廣東省惠州市高三4月模擬考試數(shù)學(xué)文試題（含小題解析）

惠州市2018屆高三模擬考試2018.04文科數(shù)學(xué)2018.04全卷滿分150分，時間120分鐘．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則集合（）(A)(B)(C)(D)2．已知復(fù)數(shù)，則（）(A)(B)(C)(D)3．甲乙兩名運(yùn)動員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動服的概率為（）(A)(B)(C)(D)4．如圖1，《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題:圖1今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問折者高幾何?圖1圖2是否意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）圖2是否折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為（）尺.(A)(B)(C)(D)5．執(zhí)行圖2所示的程序框圖,若輸入的，則輸出的（）(A)(B)(C)(D)6．將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再往上平移1個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)在下面哪個區(qū)間上單調(diào)遞增（）(A)(B)(C)(D)7．設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是（）(A)(B)(C)(D)8．已知為雙曲線的一個焦點，其關(guān)于雙曲線的一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則雙曲線的離心率為（）(A)(B)(C)(D)9．某四面體的三視圖如圖3所示，正視圖、俯視圖都是腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是邊長為2的圖3正方形，則此四面體的體積是（）圖3(A)(B)(C)(D)10．已知數(shù)列的前項和為，且，則（）(A) (B) (C) (D)11．在中，，點為邊上一點，且，則（）(A)(B)(C)(D)12．已知是拋物線的焦點，為拋物線上的動點，且點的坐標(biāo)為，則的最小值是（）(A) (B) (C) (D)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。13．曲線在處的切線方程為_______．14．若變量，滿足約束條件，則點到點的最小距離為.15．已知數(shù)列對任意的有，若,則.16．已知函數(shù)對任意的，都有，函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則方程在區(qū)間內(nèi)的所有零點之和為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：60分。17．（本小題滿分12分）已知,,分別為△三個內(nèi)角,,的對邊，且.（1）求角的大??；（2）若,且△的面積為,求的值.18．（本小題滿分12分）如圖，直角中，，，分別是邊的中點，沿將折起至，且.（1）求四棱錐的體積；（2）求證：平面⊥平面．19．（本小題滿分12分）為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系，現(xiàn)在從4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下表格：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日溫差x/℃101113128發(fā)芽數(shù)y/顆2325302616（1）從這5天中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為,求事件“均不小于25”的概率；（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與4月份所選5天的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的.請根據(jù)4月7日，4月15日與4月21日這三天的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于參考公式:，參考數(shù)據(jù):20．（本小題滿分12分）已知拋物線的焦點為，點滿足.（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線交拋物線于兩點，當(dāng)時，求直線的方程.21．（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。22．（本小題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）若曲線與只有一個公共點，求的值；（2），為曲線上的兩點，且，求△的面積最大值．23．（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）設(shè)，證明：．惠州市2018屆高三模擬考試數(shù)學(xué)（文科）參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）題號123456789101112答案CBABBCDCAADC1.【解析】因為，所以，∴選C．2.【解析】,，∴選B．3.【解析】甲，乙兩名運(yùn)動員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動服中選擇1種有9種不同的結(jié)果，分別為（紅，紅），（紅，白），（紅，藍(lán)），（白，紅），（白，白），（白，藍(lán)），（藍(lán)，紅），（藍(lán)，白），（藍(lán)，藍(lán)）．他們選擇相同顏色運(yùn)動服有3種不同的結(jié)果，即（紅，紅），（白，白），（藍(lán)，藍(lán)），故他們選擇相同顏色運(yùn)動服的概率為，∴選A．4.【解析】如圖，已知AC+AB=10（尺），BC=3（尺），

，

所以，解得

，因此，解得

，故折斷后的竹干高為4.55尺，∴選B.5.【解析】第一次執(zhí)行循環(huán)體后：;第二次執(zhí)行循環(huán)體后：;第三次執(zhí)行循環(huán)體后：輸出選B.6.【解析】將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，可得的圖象，再往上平移個單位，得函數(shù)的圖象，其單調(diào)區(qū)間與函數(shù)相同，令,解得：，當(dāng)時，為，∴選C另：用五點畫出的函數(shù)圖象（如下），可直接觀察出單調(diào)區(qū)間。7.【解析】令不符合題意，排除A，B；時，，不符合題意，排除C，∴選D.（另：畫出的大致圖象如下，也可觀察出答案為D.）8.【解析】如右圖所示，由題意可知△≌△，∴∠=∠=∠，∴∴選C.9.【解析】由三視圖知該幾何體為棱錐,其中平面ABCD,此三棱錐的體積,∴選A．10.【解析】由得，，∴選A．11.【解析】因為，∴，∴選D.（另：本小題也可以建立坐標(biāo)系去計算）12.【解析】由題意可得，拋物線x2=4y的焦點F（0，1），準(zhǔn)線方程為y=﹣1．過點P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，則==sin∠PAM，∠PAM為銳角．故當(dāng)∠PAM最小時，最小，故當(dāng)PA和拋物線相切時，最?。O(shè)切點P（2，a），由y=x2的導(dǎo)數(shù)為y′=x，則PA的斜率為?2==，求得a=1，可得P（2，1），∴|PM|=2，|PA|=2，∴sin∠PAM==．故選：C．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.14.15.403616.413.【解析】由，得，，切線的斜率為，故切線方程為.14.【解析】：由約束條件作出可行域如圖，點（3，4）到點（x，y）的最小距離為P（3，4）到直線x+y﹣4=0的距離．為．.15.【解析】令m=1,則可知∴為等差數(shù)列，首項和公差均為2。∴，∴16.【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，把函數(shù)的圖象向右平移1個單位可得函數(shù)的圖象，即函數(shù)的圖象關(guān)于點)對稱，則，又因為，所以，從而，再用替換可得，所以，即函數(shù)的周期為2，且圖象關(guān)于直線對稱，如圖所示，區(qū)間內(nèi)有8個零點，所有零點之和為.三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）17.（本小題滿分12分）【解析】（Ⅰ）由正弦定理得：…………2分由于，∴，∴即…………4分∵，∴∴∴…………6分（Ⅱ）由：可得∴…………8分由余弦定理得：…………10分∴…………12分18.（本小題滿分12分）【解析】（Ⅰ）∵分別是邊的中點，∴平行且等于的一半，…………1分依題意，于是有…………3分∵，∴…………4分過點作于，則，…………5分∵，∴∴梯形的面積四棱錐的體積…………6分（Ⅱ）（法一）如圖．設(shè)線段的中點分別為，連接，則，于是又是等邊三角形，∴EQ⊥FC，………8分由（1）知，∴，∴，于是………10分∴，又，∴平面⊥平面………12分（法二）連接，∵，∴△是邊長為2等邊三角形…∵∴，∴，………8分又∥∴，∵，∴………10分又∵，∴，又∵，∴∴平面⊥平面………12分19．（本小題滿分12分）【解析】(Ⅰ)所有的基本事件為(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10個．………2分設(shè)“m，n均不小于25”為事件A，則事件A包含的基本事件為(25，30)，(25，26)，(30，26)，共3個，故由古典概型概率公式得P(A)＝.………5分(Ⅱ)由題意得且所以，所以關(guān)于的線性回歸方程………9分且當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以所得到的線性回歸方程是可靠的.………12分20.（本小題滿分12分）【解析】（Ⅰ）由條件易知在拋物線上，………1分，………3分故，即拋物線的方程為；………4分（Ⅱ）易知直線斜率必存在，設(shè)，，，………5分①，………6分聯(lián)立得即，………8分由得，………9分且②，③，………10分由①②③得，即直線.………12分21.（本小題滿分12分）【解析】（Ⅰ）由題知：,………1分當(dāng)時,在時恒成立∴在上是增函數(shù).………2分當(dāng)時,,令，得；令,得.∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).………5分（Ⅱ）法一：由題知：在上恒成立，即在上恒成立?！?分令，所以………8分令得；令得.………9分∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.………10分∴,………11分∴.………12分法二：要使恒成立，只需,………6分（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以,即，這與矛盾，此時不成立.………7分（2）當(dāng)時,①若即時，在上單調(diào)遞增，所以，即，這與矛盾，此時不成立.………8分②若即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以即,解得，又因為，所以,………10分③即時，在遞減，則,∴，又因為，所以；………11分綜合①②③得：.………12分（22）（本小題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程【解析】（Ⅰ）曲線C是以（a，0）為圓心，以a為半徑的圓；………1分直線l的直角坐標(biāo)方程為………2分由直線l與圓C只有一個公共點，則可得………3分解得：a=﹣3（舍）或a=1………4分所以：a=1．………5分（Ⅱ）由題意，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2acosθ（a＞0）設(shè)A的極角為θ，B的極角為………6分則：==………8分∵cos=所以當(dāng)時，取得最大值………9分∴△OAB的面積最大值為．