3.3.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)重難點(diǎn)手冊(cè)（圓錐曲線篇人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)儲(chǔ)備1．拋物線的定義滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：(1)在平面內(nèi)；(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等；(3)定點(diǎn)不在定直線上．其中點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形典例剖析考點(diǎn)一拋物線的定義及應(yīng)用[典例精析](1)若拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OFP的面積為()A. B．1C. D．2(2)設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)．若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．【答案】(1)B(2)4【解析】(1)設(shè)P(xP，yP)，由題可得拋物線焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.又點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為2，∴由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為2.∴xP＋1＝2，∴xP＝1.代入拋物線方程得|yP|＝2，∴△OFP的面積為S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.(2)如圖，過點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，則|P1Q|＝|P1F|.則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值為4.eq\a\vs4\al([變式發(fā)散])1．(變條件)若將本例(2)中“B(3,2)”改為B(3,4)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．【答案】2【解析】由題意可知點(diǎn)B(3,4)在拋物線的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離，F(xiàn)(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，即|PB|＋|PF|的最小值為2.2．(變?cè)O(shè)問)在本例(2)條件下，點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________．【答案】【解析】如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線是x＝－1，由拋物線的定義知點(diǎn)P到直線x＝－1的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離．于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離之和最小，顯然，連接AF與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)，此時(shí)最小值為＝.[解題技法]與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決與過拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān)問題的重要途徑．[提醒]注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.[過關(guān)訓(xùn)練]1．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為________．【答案】(2,2)【解析】過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足是N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|＋|MA|取得最小值，此時(shí)M(2,2)．2．(2020·襄陽測試)已知拋物線y＝x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于N點(diǎn)，若|MN|＝|NF|，則|MF|＝________.【答案】【解析】如圖，過N作準(zhǔn)線的垂線NH，垂足為H.根據(jù)拋物線的定義可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，則∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.能力檢測姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．（2020·湖南雨湖區(qū)·湘潭一中高二期中）動(dòng)圓經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)且與直線相切，則圓心的軌跡方程是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】雙曲線的左焦點(diǎn)為，動(dòng)圓經(jīng)過且與直線相切，則圓心到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，由拋物線的定義知軌跡是焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為的拋物線，其方程為.故選：B．2．（2020·全國高三其他模擬（文））已知，為的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且到焦點(diǎn)的距離為13，則的面積為（）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,設(shè)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的性質(zhì),拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離.由，得，所以.故選:A3．（2020·任丘市第一中學(xué)高二開學(xué)考試）若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則的值為（）A．4 B．8 C． D．【答案】A【解析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，右焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)也是，，所以，所以.故選：A.4．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為（）.A． B．C． D．【答案】C【解析】拋物線的焦點(diǎn)，則雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則，且該雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，解得，所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該雙曲線的漸近線方程為.故選：C.5．（2020·江西東湖區(qū)·南昌十中高二期中（文））若拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離是點(diǎn)到軸距離的3倍，則等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】由題意，，，則，解得故選：D6．（2020·黑龍江高二學(xué)業(yè)考試（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足為，若為等邊三角形，則（）．A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】由題意知：拋物線準(zhǔn)線為，，又，∴，又為等邊三角形，即邊長為，∴，而，整理得，解得或（舍去），故選：A7．（2020·黑龍江高二學(xué)業(yè)考試（文））已知為拋物線上任意一點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】根據(jù)已知條件出圖示如下，過作準(zhǔn)線，且準(zhǔn)線方程，所以，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)有最小值，即有最小值，所以，且，，所以，故答案為：D.8．（2020·江蘇如皋市·高二期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為.則實(shí)數(shù)p值為（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【解析】拋物線，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程由拋物線定義可得，解得：故選：C.二、多選題9．（2020·江蘇南京市·高三月考）已知雙曲線：的實(shí)軸長是2，右焦點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，雙曲線與拋物線交于、兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．雙曲線的離心率為 B．拋物線的準(zhǔn)線方程是C．雙曲線的漸近線方程為 D．【答案】BC【解析】由雙曲線：的實(shí)軸長為2，可得，又由拋物線：的焦點(diǎn)重合，可得雙曲線的右焦點(diǎn)為，即，則，可知雙曲線：，所以雙曲線的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線方程是，雙曲線的漸近線方程為，所以A不正確；B、C正確，聯(lián)立方程組，解得，所以，所以D不正確.故選：BC.10．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知過拋物線：的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，交圓于、兩點(diǎn)，其中、位于第一象限，則的值可能為（）.A．B．C．D．【答案】CD【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè),∴圓心為，半徑為，又拋物線的焦點(diǎn)，∴焦點(diǎn)恰為圓的圓心，易知，，∵，∴，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與聯(lián)立，整理得，即；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的值可能為、，故選:CD.11．（2020·全國高三其他模擬）已知點(diǎn)為圓錐曲線的焦點(diǎn)，則的方程可能為（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對(duì)于A，的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，不滿足題意；對(duì)于B，的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，滿足題意；對(duì)于C，可化為，其為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程，且該雙曲線的半焦距，滿足題意；對(duì)于D，為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程，不滿足題意．故選：BC．12．（2020·全國高三其他模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，與軸交于點(diǎn)，若點(diǎn)在上，點(diǎn)為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，直線與拋物線交于另一點(diǎn)，是正三角形，且四邊形的面積是，則（）A．的方程為 B．C． D．的面積是【答案】ABD【解析】如圖，因?yàn)闉檎切?，所以，則由拋物線的定義可知，又，所以．因?yàn)?，所以，，又四邊形的面積為，所以，所以，所以，的方程為，故A正確．易知直線的方程為，代入拋物線的方程，得，解得或，則，，所以，故B正確．又，所以，又，所以，所以，不垂直，故C錯(cuò)誤．的面積，故D正確.故答案為：ABD三、填空題13．（2020·常德市淮陽中學(xué)高二期中）設(shè)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，若，則的最小值為______．【答案】4【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，如圖，過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可得，，又是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，即的最小值為4.故答案為：.14．（2020·江蘇海安市·高三期中）已知拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則______.【答案】3【解析】由拋物線定義可得，，解得，故答案為：315．（2020·上海黃浦區(qū)·格致中學(xué)高三期中）若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_________.【答案】3【解析】易見，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則到準(zhǔn)線的距離為，等于到焦點(diǎn)的距離為4，即，故，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.故答案為：3.16．（2020·全國高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線：()的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)為拋物