東北三省精準(zhǔn)教學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析）

東北三省精準(zhǔn)教學(xué)2024年9月高三聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由指對(duì)數(shù)運(yùn)算分別得出集合,再應(yīng)用交集定義運(yùn)算即可.【詳解】由題可知,,,因此.故選：A.2已知，則（）A.10 B.20 C.40 D.80【答案】C【解析】【分析】結(jié)合展開式的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?2x+1)5展開式通項(xiàng)公式為，所以的系數(shù).故選：C3.已知是無(wú)窮數(shù)列，，則“對(duì)任意的，都有”是“是等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分性和必要性的判斷，直接論證即可.【詳解】對(duì)任意的，都有，令，可以得到，因此是公差為的等差數(shù)列；若，則，，，可得，故“對(duì)任意的，都有”是“是等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A4.攢尖式屋頂是中國(guó)古代傳統(tǒng)建筑一種屋頂樣式，如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個(gè)圓錐，已知該圓錐的底面直徑為，高為，則該屋頂?shù)拿娣e約為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中條件求出母線，再運(yùn)用圓錐側(cè)面積公式求出側(cè)面積，即為屋頂?shù)拿娣e.【詳解】由題知，圓錐底面圓半徑，高，則母線，因此圓錐的側(cè)面積為.即屋頂?shù)拿娣e為，故選：B.5.已知拋物線的焦點(diǎn)為，若拋物線上一點(diǎn)滿足，，則（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義及焦點(diǎn)與準(zhǔn)線距離列方程求參數(shù)即可.【詳解】過分別向軸和準(zhǔn)線做垂線,垂足分別為，根據(jù)拋物線定義，有，所以.故選：A6.如圖，是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過點(diǎn)在函數(shù)圖像上，得到，利用正、余弦的二倍角公式及切化弦即可求解.【詳解】因?yàn)槭呛瘮?shù)圖象上的一點(diǎn)，所以，由圖可知所以，所以故選：D7.已知函數(shù)，對(duì)任意的都有，且，則下列說法不正確的是（）A. B.是奇函數(shù)C.是上的增函數(shù) D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A，取即得；對(duì)于B，使代入推理即得；對(duì)于C，通過推理得到，取反例進(jìn)行驗(yàn)證即可否定結(jié)論；對(duì)于D，取，，推理得到是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列即得.【詳解】對(duì)于A，在中，令，得到，因此，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，令，得到，即，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由可化為，，記，則，不妨取函數(shù)，顯然符合條件，則，因，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，，得，即，又，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，故D正確.故選：C.8.已知直線與直線的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P到直線距離的取值范圍是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出兩直線所過定點(diǎn)，確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，結(jié)合圓上的點(diǎn)到定直線的距離的最值，即可求得答案；【詳解】直線，分別過定點(diǎn)，，且互相垂直，所以點(diǎn)P的軌跡是以為直徑的圓（不含點(diǎn)），這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.圓心到直線l距離為，因此圓上的點(diǎn)到直線l距離最大值為，最小為，取得最小值時(shí)圓上點(diǎn)的坐標(biāo)是，因此取值范圍是.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，，，所以選項(xiàng)ACD正確.故選：ACD10.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量X，Y，Z的n組數(shù)據(jù)，如下表所示：變量123…n平均數(shù)方差X…Y…Z…并對(duì)它們進(jìn)行相關(guān)性分析，得到，Z與的相關(guān)系數(shù)是，，Z與Y的相關(guān)系數(shù)是，則下列判斷正確的是（）附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，，相關(guān)系數(shù).A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】應(yīng)用平均數(shù)定義及回歸直線性質(zhì)判斷A,C,D,根據(jù)方差性質(zhì)判斷B選項(xiàng).【詳解】由已知得到選項(xiàng)AC正確,相關(guān)系數(shù)相等所以，D正確，由方差性質(zhì)可得，B錯(cuò)誤.故選：ACD.11.如圖，直四棱柱中，底面是菱形，其所在平面為，且，.O是，的交點(diǎn)，P是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（圖中未畫出）.則下列說法正確的是（）A.若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B.若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線C.若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線D.若動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為1，則為定值【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，可求，從而可得的軌跡的長(zhǎng)度；對(duì)于BC，根據(jù)空間中線面垂直可得的軌跡，從而可判斷BC的正誤；對(duì)于D，根據(jù)題設(shè)可得的軌跡為橢圓，計(jì)算出的長(zhǎng)度后可判斷D的正誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，故，故點(diǎn)的軌跡是以C為圓心，半徑為的圓，其軌跡長(zhǎng)度是，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，故總成立，故點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)且垂直的平面與的交線，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋庶c(diǎn)的軌跡是過的中點(diǎn)且垂直的平面與的交線，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)榭臻g中到直線的距離為1的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以為軸的圓柱面，因此點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)以O(shè)為中心的橢圓，短半軸長(zhǎng)為1，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a滿足，從而半焦距，而底面為菱形，且，故，因此點(diǎn)A，C為該橢圓的焦點(diǎn)，，所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：空間中動(dòng)點(diǎn)的軌跡，往往轉(zhuǎn)化為空間中兩個(gè)不同幾何對(duì)象的交，從而把空間中軌跡問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，且為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)___________.【答案】##【解析】【分析】解設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)定義和純虛數(shù)定義，直接求解參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，（，），則，所以，，故.故答案為：13.已知雙曲線，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，其中，存在過點(diǎn)N的直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)N為弦的中點(diǎn)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)是___________.（寫出一個(gè)符合條件的答案即可）【答案】（或，）【解析】【分析】法一：設(shè)，，通過點(diǎn)差法得到直線方程，再聯(lián)立雙曲線方程，由，即可求解；法二：由雙曲線漸近線方程，確定在雙曲線靠原點(diǎn)的一側(cè)，從而判斷A，B一定位于雙曲線的兩支上，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】法一：設(shè)，，則，，兩式相減得到，又，，因此，所以直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立得，即，因此，整理后得到.所以點(diǎn)N的坐標(biāo)可以為，，.故答案為：（或，）法二：由題意易知，雙曲線的漸近線為，因?yàn)?，所以在雙曲線靠原點(diǎn)的一側(cè)，又因?yàn)辄c(diǎn)N為弦的中點(diǎn)，故A，B一定位于雙曲線的兩支上，所以，即.所以點(diǎn)N的坐標(biāo)可以為，，.故答案為：（或，）14.已知且時(shí)，不等式恒成立，則正數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】將a視為主元，利用基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而得當(dāng)時(shí)，恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求解即可.【詳解】解：將a視為主元，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)時(shí)，恒成立.設(shè)，則，易知單調(diào)遞增，且，①若，即時(shí)，則，所以在單調(diào)遞增，故只需，即，解得；②若，即時(shí)，，即時(shí)，恒成立.綜上，m的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于多參元恒成立問題，常將其中一個(gè)參數(shù)看成主元進(jìn)行轉(zhuǎn)化，已達(dá)到化多參為單參目的.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，由求解即可；（2）求導(dǎo)，由，，分類討論即可.【小問1詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，由解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】，時(shí)，或.①若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此時(shí)，函數(shù)取極小值；②若，當(dāng)或時(shí)，，因此不是函數(shù)的極值點(diǎn)；③若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此時(shí)，函數(shù)取極大值.綜上，a的取值范圍是.16.某市為了解車主用車的能源類型與對(duì)該市交通擁堵感受的關(guān)系，共調(diào)查了100名車主，并得到如下的列聯(lián)表：覺得交通擁堵覺得交通不擁堵合計(jì)燃油車車主302050新能源車車主252550合計(jì)5545100（1）將頻率估計(jì)為概率，從該市燃油車和新能源車車主中隨機(jī)抽取1名，記“抽取到燃油車車主”為事件，“抽取到新能源車車主”為事件，“抽取到的車主覺得交通擁堵”為事件，“抽取到的車主覺得交通不擁堵”為事件，計(jì)算，，比較它們的大小，并說明其意義；（2）是否有的把握認(rèn)為該市車主用車的能源類型與對(duì)該市交通擁堵的感受有關(guān)？將分析結(jié)果與（1）中結(jié)論進(jìn)行比較，并作出解釋.附表及公式：0.1000.0100.0012.7066.63510.828，.【答案】（1），，，答案見解析（2）沒有，答案見解析【解析】【分析】（1）計(jì)算條件概率，再比較結(jié)合實(shí)際說明交通擁堵的比例；（2）計(jì)算，再和邊界值比較，最后判斷車主用車的能源類型與是否覺得該市交通擁堵的相關(guān)性結(jié)合（1）給出結(jié)論.【小問1詳解】由題意得，，，說明從抽樣情況來(lái)看，燃油車車主覺得交通擁堵的比例比新能源車車主覺得交通擁堵的比例更高【小問2詳解】，因此沒有的把握認(rèn)為該市車主用車的能源類型與是否覺得該市交通擁堵有關(guān)，說明調(diào)查人數(shù)太少，（1）中的結(jié)論不具有說服力，需要調(diào)查更多車主.17.如圖，已知斜三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让妫瑐?cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由條件可得平面，進(jìn)而得到，再結(jié)合，即可求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面法向量，代入夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)閭?cè)面是矩形，所以，又因?yàn)閭?cè)面?zhèn)让?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?菱形中，，所以是等邊三角形，又E是的中點(diǎn)，所以，得，又，，平面，所以平面.【小問2詳解】解：由（1），如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，因此，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，由，得，令，得，設(shè)平面的法向量為，由，得，由，得，令，得，.所以二面角的余弦值為.18.已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F且被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為.（1）求橢圓C的方程；（2）若過點(diǎn)的動(dòng)直線m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且直線l上的點(diǎn)M滿足，求證：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）根據(jù)直線x=2得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，在根據(jù)弦長(zhǎng)求出直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)結(jié)合計(jì)算求解即可；（2）分直線斜率為0及斜率不為0兩種情況，設(shè)出直線方程，令，即可計(jì)算得出得出定點(diǎn).【小問1詳解】由題意得，將代入橢圓方程，可以求到兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，因此，解得或（舍去），，即橢圓方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線m的斜率為0時(shí)，直線的方程為，此時(shí)；當(dāng)直線m的斜率不為0時(shí)，可設(shè)直線m的方程為，代入橢圓方程，得到，由，得到或，因此A，B點(diǎn)不在直線l上，設(shè)點(diǎn)Ax1,則，，則，因?yàn)椋?，所以直線的方程為，令，得到，所以，綜上，直線過定點(diǎn).19.二進(jìn)制是在數(shù)學(xué)和數(shù)字電路中以2