2024高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語第2講命題及其關(guān)系充分條件與必要條件學(xué)案文

PAGEPAGE7第2講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1．命題用語言、符號或式子表達(dá)的，可以推斷真假的陳述句叫做命題．其中推斷為真的語句叫做真命題，推斷為假的語句叫做假命題．2．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．3．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qeq\o(?,\s\up0(/))pp是q的必要不充分條件peq\o(?,\s\up0(/))q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件peq\o(?,\s\up0(/))q且qeq\o(?,\s\up0(/))p常用結(jié)論1．充要條件的兩個結(jié)論(1)若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件，則p是r的充分不必要條件．(2)若p是q的充分不必要條件，則﹁q是﹁p的充分不必要條件．2．一些常見詞語及其否定詞語是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一個是不等于不大于一、思索辨析推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命題．()(2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則﹁q”．()(3)若原命題為真，則這個命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個為真．()(4)當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件．()(5)q不是p的必要條件時，“peq\o(?,\s\up0(/))q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易錯糾偏常見誤區(qū)|(1)命題的條件與結(jié)論不明確；(2)含有大前提的命題的否命題易出現(xiàn)否定大前提的狀況；(3)對充分必要條件推斷錯誤．1．命題“若a2＋b2＝0，a，b∈R，則a＝b＝0”的逆否命題是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，則a2＋b2≠02．已知命題“對隨意a，b∈R，若ab>0，則a>0”，則它的否命題是________．答案：對隨意a，b∈R，若ab≤0，則a≤03．已知p：a<0，q：a2>a，則﹁p是﹁q的________條件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：﹁p：a≥0；﹁q：a2≤a，即0≤a≤1，故﹁p是﹁q的必要不充分條件．答案：必要不充分四種命題的相互關(guān)系及真假推斷(自主練透)1．命題“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是()A．若x2≥1，則x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，則x2<1C．若x>1或x<－1，則x2>1D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1解析：選D．命題的形式是“若p，則q”，由逆否命題的學(xué)問，可知其逆否命題是“若﹁q，則﹁p”的形式，所以“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是“若x≥1或x≤－1，則x2≥1”．2．有以下命題：①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；②“面積相等的兩個三角形全等”的否命題；③“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實數(shù)解”的逆否命題；④“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題．其中真命題是()A．①② B．②③C．④ D．①②③解析：選D．①原命題的逆命題為“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”，是真命題；②原命題的否命題為“面積不相等的兩個三角形不全等”，是真命題；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命題是真命題，故其逆否命題也是真命題；④由A∩B＝B，得B?A，所以原命題是假命題，故其逆否命題也是假命題，故①②③正確．3．已知集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)，k∈Z))，記原命題：“x∈P，則x∈Q”，那么，在原命題及其逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．4解析：選C．因為P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(2k＋1,2)，k∈Z))，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)，k∈Z))，所以PQ，所以原命題“x∈P，則x∈Q”為真命題，則原命題的逆否命題也為真命題．原命題的逆命題“x∈Q，則x∈P”為假命題，則原命題的否命題為假命題，所以真命題的個數(shù)為2.eq\a\vs4\al()(1)寫一個命題的其他三種命題時需關(guān)注2點①對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；②若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提．[提示]四種命題的關(guān)系具有相對性，一旦一個命題定為原命題，相應(yīng)的也就有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”．(2)推斷命題真假的2種方法①干脆推斷：推斷一個命題為真命題，要給出嚴(yán)格的推理證明；說明一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可；②間接推斷：當(dāng)一個命題干脆推斷不易進(jìn)行時，可轉(zhuǎn)化為推斷其等價命題的真假．充分條件、必要條件的推斷(師生共研)(1)(2024·高考天津卷)設(shè)a∈R，則“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)已知p：x＝2，q：x－2＝eq\r(2－x)，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】(1)由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，則“a>1”是“a2>a”的充分不必要條件，故選A．(2)當(dāng)x－2＝eq\r(2－x)時，兩邊平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.當(dāng)x＝1時，－1＝eq\r(1)，不成立，故舍去，則x＝2，所以p是q的充要條件，故選C．【答案】(1)A(2)Ceq\a\vs4\al()推斷充要條件的3種常用方法(1)定義法：干脆推斷若p，則q、若q，則p的真假．(2)等價法：利用A?B與﹁B?﹁A，B?A與﹁A?﹁B，A?B與﹁B?﹁A的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法．(3)利用集合間的包含關(guān)系推斷：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．[提示]推斷充要條件時需留意3點(1)要分清條件與結(jié)論分別是什么．(2)要從充分性、必要性兩個方面進(jìn)行推斷．(3)干脆推斷比較困難時，可舉出反例說明．1．(2024·南充市第一次適應(yīng)性考試)“A＝60°”是“cosA＝eq\f(1,2)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A．A＝60°?cosA＝eq\f(1,2)，cosA＝eq\f(1,2)?A＝±60°＋k·360°，k∈Z，所以“A＝60°”是“cosA＝eq\f(1,2)”的充分不必要條件．2．(2024·廣東省七校聯(lián)考)已知命題p：2x＜2y，命題q：log2x＜log2y，則命題p是命題q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B．由題意可得p：x＜y，q：0＜x＜y，故p是q的必要不充分條件，選B．3．王安石在《游褒禪山記》中寫道“世之奇?zhèn)?、瑰怪，特別之觀，常在于險遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，請問“有志”是到達(dá)“奇?zhèn)?、瑰怪，特別之觀”的()A．充要條件B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件D．必要不充分條件解析：選D．由“非有志者不能至也”，可得能夠到達(dá)“奇?zhèn)?、瑰怪，特別之觀”的必需有志，而有志者未必到達(dá)“奇?zhèn)?、瑰怪，特別之觀”，故“有志”是到達(dá)“奇?zhèn)?、瑰怪，特別之觀”的必要不充分條件．充分條件、必要條件的探求及應(yīng)用(典例遷移)(1)設(shè)集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，則“x∈A且x?B”成立的充要條件是()A．－1<x≤1 B．x≤1C．x>－1 D．－1<x<1(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要條件，則m的取值范圍為________．【解析】(1)因為集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，又因為“x∈A且x?B”，所以－1<x<1；又當(dāng)－1<x<1時，滿意x∈A且x?B，所以“x∈A且x?B”成立的充要條件是“－1<x<1”．故選D．(2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以0≤m≤3.所以當(dāng)0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0，3]．【答案】(1)D(2)[0，3]【遷移探究】(變問法)本例(2)條件不變，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．解：由例題知P＝{x|－2≤x≤10}，因為“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分條件，所以P?S且Seq\o(?,\s\up0(/))P.所以[－2，10][1－m，1＋m]．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m＞10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＜－2，,1＋m≥10.))所以m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞)．eq\a\vs4\al()依據(jù)充要條件求解參數(shù)范圍的方法及留意事項(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后依據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．(2)求解參數(shù)的取值范圍時，肯定要留意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號確定端點值的取舍，處理不當(dāng)簡潔出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．1．(2024·東北三校第一次聯(lián)考)下列說法中正確的是()A．若“a＞b”是“a＞c”的充分條件，則b≥cB．若“a＞b”是“a＞c”的充分條件，則b≤cC．若“a＞b”是“a＞c”的充要條件，則b＞cD．若“a＜b”是“a＞c”的必要條件，則b＜c解析：選A．令A(yù)＝{a|a＞b}，B＝{a|a＞c}，C＝{a|a＜b}．若“a＞b”是“a＞c”的充分條件，則有A?B，則b≥c，故選項A正確，選項B錯誤；若“a＞b”是“a＞c”的充要條件，則有A＝B，則b＝c，故選項C錯誤；若“a＜b”是“a＞c”的必要條件，則有B?C，這是不行能的，故選項D錯誤．故選A．2．命題“?x∈[1，3]，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是()A．a(chǎn)≥9 B．a(chǎn)≤9C．a(chǎn)≥10 D．a(chǎn)≤10解析：選C．命題?x∈[1，3]，x2－a≤0??x∈[1，3]，x2≤a?9≤a.則“a≥10”是命題“?x∈[1，3]，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件．故選C．3．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分條件，則a的最小值為________．解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因為“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分條件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值為3.答案：3思想方法系列1等價轉(zhuǎn)化思想在充要條件中的應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化思想就是對原問題換一個方式、換一個角度、換一個觀點加以考慮，把要解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化，再轉(zhuǎn)化，化歸為一類已經(jīng)解決或比較簡潔解決的問題，從而使問題得到圓滿解決的思維方式．已知條件p：|x－4|≤6，條件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)．若﹁p是﹁q的充分不必要條件，則m的取值范圍為______．【解析】條件p：－2≤x≤10，條件q：1－m≤x≤1＋m，又﹁p是﹁q的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件．故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≥－2,1＋m≤10，))，所以0<m≤3.【答案】(0，3]eq\a\vs4\al()本例涉及參數(shù)問題，干脆解決較為困難，先用等價轉(zhuǎn)化思想，將困難、生疏的問題化歸為簡潔、熟識的問題來解決．一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充分、必要條件問題中，經(jīng)常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮，這是解此類問題的關(guān)鍵．1．假如x，y是實數(shù)，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C．方法一：設(shè)集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，則A的補集C＝{(x，y)|x＝y(tǒng)}，B的補集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，明顯CD，所以BA，于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分條件．方法