總體取值規(guī)律的估計(jì)+高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第二冊(cè)

9.2.1總體取值規(guī)律的估計(jì)頻數(shù)：對(duì)落在各個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行累計(jì)，得到各個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù)。溫故知新問題：什么是頻數(shù)?畫頻數(shù)分布直方圖的一般步驟是什么？畫頻數(shù)分布直方圖的一般步驟是:1.計(jì)算最大值與最小值的差2.決定組距和組數(shù)3.將數(shù)據(jù)分組4.列頻數(shù)分布表5.畫頻數(shù)分布直方圖

頻率：樣本中某個(gè)組的頻數(shù)和樣本容量的比，叫做該數(shù)據(jù)的頻率?！締栴}一】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出。某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過a的部分按議價(jià)收費(fèi)。如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理呢？為了較為合理地確定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，你認(rèn)為需要做哪些工作？為了確定一個(gè)較為合理的用水標(biāo)準(zhǔn)，必須先了解在全市所有居民用戶中，月用水量在不同范圍內(nèi)的居民所占的比例情況。由于全市居民用戶很多，通常采用抽樣調(diào)查的方式，通過分析樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，來估計(jì)全市居民用戶月均用水量的分布情況。

假設(shè)通過抽樣，我們獲得了100位居民某年的月均用水量（單位：t）．9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6從這組數(shù)據(jù)我們能發(fā)現(xiàn)什么信息呢？1.31.31.82.02.02.02.02.12.22.32.32.42.62.63.03.23.23.63.63.73.84.04.14.34.44.64.74.94.94.95.15.15.15.25.35.45.45.55.55.55.55.65.75.75.96.06.06.46.46.86.87.07.17.17.17.57.77.87.87.98.18.68.89.09.59.910.010.110.210.210.510.811.111.212.012.012.413.313.613.613.813.814.014.915.716.016.716.817.017.918.319.420.521.622.222.424.324.525.628.0從小到大排序后得到：

很容易發(fā)現(xiàn)的是一個(gè)居民月平均用水量的最小值是1.3t，最大值是28.0t，其他在1.3t～28.0t之間。分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是用圖將它們畫出來，或者用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式，比如頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖，由此能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù)。(一)從數(shù)據(jù)中提取信息，(二)利用圖形傳遞信息。但在這個(gè)實(shí)際問題中，因?yàn)槲覀兏P(guān)心月均用水量在不同范圍內(nèi)的居民用戶占全市居民用戶的比例，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖來整理和表示數(shù)據(jù)?！舅伎家弧可鲜?00個(gè)數(shù)據(jù)中的最大值和最小值分別是什么？由此說明樣本數(shù)據(jù)的變化范圍是什么？1.3～28.0【思考二】分成多少組比較合適？如果將上述100個(gè)數(shù)據(jù)按組距為3進(jìn)行分組，那么這些數(shù)據(jù)共分為多少組？(28.0－1.3)÷3＝8.9將8.9取整，故可取組距=3，組數(shù)=9【思考三】各組數(shù)據(jù)的取值范圍可以如何設(shè)定？以組距為3將數(shù)據(jù)分組時(shí)，可以分成以下9組：[1.2,4.2),[4.2,7.2),…,[25.2.28.2].【思考四】如何統(tǒng)計(jì)上述100個(gè)數(shù)據(jù)在各組中的頻數(shù)?如何計(jì)算樣本數(shù)據(jù)在各組中的頻率?你能將這些數(shù)據(jù)用表格反映出來嗎?分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率[1.2,4.2)正正正正23[4.2,7.2)正正正正正正32[7.2,10.2)正正

13[10.2,13.2)正

9[13.2,16.2)正9[16.2,19.2)正5[19.2,22.2)3[22.2,25.2)4[25.2,28.2]2合計(jì)1000.320.130.090.090.050.030.040.021.000.23列頻率分布表頻率

=頻數(shù)樣本量畫頻率分布直方圖月平均用水量/t0.120.10.080.060.040.0201.24.27.2

10.213.216.219.222.225.228.20.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.0070.077頻率/組距分組頻率

頻率/組距[1.2,4.2)0.230.077[4.2,7.2)0.320.107[7.2,10.2)0.130.043[10.2,13.2)0.090.030[13.2,16.2)0.090.030[16.2,19.2)0.050.017[19.2,22.2)0.030.010[22.2,25.2)0.040.013[25.2,28.2]0.020.007某班45人的一次考試成績分布情況如下：成績50-6060-7070-8080-9090-100人數(shù)51015105頻率成績50-6060-7070-8080-100人數(shù)5101515頻率【思考五】頻率分布直方圖中各小長方形的面積表示什么？各小長方形的面積總和為多少？

小長方形的面積=組距×組距頻率=頻率所以各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．各小長方形的面積總和為1．月平均用水量/t0.120.10.080.060.040.0201.24.27.2

10.213.216.219.222.225.228.20.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.0070.077頻率/組距1).求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)2).決定組距與組數(shù)，組數(shù)=極差/組距3).將數(shù)據(jù)分組方法小結(jié)：畫頻率分布直方圖的步驟4).列出頻率分布表.(填寫頻率/組距一欄)5).畫出頻率分布直方圖，橫軸表示分組，縱軸表示頻率/組距組距：指每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)的距離，組數(shù)：將數(shù)據(jù)分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在100個(gè)以內(nèi)時(shí)，按數(shù)據(jù)多少常分5-12組.【思考】你能從上述圖表中發(fā)現(xiàn)居民用戶月均用水量的哪些分布規(guī)律?你能給出適當(dāng)?shù)恼Z言描述嗎?月均用水量在區(qū)間[4.2，7.2)內(nèi)的居民用戶最多，在區(qū)間[1.2，4.2)內(nèi)的次之，而月均用水量超過16.2的各區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)所占比例較小。表圖分布不對(duì)稱，圖形的左邊高、右邊低，右邊有一個(gè)較長的“尾巴”，這表明大部分居民用戶的月均用水量集中在一個(gè)較低值區(qū)域，尤其在區(qū)間[1.2，7.2)最為集中，少數(shù)居民用戶的月均用水量偏多，而且隨著月均用水量的增加，居民用戶數(shù)呈現(xiàn)降低趨勢(shì)。【探究】分別以3和27為組數(shù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行等距分組，畫出100戶居民用戶月均用水量的頻率分布直方圖．觀察圖形，你發(fā)現(xiàn)不同的組數(shù)對(duì)于直方圖呈現(xiàn)數(shù)據(jù)分布規(guī)律有什么影響？當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)少、組距大時(shí)，容易從中看出數(shù)據(jù)整體的分布特點(diǎn)，但由于無法看出每組內(nèi)的數(shù)據(jù)分布情況，損失了較多的原始數(shù)據(jù)信息；當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)多、組距小時(shí)，保留了較多的原始數(shù)據(jù)信息，但由于小長方形較多，有時(shí)圖形會(huì)變得非常不規(guī)則，不容易從中看出總體數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)．

自習(xí)時(shí)間/小時(shí)頻率/組距O2022.517.52527.5300.020.160.10

0.040.08140

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)頻數(shù)13249265使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)頻數(shù)151310165(1)在下圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計(jì)算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表解：(1)日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)頻數(shù)151310165日用水量/t頻率/組距00.20.30.10.40.50.60.23.43.23.02.82.62.42.22.01.81.61.41.21.00.80.60.4(2)0.48(3)47.451.不同的統(tǒng)計(jì)圖在表示數(shù)據(jù)上有不同的特點(diǎn)①扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；②條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率；③折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì).2.不同的統(tǒng)計(jì)圖適用的數(shù)據(jù)類型不同①條形圖適用于描述離散型的數(shù)據(jù)；②直方圖適用描述連續(xù)型數(shù)據(jù),【例3】已知某市2015年全年空氣質(zhì)量等級(jí)如下表所示：空氣質(zhì)量等級(jí)（空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)優(yōu)（AQI≤50）8322.8%良（50<AQI≤100）12133.2%輕度污染（100<AQI≤150）68

18.6%中度污染（150<AQI≤200）4913.4%重度污染（200<AQI≤300）308.2%嚴(yán)重污染（AQI>300）143.8%合計(jì)365100%2016年5月和6月的空氣質(zhì)量指數(shù)如下∶5月240

80

56

53

92

126

45

87

56

60

191

62

55

58

56

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89

90

125

124103

81

89

44

34

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79

81

62

l16

886月63

92

110

122

102116

81

163

158763310265

53

38

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108

33

35

73

82

9014695選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖描述數(shù)據(jù)，并回答下列問題：

（1）分析該市2016年6月的空氣質(zhì)量情況；

（2）比較該市2016年5月和6月的空氣質(zhì)量，哪個(gè)月的空氣質(zhì)量較好？

（3）比較該市2016年6月與該市2015年全年的空氣質(zhì)量，2016年6月的

空氣質(zhì)量是否好于去年？根據(jù)該市2016年6月的空氣質(zhì)量指數(shù)和空氣質(zhì)量等級(jí)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn),可以畫出該市這個(gè)月的不同空氣質(zhì)量等級(jí)的頻數(shù)與頻率分布表如下：解:(1)空氣質(zhì)量等級(jí)合計(jì)優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)415920030比例13.33%50%30%6.67%00100%從表中可以看出，“優(yōu)”“良”的天數(shù)達(dá)19天,占了整月的63.33%，沒有出現(xiàn)“重度污染”和“嚴(yán)重污染”.從條形圖中可以看出，在前三個(gè)等級(jí)的占絕大多數(shù),空氣質(zhì)量等級(jí)為“良”的天數(shù)最多，后三個(gè)等級(jí)的天數(shù)很少.從扇形圖中可以看出,空氣質(zhì)量為“良”的天數(shù)占了總天數(shù)的一半，大約有三分之二為“優(yōu)"“良”，大多數(shù)是“良”和“輕度污染”.因此，整體上6月的空氣質(zhì)量不錯(cuò).優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染空氣質(zhì)量等級(jí)天數(shù)6.67%我們可以用條形圖和扇形圖對(duì)數(shù)據(jù)作出直觀的描述.日期空氣質(zhì)量指數(shù)

我們還可以用折線圖展示空氣質(zhì)量指數(shù)隨時(shí)間的變化情況,如下圖.容易發(fā)現(xiàn)，6月的空氣質(zhì)量指數(shù)在100附近波動(dòng).(2)根據(jù)該市2016年5月的空氣質(zhì)量指