2.2 基本不等式 講義（知識(shí)點(diǎn)+考點(diǎn)+練習(xí)）-2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第一冊

2.2基本不等式一、基本不等式1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．其中叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．變形：ab≤2，a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．a(chǎn)＋b≥2，a，b都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．思考1不等式≥ab和≥中等號(hào)成立的條件相同嗎？答案相同．都是當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．思考2“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立”的含義是什么？答案a＝b?＝ab；a＝b>0?＝.二、用基本不等式求最值用基本不等式≥求最值應(yīng)注意：（1）x，y是正數(shù)．（2）①如果xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2；②如果x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值S2.（3）討論等號(hào)成立的條件是否滿足．思考3利用基本不等式求最大值或最小值時(shí)，應(yīng)注意什么問題呢？答案利用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)注意：一正，二定，三相等．思考4x＋的最小值是2嗎？答案只有當(dāng)x>0時(shí)，才有x＋≥2＝2，即x＋的最小值是2；當(dāng)x<0時(shí)，x＋沒有最小值，此時(shí)x＋＝－≤－2＝－2，即當(dāng)x<0時(shí)，x＋的最大值是－2.

考點(diǎn)一公式的直接運(yùn)用【例1】(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))若，則的最小值是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】則，，當(dāng)時(shí)取“=”，所以正確選項(xiàng)為C【練1】(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))已知，求的最大值.【答案】【解析】，則，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，當(dāng)時(shí)，求的最大值為.考點(diǎn)二條件型【例2】(2020·全國高一開學(xué)考試)已知,則的最小值是()A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào))的最小值為故選：【練2】(2019·云南彌勒市一中高一期末)若，且，則的最小值為()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以?所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以，即的最小值為.考點(diǎn)三配湊型【例3】(2020·全國高一專題練習(xí))設(shè)，求的最大值.【答案】1【解析】∵，∴∴所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立所以的最大值為【練3】(2019·湖南高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)園區(qū)衡陽市一中高二開學(xué)考試)已知x≥，則f(x)＝有()A．最小值1 B．最大值C．最小值 D．最大值1【答案】A【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立考點(diǎn)四換元法【例4】(2019·河北路南.唐山一中高三期中(文))已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是()A．3 B．4 C． D．【答案】B【解析】考察均值不等式，整理得即，又，【練4】(2020·荊州市北門中學(xué)高一期末)若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由實(shí)數(shù)滿足，，設(shè)，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，及時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，故選D.考點(diǎn)五求參數(shù)【例5】(2020·浙江高一單元測試)已知不等式對任意實(shí)數(shù)、恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】.若，則，從而無最小值，不合乎題意；若，則，.①當(dāng)時(shí)，無最小值，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，，則不恒成立；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的最小值為.故選：C.【練5】(2019·山東濟(jì)寧.高一月考)設(shè)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為()A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而恒成立，故，也即的最大值為.故選B.考點(diǎn)六實(shí)際應(yīng)用題【例6】(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))某工廠擬建一個(gè)平面圖形為矩形，且總面積為平方米的三級污水處理池，如圖R3－1所示.已知池外墻造價(jià)為每米元，中間兩條隔墻造價(jià)為每米元，池底造價(jià)為每平方米元(池壁的厚度忽略不計(jì)，且污水處理池?zé)o蓋).若使污水處理池的總造價(jià)最低，那么污水處理池的長和寬分別為()A．米，米 B．米，米 C．米,米 D．米，米【答案】C【解析】設(shè)污水池的寬為米，則長為米，總造價(jià)為，則(元)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低，此時(shí)，污水池的寬為米，長為米.故選：C.【練6】(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))(1)用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？(2)用一段長為的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？【答案】(1)當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，最短籬笆的長度為；(2)當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，最大面積是.【解析】設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為、，籬笆的長度為.(1)由已知得，由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為；(2)由已知得，則，矩形菜園的面積為.由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是.

課后練習(xí)（2020高一上·蕪湖期中）已知m，n>0，4m+n=mn，則m+n的最小值為（

）A.

72C.

8

D.

9【答案】D【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用【解析】由4m+n=mn，可得4n所以m+n=(m+n)(4當(dāng)且僅當(dāng)4mn=nm時(shí)，即故答案為：D.

【分析】首先整理化簡原式再由基本不等式即可求出最小值。（2020高一上·漳州期末）若正數(shù)x，y滿足2x+y=1，則A.

2

B.

4

C.

6

D.

8【答案】D【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用【解析】x+2y=(2x+y)(x+2y)=2+故答案為：D

【分析】首先整理化簡原式再由基本不等式即可求出最小值。（2020高一上·淄博月考）已知x>0，y>0，若2yxA.

m≥4或m≤?2

B.

m≥2或m≤C.

?4<m<2

D.

?2<m<4【答案】C【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用【解析】因?yàn)?yx+8x所以m2+2m<8，解得：故答案為：C

【分析】由基本不等式求出最小值，由此即可得出m2（2021高一下·會(huì)澤月考）若x>0,y>0且x+y=4，則下列不等式中恒成立的是（

）A.

1x+y>1

C.

xy≥2

D.

【答案】B【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用【解析】對于A，因?yàn)閤+y=4，所以1x+y對于B，若x>0,y>0，由x+y=4，得x+y4所以1當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)，等號(hào)成立，所以B符合題意；對于C，因?yàn)閤>0,y>0，由x+y=4，所以4=x+y≥2xy，即xy≤2，當(dāng)且僅當(dāng)對于D，由上面可知xy≤2，則xy≤4，得1故答案為：B

【分析】首先對已知的代數(shù)式進(jìn)行整理再結(jié)合基本不等式求出最小值，由此對選項(xiàng)逐一判斷即可得出答案。（2020高三上·朝陽期中）已知x>0,y>0,xy=1，則x+4y的最小值為________，此時(shí)x的值為________.【答案】4；2【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用【解析】由x>0,y>0,xy=1，可得y=1則x+4y=x+4x≥2x?所以x+4y的最小值為4，此時(shí)x=2.故答案為：4，2.【分析】由xy=1，求得y=1x，再由（2020高三上·天津期末）已知a>0，b>0，且a+3b=1，則4a【答案】25【考點(diǎn)】基本不等式【解析】因?yàn)?a等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a=2故答案為：25.【分析】利用1的代換，將求式子4a+3（2019高二上·北京月考）若x>0時(shí)，函數(shù)y=ax2【答案】254【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用【解析】因?yàn)閍>0，所以y=ax2+1x故答案為：254【分析】利用基本不等式求出最小值，結(jié)合條件可得a的值.（2020高二下·開魯期中）曲線y=x【答案】x-y-3=0【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，基本不等式在最值問題中的應(yīng)用【解析】由題意y'=2x?3+2x=2x+2x?3≥22x×2x?故答案為：x-y-3=0．

【分析】首先求出曲線對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由基本不等式求出導(dǎo)數(shù)的最小值，即得到曲線斜率的最小值．（2020高一上·湖南月考）若不等式ax2+7x+b>0（1）求a和b的值；（2）已知正實(shí)數(shù)m，n，滿足m+2n=abmn，求m+8n的最小值.【答案】（1）由題可知，1和52是a所以1+52=?7a，1×52=ba，得a=所以m+8n=(m+8n)(2當(dāng)且僅當(dāng)m=4n時(shí)取等號(hào)，所以m+8n的最小值為95【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法，基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【解析】(1)由已知條件結(jié)合韋達(dá)定理即可計(jì)算出a與b的值。

(2)根據(jù)題意由首先整理化簡原式，然后由基本不等式即可求出最小值。

（2019·鎮(zhèn)江模擬）某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計(jì)如圖所示，AB為地面，CD，CE為路燈燈桿，CD⊥AB，∠DCE=2π3，在E處安裝路燈，且路燈的照明張角∠MEN=π3.已知CD=4m，CE=2（1）當(dāng)M，D重合時(shí)，求路燈在路面的照明寬度MN；（2）求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值.【答案】（1）解：當(dāng)M，D重合時(shí)，由余弦定理知，ME=DE=C∴cos∠CDE=∵∠CDE+∠EMN=π∴sin∠EMN=∵∠EMN>0∴cos∠EMN=∵∠MEN=π∴si