專題09平行四邊形-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試好題匯編(北師大版)(原卷版+解析)

專題09平行四邊形考向一：考向一：平行四邊形的判定與性質(zhì)考向二：三角形的中位線考向三：平行四邊形的證明與存在性一、平行四邊形的判定與性質(zhì)1．（2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校八年級期末）下列條件中，不能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的是（

）A．一組對邊平行且相等 B．對角線互相平分C．兩組對角分別相等 D．一組對邊平行，另一組對邊相等2．（2021·浙江·八年級期末）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，則不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（

）A．∠ABD=∠BDC，OA=OC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BCC．∠ABC=∠ADC，AB=CD D．∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB3．（2022·山東濟(jì)南·八年級期末）?ABCD中，E、F是對角線BD上不同的兩點(diǎn)，下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是（）A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE4．（2021·云南麗江·八年級期末）如圖，在中，平分∠交于點(diǎn)，且，則∠的度數(shù)為（

）A．60° B．120° C．150° D．60°或120°5．（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）如圖，點(diǎn)O是對角線的交點(diǎn)，EF過點(diǎn)O分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2022·山東泰安·八年級期末）如圖，在中P是邊上一點(diǎn)，且和分別平分和，若，，則的周長是（

）A．18 B．24 C．23 D．147．（2022·上海·八年級期末）如圖，平行四邊形ABCD中，已知AB＝3，AD＝5，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，則CE＝__．8．（2021·北京密云·八年級期末）在?ABCD中，若∠A比∠B的2倍多30°，則∠B的度數(shù)為_____．9．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎狾是平行四邊形ABCD的對角線AC與BD的交點(diǎn)．AC＝24，BD＝38，AD＝28，那么△OBC的周長等于____．10．（2022·山東濰坊·八年級期末）如圖，在中，，點(diǎn)，，分別在邊，，上，，，．求四邊形的周長．二、三角形的中位線1．（2022·黑龍江綏化·八年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若，則AD的長是（

）A． B． C． D．2．（2022·山東泰安·八年級期末）如圖，在中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，，則的度數(shù)為（

）A．60° B．70° C．80° D．50°3．（2021·北京密云·八年級期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)F是CD邊上一點(diǎn)，且DF＝1，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，M、N分別是線段AE、AF的中點(diǎn)，連接EF和MN，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動時(shí)，線段MN的最小值是（）A．1 B．1.5 C．2 D．34．（2021·吉林四平·八年級期末）如圖平行四邊形ABCD的周長為20，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BD＝6，則△DOE的周長為（

）A．6 B．7 C．8 D．105．（2021·云南·川師大昆明附中安寧校區(qū)八年級期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，若△ABC的周長為10cm，則△DEF的周長是_____cm．6．（2021·河南鄭州·八年級期末）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長度的最大值為______．三、平行四邊形的存在性與證明1．（2022·山東煙臺·八年級期末）已知：如圖A、C是?DEBF的對角線EF所在直線上的兩點(diǎn)，且AE＝CF．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．2．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，平行四邊形的對角線、交于點(diǎn)，，，連接．(1)求證：；(2)求證：四邊形是平行四邊形．3．（2020·河南鄭州·八年級期末）如圖，在平行四邊形中，，將紙片沿對角線對折，邊與邊交于點(diǎn)E，此時(shí)，恰為等邊三角形．(1)猜想與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)連接，請說明四邊形為平行四邊形；4．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）、B（2，2）．將直線l1向下平移m個(gè)單位得到直線l2，已知直線l2經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣2），且與x軸交于點(diǎn)C．(1)求直線l1的表達(dá)式；(2)求m的值與點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)D為直線l2上一點(diǎn)，如果A、B、C、D四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．5．（2021·河南鄭州·八年級期末）如圖，用硬紙板剪一個(gè)平行四邊形ABCD，找到對角線交點(diǎn)O，用大頭針在點(diǎn)O處將一根平放在平行四邊形上的細(xì)直木條固定，并使細(xì)木條可以繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動，撥動細(xì)木條，可隨意停留在任意位置．(1)木條把平行四邊形ABCD分成了兩部分，在撥動細(xì)木條的過程中，兩部分的面積是否始終相等？答：（填“是”或“否”）；(2)木條與?ABCD的邊AD，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．①請判斷OE與OF是否始終相等，并說明理由；②以A，E，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形嗎？為什么？1．（2021·廣東梅雁東山學(xué)校八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，ADBC，添加如下一個(gè)條件，使四邊形ABCD為平行四邊形（不添加任何輔助線），其中錯(cuò)誤的是（

）．A．AD=BC B．AB=CD C．AO=CO D．ABCD2．（2022·山東東營·八年級期末）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE延長線與AC的交點(diǎn)，若AC=4，則AF=（

）A． B． C．1 D．3．（2022·山東泰安·八年級期末）如圖，的周長為19，點(diǎn)，在邊上，的角平分線垂直于，垂足為，的角平分線垂直于，垂足為，若，則的長度為（

）A． B．2 C． D．34．（2021·重慶市黔江區(qū)教育科學(xué)研究所八年級期末）如圖，平行四邊形的對角線與相交于點(diǎn)，，垂足為，，，，則的長為（）A． B． C． D．5．（2021·黑龍江牡丹江·八年級期末）在□ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，DF平分∠ADC交BC于點(diǎn)F，且EF＝2，則AB的長為（

）A．2 B．5 C．2或3 D．3或56．（2021·黑龍江牡丹江·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，以AC為斜邊作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．∠ECD=112.5° B．DF=EF C．∠DEC=30° D．AB=CD7．（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）如圖，的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是，，，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是_________．8．（2022·貴州黔南·八年級期末）如圖，在中，，，，則AD=________cm．9．（2021·重慶市黔江區(qū)教育科學(xué)研究所八年級期末）如圖，是平行四邊形的對角線，點(diǎn)在上，，，則的度數(shù)是_____________10．（2021·湖北武漢·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，連接，，過軸上一點(diǎn)作直線，關(guān)于直線的對稱線段為，若線段和過點(diǎn)且垂直于軸的直線有公共點(diǎn)，則的取值范圍是________．11．（2022·山東淄博·八年級期末）如圖，點(diǎn)是的對角線交點(diǎn)，E為CD中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，若，則的值為______．12．（2022·山東泰安·八年級期末）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)等邊三角形、、，兩兩共用一個(gè)頂點(diǎn)，求證：與互相平分13．（2021·云南麗江·八年級期末）如圖，在△中，∠=90°，∠=45°，=10，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以1/的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以/的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動時(shí)間為（0≤≤10）．過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接、．(1)用含的式子填空：=,=；(2)試說明，無論為何值，四邊形都是平行四邊形；(3)當(dāng)為何值時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．14．（2021·河南鄭州·八年級期末）如圖，在中，，，AB＝8cm，動點(diǎn)從點(diǎn)開始以的速度向點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)開始以的速度向點(diǎn)運(yùn)動，兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動，同時(shí)停止，運(yùn)動時(shí)間為．(1)當(dāng)為何值時(shí)，是等邊三角形？(2)當(dāng)為何值時(shí)，是直角三角形？(3)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，求證：四邊形是平行四邊形．專題09平行四邊形考向一：考向一：平行四邊形的判定與性質(zhì)考向二：三角形的中位線考向三：平行四邊形的證明與存在性一、平行四邊形的判定與性質(zhì)1．（2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校八年級期末）下列條件中，不能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的是（

）A．一組對邊平行且相等 B．對角線互相平分C．兩組對角分別相等 D．一組對邊平行，另一組對邊相等【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法一一判斷即可；【詳解】解：A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形還可能是等腰梯形，本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法．2．（2021·浙江·八年級期末）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，則不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（

）A．∠ABD=∠BDC，OA=OC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BCC．∠ABC=∠ADC，AB=CD D．∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB【答案】C【解析】【分析】利用所給條件結(jié)合平行四邊形的判定方法進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∵∠ABD=∠BDC，OA=OC，又∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD（AAS），∴DO=BO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故A選項(xiàng)不合題意；∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ADC+∠BAD=180°，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故B選項(xiàng)不合題意；∵∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥CB，∵∠ABD=∠BDC，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故D選項(xiàng)不合題意；C、∠ABC=∠ADC，AB=CD不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．3．（2022·山東濟(jì)南·八年級期末）?ABCD中，E、F是對角線BD上不同的兩點(diǎn)，下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是（）A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE【答案】C【解析】【分析】連接AC與BD相交于O,根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，只要證明得到OE=OF即可，后根據(jù)各選項(xiàng)的條件分析判斷即可得解．【詳解】如圖，連接AC與BD相交于O，在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四邊形AECF為平行四邊形，只需證明得到OE＝OF即可；A、若BE＝DF，則OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本選項(xiàng)不符合題意；B、AF∥CE能夠利用“角角邊”證明△AOF和△COE全等，從而得到OE＝OF，故本選項(xiàng)不符合題意；C、若CE＝AF，則無法判斷OE＝OE，故本選項(xiàng)符合題意；D、由∠DAF＝∠BCE，從而可得△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，結(jié)合選項(xiàng)B可證明四邊形AECF是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．（2021·云南麗江·八年級期末）如圖，在中，平分∠交于點(diǎn)，且，則∠的度數(shù)為（

）A．60° B．120° C．150° D．60°或120°【答案】B【解析】【分析】利用平行四邊形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)可知：，，再由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解．【詳解】解：，，，∵平分∠，且，，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線性質(zhì)，牢固掌握并熟練應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）如圖，點(diǎn)O是對角線的交點(diǎn)，EF過點(diǎn)O分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以證△AOE≌△COF，得OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，無法證明AE=BF；∠DOC=∠OCD；∠CFE=∠DEF，∴選項(xiàng)①成立，選項(xiàng)②，③，④不一定成立，即只有1個(gè)正確，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．6．（2022·山東泰安·八年級期末）如圖，在中P是邊上一點(diǎn)，且和分別平分和，若，，則的周長是（

）A．18 B．24 C．23 D．14【答案】B【解析】【分析】由平行四邊形性質(zhì)得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB＋∠CBA＝180°，再證出AD＝DP＝5，BC＝PC＝5，得出DC＝10＝AB，然后證∠APB＝90°，最后由勾股定理求出BP＝6，即可求出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB＋∠CBA＝180°，又∵AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB＋∠PBA＝（∠DAB＋∠CBA）＝90°，在△APB中，∠APB＝180°?（∠PAB＋∠PBA）＝90°；∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠PAB，∵AB∥CD，∴∠PAB＝∠DPA，∴∠DAP＝∠DPA，∴△ADP是等腰三角形，∴AD＝DP＝5，同理：PC＝CB＝5，即AB＝DC＝DP＋PC＝10，在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8，∴，∴C△APB＝6＋8＋10＝24，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，根據(jù)題目中的已知條件求出DP、CP的長度是解題的關(guān)鍵．7．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，平行四邊形ABCD中，已知AB＝3，AD＝5，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，則CE＝__．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠DAE＝∠AEB，根據(jù)AE平分∠DAB得到∠BAE＝∠DAE，推出∠BAE＝∠AEB，得到BE＝AB，即可求出CE的長度．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，BC＝AD＝5，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠DAB∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB＝3，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．8．（2021·北京密云·八年級期末）在?ABCD中，若∠A比∠B的2倍多30°，則∠B的度數(shù)為_____．【答案】50°【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的兩鄰角互補(bǔ)求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A比∠B的2倍多30°，∴∠A=2∠B+30°，∴2∠B+30°+∠B=180°，∴∠B=50°，故答案為：50°．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的兩鄰角互補(bǔ)是解答的關(guān)鍵．9．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎狾是平行四邊形ABCD的對角線AC與BD的交點(diǎn)．AC＝24，BD＝38，AD＝28，那么△OBC的周長等于____．【答案】59【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可求得OB、OC，則可求得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BO＝BD＝19，CO＝AC＝12，BC＝AD＝28，∴BO+CO+BC＝19+12+28＝59，即△OBC的周長為59，故答案為：59．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對角線互相平分是解題的關(guān)鍵．10．（2022·山東濰坊·八年級期末）如圖，在中，，點(diǎn)，，分別在邊，，上，，，．求四邊形的周長．【答案】16【解析】【分析】先證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到對邊相等，再由已知條件得到，最后利用等量代換得到周長即可．【詳解】解：，，四邊形為平行四邊形，四邊形的周長．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)及角的轉(zhuǎn)化問題，熟練掌握并運(yùn)用上述知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．二、三角形的中位線1．（2022·黑龍江綏化·八年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若，則AD的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】證明OE是△BCD的中位線，然后根據(jù)中位線定理求解即可．【詳解】解：∵?ABCD∴OB=OD∵E是CD中點(diǎn)∴OE是△BCD的中位線∴AD＝2OE＝2×3＝6（cm）．故答案為B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的判定和性質(zhì)，證得OE是△BCD的中位線是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·山東泰安·八年級期末）如圖，在中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，，則的度數(shù)為（

）A．60° B．70° C．80° D．50°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，得到DE∥BC，得到∠ADE=∠B，根據(jù)∠B=60°，得到∠ADE=60°【詳解】∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∵∠B=60°，∴∠ADE=60°．故選A【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的判斷和性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用三角形中位線平行底邊，兩直線平行，同位角相等，是解題的關(guān)鍵．3．（2021·北京密云·八年級期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)F是CD邊上一點(diǎn)，且DF＝1，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，M、N分別是線段AE、AF的中點(diǎn)，連接EF和MN，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動時(shí)，線段MN的最小值是（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】利用三角形中位線性質(zhì)求解即可.【詳解】解：∵M(jìn)、N分別是線段AE、AF的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)E在BC邊上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動，∴當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)C的位置時(shí)，EF最小，此時(shí)，EF=4-1=3，∴線段MN的最小值為1.5.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查三角形的中位線的性質(zhì)，知道當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)C的位置時(shí)EF最小是解答此題的關(guān)鍵.4．（2021·吉林四平·八年級期末）如圖平行四邊形ABCD的周長為20，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BD＝6，則△DOE的周長為（

）A．6 B．7 C．8 D．10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的對邊相等和對角線互相平分可得，OB=OD，又因?yàn)镋點(diǎn)是CD的中點(diǎn)，可得OE是△BCD的中位線，可得OE=BC，所以易求△DOE的周長．【詳解】解：∵?ABCD的周長為20，∴2(BC+CD)=20，則BC+CD=10．∵四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD=6，∴OD=OB=BD=3．∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，∴OE是△BCD的中位線，DE=CD，∴OE=BC，∴△DOE的周長=OD+OE+DE=BD+(BC+CD)=5+3=8，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對角線互相平分、平行四邊形的對邊相等．5．（2021·云南·川師大昆明附中安寧校區(qū)八年級期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，若△ABC的周長為10cm，則△DEF的周長是_____cm．【答案】5【解析】【分析】三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，利用此定理求解即可．【詳解】解：∵在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，，，，的周長為10cm，，，即的周長為5cm．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，三角形周長公式，掌握并熟練應(yīng)用三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．6．（2021·河南鄭州·八年級期末）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長度的最大值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，可得EF=DN，當(dāng)DN最大時(shí)，EF最大，只有當(dāng)N與B重合時(shí)，DN最大，利用勾股定理求出BD的長，即得結(jié)論．【詳解】連接DN、DB，如圖所示：在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝＝5，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，∴EF＝DN，由題意得，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合是DN最大，最大值為5，∴EF長度的最大值為2.5．故答案為：2.5．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是中位線定理的靈活應(yīng)用，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想．三、平行四邊形的存在性與證明1．（2022·山東煙臺·八年級期末）已知：如圖A、C是?DEBF的對角線EF所在直線上的兩點(diǎn)，且AE＝CF．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形和平行線的性質(zhì)，推導(dǎo)得，；根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，證明、，得、，即可完成證明．【詳解】證明：∵平行四邊形DEBF，∴，，∴，，∵，，，，∴，，∵平行四邊形DEBF，∴，，在和中，∴，∴，在和中，∴，∴，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、平行線、全等三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、全等三角形的判定和性質(zhì)，從而完成求解．2．（2022·上海·八年級期末）如圖，平行四邊形的對角線、交于點(diǎn)，，，連接．(1)求證：；(2)求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）首先證明四邊形是平行四邊形，推出，再證明即可；（2）只要證明，即可．(1)證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．(2)∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)和判定等知識．解題的關(guān)鍵是首先證明四邊形是平行四邊形．3．（2020·河南鄭州·八年級期末）如圖，在平行四邊形中，，將紙片沿對角線對折，邊與邊交于點(diǎn)E，此時(shí)，恰為等邊三角形．(1)猜想與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)連接，請說明四邊形為平行四邊形；【答案】(1)；證明見解析(2)見解析【解析】【分析】(1)利用折疊性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，證明∠ACD=∠CAB=90°即可．(2)利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行證明即可．(1)結(jié)論：．理由如下：為等邊三角形，，根據(jù)折疊的性質(zhì)，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，．(2)證明：由（1）可知，，由折疊可知，三點(diǎn)在同一條直線上，四邊形是平行四邊形，與平行且相等，由折疊可知，與平行且相等，四邊形為平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，垂直的證明，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）、B（2，2）．將直線l1向下平移m個(gè)單位得到直線l2，已知直線l2經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣2），且與x軸交于點(diǎn)C．(1)求直線l1的表達(dá)式；(2)求m的值與點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)D為直線l2上一點(diǎn)，如果A、B、C、D四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝x+1(2)m＝；C（3，0）(3)（5，1）或（1，﹣1）【解析】【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；(2)根據(jù)平移的規(guī)律得到直線l2為y＝x+1﹣m，根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式，令y=0，即可求得C的坐標(biāo)；(3)分兩種情況，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及平移的規(guī)律即可求得D的坐標(biāo)．(1)解：設(shè)直線l1的表達(dá)式為y＝kx+b，∵直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）、B（2，2），∴，解得，∴直線l1的表達(dá)式為y＝x+1；(2)）將直線l1向下平移m個(gè)單位得到直線l2，則直線l2為y＝x+1﹣m，∵直線l2經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣2），∴﹣2＝+1﹣m，解得m＝，∴直線l2為y＝x﹣，令y＝0，則求得x＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）；(3)由題意可知AB∥CD，當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABDC時(shí)，AB＝CD，∵A（0，1）、B（2，2），C（3，0），∴點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位與C點(diǎn)重合，∴點(diǎn)B向右平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位與D點(diǎn)重合，此時(shí)D的坐標(biāo)為（5，1）；∵AB∥CD，AB＝CD，當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCD時(shí)，∵A（0，1）、B（2，2），C（3，0），∴點(diǎn)B向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位與C點(diǎn)重合，∴點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位與D點(diǎn)重合，此時(shí)D的坐標(biāo)為（1，﹣1）；綜上，如果A、B、C、D四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，1）或（1，﹣1）．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握分類討論的解題思想是解題的關(guān)鍵．5．（2021·河南鄭州·八年級期末）如圖，用硬紙板剪一個(gè)平行四邊形ABCD，找到對角線交點(diǎn)O，用大頭針在點(diǎn)O處將一根平放在平行四邊形上的細(xì)直木條固定，并使細(xì)木條可以繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動，撥動細(xì)木條，可隨意停留在任意位置．(1)木條把平行四邊形ABCD分成了兩部分，在撥動細(xì)木條的過程中，兩部分的面積是否始終相等？答：（填“是”或“否”）；(2)木條與?ABCD的邊AD，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．①請判斷OE與OF是否始終相等，并說明理由；②以A，E，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形嗎？為什么？【答案】(1)是(2)①OE與OF始終相等；理由見解析；②四邊形是AECF平行四邊形；理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)細(xì)木條與AB交于點(diǎn)G，與CD交于點(diǎn)H，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD，根據(jù)“ASA”證明△AOG≌△COH，△BOG≌△DOH，得出S△AOG+S△AOD+S△DOH＝S△COH+S△BOC+S△BOG，即可證明結(jié)論；（2）①根據(jù)“ASA”結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)證明△AOE≌△COF，即可證明結(jié)論；②根據(jù)對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，即可證明結(jié)論．(1)兩部分的面積相等，理由如下：設(shè)細(xì)木條與AB交于點(diǎn)G，與CD交于點(diǎn)H，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，∴∠OAG＝∠OCH，S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD，∵在△AOG和△COH中，∴△AOG≌△COH（ASA），同理：△BOG≌△DOH（ASA），∴S△AOG+S△AOD+S△DOH＝S△COH+S△BOC+S△BOG，即四邊形AGHD的面積＝△BGHC的面積，∴在撥動細(xì)木條的過程中，兩部分的面積是始終相等，故答案為：是．(2)①OE與OF始終相等，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OA＝OC．∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF；②四邊形是AECF平行四邊形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，由①可得：OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．1．（2021·廣東梅雁東山學(xué)校八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，ADBC，添加如下一個(gè)條件，使四邊形ABCD為平行四邊形（不添加任何輔助線），其中錯(cuò)誤的是（

）．A．AD=BC B．AB=CD C．AO=CO D．ABCD【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定條件逐一判斷即可．【詳解】解：A、添加條件AD=BC，再由ADBC，可以證明四邊形ABCD是平行四邊形，故A不符合題意；B、添加條件AB=CD，再由ADBC，不可以證明四邊形ABCD是平行四邊形，故B符合題意；C、∵ADBC，∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，添加條件AO=CO，∴△AOB≌△COB（AAS），∴AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故C不符合題意；D、添加條件AB∥CD，再由AD∥BC，可以證明四邊形ABCD是平行四邊形，故D不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，熟知平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東東營·八年級期末）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE延長線與AC的交點(diǎn)，若AC=4，則AF=（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】【分析】取BF的中點(diǎn)H，連接DH，根據(jù)三角形中位線定理得到DH=FC，DH∥AC，證明△AEF≌△DEH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=DH，計(jì)算即可．【詳解】解：取BF的中點(diǎn)H，連接DH，∵BD=DC，BH=HF，∴DH=FC，DH∥AC，∴∠HDE=∠FAE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF=DH，∴AF=FC，∵AC=4，∴AF=，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、三角形全等的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東泰安·八年級期末）如圖，的周長為19，點(diǎn)，在邊上，的角平分線垂直于，垂足為，的角平分線垂直于，垂足為，若，則的長度為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】【分析】證明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根據(jù)題意求出DE，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，在△BNA和△BNE中，．∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BA=BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴點(diǎn)N是AE中點(diǎn)，點(diǎn)M是AD中點(diǎn)（三線合一），∴MN是△ADE的中位線，∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，∴DE=BE+CD-BC=5，∴MN=DE=．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．4．（2021·重慶市黔江區(qū)教育科學(xué)研究所八年級期末）如圖，平行四邊形的對角線與相交于點(diǎn)，，垂足為，，，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可求得BC的長，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求出．【詳解】解：∵AC=2，，四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=AC=1，，∵，∴AB2+AO2=BO2，∴∠BAC=90°，在Rt△BAC中，，，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理和平行四邊形的性質(zhì)，能得出△BAC是直角三角形是解此題的關(guān)鍵．5．（2021·黑龍江牡丹江·八年級期末）在□ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，DF平分∠ADC交BC于點(diǎn)F，且EF＝2，則AB的長為（

）A．2 B．5 C．2或3 D．3或5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代換得到∠DFC=∠FDC，根據(jù)等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根據(jù)已知條件得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD，AD=BC，即可得到結(jié)論．【詳解】解：①如圖1在?ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，DF平分∠ADC交BC于點(diǎn)F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=8，∴AB=5；②如圖2在?ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，DF平分∠ADC交BC于點(diǎn)F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF=8，∴AB=3；綜上所述：AB的長為3或5．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是判斷出BA=BE=CF=CD．6．（2021·黑龍江牡丹江·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，以AC為斜邊作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．∠ECD=112.5° B．DF=EF C．∠DEC=30° D．AB=CD【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)平行線的性質(zhì)可判斷B，由A、B條件，通過角的轉(zhuǎn)換即可判斷C，根據(jù)勾股定理即可判斷D；【詳解】∵AB=AC，∠CAB=45°，∴∠B=∠ACB=67.5°．∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，∴∠ACD=45°，AD=DC，∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，故A正確，不符合題意；∵E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，∴FE=AB，F(xiàn)E∥AB，∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．∵F是AC的中點(diǎn)，∠ADC=90°，AD=DC，∴FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，∵AB=AC，∴FE=FD，故B正確，不符合題意；∵E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，∠ADC=90°，AB=AC∴DF=EF∵∠EFC=∠BAC=45°∴∠FED=[180°-（∠EFC+∠CFD）]=22.5°∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C錯(cuò)誤，符合題意；∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，∴AC=CD，∵AB=AC，∴AB=CD，故D正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查中位線定理，等腰三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識，掌握三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．7．（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）如圖，的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是，，，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是_________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)確定線段BC的長，然后根據(jù)A點(diǎn)向右平移線段BC的長度得到D點(diǎn)，即可由A點(diǎn)坐標(biāo)求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】解：∵B，C的坐標(biāo)分別是（?2，?2），（2，?2），∴BC＝2?（?2）＝2＋2＝4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝4，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1）．故答案為：（4，1）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的知識，解題的關(guān)鍵是求得線段BC的長，難度不大．8．（2022·貴州黔南·八年級期末）如圖，在中，，，，則AD=________cm．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，，據(jù)此求出、的長，利用勾股定理求出的長即可．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，又，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用平行四邊形對角線的性質(zhì)求解．9．（2021·重慶市黔江區(qū)教育科學(xué)研究所八年級期末）如圖，是平行四邊形的對角線，點(diǎn)在上，，，則的度數(shù)是_____________【答案】【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB＋∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB＋∠ACB＝3∠CAB＝180°?∠ABC＝180°?108°，∴∠BAC＝24°，故答案為：24°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形背景下的角度求解，涉及平行四邊形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確的識別圖形找準(zhǔn)角度之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．10．（2021·湖北武漢·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，連接，，過軸上一點(diǎn)作直線，關(guān)于直線的對稱線段為，若線段和過點(diǎn)且垂直于軸的直線有公共點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可以作出合適的輔助線，然后根據(jù)題意，利用分類討論的方法可以計(jì)算出m的兩個(gè)極值，從而可以得到m的取值范圍．【詳解】解：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)B1與A重合時(shí)，∵直線l垂直平分線段AB，∴PB＝PA，∵∠ABP＝60°，∴△APB是等邊三角形，∴PB＝AB，∵∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，OB＝3，∴∠BAO＝30°，∴AB＝2OB＝6，∴PB＝AB＝6，∴OP＝3，∴m＝?3，如圖2中，當(dāng)點(diǎn)O1落在直線a上時(shí)，同