專題07 類比歸納專題：一元二次方程的解法與配方法的應(yīng)用壓軸題十種模型全攻略(原卷版)

專題07類比歸納專題：一元二次方程的解法與配方法的應(yīng)用壓軸題十種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接開平方法】 1【類型二當(dāng)二次項系數(shù)為1，且一次項為偶數(shù)，可用配方法】 4【類型三若方程移項后一邊為0，另一邊能分解成兩個一次因式的積，可用因式分解】 6【類型四所有一元二次方程均可用公式法求解】 9【類型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】 12【類型六一元二次方程的特殊解法——換元法】 14【類型七完全平方式中的配方】 18【類型八判斷代數(shù)式的正負或求最值】 20【類型九比較兩個代數(shù)式的大小】 24【類型十利用配方法構(gòu)造非負數(shù)求值】 27【典型例題】【類型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接開平方法】例題：（2023·上海·八年級假期作業(yè)）用開平方法解下列方程：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一元二次方程的兩根分別為．2．（2023秋·九年級單元測試）方程的根是．3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用直接開平方法解下列方程：(1)；(2)．4．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解方程：(1)(2)．【類型二當(dāng)二次項系數(shù)為1，且一次項為偶數(shù)，可用配方法】例題：（2023秋·遼寧沈陽·九年級校考期末）解方程：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）解方程：（用配方法）．2．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用配方法解方程：3．（2023秋·上海青浦·八年級?？计谀┯门浞椒ń夥匠蹋海?．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）用配方法解下列方程：(1)．(2)．【類型三若方程移項后一邊為0，另一邊能分解成兩個一次因式的積，可用因式分解】例題：（2023秋·廣東湛江·九年級統(tǒng)考期末）解下列方程：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的解是（

）A． B． C．， D．，2．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）方程的解為________．3．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）方程的解為_______．4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）解方程：．5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）解方程：6．（2023·陜西西安·?？级＃┙夥匠蹋海绢愋退乃幸辉畏匠叹捎霉椒ㄇ蠼狻坷}：（2023秋·陜西榆林·九年級綏德中學(xué)校考期末）解方程：．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·青海西寧·九年級統(tǒng)考期末）解方程：2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）用公式法解方程：．3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用公式法解下列方程：．4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）解方程：5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用公式法解下列方程：(1)+5x﹣1＝0(2)6x（x+1）＝5x﹣16．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）小明在解方程的過程中出現(xiàn)了錯誤，其解答如下：解：，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步，．．．．．．．．．．．．．第二步，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步(1)問：小明的解答是從第________步開始出錯的；(2)請寫出本題正確的解答．【類型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】例題：（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）解一元二次方程：．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東廣州·九年級?？计谀┙夥匠蹋海?．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解方程：．3．（2023春·北京海淀·九年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）解方程：4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解方程：．【類型六一元二次方程的特殊解法——換元法】例題：（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解下列方程：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級單元測試）閱讀材料，解答問題：為解方程，我們將視為一個整體，解：設(shè)，則，原方程可化為，解得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴原方程的解為或．(1)上面的解題方法，利用（

）法達到了降冪的目的．(2)依據(jù)此方法解方程：．2．（2022秋·廣西南寧·九年級統(tǒng)考期中）閱讀材料：為解方程，我們可以將視為一個整體，然后設(shè)，原方程化為．①解得．當(dāng)時，，，．當(dāng)時，，，．∴原方程的解為．解答問題：(1)在由原方程得到方程①的過程中，利用______法達到了降次的目的，體現(xiàn)了______的數(shù)學(xué)思想；(2)利用上述材料中的方法解方程：．3．（2021秋·陜西咸陽·九年級咸陽市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）先閱讀，再解題：解方程．可以將看成一個整體，設(shè)，則原方程可化為，解得，；當(dāng)時，即，解得，當(dāng)時，即，解得，所以原方程的解為，．請利用上述這種方法解方程：．【類型七完全平方式中的配方】例題：（2023春·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期中）如果是一個完全平方式，那么_________．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如果是一個完全平方式，那么________2．（2023春·福建漳州·七年級福建省漳州第一中學(xué)校考期中）若是完全平方公式，則的值為________．3．（2023春·江蘇徐州·七年級校考階段練習(xí)）閱讀下列材料：教科書中這樣寫道：“我們把多項式及叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．即將多項式（b、c為常數(shù)）寫成（h、k為常數(shù)）的形式．配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題及求代數(shù)式最大、最小值等問題．【知識理解】(1)若多項式是一個完全平方式，那么常數(shù)k的值為______；A．4

B．8

C．

D．(2)若多項式是一個完全平方式，那么常數(shù)m的值為______；(3)配方：______；______；【知識運用】(4)通過配方發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式有最小值，則最小值為______；(5)已知，則______，______．【類型八判斷代數(shù)式的正負或求最值】例題：（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級?？茧A段練習(xí)）對于任意實數(shù)x，多項式的值是（

）A．負數(shù) B．非正數(shù) C．正數(shù) D．無法確定正負的數(shù)【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）不論為何實數(shù)，代數(shù)式的值（

）A．總不小于 B．總不大于 C．總不小于 D．可為任何實數(shù)2．（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期中）已知，，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值是0 B．的最小值是C．當(dāng)時，為正數(shù) D．當(dāng)時，為負數(shù)3．（2022秋·九年級課時練習(xí)）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其它重要應(yīng)用．例如：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？解答過程如下：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．∵（x+2）2≥0，∴當(dāng)x＝－2時，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1，∴當(dāng)（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值為1．根據(jù)上述方法，可求代數(shù)式－x2－6x＋12有最（填“大”或“小”）值，為．4．（2023春·江蘇·七年級期中）閱讀材料：求的最小值．解：，∵即的最小值為0，∴的最小值為4．解決問題：(1)若a為任意實數(shù)，則代數(shù)式的最小值為．(2)求的最大值．(3)拓展：①不論x，y為何實數(shù)，代數(shù)式的值．（填序號）A．總不小于1B．總不大于1C．總不小于6D．可為任何實數(shù)②已知，求．【類型九比較兩個代數(shù)式的大小】例題：（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知（為任意實數(shù)），則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．不能確定【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·九年級單元測試）已知Ma2a，Na1（a為任意實數(shù)），則M、N的大小關(guān)系為（

）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N2．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）若代數(shù)式，，則的值（）A．一定是負數(shù) B．一定是正數(shù) C．一定不是負數(shù) D．一定不是正數(shù)3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知代數(shù)式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，則AB（填＞，＜或＝）．4．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）我們知道，所以代數(shù)式的最小值為0．學(xué)習(xí)了多項式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來求一些多項式的最小值．例如，求的最小值問題．解：∵，又∵，∴，∴的最小值為．請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：(1)探究：；(2)求的最小值．(3)比較代數(shù)式：與的大?。绢愋褪门浞椒?gòu)造非負數(shù)求值】例題：（2023春·廣西貴港·七年級統(tǒng)考期末）若，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）“”這個結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．試利用“配方法”解決下列問題：(1)求代數(shù)式最值；(2)已知，求的值；(3)比較代數(shù)式與的大小．2．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）閱讀下列材料，解答問題．材料：求代數(shù)式的最小值．小明同學(xué)是這樣解答的：我們把這種解決問題的方法叫做“配方法”．問題：(1)請按照