高中概率知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)歸納

高中數(shù)學(xué)第十一章-概率知識(shí)要點(diǎn)3.1．隨機(jī)事件的概率3.1.1隨機(jī)事件的概率1、必然事件：一般地，把在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的必然事件。2、不可能事件：把在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的不可能事件。3、確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱(chēng)相對(duì)于條件S的確定事件。4、隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件。5、頻數(shù)：在相同條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀(guān)察某一事件A是否出現(xiàn)，稱(chēng)n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)。6、頻率：事件A出現(xiàn)的比例。7、概率：隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.3.1.2概率的意義1、概率的正確解釋?zhuān)弘S機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)性中含有規(guī)律性。認(rèn)識(shí)了這種隨機(jī)中的規(guī)律性，可以比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性。2、游戲的公平性：抽簽的公平性。3、決策中的概率思想：從多個(gè)可選答案中挑選出正確答案的決策任務(wù)，則“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準(zhǔn)則?！獦O大似然法、小概率事件4、天氣預(yù)報(bào)的概率解釋?zhuān)好魈毂镜亟邓怕蕿?0%解釋是“明天本地下雨的機(jī)會(huì)是70%”。5、試驗(yàn)與發(fā)現(xiàn)：孟德?tīng)柕耐愣乖囼?yàn)。6、遺傳機(jī)理中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。3.1.3概率的基本性質(zhì)1、事件的關(guān)系與運(yùn)算（1）包含。對(duì)于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，稱(chēng)事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），記作。不可能事件記作。（2）相等。若，則稱(chēng)事件A與事件B相等，記作A=B。（3）事件A與事件B的并事件（和事件）：某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生。（4）事件A與事件B的交事件（積事件）：某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生。（5）事件A與事件B互斥：為不可能事件，即，即事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中并不會(huì)同時(shí)發(fā)生。（6）事件A與事件B互為對(duì)立事件：為不可能事件，為必然事件，即事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生。2、概率的幾個(gè)基本性質(zhì)（1）.（2）必然事件的概率為1..（3）不可能事件的概率為0..（4）事件A與事件B互斥時(shí)，P(AB)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。（5）若事件B與事件A互為對(duì)立事件，，則為必然事件，.3.2古典概型3.2.1古典概型1、基本事件：基本事件的特點(diǎn)：（1）任何兩個(gè)事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本時(shí)間的和。2、古典概型：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概型。3、公式：3.2.2（整數(shù)值）隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生如何用計(jì)算器產(chǎn)生指定的兩個(gè)整數(shù)之間的取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)？——書(shū)上例題。3.3幾何概型3.3.1幾何概型1、幾何概型：每個(gè)事件發(fā)生的概率只有與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例的概率模型。2、幾何概型中，事件A發(fā)生的概率計(jì)算公式：3.3.2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生常用的是上的均勻隨機(jī)數(shù)，可以用計(jì)算器來(lái)產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)。本章知識(shí)小結(jié)隨機(jī)事件隨機(jī)事件頻率概率，概率的意義與性質(zhì)應(yīng)用概率解決實(shí)際問(wèn)題古典概型幾何概型隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)模擬（1）在具體情境中，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)一步了解概率的意義以和頻率與概率的區(qū)別。（2）通過(guò)實(shí)例，了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式。（3）通過(guò)實(shí)例，理解古典概型和其概率計(jì)算公式，會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)和事件發(fā)生的概率。（4）了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法（包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來(lái)進(jìn)行模擬）估計(jì)概率，初步體會(huì)幾何概型的意義（參見(jiàn)例3）。（5）通過(guò)閱讀材料，了解人類(lèi)認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的過(guò)程。重難點(diǎn)的歸納：重點(diǎn)：1、了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，正確理解概率的意義．2、理解古典概型和其概率計(jì)算公式．3、關(guān)于幾何概型的概率計(jì)算4、體會(huì)隨機(jī)模擬中的統(tǒng)計(jì)思想：用樣本估計(jì)總體．難點(diǎn)：1、理解頻率與概率的關(guān)系.2、設(shè)計(jì)和運(yùn)用模擬方法近似計(jì)算概率．3、把求未知量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問(wèn)題．（二）高考概率概率考試內(nèi)容：隨機(jī)事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．考試要求：（1）了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義．（2）了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率。（3）了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率．（4）會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生κ次的概率．以下歸納9個(gè)常見(jiàn)考點(diǎn)：解析概率與統(tǒng)計(jì)試題是高考的必考內(nèi)容。它是以實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題為載體，以排列組合和概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)為工具，以考查對(duì)五個(gè)概率事件的判斷識(shí)別和其概率的計(jì)算和隨機(jī)變量概率分布列性質(zhì)和其應(yīng)用為目標(biāo)的中檔師，預(yù)計(jì)這也是今后高考概率統(tǒng)計(jì)試題的考查特點(diǎn)和命題趨向。下面對(duì)其常見(jiàn)題型和考點(diǎn)進(jìn)行解析?？键c(diǎn)1考查等可能事件概率計(jì)算。在一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等。如果事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，則。這就是等可能事件的判斷方法和其概率的計(jì)n算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的計(jì)算方法以和分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。例1（2004天津）從4名男生和2名女生中任3人參加演講比賽.(I)求所選3人都是男生的概率；(II)求所選3人中恰有1名女生的概率；(III)求所選3人中至少有1名女生的概率.考點(diǎn)2考查互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率計(jì)算。不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A、B叫做互斥事件，它們至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A+B，用概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)計(jì)算。事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，則A、B叫做相互獨(dú)立事件，它們同時(shí)發(fā)生的事件為AB。用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)計(jì)算。高考常結(jié)合考試競(jìng)賽、上網(wǎng)工作等問(wèn)題對(duì)這兩個(gè)事件的識(shí)別和其概率的綜合計(jì)算能力進(jìn)行考查。例2.（2005全國(guó)卷Ⅲ）設(shè)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器是否需要照顧相互之間沒(méi)有影響。已知在某一小時(shí)內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每臺(tái)機(jī)器在這個(gè)小時(shí)內(nèi)需要照顧的概率分別是多少；（Ⅱ）計(jì)算這個(gè)小時(shí)內(nèi)至少有一臺(tái)需要照顧的概率?？键c(diǎn)3考查對(duì)立事件概率計(jì)算。必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件A、B叫做互為對(duì)立事件。用概率的減法公式P(A)=1-P(A)計(jì)算其概率。高考常結(jié)合射擊、電路、交通等問(wèn)題對(duì)對(duì)立事件的判斷識(shí)別和其概率計(jì)算進(jìn)行考查。例3．(2005福建卷文）甲、乙兩人在罰球線(xiàn)投球命中的概率分別為。（Ⅰ）甲、乙兩人在罰球線(xiàn)各投球一次，求恰好命中一次的概率；（Ⅱ）甲、乙兩人在罰球線(xiàn)各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的概率；考點(diǎn)4考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算。若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴(lài)其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則此試驗(yàn)叫做n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。若在1次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為P，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=。高考結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率的計(jì)算方法和化歸轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。例4．（2005湖北卷）某會(huì)議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號(hào)相同。假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈泡壽命為1以上的概率為p1，壽命為2以上的概率為p2。從使用之日起每滿(mǎn)1進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換。（Ⅰ）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；（Ⅱ）在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，求該盞燈需要更換燈泡的概率；（Ⅲ）當(dāng)p1=0.8，p2=0.3時(shí)，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）考點(diǎn)5考查隨機(jī)變量概率分布與期望計(jì)算。解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)明確隨機(jī)變量可能取哪些值，然后按照相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率的法公式去計(jì)算這些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根據(jù)分布列和期望、方差公式去獲解。以此考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念和運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。例5．（2005湖北卷）某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車(chē)駕照考試規(guī)定；每位考試者一之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過(guò)，使可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過(guò)的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率?？键c(diǎn)6考查隨機(jī)變量概率分布列與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合1、考查隨機(jī)變量概率分布列與函數(shù)結(jié)合。例6.（2005湖南卷）某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)ξ表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值。（Ⅰ）求ξ的分布和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）記“函數(shù)f(x)＝x2－3ξx＋1在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率。2、考查隨機(jī)變量概率分布列與數(shù)列結(jié)合。例7甲乙兩人做射擊游戲，甲乙兩人射擊擊中與否是相互獨(dú)立事件，規(guī)則如下：若射擊一次擊中，原射擊者繼續(xù)射擊，若射擊一次不中，就由對(duì)方接替射擊。已知甲乙兩人射擊一次擊中的概率均為7，且第一次由甲開(kāi)始射擊。（1）求前4次射擊中，甲恰好射擊3次的概率。（2）若第n次由甲射擊的概率為，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；求lim，并說(shuō)明極n→∞限值的實(shí)際意義。3、考查隨機(jī)變量概率分布列與線(xiàn)形規(guī)劃結(jié)合。例8（2005遼寧卷）某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過(guò)第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí)對(duì)每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品。（Ⅰ）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級(jí)的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概P(甲)、P(乙)；（Ⅱ）已知一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如表二所示，用ξ、η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤(rùn)，在（I）的條件下，求ξ、η的分布列和Eξ、Eη；（Ⅲ）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示.該工廠(chǎng)有工人40名，可用資金60萬(wàn)元。設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在（II）的條件下，y為何值時(shí)，z=xEξ+yEηx最大？最大值是多少？（解答時(shí)須給出圖示）考查隨機(jī)變量概率分布列性質(zhì)性質(zhì)應(yīng)用考點(diǎn)7考查隨機(jī)變量概率分布列性質(zhì)應(yīng)用。離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.，高考常結(jié)合應(yīng)用問(wèn)題對(duì)隨機(jī)變量概率分布列和其性質(zhì)的應(yīng)用進(jìn)行考查。例9(2004全國(guó)高考題)某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽,需回答三個(gè)問(wèn)題,競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得0分。假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8,且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.。①求這名同學(xué)回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望；②求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分(即ξ≥0)的概率。考點(diǎn)8樣本抽樣識(shí)別與計(jì)算。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣得共同特點(diǎn)是不放回抽樣，且各個(gè)體被抽取得概率相等，均為(N為總體個(gè)體數(shù)，n為樣本容量)。系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的實(shí)質(zhì)分別是等距抽樣與按比例抽樣，只需按照定義，適用范圍和抽樣步驟進(jìn)行，就可得到符合條件的樣本。高考常結(jié)合應(yīng)用問(wèn)題，考查構(gòu)照抽樣模型，識(shí)別圖形，搜集數(shù)據(jù)，處理材料等研究性學(xué)習(xí)的能力。例11（2005湖北湖北高考題）某初級(jí)中學(xué)有學(xué)生270人，其中一級(jí)108人，二、三級(jí)各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為1，2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號(hào)1，2，…，270，并將整個(gè)編號(hào)依次分為10段.如果抽得號(hào)碼有下列四種情況：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是（）A．②、③都不能為系統(tǒng)抽樣B．②、④都不能為分層抽樣C．①、④都可能為系統(tǒng)抽樣D．①、③都可能為分層抽樣考點(diǎn)9考查直方圖。這是統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，不是概率的吧？例12.（2005江西卷）為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為b，則a、b的值分別為（）A．0,27,78B．0,27,83C．2.7,78D．2.7,83方法小結(jié)：解決概率問(wèn)題時(shí)，一定要根據(jù)有關(guān)概念，判斷問(wèn)題是否是等可能性事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件，還是某一事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的情況，以便選擇正確的計(jì)算方法，同時(shí)注意上述各類(lèi)事件的綜合問(wèn)題，要全面考慮，特別是近幾高考概率與期望的綜合，體現(xiàn)了高考對(duì)概率知識(shí)要求的進(jìn)一步提高。下面僅以幾個(gè)例題作以小結(jié)。一、用排列組合求概率例1從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)不能被3整除的概率為（）(A)19/54(B)35/5(C)38/54(D)41/60分析：等可能事件的概率關(guān)鍵是利用排列組合出基本事件數(shù)。答案：B點(diǎn)評(píng)：本題將等可能事件與對(duì)立事件的概率，以和分類(lèi)討論綜合在一起，體現(xiàn)了知識(shí)交匯點(diǎn)的命題精神，是高考的熱點(diǎn)。二、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率例2某廠(chǎng)生產(chǎn)A產(chǎn)品,每盒10只進(jìn)行包裝,每盒產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)合格后才能出廠(chǎng),規(guī)定以下,從每盒10只中任意抽4只進(jìn)行檢驗(yàn),如果次品數(shù)不超過(guò)1只,就認(rèn)為合格,否則就認(rèn)為不合格,已經(jīng)知道某盒A產(chǎn)品中有2只次品

（1）求該盒產(chǎn)品被檢驗(yàn)合格的概率

（2）若對(duì)該盒產(chǎn)品分別進(jìn)行兩次檢驗(yàn),求兩次檢驗(yàn)的結(jié)果不一致的概率

分析：對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件的概率可以分拆成幾個(gè)互斥事件的概率或者轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立事件的概率。點(diǎn)評(píng)：求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，要保證兩者確是“相互獨(dú)立”事件。本例的“比賽型”題，分析比較簡(jiǎn)單，只要結(jié)合有關(guān)比賽規(guī)則即可解決，此類(lèi)題也是高考的熱點(diǎn)題。三、對(duì)立重復(fù)試驗(yàn)例3一位學(xué)生每天騎自行車(chē)上學(xué),從他家到學(xué)校有5個(gè)交通崗,假設(shè)他在交通崗遇到紅燈是相互獨(dú)立的,且首末兩個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為p，其余3個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為。(1)若p=2/3，求該學(xué)生在第三個(gè)交通崗第一遇到紅燈的概率;(2)若該學(xué)生至多遇到一次紅燈的概率不超過(guò)5/18，求p的取值范圍。分析：首末兩個(gè)交通崗遇紅燈的概率相同，其余3個(gè)交通崗遇紅燈的概率也相同，可看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。點(diǎn)評(píng)：要注意恰有k次發(fā)生和某指定的k次發(fā)生的差異。對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，前者的概率為總結(jié)：概率初步的考題一般以（1）等可能事件；（2）互斥事件有一個(gè)發(fā)生；（3）相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生；（4）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為載體。有的考題可能綜合多個(gè)概率題型；在等可能事件的概率計(jì)算中，關(guān)鍵有二：一是誰(shuí)是一次試驗(yàn)（一次事件所含的基本事件的總數(shù)）；二是事件A所含基本事件數(shù)。當(dāng)然，所有基本事件是等可能的是前提；善于將復(fù)雜的事件分解為互斥事件的和與獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵。（三）高考數(shù)學(xué)概率中的易錯(cuò)題辨析一、概念理解不清致錯(cuò)例1．拋擲一枚均勻的骰子，若事件A：“朝上一面為奇數(shù)”，事件B：“朝上一面的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”，求P（A+B）錯(cuò)誤解法1：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是1，3，5；事件B：趄上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，∴P（A+B）=P（A）+P（B）=錯(cuò)因分析：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是1，3，5；事件B：趄上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，很明顯，事件A與事件B不是互斥事件。即P（A+B）≠P（A）+P（B），所以上解是錯(cuò)誤的。實(shí)際上：正確解法為：A+B包含：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，5四種情況∴P（A+B）=錯(cuò)誤解法2：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1，3，5；事件B：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，即以A、B事件中重復(fù)的點(diǎn)數(shù)1、3∴P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A·B）=錯(cuò)因分析：A、B事件中重復(fù)點(diǎn)數(shù)為1、3，所以P（A·B）=；這種錯(cuò)誤解法在于簡(jiǎn)單地類(lèi)比應(yīng)用容斥原理致錯(cuò)正確解答：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A·B）=例2．某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列，使，記求且的概率。錯(cuò)解：記事件A：，即前8項(xiàng)中，5項(xiàng)取值1，另3項(xiàng)取值－1∴的概率記事件B：，將分為兩種情形：（1）若第1、2項(xiàng)取值為1，則3，4項(xiàng)的取值任意（2）若第1項(xiàng)為1，第2項(xiàng)為－1，則第3項(xiàng)必為1第四項(xiàng)任意∴P（B）=∴所求事件的概率為P=P（A）·P（B）=錯(cuò)因分析：且是同一事件的兩個(gè)關(guān)聯(lián)的條件，而不是兩個(gè)相互獨(dú)立事件。對(duì)的概率是有影響的，所以解答應(yīng)為：正解：∵∴前4項(xiàng)的取值分為兩種情形①若1、3項(xiàng)為1；則余下6項(xiàng)中3項(xiàng)為1，另3項(xiàng)為-1即可。即；②若1、2項(xiàng)為正，為避免與第①類(lèi)重復(fù)，則第3項(xiàng)必為-1，則后5項(xiàng)中只須3項(xiàng)為1，余下2項(xiàng)為-1，即，∴所求事件的概率為二、有序與無(wú)序不分致錯(cuò)例3．甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)，甲、乙依次各抽一題。求：（1）甲抽到選擇題，乙提到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙兩人中至少有1人抽到選擇題的概率是多少？錯(cuò)誤解法：（1）甲從選擇題抽到一題的結(jié)果為乙從判斷題中抽到一題的結(jié)果為而甲、乙依次抽到一題的結(jié)果為∴所求概率為：錯(cuò)因分析：甲、乙依次從10個(gè)題目各抽一題的結(jié)果，應(yīng)當(dāng)是先選后排，所以應(yīng)為。為避免錯(cuò)誤，對(duì)于基本事件總數(shù)也可這樣做：甲抽取一道題目的結(jié)果應(yīng)為種，乙再抽取余下的9道題中的任一道的結(jié)果應(yīng)為種，所以正確解答：（2）錯(cuò)誤解法：從對(duì)立事件考慮，甲、乙都抽到判斷題的結(jié)果為種，所以都抽到判斷題的概率為，所求事件的概率為錯(cuò)因分析：指定事件中指明甲、乙依次各抽一題，則甲、乙都提到判斷題的結(jié)果應(yīng)為種，所以所求事件概率應(yīng)為說(shuō)明：對(duì)于第（2）問(wèn)，我們也可以用這樣解答：，這里啟示我們，當(dāng)基本事件是有序的，則指定事件是有序的（指定事件包含在基本事件中）；當(dāng)基本事件是無(wú)序的，則指定事件也必?zé)o序。關(guān)鍵在于基本事件認(rèn)識(shí)角度必須準(zhǔn)確。例4．已知8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì)，以抽簽方式將這8支球隊(duì)分為A、B兩組，每組4支，求：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率。錯(cuò)解：將8支球隊(duì)均分為A、B兩組，共有種方法：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的分法為：先從3支弱隊(duì)取2支弱隊(duì)，又從5支強(qiáng)隊(duì)取2支強(qiáng)隊(duì)，組成這一組共有種方法，其它球隊(duì)分在另一組，只有一種分法。∴所求事件的概率為：。錯(cuò)因分析：從基本事件的結(jié)果數(shù)來(lái)看，分組是講求順序的，則指定事件：“A、B組中有一組有2支弱隊(duì)”應(yīng)分為兩種情形。即“A組有”或“B組有”，所以正確解答為：正解：或說(shuō)明：這道題也可從對(duì)立事件求解：3支弱隊(duì)分法同一組共有：種結(jié)果?！嗨笫录怕蕿槿?、分步與分類(lèi)不清致錯(cuò)例5．某人有5把不同的鑰匙，逐把地試開(kāi)某房門(mén)鎖，試問(wèn)他恰在第3次打開(kāi)房門(mén)的概率？錯(cuò)誤解法：由于此人第一次開(kāi)房門(mén)的概率為，若第一次未開(kāi)，第2次能打開(kāi)房門(mén)的概率應(yīng)為；所以此人第3次打開(kāi)房門(mén)的概率為。錯(cuò)因分析：此人第3次打開(kāi)房門(mén)實(shí)際是第1次未打開(kāi)，第2次未打開(kāi)，第3次打開(kāi)“這三個(gè)事件的積事件”，或者理解為“開(kāi)房門(mén)是經(jīng)過(guò)未開(kāi)、未開(kāi)、開(kāi)”這三個(gè)步驟，不能理解為此事件只有“開(kāi)房門(mén)”這一個(gè)步驟，所以，正確解答應(yīng)為：正解：第1次未打開(kāi)房門(mén)的概率為；第2次未開(kāi)房門(mén)的概率為；第3次打開(kāi)房門(mén)的概率為，所求概率為：。例5．某種射擊比賽的規(guī)則是：開(kāi)始時(shí)在距目標(biāo)100m處射擊，若命中記3分，同時(shí)停止射擊。若第一次未命中，進(jìn)行第二次射擊，但目標(biāo)已在150m遠(yuǎn)處，這時(shí)命中記2分，同時(shí)停止射擊；若第2次仍未命中，還可以進(jìn)行第3次射擊，此時(shí)目標(biāo)已在200m遠(yuǎn)處。若第3次命中則記1分，同時(shí)停止射擊，若前3次都未命中，則記0分。已知身手甲在100m處擊中目標(biāo)的概率為，他命中目標(biāo)的概率與目標(biāo)的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨(dú)立的。求：射手甲得k分的概率為Pk，求P3，P2，P1，P0的值。：設(shè)射手射擊命中目標(biāo)的概率P與目標(biāo)距離之間的關(guān)系為，由已知錯(cuò)誤解法：錯(cuò)因分析：求P2時(shí)，將第150m處射擊命中目標(biāo)的概率作為第2次命中目標(biāo)的概率，隔離了第1次射擊與第2次射擊的關(guān)系，實(shí)際上，第2次射擊行為的發(fā)生是在第1次未擊中的前提下才作出的?！郟2應(yīng)為“第1次未擊中，第2次擊中”這兩個(gè)事件的積事件的概率。求P1時(shí)也如此。正解：四、考慮不周致錯(cuò)例6．某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910P0.20.20.20.2現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高的環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)記為，求：的分布列。錯(cuò)誤解法：的取值為