湖北省武漢市東西湖區(qū)2025屆新高三8月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

武漢市東西湖區(qū)2025屆新高三8月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷本試題卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马棧?.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，.若，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合元素所表示的意義，以及集合關(guān)系，即可求解.【詳解】因為，所以直線與直線平行，所以.故選:C.【點睛】本題主要考查集合的概念與運算、解方程等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法法則求解．【詳解】由，得.故選：C.3.若是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意先分別算出的值，然后將“與垂直”等價轉(zhuǎn)換為，從而即可求解.【詳解】由題意有，又因為與垂直，所以，整理得，解得.故選：B.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到方程組，即可求出、，再求出即可.【詳解】因為，，所以，解得，所以，又，所以，所以.故選：A5.已知圓錐的高為6，體積為高的倍，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺高是3，則該圓臺的體積為（）A. B. C.7 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意利用等量關(guān)系可求得圓錐底面圓半徑為，代入計算可得圓臺體積.【詳解】如下圖所示：易知圓錐的高，圓臺的高，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則；所以，解得；可得圓臺下底面圓面積為，上底面圓面積為，所以該圓臺的體積為.故選：C6.已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求解函數(shù)的單調(diào)性，接著根據(jù)已知條件結(jié)合函數(shù)定義域和單調(diào)性即可求解.【詳解】因為當時，是單調(diào)遞增函數(shù)，此時，當時，是單調(diào)遞增函數(shù)，此時，所以是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以若即，則，，故選：D.7.已知函數(shù)，其圖象與直線y=3相鄰兩個交點的距離為，若f(x)>1對任意恒成立，則φ的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得周期為，根據(jù)周期公式可得.將不等式恒成立化為是sin(3x+φ)>0的解集的子集可求得結(jié)果.【詳解】∵函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0，|φ|<)，其圖象與直線y=3相鄰兩個交點的距離為，∴，∴ω=3.若f(x)>1對任意恒成立，則時，sin(3x+φ)>0恒成立，由sin(3x+φ)>0得，，即，，所以，所以，求得，又，所以，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將不等式恒成立化為是sin(3x+φ)>0的解集的子集求解是解題關(guān)鍵.8.已知定義在R上的函數(shù)滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依次求出猜想,再用等比數(shù)列求和.詳解】,,,,,,,故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題關(guān)鍵是通過計算觀察得到,進而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系，為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給作出了杰出貢獻.某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：）近似服從正態(tài)分布.已知時，有，，.下列說法正確的是（）A.該地水稻的平均株高約為 B.該地水稻株高的方差約為100C.該地株高超過的水稻約占68.27％ D.該地株高低于的水稻約占99.87％【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.【詳解】由題意可知，，，故A，B正確；由題意得，所以，故C錯誤；所以，故D正確；故選：ABD.10.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減B.若方程有個不等的實根，則C.當時，D.設(shè)，若對，，使得成立，則【答案】BD【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、圖象及性質(zhì)即可判斷選項A，B，C；求出函數(shù)在R上的值域，在上的值域，借助值域的包含關(guān)系即可判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，，當或時，，當時，，在，上都單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，A不正確；當時，的圖象在x軸上方，且在時，，在上的圖象在x軸下方，顯然是偶函數(shù)，在方程中，或時，方程有兩個不等實根，時，方程無實根，時，方程有個不等的實根，B正確；因，則有，即，于是得，C不正確；當時，的值域為，當時，的值域為，因?qū)?，，使得成立，從而得，即得，D正確.故選：BD【點睛】結(jié)論點睛：已知函數(shù)，，若，，有，則的值域是值域的子集,11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為，則（）A.曲線有兩條對稱軸B.曲線上的點到原點的最大距離為C.曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的圖形面積最大值為D.四葉草面積小于【答案】BCD【解析】【分析】通過方程中的變換得新曲線的對稱軸判斷A，利用基本不等式及距離公式判斷B，設(shè)出曲線中第一象限的點，利用基本不等式即可求出矩形面積最大值判斷C，由該曲線在以原點為圓心，半徑為的圓內(nèi)，故面積小于圓的面積判斷D.【詳解】對于A：當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，錯誤；對于B：因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，正確；對于C：設(shè)任意一點，所以圍成的矩形面積為，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，正確；對于D：由B可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知過原點的直線與雙曲線交于M，N兩點，點M在第一象限且與點Q關(guān)于x軸對稱，，直線NE與雙曲線的右支交于點P，若，則雙曲線的離心率為______．【答案】##【解析】【分析】先設(shè)出相關(guān)點的坐標，利用求得點坐標，推理證明（二階結(jié)論），再利用和整體代入即得的齊次式，計算即得離心率.【詳解】如圖，設(shè)，則，,根據(jù)可得:,故，因點均為雙曲線上的點，則由①因為，所以②，又③，將②，③兩式代入①式得：．故雙曲線的離心率．故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì)以及關(guān)于雙曲線的二階結(jié)論是否熟悉.關(guān)鍵在于能否建立四條直線的斜率之間的數(shù)量關(guān)系，通過代入消去未知量，得出的齊次式.13.已知直線是曲線和的公切線，則實數(shù)a=______．【答案】3【解析】【分析】先設(shè)在上的切點，然后求出切點和切線，然后再設(shè)在上的切點，即可求出a的值.【詳解】設(shè)直線l與曲線相切于點，由，得，因為l與曲線相切，所以消去，得，解得．設(shè)l與曲線相切于點，由，得，即，因為是l與曲線的公共點，所以消去，得，即，解得．故答案為：3.14.著名數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》中曾談到：任何一個大于1的整數(shù)要么是質(zhì)數(shù)，要么可以寫成一系列質(zhì)數(shù)的積，例如.已知，且均為質(zhì)數(shù)，若從中任選2個構(gòu)成兩位數(shù)，且，則的十位數(shù)字與個位數(shù)字不相等的概率為__________.【答案】【解析】【分析】求出根據(jù)，且可得，利用古典概型概率公式計算可得答案.【詳解】，可得，若從中任選2個構(gòu)成兩位數(shù)，且數(shù)，且，則有共6個，則十位數(shù)字與個位數(shù)字不相等的有共5個，所以的十位數(shù)字與個位數(shù)字不相等的概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，，，的面積為，已知，．（1）求角；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理和面積公式得到，結(jié)合得到答案；（2）根據(jù)半角公式得到，得到，由正弦定理得到，利用面積公式和正弦和角公式求出答案.【小問1詳解】因為，所以，所以，即，于是．又，所以．【小問2詳解】，因為，所以，故，因為，所以．由正弦定理得，解得．所以.16.已知橢圓，過左焦點且斜率大于0的直線交于兩點，的中點為的垂直平分線交x軸于點.（1）若點縱坐標為，求直線的方程；（2）若，求的面積.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，求出韋達定理，又因為點的縱坐標為，解得：或，便得出直線的方程；（2）根據(jù)橢圓的弦長公式，分別求出和，由求出的面積.【詳解】設(shè)，由題意，可設(shè)直線，（1）將直線方程代入橢圓方程，得，所以，由，得，解得：或.當時，，直線方程為，當時，，直線方程為，綜上所述，直線方程為或.（2）由，得，，.代入②式得，解得或（舍去），于是，所以.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系，涉及直線方程、直線與橢圓聯(lián)立、韋達定理、弦長公式，同時考查數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，還考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).17.如圖，在直三棱柱中，是上的點，且平面．（1）求證：平面；（2）若是棱上且靠近的三等分點，求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）由平面，可得，再由直棱柱可證得，從而可推得平面，再利用平行關(guān)系，即可證明平面；（2）利用等體積法求點到平面的距離，即，然后通過已知的數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】平面平面,在直三棱柱中，底面平面,，又平面，平面，即平面,,平面．【小問2詳解】由（1）知平面，又在平面內(nèi)，，即，又由直棱柱知平面平面，作于M，于是，與相似，，，即，是棱上且靠近的三等分點，，得，設(shè)點到平面的距離為，，，得，點到平面的距離為．18.已知函數(shù).（1）當時，若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，若有兩個極值點，求證:；（3）若在定義域上單調(diào)遞增，求的最小值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性求出極值可得答案；（2）（法一）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，要證只要證在上恒正即可，求導(dǎo)可得答案；（法二），可得在有兩個不等的實根，即，利用對數(shù)均值不等式可得答案；（3）（法一）轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)的極大值點為，即，由，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性求即可.（法二）即恒成立，表示以為動點的拋物線，兩者有公共點，聯(lián)立方程可得恒成立，即，利用導(dǎo)數(shù)求出可得答案.【小問1詳解】設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，，，當時，，所以在上、上各有一個零點，時有兩個零點；【小問2詳解】（法一），設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，要證，只要證，只要證，只要證，在上恒正即可，而，在上遞增，成立；（法二），則，由題意可得:在有兩個不等的實根，即，，下證：對均不等式，不妨設(shè)，則，令，證即證，即證在成立，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞減，可得，即，可得，由對均不等式可得：，，故；【小問3詳解】（法一）恒成立，恒成立，，當且僅當時，有最大值（這時即為極大值），設(shè)的極大值點為，則，，，而，在上減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，這時；（法二）恒成立，它表示以為動點的直線及其上方的點，表示以為動點的拋物線，兩者有公共點，，消去得，恒成立，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當且僅當時取等號.【點睛】方法點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（4）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或研究零點問題．19.有窮數(shù)列中，令，（1）已知數(shù)列，寫出所有的有序數(shù)對，且，使得；（2）已知整數(shù)列為偶數(shù)，若，滿足：當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.求的最小值；（3）已知數(shù)列滿足，定義集合.若且為非空集合，求證：.【答案】（1）、、、（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，逐個計算即可得；（2）由題意可得，，可得當時，有，當時，，結(jié)合，即可得解；（3）將展開，從而得到證明與之間的項之和，，都為正數(shù)，即可得證.【小問1詳解】為時，，為時，，為時，，為時，，故，且