77-第七章習題課(概率統(tǒng)計)

第七章參數(shù)估計習題課

參數(shù)估計是統(tǒng)計推斷的基本問題之一.如果我們確定了總體的未知參數(shù),或者接受了未知參數(shù)的的某個取值,我們就完全掌控了所研究的總體性質(zhì)已知其分布類型(包含未知參數(shù)),通過樣本對總體中的未知參數(shù)進行估計的問題就是本章的參數(shù)估計問題.分三塊講解:一是“主要內(nèi)容歸納”，二是“例題分類解析”，三是“學習與研究方法”總結.內(nèi)容簡介：在“例題分類解析”部分，講解了：1.參數(shù)的矩估計法；2.估計量的評判標準；3.參數(shù)的最大似然估計法；4.參數(shù)的區(qū)間估計；5.區(qū)間估計方法的綜合問題舉例.本章重點：

2.置信區(qū)間的基本概念;

1.矩估計法和最大似然估計法,估計量的三個評選標準;3.正態(tài)總體均值和方差在給定置信水平條件下的置信區(qū)間的求法;4.單側(cè)置信區(qū)間的概念.

本章難點：1.最大似然估計法的應用;

2.正態(tài)總體均值和方差的單側(cè)置信區(qū)間的求法.一、主要內(nèi)容歸納1.參數(shù)的點估計表7-1參數(shù)點估計的概念點估計問題

總體X的分布函數(shù)的形式已知,有一個或多個未知參數(shù),借助其樣本估計總體未知參數(shù)的值.這類問題稱為參數(shù)的點估計問題.估計量與估計值

設總體X的分布函數(shù)F(x;θ)的形式已知,其中θ是未知參數(shù)(待估參數(shù)),X1,X2,…,Xn是X的一個樣本,x1,x2,…,xn是相應的樣本值.我們構造一個適當統(tǒng)計量

矩估計法

用相應的樣本的l階矩作為總體的l階矩的估計量,這種估計方法稱為矩估計法.為θ的一個估計量.,用它的觀察值

作為未知參數(shù)θ的估計值.稱

最大似然原理在多個隨機事件中,實際發(fā)生的事件應該是概率最大的事件,此即為極大似然原理(又稱大概率原理).

最大似然估計法已知樣本值x1,x2,…,xn,在θ取值的可能范圍Θ內(nèi)挑選使似然函數(shù)L(x1,x2,…,xn;θ)達到最大的參數(shù)值,把作為未知參數(shù)θ的估計值.即取這樣得到的(x1,x2,…,xn)稱

為參數(shù)θ的最大似然估計值,而相應的統(tǒng)計量

(X1,X2,…,Xn)稱為參數(shù)θ的最大似然估計量.

使L(

我們一定要注意區(qū)分“估計量”與“估計值”這兩個作用不同的概念.同時要注意區(qū)分大小寫字母.講評2.

矩估計法與最大似然估計法常用的構造估計量的具體步驟矩估計法的具體步驟:(1)寫出總體的l階矩:

設這是包含k個未知參數(shù)

的方程組.(2)寫出樣本的l階矩:(3)令

(4)解由(3)確定的方程組

解出上面的方程組,得到

并記為

這種估計量稱為矩估計量.

矩估計量的觀察值稱為矩估計值.記為(5)確定矩估計量和矩估計值：以作為的估計量.最大似然估計法的基本步驟(1)由總體分布寫出樣本的似然函數(shù)L(θ).若總體X屬于離散型,其分布律P{X=x}=p(x,θ)

的形式為已知,θ為待估參數(shù),是θ可能取值的范圍.設X1,X2,…,Xn是來自X的一個樣本,則X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布律為又設x1,x2,…,xn是相應于樣本X1,X2,…,Xn

的一組樣本值,則事件{X1=x1,X2=

x2,…,

Xn=

xn}發(fā)生的概率,即樣本的似然函數(shù)為若總體X屬于連續(xù)型,其概率密度f(x;θ)的形式已知,θ為待估參數(shù),是θ可能取值的范圍.

設X1,X2,…,Xn是來自X的樣本,x1,x2,…,xn是相應于樣本X1,X2,…,Xn的一組樣本值.則樣本的似然函數(shù)為其聯(lián)合概率密度(2)建立似然方程,即令

(這個方程也稱為對數(shù)似然方程);..(3)解上面的似然方程或?qū)?shù)似然方程即得

...

(1)似然函數(shù)中的未知參數(shù)可以有多個.若未知參數(shù)有兩個或兩個以上,則在第二步中就改為求偏導.在第二步中我們要求的是L(θ)的最大值點,而lnL(θ)的最大值點與L(θ)的最大值點是相同的.講評

(2)關于“最大似然估計”的方法,我們一定要注意:本質(zhì)是求L(θ)的最大值點.

所以,如果似然函數(shù)沒有導數(shù)為零的點,應分析L(θ)或ln

L(θ)的單調(diào)性質(zhì),得到最大值點.3．估計量的評判標準(1)

無偏性

的數(shù)學期望

,則

,有

對于若估計量

是θ的無偏估計量.(2)

有效性

使上式中設

與

都是的無偏估計量,若對于任意

,有,且至少對于某一個

的不等號成立.則稱

較有效.

則稱是θ的一致估計量.一致估計量又稱為相合估計量.即,若對于任意的

滿足:對于任意

有

設

為參數(shù)

的估計量,,當

時

依概率收斂于θ,

則稱

是θ的一致估計量.若對于任意(3)

一致性(相合性)

對于任意

滿足是

則稱隨機區(qū)間

的置信水平為

α(0<α<1),

對于給定值確定兩個統(tǒng)計若由總體X的樣本

和

量4．區(qū)間估計的置信區(qū)間.和

分別稱為置信水平

的雙側(cè)置信區(qū)間的置信下限和置信上限.稱為置信水平,又叫置信度.求未知參數(shù)

的置信區(qū)間的具體做法:

(1)尋求一個樣本

的函數(shù),而不含,它包含待估參數(shù)

其它未知參數(shù),并且

的分布已知且不依賴于任何未知參數(shù)(當然也不依賴于待估參數(shù)(2)對于給定的置信水平

,定出兩個常數(shù)

使

講評

那么

就是的一個置信水平為

的置信區(qū)間.

都是統(tǒng)計量,

(3)若能從

得到等價不等式

,其中

以上三步中,第一步是關鍵.尋找函的方法,一般從

著手考慮.數(shù)的點估計量較大,對于給定的置信水平

,于是可有

從總體中抽取樣本

,因樣本容5．大樣本非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計設總體

的分布函數(shù)為

,其中

是未知參

數(shù).于是總體均值

,總體方差

都是

的函數(shù).

的置信水平為

那么就是的近似的置信區(qū)間.

6．單側(cè)置信區(qū)間解出等價不等式設已知樣本的觀察值為

,若能從不等式總體X中含有未知參數(shù)θ,對于給定值,若由來自總體的樣本

α稱為θ的置信水平

間,又若統(tǒng)計量

,對于任意

滿足

，則稱隨機區(qū)間

是θ的置信水平為

的單側(cè)置信區(qū)單側(cè)置信上限.的單側(cè)置信區(qū)間,

,對于任意

滿足則稱隨機區(qū)間

置信水平為

的

置信水平為的單側(cè)置信下限.確定的統(tǒng)計量是θ的稱為θ的單個正態(tài)總體均值的置信區(qū)間

已知

未知方差的置信區(qū)間

7.正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間

兩個正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間

均為已知

=但

方差比的置信區(qū)間

=為未知

二、例題分類解析1.參數(shù)的矩估計法例1

設某打字員一天中打錯字的次數(shù)X服從參數(shù)為λ的泊松分布,λ未知.有以下統(tǒng)計數(shù)據(jù):打錯字次數(shù)k

0123456

k

發(fā)生打錯字k次天數(shù)nk

75905422621

試用矩估計法估計參數(shù)λ.

本題目涉及矩估計的概念或性質(zhì),是離散型總體的點估計問題.令,則得λ的矩估計量為

代入樣本值,得到λ的矩估計值為

先求總體矩和樣本矩.又總體只有一個待估參數(shù),則只用一階原點矩即可.分析解

講評解題關鍵步驟在于:用離散型總體的樣本矩代替總體矩計算.這是離散型總體情形,關于連續(xù)型總體的矩估計法參見下例.

擴展本題目條件改為指數(shù)分布,或者考慮連續(xù)型總體的點估計問題.

分析本題目涉及矩估計的概念(或性質(zhì)),是連續(xù)型總體的點估計問題.為來自X的一個樣本,例2

設總體X的概率密度為X1,X2,

…,Xn求θ的矩估計量.

由矩估計的基本思想,先求總體矩和樣本矩.由于只有一個待估參數(shù),用一階原點矩即可.令

,則得θ的矩估計量為

講評解題關鍵在于:用連續(xù)型總體的樣本均值代替總體均值計算.

擴展改變概率密度，用正態(tài)分布等.解計算得到

分析本題目涉及估計量的評判標準,直接利用無偏估計量和有效性定義即可.證由于例3

設總體

為來自X的樣試證:和

都是總體期望的無偏估計,并比較哪一個更有效?本.2.估計量的評判標準故

與

都是

的無偏估計量.

又因為

可見故

是比

更有效的估計量.

講評本題旨在使學生理解與掌握估計量的無偏性及有效性概念及判別的具體方法.

擴展有效性是在滿足無偏性條件下的標準,應先檢驗無偏性;如果此題直接問“哪一個更有效?”,讀者需要注意什么問題?

3.參數(shù)的極大似然估計法例4

設總體X的概率密度為其中a>0為待估參數(shù),X1,X2,…,Xn為來自X的一組樣本,求a的最大似然估計量.分析本題是在連續(xù)型總體的假設下,涉及最大似然估計量的求法.

解設x1,x2,…,xn是樣本X1,X2,

…,Xn的觀察值,則似然函數(shù)為取自然對數(shù)得到

求導,得似然方程a的最大似然估計量為

講評本題旨在加強學生對最大似然估計理論的理解,訓練最大似然估計量的求法,關鍵在于似然函數(shù)的寫出和其最大值點的求法.解上述對數(shù)似然方程,可得a的極大似然估計值為擴展

(1)用最大似然估計法求待定參數(shù)的最大似然估計量,要先寫出樣本值(見本題),得到最大似然估計值,再改寫大寫字母,得到最大似然估計量.

(2)在實際應用中,通常樣本值x1,x2,…,

xn是一組具體的數(shù)值,這樣得到具體的最大似然估計值.比如,x1=0.1,x2=0,x3=0.5,x4=0.8,x5=0.2,請讀者求解這個問題.注意解答時正確書寫解題過程.(3)關于離散型總體應用最大似然估計理論參見下例題.X

0123P

例5

設總體X的概率分布為其中

是未知參數(shù),利用樣本值

的矩估計值,求

和最大似然估計值.

分析本題目是在離散型總體條件下,考查讀者掌握矩估計法和最大似然估計法的應用能力.解因為總體一階矩而樣本一階矩

令,即

的矩估計量

故所以

的矩估計值

對于給定的樣本值,似然函數(shù)為取對數(shù)得

令解得

講評矩估計法和最大似然估計法是兩種求未知參數(shù)點估計的方法,這兩種方法求出的估計量或估計值可能是不一樣的,見本例解法及答案.因不合題意,所以的最大似然估計值為.

擴展

(1)如果要求“求

的最大似然估計量”,讀者考慮一下,怎樣書寫解答過程?

(2)條件

可以去掉,解題時自己挖掘出來,想一想為什么?4.參數(shù)的區(qū)間估計

例6

某自動包裝機包裝食用糖,其重量服從正態(tài)分布N(μ,σ2).今隨機抽查12袋,測得重量(單位:克)分別為:1001,1004,1003,1000,997,999,1004,1000,996,1002,998,999.(1)求總體平均袋重μ的矩估計值;(2)求總體方差σ2的矩估計值;(3)求μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間;(4)求σ2的置信水平為0.95的置信區(qū)間;(5)若已知σ2=8,求μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間.

分析本題涉及比較全面的參數(shù)估計方法,包括點估計和區(qū)間估計,考查矩估計和區(qū)間估計的理論.解

(1)總體平均袋重μ的矩估計值為(2)總體方差σ2的矩估計值為(3)由于σ2未知,μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間應為由樣本得s=2.6328,n=12,查表得

則所求μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間為

(4)由于μ未知,σ2的置信水平為0.95的置信區(qū)間應為查表得

所以σ2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為由樣本得n=12,查表得

,則所求μ的置信水平為0.95置信區(qū)間為

(5)由于假設總體方差已知σ2=8,

所以μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間應為講評本題旨在訓練矩估計量和置信區(qū)間的求法,本題比較綜合地考查了根據(jù)樣本全面估計、了解總體性質(zhì)的具體方法和步驟,體現(xiàn)了通過樣本深入挖掘總體信息的整體思路.擴展

(1)總體方差的矩估計量

但是樣本方差

,對此,讀者應明確些什么問題?

(2)何時應該大寫字母,還是應該小寫字母,讀者能區(qū)分開嗎?考查本題的整個解析過程.例7

在測量人對某事件的反應時間時,某專家估計的標準差為0.05秒.為了以0.95的置信度使他對平均反應時間的估計誤差不超過0.01秒,問應取多大的樣本容量n?

分析本題涉及到區(qū)間估計問題,考查區(qū)間估計方法的靈活應用,應從區(qū)間估計基本方法入手.解以X表示反應時間,則μ=E(X)為平均反應時間.由條件知,樣本標準差s=0.05,以樣本均值

估計μ

.當n充分大時統(tǒng)計量

近似服從標準正態(tài)分布N(0,1).

根據(jù)條件,要求樣本容量n滿足

即

,查表得

得到

即取樣本容量n為68即可滿足要求

講評本題說明根據(jù)區(qū)間估計的思想和方法可以求出所需的樣本容量,這在設計對總體的估計時很重要,尤其是在總體分布參數(shù)未知時根據(jù)中心極限定理,大樣本下可將總體視為正態(tài)總體.分析置信區(qū)間的結構,可以理解:如果給定了其中的某些數(shù)據(jù),就可以求得剩余變量的取值，如本例求樣本容量n.如果樣本容量n已知,我們可以計算總體標準差σ或置信區(qū)間長度.

擴展

n2=50的樣本,且算得

Y~N(μ2,36),從

=82,中分別抽取容量為n1=75,與

例8

設兩總體

與

獨立,X~N(μ1,60),

=76.在置信水平0.95下,試求

的置信區(qū)間.

本題是在兩正態(tài)總體方差已知的條件下,求均值差的置信區(qū)間,可直接套用公式.分析解由公式知,所求置信區(qū)間為查表可得,代入相應的數(shù)據(jù),可得

置信度為0.95的置信區(qū)間為講評此題旨在考查兩個正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間,關鍵在于置信區(qū)間的理論和公式要理解并掌握.擴展考查總體均值差

,本質(zhì)上是在考查兩個總體之間的均值相差多少.本題的實,即

際意義:.假設性能指標服從正.在置信水平0.90下,求兩正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間.

態(tài)分布例9

甲、乙兩工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品.為比較兩種產(chǎn)品的性能,從甲乙兩廠產(chǎn)品中分別抽取了8件和9件,測得其性能指標X,得到兩組數(shù)據(jù).計算得到：

分析本題是求兩正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間,可直接利用公式.解因為

公式得

的置信水平為的置信區(qū)間為，則由已知,查表并計算得故

的置信水平為0.90的置信區(qū)間為擴展考查總體方差比,本質(zhì)上是在考查兩個總體之間的方差是否可以認為相等,或者相差多少.以本題為例,可以認為兩總體的方差相等嗎?講評此題旨在考查兩個正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間,關鍵在于置信區(qū)間的理論和公式要理解并掌握.5.區(qū)間估計方法的綜合問題舉例例10

假設0.50,1.25,0.80,2.00是來自總體X的簡單隨機樣本值.已知Y=lnX服從正態(tài)分布N(μ,1).(1)求總體X的數(shù)學期望E(X)(記E(X)為b)；(2)求總體均值μ的置信度為0.95的置信區(qū)間；(3)利用上述結果,求總體數(shù)學期望b

的置信度為0.95的置信區(qū)間.

分析本題目涉及正態(tài)分布隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望以及對數(shù)學期望進行區(qū)間估計的方法,再利用函數(shù)的單調(diào)性求出隨機變量函數(shù)的置信區(qū)間.解

(1)Y

的概率密度為于是有

(2)當置信度1?α=0.95時,標準正態(tài)分布對應于α=0.05的上分位點等于1.96.故由

可得

參數(shù)μ的置信度為0.95的置信區(qū)間為令,于是

其中

表示總體Y

的樣本均值，且有

將其代入上式,得μ的置信度為0.95的置信區(qū)間為(?0.98,0.98).(3)由指數(shù)函數(shù)ex

的嚴格單調(diào)性，知b