3.1.2函數(shù)的表示方法-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)講義

新教材必修第一冊(cè)3.1.2：函數(shù)的表示方法課標(biāo)解讀：函數(shù)的表示方法（解析法、列表法、圖像法）的概念及應(yīng)用.（掌握）分段函數(shù)的概念及應(yīng)用.（理解）學(xué)習(xí)指導(dǎo)：1.函數(shù)的三種表示體現(xiàn)了“式”“表”“圖”互相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.學(xué)習(xí)過程中注意把“式”“表”“圖”相互轉(zhuǎn)化，特別注意加強(qiáng)“式”與“圖”的互相轉(zhuǎn)化，從側(cè)面認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì).2.學(xué)習(xí)分段函數(shù)，要結(jié)合實(shí)例體會(huì)概念，還要注意書寫的規(guī)范.知識(shí)導(dǎo)圖：教材全解知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的表示方法辨析比較：例1-1：下列表格中，與能構(gòu)成函數(shù)的是（）答案：C例1-2：已知完成某項(xiàng)任務(wù)的時(shí)間t與參加次項(xiàng)任務(wù)的人數(shù)之間適合關(guān)系式，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且參加次項(xiàng)任務(wù)的人數(shù)不能超過20人.寫出函數(shù)的函數(shù)解析式；用列表法表示此函數(shù)；畫出函數(shù)t的圖像.答案：（1），；（2）略（3）略知識(shí)點(diǎn)2：分段函數(shù)1.分段函數(shù)的概念有些函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)。2.分段函數(shù)的圖象分段函數(shù)有幾段，它的圖像就由幾條曲線組成.在同一直角坐標(biāo)系中，根據(jù)每段定義區(qū)間和表達(dá)式依次畫圖像，要注意每段圖像的端點(diǎn)是空心點(diǎn)還是實(shí)心點(diǎn)，將每段圖像組合到一起就得到整個(gè)分段函數(shù)的圖象.例2-3：若，則（）2B.3C.4D.5答案：C例2-4：畫出下列函數(shù)圖像：（[]表示不大于的最大整數(shù)）.答案：略重難拓展知識(shí)點(diǎn)3：函數(shù)的圖象變換1.函數(shù)圖像的平移變換函數(shù)的圖像與函數(shù)及函數(shù)的圖像有怎樣的關(guān)系呢？我們先來看一個(gè)例子.作出函數(shù)的圖像，觀察它們之間有怎樣的關(guān)系.在同一平面直角坐標(biāo)系中，它們的圖像如圖所示：觀察圖像可知，函數(shù)的圖像可以由函數(shù)的圖像向左平移一個(gè)單位長度得到；函數(shù)的圖像可以由函數(shù)的圖像向下平移一個(gè)單位長度得到.由此得到如下規(guī)律：函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像沿軸向左或向右平移個(gè)單位長度得到，即“左加右減”；函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像沿軸向上或向下平移個(gè)單位長度得到，即“上加下減”；2.函數(shù)圖像的對(duì)稱變換函數(shù)的圖像與函數(shù)，函數(shù)及函數(shù)的圖象又有怎樣的關(guān)系呢？我們來看一個(gè)例子.作出函數(shù)，，，的圖像，觀察它們之間有怎樣的關(guān)系.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出①，②，③，④的圖像的一部分，如圖所示.觀察圖像可知：函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像作軸的對(duì)稱變換得到；函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像作軸的對(duì)稱變換得到；函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像作關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱變換得到。由此可得如下規(guī)律.函數(shù)圖像的對(duì)稱變換包括以下內(nèi)容：函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像作關(guān)于軸的對(duì)稱變換得到；函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像作關(guān)于軸的對(duì)稱變換得到；（3）函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像作關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱變換得到；3.函數(shù)的圖像的翻折變換函數(shù)圖像的翻折的變換是指函數(shù)與的圖像間的關(guān)系.作出函數(shù)及的圖像，觀察它們與函數(shù)圖像之間有怎樣的關(guān)系.事實(shí)上，，.在不同的平面直角坐標(biāo)系中，分別作出及的圖像，如圖所示：通過觀察兩個(gè)圖像可知，的圖像可由經(jīng)過下列變換得到：保持的圖像在軸上及其上方的部分不變，將軸下方的部分沿軸翻折上去，即可得到的圖形.的圖像可由下列變換得到：保持的圖像在軸上及右側(cè)的圖像不變，軸左側(cè)的圖像換成將軸右側(cè)的圖像沿軸翻折而成的圖形，則這兩部分就構(gòu)成了的圖像.由此可得如下規(guī)律：（1）要作的圖像，可先作的圖像，然后將軸及其上方的部分保持不變，軸下方的部分沿軸對(duì)稱地翻折上去即可.（2）要作的圖像，可先作的圖像，然后保持軸上及其右側(cè)圖像不變，軸左側(cè)的圖像換成軸右側(cè)的圖像沿軸翻折的圖像即可.例3-5:將函數(shù)的圖像向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度，所得的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A.B.C.D.答案：C例3-6：已知函數(shù)的圖像如圖所示，則的圖像為（）答案：A例3-7：畫出下列函數(shù)的大致圖象：（1）；（2）.答案：題型與方法題型1：求函數(shù)的解析式1.已知函數(shù)的類型，求函數(shù)的解析式例8：（1）已知一次函數(shù)滿足，則的解析式為.（2）已知二次函數(shù)滿足，則該二次函數(shù)的解析式為.答案：（1）（2）2.已知的解析式，求的解析式例9：（1）已知，則的解析式為.（2）已知函數(shù)，則的解析式為.答案：（1）（2）3.已知中含有形式的函數(shù)，求的解析式例10：（1）已知函數(shù)滿足，則函數(shù)的解析式為.（2）已知函數(shù)，其中，則函數(shù)的解析式為.答案：（1）（2）4.求抽象函數(shù)的解析式例11：設(shè)是R上的函數(shù)，且滿足，并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，則的解析式為.答案：5.已知函數(shù)圖像求解析式例12：根據(jù)函數(shù)的圖像，寫出函數(shù)的解析式.答案：6.列表表征與函數(shù)解析式例13：我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地均采用了價(jià)格調(diào)控等手段來達(dá)到節(jié)約水資源的目的.某市用水收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是：水費(fèi)=基本費(fèi)+超額費(fèi)+定額損耗費(fèi).若每月用水量不超過最低限量，則只付基本費(fèi)8元和每月定額損耗費(fèi)c元；若每月用水量超過最低限量，則除了付同上的基本費(fèi)和定額損耗費(fèi)外，超過部分每1付元的超額費(fèi).已知每戶每月的定額損耗費(fèi)不超過5元.該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費(fèi)用見下表，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求月份用水量/水費(fèi)/元1992151932233答案：題型2：分段函數(shù)1.分段函數(shù)求值例14：已知函數(shù).（1）求的值；（2）若，求.答案：（1）（2）.例15：已知，則等于（）.-2B.4C.2D.-4答案：B2.分段函數(shù)與不等式例16：分段函數(shù)與不等式，若，則的取值范圍是.答案：變式訓(xùn)練1：設(shè)函數(shù)，若則.答案：-9或3變式訓(xùn)練2：已知，則不等式的解集為（）A.[0,1]B.[0,2]C.D.答案：C3.分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例17：如圖，已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7cm，腰長為cm，當(dāng)一條垂直于底邊BC（垂足為點(diǎn)F，F(xiàn)不予B重合）的直線從左至右移動(dòng)（與梯形ABCD有公共點(diǎn)）時(shí)，直線從左至右移動(dòng)（與梯形ABCD有公共點(diǎn)）時(shí)，直線把梯形分成兩部分，令BF=，試寫出直線左邊部分圖形的面積與關(guān)于的函數(shù).答案：題型3：函數(shù)圖像的相關(guān)問題1.函數(shù)圖像的判斷例1：設(shè)，下列圖形中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是（）答案:B2.圖像的識(shí)別例19：函數(shù)的大致圖形是（）答案：C3.畫函數(shù)的圖像例20：作出下列函數(shù)的圖像：；.答案：（1）（2）4.利用函數(shù)圖像求值域例21：設(shè)，則函數(shù)的值域?yàn)?答案：5.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例22：若方程有四個(gè)互補(bǔ)相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是.答案：（-1,3）變式訓(xùn)練3：若函數(shù)，則函數(shù)的最大值為（）.2B.1C.-1D.無最大值答案：B圖像信息題例23：向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖所示，那么水瓶的形狀是（）.答案：B變式訓(xùn)練4：小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，圖中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間開始加快速度行駛.與以上事件吻合的最好的圖像是（）.答案：C易錯(cuò)提醒易錯(cuò)1：求解析式時(shí)忽略函數(shù)的定義域例24：已知，則函數(shù)的解析式為.答案：易錯(cuò)2：畫函數(shù)圖像時(shí)忽略等價(jià)變形例25：畫出函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像指出函數(shù)的值域.答案：值域?yàn)?，圖像略感知高考考向1：函數(shù)解析式的正向及逆向運(yùn)用例27：設(shè)，若，則=（）2B.4C.6D.8答案：C例28：設(shè)函數(shù).已知，且，則實(shí)數(shù),.答案：-21考向2：識(shí)圖問題及函數(shù)圖像的工具性應(yīng)用例39：函數(shù)如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）A.B.C.D.答案：C例30:已知函數(shù)設(shè)的取值范圍是（）A.[-2,2]B.[,2]C.[,2]D.[,]答案：A基礎(chǔ)鞏固：1.下列各圖中，可以表示函數(shù)的圖像的是（）2.已知函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表，函數(shù)的圖像是如圖所示的曲線ABC，其中A（1,3），B（2,1），C（3,2），則（）x123f（x）2303B.2C.1D.03.設(shè)函數(shù)，則=（）A.B.3C.D.4.已知函數(shù)的圖像恒過點(diǎn)（1,1），則函數(shù)的圖像恒過點(diǎn)（）A.（4,1）B.（-3,1）C.（1,-3）D.（1,4）5.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像是（）6.如圖，函數(shù)的圖像是曲線OAB，則的值等于.（1）一次函數(shù)，求；（2）已知，若，求能力提升8.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值等于（）A.-3B.-1C.1D.39.已知函數(shù)，若，則函數(shù)的解析式為（）A.B.C.D.10.設(shè)集合，函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.11.已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像為（）.12.設(shè)，定義符號(hào)函數(shù)則（）A.B.C.D.13.定義兩種運(yùn)算：，則函數(shù)的解析式為（