2024～2025學年度八年級數學上冊第1課時 用“SSS”判定三角形全等教學設計

12.2三角形全等的判定第1課時用“SSS”判定三角形全等教學目標課題12.2第1課時用“SSS”判定三角形全等授課人素養(yǎng)目標1.掌握基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等，經歷探索“SSS”的過程，培養(yǎng)學生觀察、歸納及動手能力，發(fā)展學生的幾何直觀感知能力與推理能力.2.能用尺規(guī)作圖：已知三邊作三角形；作一個角等于已知角，培養(yǎng)學生分析與作圖能力.教學重點“SSS”的探索與運用，兩種尺規(guī)作圖教學難點用“SSS”判定三角形全等的探究過程教學活動教學步驟師生活動活動一：提出疑問，引入新課設計意圖引導學生明確探究方向是尋求使三角形全等的簡捷條件，從而引入新課【問題引入】我們知道，如果△ABC≌△A′B′C′，那么它們的對應邊相等，對應角相等.反過來，根據全等三角形的定義，如果△ABC與△A′B′C′滿足三條邊分別相等，三個角分別相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，就能判定△ABC≌△A′B′C′（如圖）.一定要滿足三條邊分別相等，三個角也分別相等，才能保證兩個三角形全等嗎？上述六個條件中，有些條件是相關的.能否在上述六個條件中選擇部分條件，簡捷地判定兩個三角形全等呢？本節(jié)我們就來討論這個問題.【教學建議】所謂“相關”，如全等三角形的兩個對應角相等，則由三角形內角和定理可知第三個對應角也相等.通過這種相關關系產生疑問，試圖從六個條件中選擇部分條件進行證明，從而明確探究目標.活動二：合作交流，新知探究設計意圖使學生經歷一個或兩個條件無法證明三角形全等的過程，經歷探索三角形全等的條件——“SSS”的過程，明白尺規(guī)作圖：已知三邊作三角形的原理并學會作圖方法，以及利用“SSS”進行簡單的證明..探究點1用“SSS”判定三角形全等探究1先任意畫一個△ABC.再畫一個△A′B′C′，使△ABC與△A′B′C′滿足上述六個條件中的一個(一邊或一角分別相等)或兩個(兩邊、一邊一角或兩角分別相等).你畫出的△A′B′C′與△ABC一定全等嗎？答：畫法不唯一，如下所示：一邊或一角分別相等：兩邊、一邊一角或兩角分別相等：【教學建議】通過探究1讓學生從滿足上述六個條件中的一個或兩個入手，探究在這樣的情形下能否保證兩個三角形全等.其中“一邊一角”只畫出一種情況，另一種角是邊的對角的情況可讓學生自己動手畫圖探究.教學步驟師生活動通過畫圖可以發(fā)現，滿足上述六個條件中的一個或兩個，△ABC與△A′B′C′不一定全等.滿足上述六個條件中的三個有哪些情況？它們能保證△ABC與△A′B′C′全等嗎？答：有三邊分別相等、兩邊一角分別相等、兩角一邊分別相等、三角分別相等四種情況.下面我們分情況討論△ABC與△A′B′C′是否全等.探究2先任意畫出一個△ABC.再畫一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把畫好的△A′B′C′剪下來，放到△ABC上，它們全等嗎？如圖給出了畫△A′B′C′的方法，你是這樣畫的嗎？探究2的結果反映了什么規(guī)律？由探究2可以得到以下基本事實，用它可以判定兩個三角形全等：注意：在列舉兩個三角形全等的條件時，一般是把同一個三角形的三個元素放在等號的同一側，并用大括號括起來.我們曾經做過這樣的實驗：將三根木條釘成一個三角形木架，這個三角形木架的形狀、大小就不變了．就是說，三角形三條邊的長度確定了，這個三角形的形狀、大小也就確定了.例(教材P36例1)在如圖所示的三角形鋼架中，AB＝AC，AD是連接點A與BC中點D的支架．求證△ABD≌△ACD.分析：要證△ABD≌△ACD，只需看這兩個三角形的三條邊是否分別相等.證明：∵D是BC的中點，∴BD＝CD.在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,BD＝CD，,AD＝AD，))∴△ABD≌△ACD(SSS).證明全等的書寫步驟：準備條件：證全等時要用的條件要先證好；②指明范圍：寫出在哪兩個三角形中；③擺齊根據：擺出三個條件用大括號括起來；④寫出結論：寫出全等結論.【對應訓練】教材P37練習第1～2題.【教學建議】探究2設計了一個作圖實驗：已知三邊作三角形，這是一種重要的作圖，在幾何中用途很多，這里采用了尺規(guī)作圖法，利用作一條線段等于已知線段的基本作圖．作出一邊B′C′后，就有了三角形的兩個頂點B′，C′，確定第三個頂點A′是關鍵．實際上該點是兩個圓的交點，這里只畫出了一個交點，兩弧在直線B′C′的另一側還有一個交點，因此可以畫出兩個三角形與△ABC完全重合．這里需讓學生充分經歷上述探究過程，再將“SSS”作為基本事實提出.【教學建議】設置例題讓學生應用“SSS”證明全等，這是學生第一次遇到全等問題的證明，先用分析法分析思路，然后在證明過程中演示證明格式，要讓學生注意體會、模仿．從例1可以看出，證明是由題設(已知)出發(fā)，經過一步步的推理，最后推出結論(求證)正確的過程．書寫中注意對應頂點要寫在同一個位置上，哪個三角形先寫，哪個三角形的邊就先寫.教學步驟師生活動設計意圖引入尺規(guī)作圖——作一個角等于已知角的方法并分析其原理，引導學生掌握.探究點2用尺規(guī)作一個角等于已知角由三邊分別相等判定三角形全等的結論，還可以得到用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的方法.問題：想一想，為什么這樣作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？答：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，根據“邊邊邊”可知△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′＝∠AOB.【對應訓練】如圖，用尺規(guī)作出∠OBF＝∠AOB，所畫痕跡弧MN是（D）A.以點B為圓心，OD的長為半徑的弧B.以點C為圓心，CD的長為半徑的弧C.以點E為圓心，OD的長為半徑的弧D.以點E為圓心，CD的長為半徑的弧【教學建議】作一個角等于已知角是課標要求的能用尺規(guī)完成的基本作圖，學生應了解作圖的原理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法．注意引導學生從作圖步驟中體會其中蘊含的數學知識，自行歸納出角相等是利用“SSS”得出的，從而加深對尺規(guī)作圖及原理的理解．活動三：綜合練習，鞏固提升設計意圖考查找尋邊相等的條件應用“SSS”判定三角形全等，提升學生對知識的掌握程度及用“SSS”證三角形全等的熟練程度.例如圖，AF＝DC，EF＝BC，AB＝DE，求證：△ABC≌△DEF.證明：∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,BC＝EF，,AC＝DF，))∴△ABC≌△DEF(SSS).【對應訓練】如圖，C是BD的中點，AB＝ED，AC＝EC，求證：△ABC≌△EDC.證明：∵C是BD的中點，∴BC＝DC.在△ABC和△EDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝ED，,AC＝EC，,BC＝DC，))∴△ABC≌△EDC(SSS).【教學建議】證明三角形全等時，往往三個條件不會直接給出，需通過推理得到，常遇到的由已知推出全等條件的情況有：利用中點的定義或線段的和(差)證明線段相等，利用垂直的定義、角平分線、三角形內角和定理或角的和(差)證明角相等(后面會利用到角相等的條件去證全等).活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應課時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.用一個條件能證明兩個三角形全等嗎？兩個條件呢？2.什么是“SSS”？你能用“SSS”判定兩個三角形全等嗎？3.你能用尺規(guī)作圖的方法已知三邊作三角形嗎？能作一個角等于已知角嗎？【知識結構】教學步驟師生活動【作業(yè)布置】1.教材P43～44習題12.2第1，2，9題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應課時訓練．板書設計12.2三角形全等的判定第1課時用“SSS”判定三角形全等 1.基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等(“邊邊邊”或“SSS”). 2.尺規(guī)作圖：已知三邊作三角形；作一個角等于已知角. 3.實際應用：用“SSS”判定三角形全等．教學反思本節(jié)課是三角形全等判定的第一課，主要講的是如何利用“邊邊邊”的條件證明兩個三角形全等．通過學生全過程的畫圖、觀察、比較、交流等，逐步探索出最后的結論——“邊邊邊”．在這個過程中，學生不僅得到了兩個三角形全等的條件，同時增強了數學體驗．學生掌握了全等三角形的判定方法，并且能靈活運用，就能為以后學習特殊四邊形、圓等知識打下良好的基礎.解題大招一用“SSS”判定三角形全等時找尋等邊的方法①根據中點(或中線)的定義得相等線段；②公共邊相等；③等長線段加(或減)等長線段，其和(或差)仍相等；④全等三角形的對應邊相等．例1如圖，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，求證：△ABC≌△AED.分析：逆向思維：△ABC≌△AED→eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AE→已知,AC＝AD→已知,BC＝ED→可由BD＝CE推得))證明：∵BD＝CE，∴BD－CD＝CE－CD，即BC＝ED.在△ABC和△AED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AD，,AB＝AE，,BC＝ED，))∴△ABC≌△AED(SSS)．解題大招二用“SSS”判定三角形全等解決實際問題當題目中沒有給出任何角的度數，要證明線段垂直或者某個角等于90°時，常常利用“平角＋一對等角”或者“兩直線平行，同旁內角互補＋一對等角”等解決問題．而用“SSS”判定三角形全等，從而利用全等三角形的性質得到一對等角是當前階段證明角相等的方式之一．例2如圖是工人師傅自己設計的測量水平的儀器．儀器中的AB＝AC，D是BC的中點，當鉛垂線經過點D時，工人師傅就斷定BC與地面平行．工人師傅的判斷有道理嗎？請說明理由．解：工人師傅的判斷有道理．理由如下：∵D是BC的中點，∴BD＝CD.在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,BD＝CD，,AD＝AD，))∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠ADB＝∠ADC.∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝eq\f(1,2)×180°＝90°.∴AD⊥BC.又AD與地面垂直，∴BC與地面平行．解題大招三全等三角形的判定方法“SSS”與性質的綜合學習全等三角形時，經常會遇到判定和性質綜合在一起考查，而利用性質去得到等線段、等角的先決條件就是先找到全等三角形．當前我們學習了“SSS”的判定方法，其中某些邊相等的條件隱藏在題設或圖形中，比如公共邊相等，有時候還可能會需要作輔助線解題．例3如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求證：∠BAD＋∠ADC＝180°.證明：如圖，連接AC.在△ADC和△CBA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝AB，,AD＝CB，,AC＝CA，))∴△ADC≌△CBA(SSS)，∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.例4如圖，AE＝CF，AD＝BC，E，F為BD上的兩點，且BE＝DF，若∠AED＝60°，∠ADB＝30°，求∠BCF的度數．解：∵BE＝DF，∴BE＋EF＝DF＋EF，即BF＝DE.在△BCF和△DAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝DA，,BF＝DE，,CF＝AE，))∴△BCF≌△DAE(SSS)，∴∠CBF＝∠ADB＝30°，∠CFB＝∠AED＝60°，∴∠BCF＝180°－∠CBF－∠CFB＝180°－30°－60°＝90°.培優(yōu)點一在網格中利用“SSS”找尋全等三角形的個數例1在如圖所示的6×5的網格中，△ABC是格點三角形(即頂點恰好是小正方形的頂點)，則與△ABC有一條公共邊BC且全等的所有格點三角形的個數是3.解析：所求格點三角形如圖所示，共有3個．培優(yōu)點二“SSS”與三角形三邊關系的綜合運用例2如果將四根木條首尾相連，在相連處用螺釘連接，就能構成一個平面圖形．如圖①是一個四邊形的木架，AB＝AD＝2cm，BC＝5cm.(1)扭動這個木架，四邊形的形狀就會改變，這說明了什么？(2)如圖②，若量得第四根木條CD＝5cm，則此時∠B與∠D是否相等？請說明理由．(3)在扭動這個木架的過程中，當測得A，C之間的距離為6cm時，若CD的長度是整數，則CD的長應為多少