線性探查的理論極限

18/23線性探查的理論極限第一部分線性探查沖突概率 2第二部分裝載因子與沖突概率關(guān)系 4第三部分負(fù)載因子最佳取值 6第四部分平均搜索長(zhǎng)度推導(dǎo) 9第五部分線性探查理論極限 10第六部分沖突解決比較 13第七部分嵌套探查策略 15第八部分鏈地址法比較 18

第一部分線性探查沖突概率關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【線性探查沖突概率：概述】

1.線性探查沖突概率衡量的是在開放尋址哈希表中發(fā)生線性探查沖突的可能性。

2.沖突概率取決于哈希表的大小、哈希函數(shù)的質(zhì)量以及插入的鍵的數(shù)量。

3.優(yōu)化哈希函數(shù)和選擇適當(dāng)?shù)墓１泶笮?duì)于最小化沖突概率至關(guān)重要。

【線性探查沖突概率：影響因素】

線性探查沖突概率

在哈希表中，當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)密鑰哈希到同一個(gè)哈希槽位時(shí)，就會(huì)發(fā)生沖突。線性探查是解決哈希沖突的一種常見技術(shù)，它通過(guò)按順序檢查哈希表中的后續(xù)槽位來(lái)查找可用槽位來(lái)存儲(chǔ)沖突密鑰。然而，線性探查可能導(dǎo)致沖突的聚集，從而降低哈希表的性能。

沖突概率分析

為了分析線性探查的沖突概率，假設(shè)哈希表的大小為m，有n個(gè)待插入的密鑰，哈希函數(shù)將每個(gè)密鑰均勻隨機(jī)地哈希到m個(gè)槽位中的一個(gè)。

考慮在哈希槽位h發(fā)生沖突的事件。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)密鑰哈希到槽位h時(shí)，沖突發(fā)生的概率為1/m。當(dāng)?shù)诙€(gè)密鑰哈希到槽位h時(shí)，沖突發(fā)生的概率為1/m*(n-1)/(m-1)，因?yàn)榈谝粋€(gè)密鑰已經(jīng)占據(jù)了槽位h。以此類推，當(dāng)?shù)趉個(gè)密鑰哈希到槽位h時(shí)，沖突發(fā)生的概率為1/m*(n-1)!/(m-k)!。

根據(jù)排列組合原理，第k個(gè)密鑰哈希到槽位h的概率為1/m*(n-1)!/(m-k)!*(m-k)/(n-k)=1/m*(n-1)!/(n-k)!/m^k。

因此，在槽位h發(fā)生沖突的概率為：

```

P(沖突|槽位h)=1-P(無(wú)沖突|槽位h)

P(沖突|槽位h)=1-(1-1/m)^n

```

這個(gè)概率被稱為線性探查沖突概率，它表示在槽位h發(fā)生沖突的可能性。

理論極限

當(dāng)哈希表裝載因子α=n/m接近1時(shí)，線性探查沖突概率會(huì)迅速增加。為了分析沖突概率的理論極限，假設(shè)裝載因子α=1。

此時(shí)，在槽位h發(fā)生沖突的概率變?yōu)椋?/p>

```

P(沖突|槽位h)=1-P(無(wú)沖突|槽位h)

P(沖突|槽位h)=1-(1-1/m)^m

P(沖突|槽位h)=1-1/e≈0.632

```

這個(gè)概率表明，當(dāng)裝載因子為1時(shí)，在任意槽位h發(fā)生沖突的概率接近63.2%。這意味著，在實(shí)踐中，線性探查哈希表的裝載因子通常必須遠(yuǎn)低于1，以避免沖突的聚集和哈希表性能的下降。第二部分裝載因子與沖突概率關(guān)系關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【裝載因子與沖突概率的關(guān)系】：

1.裝載因子定義為哈希表中已使用的單元數(shù)與總單元數(shù)之比。

2.裝載因子越大，沖突概率越高，因?yàn)槊總€(gè)單元存儲(chǔ)的元素?cái)?shù)量增加。

3.當(dāng)裝載因子達(dá)到1時(shí)，哈希表完全填滿，沖突概率為100%。

【平均搜索長(zhǎng)度】：

裝載因子與沖突概率關(guān)系

在散列表中，裝載因子α定義為元素?cái)?shù)量與哈希表大小的比值：

```

α=n/m

```

其中：

*n是哈希表中元素的數(shù)量

*m是哈希表的哈希槽位（或桶）的數(shù)量

裝載因子是衡量哈希表利用率的關(guān)鍵指標(biāo)。它影響著散列表的性能，特別是沖突的概率。

沖突是指當(dāng)多個(gè)元素被哈希到同一個(gè)哈希槽位時(shí)發(fā)生的情況。沖突會(huì)導(dǎo)致查找和插入操作的效率降低。

沖突概率由裝載因子和哈希函數(shù)的質(zhì)量決定。當(dāng)裝載因子較高時(shí)，沖突發(fā)生的可能性也更高。

對(duì)于一個(gè)均勻分布的哈希函數(shù)，沖突概率可以通過(guò)泊松分布近似為：

```

P(沖突)=1-e^(-α)

```

其中：

*α是裝載因子

從這個(gè)方程中可以看出，裝載因子和沖突概率之間存在指數(shù)關(guān)系。這意味著，隨著裝載因子的增加，沖突發(fā)生的概率會(huì)急劇上升。

下表顯示了不同裝載因子下沖突概率的近似值：

|裝載因子α|沖突概率P(沖突)|

|||

|0.5|0.3935|

|0.75|0.6321|

|0.9|0.7948|

|0.95|0.8673|

|1.0|1.0000|

為了獲得最佳的性能，通常建議將裝載因子保持在較低的水平，例如0.5或更低。這有助于減少?zèng)_突發(fā)生的可能性，從而提高散列表的效率。

當(dāng)裝載因子較高時(shí)，例如大于0.75，沖突的概率就會(huì)變得非常高。這會(huì)導(dǎo)致查找和插入操作出現(xiàn)嚴(yán)重的效率下降。

為了減輕沖突對(duì)散列表性能的影響，可以使用各種技術(shù)，例如：

*線性探測(cè)法：這涉及在沖突發(fā)生時(shí)探測(cè)哈希表中的下一個(gè)槽位，直到找到一個(gè)空的槽位來(lái)存儲(chǔ)元素。

*二次探測(cè)法：這涉及根據(jù)沖突的次數(shù)使用二次探測(cè)函數(shù)來(lái)確定要探測(cè)的下一個(gè)槽位。

*鏈地址法：這涉及使用鏈表將具有相同哈希值的元素存儲(chǔ)在同一個(gè)槽位中。

這些技術(shù)可以幫助減少?zèng)_突的影響，但它們?cè)黾恿斯１淼膹?fù)雜性和內(nèi)存使用量。第三部分負(fù)載因子最佳取值關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)負(fù)載因子最佳取值

1.負(fù)載因子α是表中關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量與表大小之比，其值決定了表中記錄的平均長(zhǎng)度。

2.當(dāng)α=0.5時(shí)，線性探查的平均查找長(zhǎng)度最短，此時(shí)表中記錄的平均長(zhǎng)度為2。

3.當(dāng)α>0.5時(shí)，隨著α的增加，線性探查的平均查找長(zhǎng)度迅速增加，查找效率急劇下降。

查找效率與負(fù)載因子

1.在負(fù)載因子較低時(shí)（α<0.5），查找效率較高，平均查找長(zhǎng)度保持相對(duì)穩(wěn)定。

2.當(dāng)負(fù)載因子接近0.5時(shí)，查找效率達(dá)到最佳。

3.當(dāng)負(fù)載因子過(guò)高（α>0.5）時(shí)，查找效率急劇下降，大量記錄會(huì)發(fā)生碰撞，導(dǎo)致表中記錄的平均查找長(zhǎng)度大幅增加。

碰撞與負(fù)載因子

1.線性探查中，當(dāng)新記錄與已有記錄發(fā)生碰撞時(shí)，新記錄將在表中繼續(xù)向后查找空位插入。

2.當(dāng)負(fù)載因子較高時(shí)，表中空位數(shù)量減少，碰撞的概率增加，導(dǎo)致記錄插入需要更多查找步驟。

3.當(dāng)負(fù)載因子達(dá)到1時(shí)，表中所有位置都被占用，此時(shí)線性探查無(wú)法插入新記錄，查找效率極低。

查找時(shí)間復(fù)雜度與負(fù)載因子

1.線性探查的平均查找時(shí)間復(fù)雜度為O(1+α)，其中α是負(fù)載因子。

2.當(dāng)α較小時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度接近O(1)，查找效率較高。

3.當(dāng)α較大時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度逐漸增大，查找效率降低，最壞情況下達(dá)到O(n)，其中n為表的大小。

動(dòng)態(tài)調(diào)整負(fù)載因子

1.為了保持較高的查找效率，需要?jiǎng)討B(tài)調(diào)整負(fù)載因子，避免負(fù)載因子過(guò)高或過(guò)低。

2.當(dāng)負(fù)載因子過(guò)高時(shí)，可以采用哈希重散列等方法，對(duì)表進(jìn)行擴(kuò)充，降低負(fù)載因子。

3.當(dāng)負(fù)載因子過(guò)低時(shí)，可以采用哈?？s減等方法，對(duì)表進(jìn)行收縮，提高負(fù)載因子。

非線性探查與負(fù)載因子

1.線性探查相對(duì)簡(jiǎn)單，但查找效率較低，非線性探查算法（如二次探查、雙重哈希）通過(guò)非線性的查找策略，可以提高查找效率。

2.非線性探查算法對(duì)負(fù)載因子也敏感，需要根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的探查策略和負(fù)載因子取值。

3.一般情況下，非線性探查算法可以在較高的負(fù)載因子下保持較高的查找效率，但其實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度也更高。線性探查的理論極限

最佳負(fù)載因子

在散列表的線性探查法中，負(fù)載因子（α）定義為表中已使用槽位的數(shù)量與表大小的比率。最佳負(fù)載因子是在最大化搜索效率和最小化沖突概率之間取得平衡的值。

理論分析：

給定一個(gè)包含m個(gè)槽位的散列表和n個(gè)插入的元素，負(fù)載因子α為：

α=n/m

通過(guò)分析線性探查的平均搜索時(shí)間（ASL），可以得到其理論最佳負(fù)載因子。ASL表示在散列表中查找一個(gè)元素的平均步數(shù)。

ASL(α)=(1+α)/2

對(duì)ASL(α)求導(dǎo)并令其等于0，得到最佳負(fù)載因子：

α*=0.5

經(jīng)驗(yàn)研究：

經(jīng)驗(yàn)研究也證實(shí)了α*=0.5作為最佳負(fù)載因子的理論結(jié)果。大量實(shí)證研究表明，當(dāng)負(fù)載因子接近0.5時(shí)，線性探查的性能達(dá)到最佳。

性能影響：

*低于α*：負(fù)載因子低于0.5時(shí)，表中仍有大量未使用的槽位。這會(huì)導(dǎo)致搜索效率降低，因?yàn)樵诓檎以貢r(shí)需要檢查更多的槽位。

*高于α*：負(fù)載因子高于0.5時(shí)，表中出現(xiàn)大量的沖突。這會(huì)導(dǎo)致槽位探查序列的延長(zhǎng)，從而降低搜索效率。

實(shí)踐中的使用：

為了優(yōu)化線性探查的性能，建議將負(fù)載因子保持在0.5左右。這可以通過(guò)調(diào)整表的大小或使用的哈希函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

其他考慮：

*哈希函數(shù)的影響：不同的哈希函數(shù)可能產(chǎn)生不同的沖突概率。因此，選擇一個(gè)良好的哈希函數(shù)對(duì)于降低沖突的發(fā)生至關(guān)重要。

*元素分布的影響：如果元素在表中分布不均勻，則可能會(huì)導(dǎo)致某些槽位出現(xiàn)大量的沖突。均勻的元素分布有助于降低沖突的發(fā)生。

*動(dòng)態(tài)調(diào)整：隨著元素的插入和刪除，表的負(fù)載因子會(huì)發(fā)生變化。因此，在實(shí)踐中，可能需要?jiǎng)討B(tài)調(diào)整表的大小或使用哈希函數(shù)來(lái)保持最佳負(fù)載因子。第四部分平均搜索長(zhǎng)度推導(dǎo)平均搜索長(zhǎng)度推導(dǎo)

在使用線性探查法解決哈希沖突時(shí)，對(duì)于成功查找一個(gè)鍵，平均需要進(jìn)行的比較次數(shù)稱為平均搜索長(zhǎng)度（ASL）。ASL可以用以下公式推導(dǎo)：

ASL=求和從i=1到i=m(i*Pi)

其中：

*m是哈希表的大小

*i是探測(cè)序列中探測(cè)的位置

*Pi是在探測(cè)序列的第i個(gè)位置找到鍵的概率

假設(shè)哈希表中的元素均勻分布，并且每個(gè)鍵以相等的概率被哈希到表中的任何位置，則可以計(jì)算出Pi的值：

Pi=1/m+(1-1/m)*(1/m)^i

將Pi代入ASL公式，并化簡(jiǎn)，得到：

ASL=(1/m)*求和從i=1到i=m(i*(1-1/m)^i)

對(duì)于大m，可以使用泰勒展開近似計(jì)算該求和：

ASL≈(1/m)*求和從i=1到i=∞(i*e^(-i/m))

由于e^(-i/m)收斂得非?？?，因此可以將求和的上限設(shè)為m：

ASL≈(1/m)*求和從i=1到i=m(i*e^(-i/m))

進(jìn)一步計(jì)算，得到：

ASL≈(1/m)*(m*e^(-1)+2*m*e^(-2)+3*m*e^(-3)+...)

ASL≈(1+2*e^(-1)+3*e^(-2)+4*e^(-3)+...)

這是Harmonic數(shù)的近似值，又稱為調(diào)和級(jí)數(shù)。對(duì)于大m，可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

ASL≈log(m+1)

因此，線性探查法的平均搜索長(zhǎng)度約為哈希表大小的對(duì)數(shù)。第五部分線性探查理論極限關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)線性探查的漸進(jìn)失效

1.在負(fù)載因子達(dá)到一定閾值后，線性探查的查找性能急劇下降，導(dǎo)致漸進(jìn)失效。

2.該閾值取決于表的大小和散列函數(shù)的質(zhì)量。一般情況下，該閾值在0.5到0.8之間。

3.當(dāng)負(fù)載因子超過(guò)閾值時(shí)，平均搜索長(zhǎng)度急劇增加，導(dǎo)致查詢性能不可接受。

二次探查和雙重散列

1.二次探查和雙重散列是線性探查的變種，旨在減少漸進(jìn)失效。

2.二次探查使用二次探測(cè)序列在沖突時(shí)查找下一個(gè)可用位置。

3.雙重散列使用兩個(gè)不同的散列函數(shù)在沖突時(shí)查找下一個(gè)可用位置。

完美散列

1.完美散列是一種特殊類型的散列，其中負(fù)載因子達(dá)到1且沒有沖突。

2.完美散列可以實(shí)現(xiàn)最佳的查找性能，但對(duì)于動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)集是不切實(shí)際的。

3.存在近似完美散列算法，可以創(chuàng)建接近完美的散列，具有極低的沖突概率。

可擴(kuò)展散列

1.可擴(kuò)展散列允許動(dòng)態(tài)調(diào)整表的大小以保持較低的負(fù)載因子，避免漸進(jìn)失效。

2.可擴(kuò)展散列使用一種自適應(yīng)算法，在需要時(shí)增加或減少桶的數(shù)量。

3.可擴(kuò)展散列提供了高性能和可擴(kuò)展性，非常適合處理不斷變化的數(shù)據(jù)集。

預(yù)查詢

1.預(yù)查詢是一種技術(shù)，可以提高線性探查的性能，特別是對(duì)于只讀數(shù)據(jù)集。

2.預(yù)查詢預(yù)先計(jì)算每個(gè)鍵的桶位置并將其存儲(chǔ)在單獨(dú)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中。

3.在查找期間，直接從預(yù)查詢結(jié)構(gòu)中獲取桶位置，減少了線性探查所需的比較次數(shù)。

趨勢(shì)和前沿

1.哈希映射和二叉查找樹等平衡數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)正在取代線性探查用于實(shí)現(xiàn)映射。

2.布隆過(guò)濾器等概率數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)被用于快速檢查鍵的存在，從而優(yōu)化了散列表的查找操作。

3.隨著內(nèi)存和計(jì)算能力的不斷提升，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)選擇正在更多地考慮空間和時(shí)間復(fù)雜度的權(quán)衡，而非僅關(guān)注性能優(yōu)化。線性探查理論極限

定義

線性探查（LinearProbing）是一種哈希表尋址方式，當(dāng)一個(gè)哈希值映射到已被占據(jù)的桶時(shí)，它會(huì)依次檢查后續(xù)的桶，直到找到一個(gè)空桶或到達(dá)表尾。

理論極限

線性探查的理論極限是指它在平均情況下可以實(shí)現(xiàn)的最佳性能，即在查找或插入元素時(shí)所需的平均時(shí)間。由Knuth于1963年確定的理論極限為：

```

L(ρ)=1/2*(1+1/(1-ρ)^2)

```

其中：

*L(ρ)是查找或插入操作的平均時(shí)間

*ρ是哈希表的填充因子，即已被占據(jù)的桶數(shù)與哈希表總大小的比率

極限的含義

*當(dāng)填充因子接近0時(shí)，線性探查的平均時(shí)間接近1。這是因?yàn)楣１碇写蟛糠滞岸际强盏模檎一虿迦氩僮鞑恍枰~外的探查。

*當(dāng)填充因子接近1時(shí)，線性探查的平均時(shí)間趨向于無(wú)窮大。這是因?yàn)楣１碇写蟛糠滞岸急徽紦?jù)，查找或插入操作需要進(jìn)行大量的探查。

*理論極限表明，線性探查的最佳性能只有在填充因子保持較低時(shí)才能實(shí)現(xiàn)。

影響因素

線性探查的理論極限受以下因素影響：

*哈希函數(shù)質(zhì)量：一個(gè)好的哈希函數(shù)可以最大限度地減少哈希沖突，從而降低填充因子。

*哈希表大小：更大的哈希表可以容納更多元素，從而降低填充因子。

*桶大?。狠^小的桶可以減少?zèng)_突，從而降低填充因子。

*元素分布：均勻分布的元素可以降低填充因子。

其他極限

除了平均時(shí)間極限外，線性探查還有其他幾個(gè)理論極限：

*最壞情況：在最壞情況下，即哈希沖突嚴(yán)重時(shí)，線性探查的查找或插入操作可能需要檢查整個(gè)哈希表，平均時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，其中n是哈希表的大小。

*漸近最差情況：當(dāng)填充因子接近1時(shí)，線性探查的查找或插入操作時(shí)間復(fù)雜度漸進(jìn)地變?yōu)镺(1/ρ)，其中ρ是填充因子。

*均勻分布下的最小平均時(shí)間：當(dāng)元素均勻分布在哈希表中時(shí)，線性探查的查找或插入操作的最小平均時(shí)間為1+(1/2)ρ。

結(jié)論

線性探查理論極限為線性探查性能提供了指導(dǎo)，表明在較低填充因子下，它可以具有良好的性能。然而，當(dāng)填充因子較高時(shí)，它的性能會(huì)顯著下降，需要考慮使用其他哈希尋址方式。第六部分沖突解決比較沖突解決比較

線性探查和二次探查是解決哈希沖突的兩種最常見的開放尋址技術(shù)。在比較這兩種技術(shù)時(shí)，沖突解決的效率至關(guān)重要。

線性探查

在進(jìn)行線性探查時(shí)，在發(fā)生哈希沖突時(shí)，將逐個(gè)檢查下一個(gè)空閑的插槽，直到找到一個(gè)空閑的插槽來(lái)存儲(chǔ)該元素。如果表已滿，則從頭開始搜索。

二次探查

在進(jìn)行二次探查時(shí)，當(dāng)發(fā)生哈希沖突時(shí)，將使用以下公式確定下一個(gè)要檢查的插槽：

```

i'=(i+c1)^c2

```

其中：

*i是當(dāng)前插槽的索引

*c1是一個(gè)奇數(shù)增量

*c2是一個(gè)偶數(shù)增量

通過(guò)使用二次探查，可以在哈希表中更均勻地分布元素，從而減少?zèng)_突并提高搜索效率。

沖突解決效率比較

表1比較了線性探查和二次探查的沖突解決效率。

|方法|平均查找長(zhǎng)度|最壞情況查找長(zhǎng)度|

||||

|線性探查|(1+α)/2|n|

|二次探查|(1+(1-α^2)/4α)/2|1/(1-α)|

其中：

*α是哈希表的裝填因子，即已用插槽的比例

平均查找長(zhǎng)度衡量成功查找元素所需平均比較次數(shù)。最壞情況查找長(zhǎng)度衡量在最壞情況下查找元素所需的最大比較次數(shù)。

如表所示，二次探查的平均查找長(zhǎng)度和最壞情況查找長(zhǎng)度都比線性探查更好。這是因?yàn)槎翁讲橥ㄟ^(guò)在表中更均勻地分布元素來(lái)減少?zèng)_突。

經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較

經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)也支持二次探查在解決沖突方面優(yōu)于線性探查的結(jié)論。圖1顯示了線性探查和二次探查在不同裝填因子下的平均查找長(zhǎng)度。

[Imageofagraphshowingtheaveragesearchlengthoflinearprobingandquadraticprobingatvaryingloadfactors]

圖1.線性探查和二次探查的平均查找長(zhǎng)度比較

正如該圖所示，二次探查的平均查找長(zhǎng)度在所有裝填因子下都低于線性探查。

結(jié)論

在解決哈希沖突方面，二次探查優(yōu)于線性探查。二次探查通過(guò)在表中更均勻地分布元素來(lái)減少?zèng)_突，從而提高查找效率。第七部分嵌套探查策略關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【嵌套探查策略】

1.定義：一種通過(guò)在每個(gè)哈希鍵附近探查多個(gè)位置來(lái)解決線性探查沖突的策略。

2.方法：針對(duì)每個(gè)哈希鍵分配一個(gè)探查間隔，當(dāng)發(fā)生沖突時(shí)，從哈希鍵開始，按間隔在鍵周圍探查位置。

3.優(yōu)點(diǎn)：在元素分布不均勻的情況下，與線性探查相比，嵌套探查可以顯著減少?zèng)_突，從而提高查找效率。

【哈希函數(shù)】

嵌套探查策略

嵌套探查是一種線性的哈希表探查策略，它通過(guò)利用已探查過(guò)的位置來(lái)提高探查效率。該策略采用雙層探查機(jī)制，即：

*主探查：從哈希函數(shù)計(jì)算出的索引開始進(jìn)行線性探查，直到找到目標(biāo)關(guān)鍵字或到達(dá)哈希表的末尾。

*嵌套探查：如果主探查過(guò)程中未找到目標(biāo)關(guān)鍵字，則從主探查結(jié)束的位置繼續(xù)進(jìn)行探查，但使用一個(gè)不同的探查步長(zhǎng)。

嵌套探查策略的優(yōu)勢(shì)在于：

*提高查找效率：嵌套探查策略允許在主探查失敗后繼續(xù)進(jìn)行探查，從而降低了碰撞的可能性。

*減少探查長(zhǎng)度：由于嵌套探查使用不同的探查步長(zhǎng)，因此可以有效縮短探查長(zhǎng)度。

*改善哈希表的利用率：嵌套探查策略可以填補(bǔ)主探查過(guò)程中留下的空閑槽位，從而提高哈希表的利用率。

算法描述

嵌套探查策略的算法描述如下：

1.從哈希函數(shù)計(jì)算出的索引h開始進(jìn)行主探查。

2.如果哈希表中第h個(gè)位置的關(guān)鍵字與目標(biāo)關(guān)鍵字匹配，則探查結(jié)束。

3.如果第h個(gè)位置為空，則探查結(jié)束。

4.如果第h個(gè)位置已被占用，則從第h+1個(gè)位置開始進(jìn)行嵌套探查，使用步長(zhǎng)p進(jìn)行探查，其中p是一個(gè)預(yù)定義的常數(shù)（通常為2或3）。

5.重復(fù)步驟2-4，直到找到目標(biāo)關(guān)鍵字或到達(dá)哈希表的末尾。

性能分析

嵌套探查策略的性能受以下幾個(gè)因素影響：

*哈希表的大?。汗１碓酱?，嵌套探查的優(yōu)勢(shì)越明顯。

*裝填因子：裝填因子是哈希表中已占用槽位與總槽位數(shù)的比值。裝填因子越大，碰撞的可能性也越大，嵌套探查的優(yōu)勢(shì)也就越明顯。

*探查步長(zhǎng)：探查步長(zhǎng)p的選擇會(huì)影響嵌套探查的性能。較小的步長(zhǎng)可以減少探查長(zhǎng)度，但可能增加碰撞的可能性。較大的步長(zhǎng)可以減少碰撞，但可能增加探查長(zhǎng)度。

理論極限

嵌套探查策略的理論極限是平均探查長(zhǎng)度（ASL）的一個(gè)上限。ASL是在哈希表中查找一個(gè)關(guān)鍵字的平均步驟數(shù)。對(duì)于嵌套探查策略，ASL的理論極限為：

```

ASL≤1+(1-α)*(1+(1-α)/2)

```

其中：

*α是哈希表的裝填因子

*p是嵌套探查的探查步長(zhǎng)

該公式表明，隨著裝填因子α的增加和探查步長(zhǎng)p的減小，ASL會(huì)減小。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，ASL通常會(huì)高于理論極限，因?yàn)樵摌O限不考慮哈希表中關(guān)鍵字分布的不均勻性。第八部分鏈地址法比較鏈地址法比較

線性探查和鏈地址法都是解決哈希表沖突的兩種方法，但它們?cè)谛阅芎蛯?shí)現(xiàn)方式上存在著一些差異。

性能

在性能方面，線性探查和鏈地址法之間存在著微妙的平衡。

*平均查找時(shí)間：對(duì)于成功的查找，線性探查的平均查找時(shí)間為O(1+α)，其中α是裝載因子。而鏈地址法的平均查找時(shí)間為O(1+m/n)，其中m是哈希表中的元素?cái)?shù)，n是桶的數(shù)量。當(dāng)裝載因子較?。é?lt;0.5）時(shí)，線性探查的平均查找時(shí)間較優(yōu)。但是，當(dāng)裝載因子較高時(shí)，鏈地址法的平均查找時(shí)間更優(yōu)。

*最壞情況查找時(shí)間：線性探查的最壞情況查找時(shí)間為O(n)，其中n是哈希表中的元素?cái)?shù)。而鏈地址法的最壞情況查找時(shí)間為O(m)，其中m是哈希表中的元素?cái)?shù)。因此，鏈地址法在最壞情況下具有更好的性能保證。

*插入時(shí)間：對(duì)于插入操作，線性探查和鏈地址法的平均時(shí)間都為O(1+α)，其中α是裝載因子。

*刪除時(shí)間：對(duì)于刪除操作，線性探查比鏈地址法略快，因?yàn)榫€性探查只需要更新沖突鏈中的指針，而鏈地址法需要從鏈表中刪除元素。

實(shí)現(xiàn)方式

在實(shí)現(xiàn)方式方面，線性探查和鏈地址法也有所不同。

*線性探查：線性探查使用一個(gè)連續(xù)的數(shù)組來(lái)存儲(chǔ)元素。當(dāng)發(fā)生沖突時(shí)，它繼續(xù)向后探查數(shù)組，直到找到一個(gè)空閑的槽位或到達(dá)數(shù)組末尾。

*鏈地址法：鏈地址法使用一個(gè)數(shù)組來(lái)存儲(chǔ)指針，每個(gè)指針指向一個(gè)鏈表。當(dāng)發(fā)生沖突時(shí)，元素被插入到該鏈表中。

空間開銷

在空間開銷方面，線性探查通常比鏈地址法更節(jié)省空間。

*線性探查：線性探查只需要存儲(chǔ)哈希表中的元素，而不需要額外的空間來(lái)存儲(chǔ)指針或鏈表。

*鏈地址法：鏈地址法需要存儲(chǔ)哈希表中的元素以及指向鏈表的指針，因此它的空間開銷更大。

選擇哪種方法

在選擇線性探查還是鏈地址法時(shí)，需要考慮以下因素：

*預(yù)期的裝載因子：如果預(yù)計(jì)裝載因子較低（α<0.5），則線性探查更優(yōu)。

*性能要求：如果需要保證最壞情況的性能，則鏈地址法更優(yōu)。

*空間開銷：如果空間受限，則線性探查更優(yōu)。

總的來(lái)說(shuō)，線性探查在裝載因子較低且空間受限的情況下更合適。而鏈地址法在裝載因子較高或需要保證最壞情況性能的情況下更合適。關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)主題名稱：線性探查的理論極限

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.線性探查的平均搜索長(zhǎng)度決定了其效率，是衡量其性能的指標(biāo)。

2.平均搜索長(zhǎng)度由表長(zhǎng)、裝填因子和探查策略決定，其中裝填因子最為關(guān)鍵。

3.在最優(yōu)裝填因子下，平均搜索長(zhǎng)度為(1+1/α)/2，其中α為裝填因子。

主題名稱：平均搜索長(zhǎng)度推導(dǎo)

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.假設(shè)表長(zhǎng)為m，裝填因子為α，即有m個(gè)槽位，n個(gè)關(guān)鍵字。

2.平均搜索長(zhǎng)度ASL由三部分構(gòu)成：成功的查找、插入的查找和刪除的查找。

3.成功的查找長(zhǎng)度為1/α，插入的查找長(zhǎng)度為(1+1/α)/2，刪除的查找長(zhǎng)度為1。

4.因此，ASL=(1/α)*n+(n-n/m)*(1+1/α)/2+(n/m)*1。

5.化簡(jiǎn)后得到ASL=n*[(1+1/α)/2]，在最優(yōu)裝填因子α=0.5時(shí)，ASL最小，為(1+1/α)/2=2。關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)線性探查的理論極限

沖突解決比較

主題名稱：線性探查沖突解決策略

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.線性探查是一種最簡(jiǎn)單的沖突解決策略，它通過(guò)順序查找下一個(gè)可用槽位來(lái)解決哈希沖突。

2.線性探查的優(yōu)點(diǎn)包括實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單和不需要額外的空間開銷。

3.線性探查的缺點(diǎn)包括性能下降問題，因?yàn)樗赡軐?dǎo)致主存儲(chǔ)器訪問模式中的簇集，從而導(dǎo)致緩存未命中。

主題名稱：二次探查沖突解決策略

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.二次探查是一種比線性探查更復(fù)雜的沖突解決策略，它使用二次探測(cè)序列來(lái)解決哈希沖突。

2.二次探查的優(yōu)點(diǎn)包括減少主存儲(chǔ)器訪問模式中的簇集，從而提高性能。

3.二次探查的缺點(diǎn)包括實(shí)現(xiàn)更復(fù)雜，并且需要額外的空間開銷來(lái)存儲(chǔ)二次探測(cè)序列。

主題名稱：雙哈希沖突解決策略

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.雙哈希是一種使用兩個(gè)哈希函數(shù)的沖突解決策略，它將沖突項(xiàng)均勻分布在哈希表中。

2.雙哈希的優(yōu)點(diǎn)包括性能好，并且在哈希表接近滿負(fù)載時(shí)也能很好地工作。

3.雙哈希的缺點(diǎn)包括實(shí)現(xiàn)更復(fù)雜，并且需要額外的計(jì)算開銷來(lái)計(jì)算第二個(gè)哈希函數(shù)。

主題名稱：鏈地址法沖突解決策略

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.鏈地址法是一種使用鏈表來(lái)存儲(chǔ)沖突項(xiàng)的沖突解決策略，它將沖突項(xiàng)鏈接在一起形成一個(gè)鏈表。

2.鏈地址法的優(yōu)點(diǎn)包括可以處理任意數(shù)量的沖突，并且性能不受哈希表負(fù)載因子的影響。

3.鏈地址法的缺點(diǎn)包括需要額外的空間開銷來(lái)存儲(chǔ)鏈表，并且可能導(dǎo)致鏈表變得非常長(zhǎng)，導(dǎo)致性能下降