浙江省寧波市奉化區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

奉化區(qū)2023學(xué)年第二學(xué)期期末試卷高一數(shù)學(xué)說(shuō)明：本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘，本次考試不得使用計(jì)算器，請(qǐng)考生將所有題目都做在答題卡上.第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由實(shí)部與虛部概念可得，代入計(jì)算可求出結(jié)果.【詳解】易知的實(shí)部為，虛部為，由題意可知，則.故選：B2.兩名男生，一名女生排成一排合影，則女生站在中間的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由古典概型的計(jì)算公式即可求解.【詳解】?jī)擅猩?，一名女生記為兩名男生，一名女生排成一排可能為：，故總可能?shù)，女生站在中間的可能為：，故可能數(shù)，則女生站在中間的概率.故選：A.3.已知平行四邊形，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得，由平行四邊形的性質(zhì)有，求值即可.【詳解】由，，有，平行四邊形中，有，即，故選：D.4.已知平面，直線，直線不在平面上，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用面面垂直判定定理可判斷A，借助長(zhǎng)方體舉反例可判斷BCD.【詳解】對(duì)于A，若，，則，且，則.故A正確.對(duì)于B,如圖所示，，，，，此時(shí)，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,如圖所示，，，，，此時(shí)異面，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,如圖所示，，，，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：A．5.某射擊初學(xué)者在連續(xù)6次射擊練習(xí)中所得到的環(huán)數(shù)：，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)相等，則（）A. B. C. D.以上答案均有可能【答案】D【解析】【分析】表示出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由中位數(shù)的定義分類(lèi)討論求解.【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，若中位數(shù)為，則有，解得；若中位數(shù)為，則有，解得；若中位數(shù)為，則有，解得.故選：D.6.在中，，則該三角形外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的比值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得，根據(jù)三角形正弦定理求出外接圓半徑和三角形面積公式求出內(nèi)切圓半徑即可求解.【詳解】在中，，由正弦定理可得，設(shè)，由余弦定理得，所以，則，所以，則，所以，故選：C7.已知正四棱臺(tái)中，，球與上底面以及各側(cè)棱均相切，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出過(guò)正四棱臺(tái)的截面，再求出正四棱臺(tái)的高，從而根據(jù)勾股定理求出球的半徑，最后代入球的表面積公式，即可求解．【詳解】設(shè)過(guò)棱臺(tái)上下底面的中心以及一條側(cè)棱作該棱臺(tái)的軸截面如下圖：正四棱臺(tái)中，，，，正四棱臺(tái)的高為，設(shè)球的半徑為，球與側(cè)棱切于，則在圖中中，，則，所以，在圖中中，，，解得，球的表面積為．故選：B8.已知，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，進(jìn)而根據(jù)方程的的虛根和實(shí)數(shù)根分類(lèi)討論，即可求解.【詳解】若是方程的兩個(gè)虛數(shù)根，所以，且，則，，解得，（滿足），若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，且，則，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，由可得，令，由于，所以，故函數(shù)在單調(diào)遞減，且，故在無(wú)實(shí)數(shù)根，綜上可得，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列四個(gè)命題為真命題的是（）A.已知平面向量，若，，則B.若，，則可作為平面向量的一組基底C.，，若，則D.，，則在方向上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于B：根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示分析可知不共線，結(jié)合基底向量的定義分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解；對(duì)于D：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合投影向量的定義運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：例如，可知，，但不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，可知不共線，所以可作為平面向量的一組基底，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若，，則，所以在方向上的投影向量為，故D正確；故選：BD.10.給出下列說(shuō)法，其中正確的是（）A.數(shù)據(jù)的極差與眾數(shù)之和為B.從裝有個(gè)紅球，個(gè)白球的袋中任意摸出個(gè)球，事件“至少有個(gè)紅球”，事件“都是白球”，則事件與事件是對(duì)立事件C.甲乙兩人投籃訓(xùn)練，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，甲乙兩人投籃互不影響，則甲乙各投籃一次同時(shí)投中的概率為D.一組不完全相同數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為【答案】AC【解析】【分析】利用極差與眾數(shù)定義可判斷A；由對(duì)立事件概念可判斷B；根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式計(jì)算可判斷C；由方差的概念代入計(jì)算可判斷D.【詳解】對(duì)于A，數(shù)據(jù)的極差為，眾數(shù)為，它們的和為，故A正確；對(duì)于B，事件包括“個(gè)紅球1個(gè)白球”和“3個(gè)紅球”兩個(gè)基本事件，與事件“都是白球”不能同時(shí)發(fā)生，可知事件與事件是互斥事件；但還有可能出現(xiàn)“1個(gè)紅球2個(gè)白球”的情況，所以事件與事件是互斥但不對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由相互獨(dú)立事件的乘法公式可得甲乙各投籃一次同時(shí)投中的概率為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則其方差為，所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為；所以方差為，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.在中，，，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若有兩解，則 D.若是銳角三角形，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，利用余弦定理求解判斷，對(duì)于B，利用正弦定理求解判斷，對(duì)于C，根據(jù)正弦定理結(jié)合圖形分析判斷，對(duì)于D，由正弦定理得，化簡(jiǎn)后，再求出角的范圍，從而可求出的范圍.【詳解】對(duì)于A，在中，，，，則由余弦定理得，所以A正確，對(duì)于B，在中，，，，則由正弦定理得，，得，因?yàn)?，，所以或，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，如圖，過(guò)作于，則，因?yàn)橛袃山?，所以，即，所以C正確，對(duì)于D，由正弦定理得，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，得，所以，所以，所以，即，所以D正確.故選：ACD12.如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)分別是在線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.異面直線與所成角為B.平面C.三棱錐的體積是定值D.的最小值是【答案】BCD【解析】【分析】由定義法求異面直線所成的角判斷選項(xiàng)A；利用線線垂直證明線面垂直判斷選項(xiàng)B；由底面積和棱錐的高計(jì)算體積判斷選項(xiàng)C；利用翻折到同一平面求距離和的最小值判斷選項(xiàng)D.【詳解】正方體中，，，則四邊形為平行四邊形，有，異面直線與所成角等于直線與所成角，正方體中，為等邊三角形，所以異面直線與所成角為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；正方體中，平面，平面，，正方形中，有，平面，，則有平面，平面，則，同理，平面，，所以平面，B選項(xiàng)正確；，平面，平面，則平面，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為定值，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，面積為定值，所以三棱錐的體積是定值，C選項(xiàng)正確；正方形中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，也是線段的中點(diǎn)，以為軸，把和旋轉(zhuǎn)到同一平面內(nèi)，則的最小值為，由，，，，，平面四邊形為矩形，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，設(shè)為的中點(diǎn)，則中，，，所以，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體圖形上的距離最短問(wèn)題，通過(guò)把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，然后再運(yùn)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解決，可以利用軸對(duì)稱(chēng)或平移或旋轉(zhuǎn)等幾何圖形的變換，把兩條或多條線段和最短的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的距離最短的問(wèn)題來(lái)解決.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)___.【答案】【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法求得，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得出復(fù)數(shù)，再由幾何意義求在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由，得，則，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案：.14.已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為的半圓，則該圓錐的體積為_(kāi)___.【答案】【解析】【分析】根據(jù)展開(kāi)圖與圓錐的對(duì)應(yīng)關(guān)系列方程解出圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)，求出圓錐的高，得出體積.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，它的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，半圓的弧長(zhǎng)為：，即圓錐的底面周長(zhǎng)為：，設(shè)圓錐的底面半徑是r，高為，則得到，解得：，這個(gè)圓錐的底面半徑是1，所以圓錐的高.所以圓錐的體積為：.故答案為：.15.如圖，相距米的，之間是一條小路（，可看作兩條平行直線），為測(cè)量點(diǎn)到的距離（，在點(diǎn)的同側(cè)），某研究小組在一側(cè)東邊選擇點(diǎn)，作為測(cè)量起始位置，與交于點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)向西走米到達(dá)，測(cè)得，繼續(xù)向西走米到達(dá)點(diǎn)，與交于點(diǎn)，繼續(xù)向西走米到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得，則___.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩角差的公式，可解出，再根據(jù)正弦定理可得出，再利用直角三角形的性質(zhì)求解距離即可.【詳解】由題意知相距米的，之間是一條小路，所以，，，，所以，則，在中根據(jù)正弦定理知，解得，由，得到.故答案為：16.平面內(nèi)的點(diǎn)、直線可以通過(guò)平面向量及其運(yùn)算來(lái)表示，數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)用到類(lèi)比的方法，把平面向量推廣到空間向量，利用空間向量表示空間點(diǎn)、直線、平面等基本元素，經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，平面向量中的加減法、數(shù)乘與數(shù)量積運(yùn)算法則同樣也適用于空間向量.在四棱錐中，已知是平行四邊形，，且面，則向量在向量方向上的投影向量是____(結(jié)果用表示).【答案】【解析】【分析】運(yùn)用投影向量的概念，結(jié)合數(shù)量積，基底只是求解即可.【詳解】向量在向量方向上的投影向量為.運(yùn)用運(yùn)用余弦定理求得.，，，展開(kāi)化簡(jiǎn)得到，，由于且面，則,則.代入，得到.則向量在向量方向上的投影向量為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，其中第17題10分，第18—22題每題12分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知平面向量，滿足，且與的夾角為.（1）求的值；（2）求與夾角的余弦值.【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義代入計(jì)算即可得出結(jié)果；（2）由向量夾角的計(jì)算公式代入（1）中結(jié)論即可.【小問(wèn)1詳解】由可得；即可得.【小問(wèn)2詳解】易知；所以.即可得與夾角的余弦值為.18.全國(guó)中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽是由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主辦的獲得教育部批準(zhǔn)的全國(guó)性賽事，相應(yīng)的賽區(qū)初賽也是該項(xiàng)活動(dòng)的一個(gè)環(huán)節(jié).按照中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)有關(guān)全國(guó)中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽組委會(huì)的精神，以及浙江省科協(xié)的要求，2024年5月19日全國(guó)中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽浙江賽區(qū)初賽如期舉行.已知某中學(xué)有40人參加此次數(shù)學(xué)競(jìng)賽（滿分為150分），其取得的成績(jī)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值及學(xué)生成績(jī)的第75百分位數(shù)；（2）若按照各組頻率的比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法從競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中抽取人參加座談會(huì)，求成績(jī)?yōu)榉值膶W(xué)生甲恰好被抽到的概率.【答案】（1），第75百分位數(shù)96；（2）【解析】【分析】（1）利用所有小矩形面積之和為1即可求得，根據(jù)百分位數(shù)定義計(jì)算即可得出結(jié)果；（2）由分層抽樣比計(jì)算出各組抽取的人數(shù)，再由古典概型計(jì)算可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，解得；易知60分到90分的人數(shù)頻率之和為0.6，60分到100分的人數(shù)頻率之和為0.85.所以第75百分位數(shù)位于90分到100分之間，且90分到100分之間的頻率為；估計(jì)第75百分位數(shù)，【小問(wèn)2詳解】在的學(xué)生頻率分別為0.1和0.05，則其人數(shù)分別為4和2，設(shè)在中的4人為，在中的2人為，令為甲，且其成績(jī)?yōu)?07.由分層隨機(jī)抽樣可得在分別抽取2人與1人，則總共有以下12種可能：,;其中學(xué)生甲恰好被抽到的情況共有6種，所以抽到107分學(xué)生甲的概率.19.如圖，已知在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，.（1）證明：面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）法一：作出輔助線，構(gòu)造平行四邊形，得到線線平行，進(jìn)而得到面面平行，證明出線面平行；法二：作出輔助線，由中位線得到線線平行，進(jìn)而證明出線面平行；（2）法一：證明出線面垂直，得到，設(shè)，求出其他各邊長(zhǎng)，得到，利用等體積法得到點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而得到直線與平面所成角的正弦值；法二：作出輔助線，證明出線面垂直，得到即直線與平面所成線面角的平面角，設(shè)，求出各邊長(zhǎng)，得到線面角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】法一：取中點(diǎn)，連接因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所?又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面因?yàn)槠叫星业扔?，所以四邊形為平行四邊形，所?又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面又因?yàn)槠矫?，平面?所以平面平面.因?yàn)槠矫?，所以平面法二：連接，記與的交點(diǎn)為，連接.在中，，所以為的中位線，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】法一：為等邊三角形，為中點(diǎn)，故⊥，因?yàn)椤推矫?，平面，所以⊥，因?yàn)?，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?設(shè)，則，，由勾股定理得，故；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，其中，又.所以.法二：設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所以又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以≌，所以，故，故，又因?yàn)?，平面，所以平?所以即直線與平面所成線面角的平面角，有勾股定理得，故，所以.20.在直角梯形中，，，，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn).（1）若點(diǎn)滿足，且，求的值；（2）若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用向量的加減運(yùn)算法則，以為基底表示出得出的取值可得結(jié)論；（2）法1：建立平面直角坐標(biāo)系利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得出的取值范圍；法2：利用極化恒等式得出，即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】如下圖所示：由可得，所以，又，可得所以；【小問(wèn)2詳解】法1：以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，則，由點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），可令，所以，則，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)取得最小值；當(dāng)時(shí)取得最大值；可得法2：取中點(diǎn)，作垂足為，如下圖所示：則顯然當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取到最大值3，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取到最小值，可得21.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.（1）請(qǐng)?jiān)谝韵聝蓚€(gè)條件中任選一個(gè)（若兩個(gè)條件都選，則按①的解答過(guò)程給分）①②，求的面積；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由三角恒變換可得，若選擇①利用余弦定理可得，代入面積公式即可得結(jié)果；若選擇②，由誘導(dǎo)公式以及二倍角公式可得結(jié)果；（2）