2024～2025學(xué)年度八年級數(shù)學(xué)上冊第1課時 分式方程及其解法教學(xué)設(shè)計

15.3分式方程第1課時分式方程及其解法教學(xué)目標課題15.3第1課時分式方程及其解法授課人素養(yǎng)目標1.理解分式方程的意義，掌握解分式方程的一般方法和步驟.2.理解解分式方程時可能無解的原因，并掌握解分式方程中驗根的方法.3.在將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，找解分式方程的方法中培養(yǎng)學(xué)生樂于探究、合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣.教學(xué)重點解分式方程的基本思路和方法．教學(xué)難點理解解分式方程時可能無解的原因.教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：創(chuàng)設(shè)情境，引入新知設(shè)計意圖通過經(jīng)歷列分式方程的過程發(fā)展學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生的探究欲與學(xué)習(xí)熱情，為探索分式方程的概念和解法做準備.【情境引入】問題一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h，它沿江以最大航速順流航行90km所用時間與以最大航速逆流航行60km所用時間相等，江水的流速為多少？如果設(shè)江水的流速為vkm/h，則(1)輪船順流航行的速度為(30＋v)km/h，逆流航行的速度為(30－v)km/h；(2)順流航行90km所用的時間為eq\f(90,30＋v)h，逆流航行60km所用的時間為eq\f(60,30－v)h；(3)根據(jù)題意可列方程為：eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v).思考方程eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)與以前所學(xué)的整式方程有何不同？【教學(xué)建議】教師呈現(xiàn)問題后，需留充足的時間讓學(xué)生獨立思考，教師主導(dǎo)，學(xué)生自主研究，讓學(xué)生切實體會自我探索后得出結(jié)論的成就感.活動二：實踐探究，獲取新知設(shè)計意圖通過回憶一元一次方程的概念引出分式方程的概念，并通過例題鞏固加深對概念的理解.探究點1分式方程的概念問題1大家回憶一下，什么是一元一次方程？只含有一個未知數(shù)(元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為1(次)的整式方程叫做一元一次方程．如：3x－5＝3.問題2觀察活動一中所列方程eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)有什么特征？答：分母中含有未知數(shù)v.概念引入：像這樣分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程.我們以前學(xué)習(xí)的方程都是整式方程，它們的未知數(shù)不在分母中.例判斷下列方程是不是關(guān)于x的分式方程.(1)1－eq\f(1,x)＝2－eq\f(2,x)；(2)eq\f(a,x2－4)＝7；(3)eq\f(x,π)＋ax＝b;(4)eq\f(a＋x,b)＝eq\f(b－x,n)＋6.解：(1)是．(2)是．(3)不是．(4)不是.【教學(xué)建議】教師強調(diào)：1.分式方程應(yīng)滿足的條件(缺一不可)：(1)是方程；(2)含有分母；(3)分母中含有未知數(shù).2.判斷分式方程是對原方程本身做判斷，而不是變形后.3.并不是分母含字母的就是分式方程，如例(4)中分母含字母，但不是未知數(shù)；例(3)含字母π，但π是常數(shù)，不是未知數(shù).教學(xué)步驟師生活動【對應(yīng)訓(xùn)練】下列方程中，a，b為已知數(shù)，x為未知數(shù)：eq\f(x,2)＋eq\f(x,3)＝eq\f(1,4)；②eq\f(2,x2)＋eq\f(3,x)＝4；③eq\f(x,a)＋eq\f(a,b)＝x；④eq\f(5,x2－1)＋2＝eq\f(x－1,x2＋1)；⑤eq\f(x2,x)＝0.其中關(guān)于x的分式方程有哪幾個？解：關(guān)于x的分式方程有②④⑤.設(shè)計意圖由分式方程的特點引出解分式方程的基本思路，在構(gòu)建知識體系的過程中得到再一次的提升.設(shè)計意圖通過此具體例子展現(xiàn)解分式方程可能出現(xiàn)増根的現(xiàn)象，并結(jié)合例子分析何種情況下產(chǎn)生増根，進而歸納檢驗増根的方法，這樣處理是想以典型例子為示范，簡明地說明檢驗増根的方法，以及這樣做所依據(jù)的道理，做到既說明做法的合理性，又適可而止，不超越學(xué)生的實際理解水平.探究點2分式方程的解法問題1七年級我們已經(jīng)熟悉一元一次方程的解法了，但是分式方程的分母中含未知數(shù)，因此解分式方程是一個新的問題．能否將分式方程化為整式方程呢？我們先來看看如何解這個方程：eq\f(2－3x,3)－2＝eq\f(x＋2,6).第一步就是方程兩邊同時乘公分母6，去掉分母，那么通過類比，我們自然會想到通過“去分母”實現(xiàn)分式方程的轉(zhuǎn)變，所以大家可以嘗試著解一解活動一中所列的方程！解方程：eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v).解：最簡公分母為(30＋v)(30－v)，方程兩邊同時乘最簡公分母可化為整式方程，得90(30－v)＝60(30＋v).化簡，得2700－90v＝1800＋60v(此方程是整式方程).解方程得v＝6.教師歸納解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊乘最簡公分母．這也是解分式方程的一般方法.思考：解分式方程的步驟完成了嗎？帶著這個問題我再來看一個分式方程eq\f(1,x－5)＝eq\f(10,x2－25).為去分母，在方程兩邊乘最簡公分母(x－5)(x＋5)，得整式方程x＋5＝10.解得x＝5.問題2大家說說x＝5是原分式方程的解嗎？將x＝5代入原分式方程檢驗，發(fā)現(xiàn)這時分母x－5和x2－25的值都為0，相應(yīng)的分式無意義．因此，x＝5雖是整式方程x＋5＝10的解，但不是原分式方程eq\f(1,x－5)＝eq\f(10,x2－25)的解．實際上，這個分式方程無解.問題3上面兩個分式方程中，為什么eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而eq\f(1,x－5)＝eq\f(10,x2－25)②去分母后所得整式方程的解卻不是②的解呢？【教學(xué)建議】可先由學(xué)生回答如何解這個系數(shù)為分數(shù)的方程，再讓學(xué)生討論如何解這個分式方程，再在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上總結(jié)．也可列此圖幫助理解.【教學(xué)建議】教材通過對方程eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)，eq\f(1,x－5)＝eq\f(10,x2－25)的討論，經(jīng)過對比得出解分式方程時檢驗的必要性和具體檢驗方法．教學(xué)中要注意這是一個由特殊到一般的過程，即先讓學(xué)生對特例中的兩種情形有具體認識，然后推廣到一般情形，認識到解分式方程時需要檢驗，并知道怎樣檢驗，至于方程同解的理論問題，則不需做更多引申.教學(xué)步驟師生活動教師歸納一般地，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為0，因此應(yīng)做如下檢驗：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.所以我們可以解決“思考”中的問題了吧！是的，我們還缺一步檢驗！補充如下：檢驗：將v＝6代入原分式方程中，左邊＝eq\f(5,2)＝右邊，因此v＝6是原分式方程的解．由上可知，江水的流速為6km/h.教師總結(jié)：解分式方程的步驟可簡記為“一去，二解，三檢驗”.【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P150練習(xí)．【教學(xué)建議】教師需提醒學(xué)生在解分式方程時注意以下易錯點：一、解分式方程忘記檢驗.二、去分母時忘記加括號.三、去分母時漏乘不含分母的項.四、分母中有多項式時忘記分解因式后再找最簡公分母.活動三：典例精析，鞏固新知設(shè)計意圖例1屬于有解的情形，例2屬于無解的情形．通過這兩種類型使學(xué)生熟悉解分式方程的步驟及檢驗方法.例1(教材P151例1)解方程eq\f(2,x－3)＝eq\f(3,x).解：方程兩邊乘x(x－3)，得2x＝3x－9.解得x＝9.檢驗：當(dāng)x＝9時，x(x－3)≠0.所以，原分式方程的解為x＝9.例2(教材P151例2)解方程eq\f(x,x－1)－1＝eq\f(3,（x－1）（x＋2）).解：方程兩邊乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.解得x＝1.檢驗：當(dāng)x＝1時，(x－1)(x＋2)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解.所以，原分式方程無解.【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P152練習(xí).【教學(xué)建議】教學(xué)中可結(jié)合例1和例2引導(dǎo)學(xué)生理解本節(jié)課知識結(jié)構(gòu)圖的含義，還可提供一些解分式方程的技巧：在解分式方程時，若分母互為相反數(shù)，可改變其中一個分式及其分母的符號，然后去分母；若分母能分解因式，先分解因式再確定最簡公分母.活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1.分式方程的概念是什么？2.解分式方程的基本思路和一般方法是什么？關(guān)鍵步驟是什么？3.解分式方程為什么需要檢驗？如何檢驗？【知識結(jié)構(gòu)】教學(xué)步驟師生活動【作業(yè)布置】1.教材P154習(xí)題15.3第1題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時訓(xùn)練．板書設(shè)計15.3分式方程第1課時分式方程及其解法 1.分式方程的概念； 2.分式方程的解法； 3.分式方程的根的檢驗．教學(xué)反思本節(jié)課通過對比有分數(shù)系數(shù)的整式方程的解法啟發(fā)學(xué)生探究分式方程的解法，從而歸納出解分式方程的基本思路和一般方法．在教學(xué)過程中著重講解了分式方程為什么要檢驗，這是想讓學(xué)生理解增根的由來，從而牢記分式方程在解題后要進行檢驗，避免解題出錯．在完成解題步驟歸納之后，通過例題與練習(xí)讓學(xué)生在出錯、認識錯誤、改正錯誤中鞏固自身的運算能力，這樣才能達到預(yù)期的教學(xué)效果.解題大招一解分式方程的糾錯問題常見的解分式方程過程中，容易出錯的地方有：①漏乘無分母項；②去分母時，分子是多項式，沒有加括號；③去括號時，漏乘系數(shù)；④去括號時，沒變號；⑤移項未變號．例1小淇解分式方程eq\f(2,x－1)＝eq\f(2x,3x－3)－1的過程如下：解：方程兩邊乘3(x－1)，得6＝2x－(3x－3)．①去括號，得6＝2x－3x－3.②移項、合并同類項，得x＝－9.③檢驗：當(dāng)x＝－9時，3(x－1)≠0.所以，原分式方程的解是x＝－9.④以上步驟中，最開始出錯的一步是②(填寫對應(yīng)序號)．解析：去括號時，如果括號前面是減號，去括號后要把括號里的每一項都變號，依此可判定最開始出錯的一步是②.解題大招二含有字母系數(shù)的分式方程的解法解含有字母系數(shù)的分式方程與解含有實數(shù)系數(shù)的分式方程的方法一樣，也包括去分母、解整式方程、檢驗這三個步驟，只是要把未知數(shù)以外的字母當(dāng)作已知數(shù)，有時因為字母所表示的數(shù)未確定，所以需要進行分類討論或結(jié)合題目對字母系數(shù)進行限制．例2解關(guān)于x的方程：eq\f(a,x－a)＋b＝1(a≠0，b≠1)．分析：解含字母系數(shù)的分式方程，在驗根時，一定要根據(jù)字母系數(shù)的范圍，檢驗求得的解是否使最簡公分母為零．解：方程兩邊乘(x－a)，得a＋b(x－a)＝x－a.解得x＝eq\f(ab－2a,b－1).檢驗：當(dāng)x＝eq\f(ab－2a,b－1)時，x－a≠0.所以，原分式方程的解為x＝eq\f(ab－2a,b－1).解題大招三由分式方程的解確定字母的取值范圍先求出方程的解(用字母表示)，然后根據(jù)解的正負性，列關(guān)于字母的不等式求解，特別注意分母不能為0.例3若關(guān)于x的方程eq\f(2x＋a,x－1)＝1的解是正數(shù)，則a的取值范圍是a＜－1且a≠－2.解析：方程兩邊乘(x－1)，得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1.∵關(guān)于x的方程eq\f(2x＋a,x－1)＝1的解是正數(shù)，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范圍是a＜－1且a≠－2.解題大招四分式方程的増根類型一求分式方程的增根增根是使分式方程的分母為0的根，所以判斷增根只需令分式方程的最簡公分母為0；注意應(yīng)舍去不合題意的解．例4若方程eq\f(3,x－2)＝eq\f(a,x)＋eq\f(4,x（x－2）)有增根，則增根可能為（A）A．0B．2C．0或2D．1解析：∵最簡公分母是x(x－2)，方程有增根，則x(x－2)＝0，∴x＝0或x＝2.原分式方程去分母得3x＝a(x－2)＋4，當(dāng)x＝0時，2a＝4，則a＝2；當(dāng)x＝2時，6＝4不成立，∴增根為x＝0，故選A.類型二分式方程有增根，求字母的值分式方程有增根，求字母的值可按如下步驟進行：①令最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．例5如果關(guān)于x的分式方程eq\f(2,x－3)＝1－eq\f(m,x－3)有增根，則m的值為（B）A．－3B．－2C．－1D．3解析：∵原方程有增根，∴x－3＝0，即x＝3.方程兩邊同乘(x－3)，得2＝x－3－m①.把x＝3代入①，得m＝－2.故選B.培優(yōu)點分式方程無解，求字母的值例若關(guān)于x的分式方程eq\f(2,x－2)＋eq\f(mx,x2－4)＝eq\f(3,x＋2)無解，求m的值．分析：分式方程無解與分式方程有增根所表達的意義是不一樣的．分式方程有增根僅僅針對使最簡公分母為