黃金卷：2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷-高三開(kāi)學(xué)學(xué)情調(diào)研卷01（摸底考試）（含答案及解析）（北京專用）

試卷第=page1010頁(yè)，共=sectionpages1010頁(yè)2024年高三數(shù)學(xué)秋季開(kāi)學(xué)考試（北京專用）注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的虛部是（

）A．1 B． C． D．3．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（

）A．1 B．4 C．6 D．04．設(shè)，是非零向量，則“或”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，在區(qū)間上的值域均為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知標(biāo)準(zhǔn)橢圓上P，Q兩點(diǎn)的切線方程分別為，，則直線PQ的斜率為（

）A． B． C．2 D．7．若一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，則該圓錐的母線與底面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左支交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．9．函數(shù)，若對(duì)任意，，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．10．已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個(gè)函數(shù)在上單調(diào)遞減的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是（

）A．36 B．42 C．72 D．84二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11．已知是圓的直徑，，是圓上兩點(diǎn)，且，則的最小值為.12．與家庭電路不同，從發(fā)電廠到用戶端的高壓電路只有三根火線而沒(méi)有零線．實(shí)際上，發(fā)電廠通常采用三相正弦交流進(jìn)行發(fā)電，三根火線的瞬時(shí)電流表達(dá)式分別為，．假設(shè)三根火線的電流分別進(jìn)入用戶端并通過(guò)一根零線流出，則零線瞬時(shí)電流．13．的展開(kāi)式中的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則15．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)的圖象都有且只有一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)，其中是的根，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù).若函數(shù)圖象的對(duì)稱中心點(diǎn)為，且不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是.四、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16．（13分）記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．17．（13分）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．18．（14分）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）19．（15分）已知函數(shù)的圖象是曲線C，直線與曲線C相切于點(diǎn).(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.20．（15分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，橢圓上不同于點(diǎn)的一點(diǎn)滿足.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.21．（15分）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．

2024年高三數(shù)學(xué)秋季開(kāi)學(xué)考試（北京專用）注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，則，所以，又，所以.故選：C2．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的虛部是（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】，的虛部是1.故選：A.3．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（

）A．1 B．4 C．6 D．0【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為，即可求出對(duì)應(yīng)展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：.4．設(shè)，是非零向量，則“或”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若，則，所以，若，則，所以，故由“或”推得出“”，即充分性成立；若，則，所以，所以由“”推不出“或”，故必要性不成立；所以“或”是“”的充分不必要條件.故選：A5．已知函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，在區(qū)間上的值域均為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦型函數(shù)的值域與周期性可得解.【詳解】由，函數(shù)值域?yàn)椋謱?duì)任意的實(shí)數(shù)，在區(qū)間上的值域均為，則，解得，故選：D.6．已知標(biāo)準(zhǔn)橢圓上P，Q兩點(diǎn)的切線方程分別為，，則直線PQ的斜率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】設(shè)橢圓方程為，分別聯(lián)立直線方程，根據(jù)判別式聯(lián)立求解可得，然后求出坐標(biāo)可得斜率.【詳解】設(shè)橢圓方程為，，聯(lián)立消去得①，則②，聯(lián)立消去得③，則④，聯(lián)立②④解得，代入①得，解得，所以，代入③得，解得，所以，所以.故選：D7．若一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，則該圓錐的母線與底面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，利用側(cè)面展開(kāi)圖條件建立與的關(guān)系式，作出圓錐軸截面圖，證明并求出線面所成角的余弦值即可.【詳解】作出圓錐的軸截面圖,設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，依題意可得，，即，因頂點(diǎn)在底面的射影即底面圓圓心,故母線與底面所成的角即.在中，.故選：C.8．已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左支交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用雙曲線定義、已知條件求出、，設(shè)，由余弦定理、求出可得答案.【詳解】如圖，由于，有4，可得，又由，可得，設(shè)，在中，由余弦定理有.在中，由余弦定理有.又由，有，可得，解得，所以雙曲線的焦距為.故選：B.9．函數(shù)，若對(duì)任意，，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的單調(diào)性可求解．【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，都有成立，所以是上的減函數(shù)，則，解得．故選：A．10．已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個(gè)函數(shù)在上單調(diào)遞減的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是（

）A．36 B．42 C．72 D．84【答案】C【分析】分類討論單調(diào)性，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】若和在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減增，則，此時(shí)有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)有：個(gè)；若和在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，此時(shí)有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)有：個(gè)；若和在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，此時(shí)有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)有：個(gè)；若、和在上單調(diào)遞減，則，此時(shí)有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)有：個(gè)；綜上所述：共有個(gè).故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)行分類，做到不重不漏，由此即可順利得解.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11．已知是圓的直徑，，是圓上兩點(diǎn)，且，則的最小值為.【答案】【分析】設(shè)，分析可知點(diǎn)為線段靠近的三等分點(diǎn)，，再結(jié)合數(shù)量積的定義分析求解.【詳解】由題意可知：圓的半徑為，

設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，，則，，，設(shè)，則，即，可知點(diǎn)為線段靠近的三等分點(diǎn)，則，，設(shè)向量與的夾角為，可得，且，所以的最小值為.故答案為：.12．與家庭電路不同，從發(fā)電廠到用戶端的高壓電路只有三根火線而沒(méi)有零線．實(shí)際上，發(fā)電廠通常采用三相正弦交流進(jìn)行發(fā)電，三根火線的瞬時(shí)電流表達(dá)式分別為，．假設(shè)三根火線的電流分別進(jìn)入用戶端并通過(guò)一根零線流出，則零線瞬時(shí)電流．【答案】0【分析】利用給定計(jì)算公式結(jié)合兩角和差的正弦公式求解即可.【詳解】由題意得，原式，，，.故答案為：013．的展開(kāi)式中的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）【答案】40【分析】利用通項(xiàng)中的指數(shù)確定，然后可得.【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)，所以含的項(xiàng)為第3項(xiàng)，即，所以的系數(shù)是.故答案為：4014．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則【答案】【分析】由已知可得數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求出，從而可求出，再利用可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椴粷M足上式，所以.故答案為：15．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)的圖象都有且只有一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)，其中是的根，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù).若函數(shù)圖象的對(duì)稱中心點(diǎn)為，且不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是.【答案】【分析】首先求得，，而原不等式等價(jià)于，可以利用不等式放縮即可求解.【詳解】，因?yàn)閳D象的對(duì)稱中心點(diǎn)為，所以，所以，由，所以，原不等式為，因?yàn)椋?，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以其最小值為，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到恒成立，結(jié)合切線放縮不等式即可順利得解.四、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16．（13分）記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出，最后結(jié)合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.【詳解】（1）由余弦定理有，對(duì)比已知，可得，因?yàn)椋?，從而，又因?yàn)?，即，注意到，所?（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.17．（13分）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.【詳解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由是的中點(diǎn)，得，所以，設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設(shè)平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.18．（14分）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大小．（結(jié)論不要求證明）【答案】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）,（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得結(jié)果；（Ⅱ）先分類，再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式以及分類計(jì)數(shù)加法公式求結(jié)果；（Ⅲ）先求，再根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得大小.【詳解】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一個(gè)男生支持方案一，一個(gè)女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;（Ⅲ）【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率、獨(dú)立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19．（15分）已知函數(shù)的圖象是曲線C，直線與曲線C相切于點(diǎn).(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值為，最小值為.【分析】（1）利用切點(diǎn)在直線和曲線上，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求出，再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榍悬c(diǎn)為，所以，解得.由，得，因?yàn)橹本€與曲線C相切于點(diǎn)，所以，解得，所以，由，得.所以函數(shù)的解析式為：.（2）由（1）知，，所以，.可得，令，則，解得（舍），.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，取的極小值，極小值為，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為.20．（15分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，橢圓上不同于點(diǎn)的一點(diǎn)滿足.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由左、右頂點(diǎn)為，先求，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率公式表示條件，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上求，由此可得橢圓方程.（2）解法一（非對(duì)稱韋達(dá)）：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程組，化簡(jiǎn)寫出韋達(dá)定理，然后表示出直線、的方程相除結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可；解法二（齊次化）：設(shè)不過(guò)點(diǎn)的直線的方程，由題意求出的值，然后表示出直線、的斜率，設(shè)點(diǎn)，結(jié)合橢圓方程化簡(jiǎn)分析即可.【詳解】（1）如圖所示：

根據(jù)題意，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)在橢圓上，所以，得，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解法一（非對(duì)稱韋達(dá)）：由題意如圖所示：

設(shè)點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，得，由根與系數(shù)的關(guān)系，，直線的方程：，①直線的方程：，②①②得，因?yàn)?，所以，解得，因此，點(diǎn)在定直線上.解法二（齊次化）：由題意如圖