都含有非其次項，難以直接用分離變量法，但可用疊加特解的辦法同時將其化其或消去，為此令得令，式（6）化為 解得當(dāng)，F(xiàn)有限，所以A＝0，代入（6）中的邊界條件得：由（10）即可解出特征值，特征函數(shù)由(5)因此，所求得解為12.（√）現(xiàn)代血液透析裝置（人工腎）的原理類似于一個逆流列管式換熱器，由大約一百萬只微孔中空纖維管束組成，每只中空纖維的管壁為聚合物半滲透膜。當(dāng)血液從管的一頭注入向另一頭流出時，有害溶質(zhì)如尿酸等就透過管壁膜滲出管外，由管間的透析液體（通常不含尿酸）帶出。溶質(zhì)在中空纖維管中的流動與傳遞可由以下方程描述式中v0為血液流速（常數(shù)），D是溶質(zhì)在血液中的擴(kuò)散系數(shù)。設(shè)未透析的血液中含溶質(zhì)濃度為c0，則入口端邊界條件為z=0:c=c0壁面的邊界條件為式中cD為管外透析液中的溶質(zhì)濃度（一般取為０），K0L為半滲透膜的傳質(zhì)系數(shù)，代表管壁和管外表面的傳質(zhì)阻力，即這里tw為管壁厚度，Dw為溶質(zhì)通過管壁的擴(kuò)散系數(shù)，k0為管外側(cè)的傳質(zhì)系數(shù)。為了實時預(yù)測透析效果及透析速度v0的影響，需要求解上述問題。試用分離變量法求解并證明在出口端z=l處，溶質(zhì)的截面平均濃度由以下關(guān)系式給出式中，特征值λn由下式確定解：不妨取cD為零（或者先將邊值化齊也可以得到同樣的結(jié)果），令由（3）得由于在r＝0處有奇異性，故有B＝0，于是由邊界條件（3）上式可確定出特征值，特征函數(shù)為 于是問題的解為由Bessel函數(shù)的性質(zhì)（第93頁（5.47）式）再由p222頁腳注上式結(jié)合邊界條件（6）得平均濃度為于是令，式中由確定。至此，公式證畢。13.求一球殼內(nèi)的軸對稱穩(wěn)態(tài)溫度分布，設(shè)在球殼表面r=R1上溫度分布為已知T=f1(θ)；在球殼內(nèi)表面r=R2上，溫度分布為T=f2(θ)，試用Lengendre函數(shù)給出殼體內(nèi)的溫度分布。解：問題由球坐標(biāo)系中的Laplace方程描述，在軸對稱及穩(wěn)態(tài)溫度