3.1.2 橢圓的幾何性質(zhì)（十大題型）（原卷版）

3．1．2橢圓的幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)能說出橢圓的簡單幾何性質(zhì)，并能證明性質(zhì)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想．1、根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形．2、根據(jù)幾何條件求出曲線方程，利用曲線的方程研究它的性質(zhì)，并能畫出相應(yīng)的曲線．知識點(diǎn)一：橢圓的簡單幾何性質(zhì)我們根據(jù)橢圓來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的范圍橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，．橢圓的對稱性對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把換成，或把換成，或把、同時換成、，方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心．橢圓的頂點(diǎn)①橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)．②橢圓與坐標(biāo)軸的四個交點(diǎn)即為橢圓的四個頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，，．③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，，．和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作．②因?yàn)?，所以的取值范圍是．越接?，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓．當(dāng)且僅當(dāng)時，，這時兩個焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為．知識點(diǎn)詮釋：橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1），，；（2），，；（3），，；【即學(xué)即練1】（多選題）（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上的動點(diǎn)（P不在x軸上），則（

）A．橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上 B．△的周長為C．的取值范圍為 D．橢圓的離心率為知識點(diǎn)二：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量a、b、c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：，，且．可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊．和a、b、c有關(guān)的橢圓問題常與與焦點(diǎn)三角形有關(guān)，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角（）結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系．【即學(xué)即練2】（多選題）（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且，下列說法正確的是（

）A． B．離心率范圍C．當(dāng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時，為等腰直角三角形 D．若，則知識點(diǎn)三：橢圓兩個標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)，，軸長軸長=，短軸長=離心率知識點(diǎn)詮釋：橢圓，的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同；橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看、的分母的大小，哪個分母大，焦點(diǎn)就在哪個坐標(biāo)軸上．【即學(xué)即練3】（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知曲線的方程為，則下列說法正確的是.①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；②的取值范圍是；③曲線是一個橢圓；④曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.知識點(diǎn)四：直線與橢圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，則有；若點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有；若點(diǎn)在橢圓外，則有．直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(diǎn)（或兩個公共點(diǎn)）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(diǎn)（或一個公共點(diǎn)）；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．直線與橢圓的相交弦設(shè)直線交橢圓于點(diǎn)，兩點(diǎn)，則同理可得這里，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：【即學(xué)即練4】（2023·全國·高二課堂例題）過橢圓的左焦點(diǎn)引直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則直線方程為．知識點(diǎn)五：解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法：1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；2、點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線（不平行于軸）過橢圓（）上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有．【即學(xué)即練5】（2023·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則直線的方程為題型一：橢圓的幾何性質(zhì)例1．（多選題）（2023·遼寧大連·高二大連市第二十三中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別為?，上?下頂點(diǎn)分別為?，點(diǎn)P是C上異于?的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若C的離心率為，則直線與的斜率之積為B．若，則的面積為C．若C上存在四個點(diǎn)P使得，則C的離心率的范圍是D．若恒成立，則C的離心率的范圍是例2．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，把橢圓的長軸AB分成8等份，過每個分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七個點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，則|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.

例3．（2023·貴州黔西·高二?？计谥校┮阎獧E圓的焦點(diǎn)在x軸上，且長軸長是短軸長的2倍，則．變式1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為.變式2．（2023·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┮粋€半徑為1的球置于水平地面上，受到與水平地面夾角為的太陽光線照射，球在地面的影子邊沿是一個橢圓，則橢圓的焦距等于.題型二：根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值例4．（2023·湖北宜昌·高二當(dāng)陽一中?？茧A段練習(xí)）P點(diǎn)在橢圓上，B(0，3)，則BP長的最大值為.例5．（2023·黑龍江大慶·高二大慶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）以為焦點(diǎn)的橢圓上有一動點(diǎn)M，則的最大值為.例6．（2023·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn)，則.變式3．（2023·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)點(diǎn)，分別為橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，若使得成立的點(diǎn)恰好是4個，則實(shí)數(shù)的一個取值可以為.變式4．（2023·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）若為橢圓上的一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為.變式5．（2023·高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)M是橢圓上的一動點(diǎn)，點(diǎn)T的坐標(biāo)為，點(diǎn)N滿足，且∠MNT＝90°，則的最大值是．題型三：求離心率的值例7．（2023·浙江臺州·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓為橢圓的對稱中心，為橢圓的一個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，軸，與橢圓的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例8．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點(diǎn)四點(diǎn)．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例9．（2023·廣東佛山·高二佛山市高明區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．變式6．（2023·北京·高二101中學(xué)?？计谥校┮阎狝，B，C是橢圓上的三個點(diǎn)，直線AB經(jīng)過原點(diǎn)O，直線AC經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F，若，且，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．變式7．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）如圖，直線過橢圓的左焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)B，該橢圓的離心率為（）

A． B．C． D．變式8．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知橢圓E：與直線相交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，如果是等邊三角形，那么橢圓E的離心率等于（）A． B．C． D．變式9．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．變式10．（2023·高二?？计谀┮阎獧E圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，且，過P作的垂線交x軸于點(diǎn)A，若，記橢圓的離心率為e，則（

）A． B． C． D．變式11．（2023·河南鶴壁·高二鶴壁高中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓E上的一點(diǎn)，若的內(nèi)心是G，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．變式12．（2023·云南昭通·高二?？计谥校┮阎獧E圓的一個焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)，的最小值為，且存在點(diǎn)，使得（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）為正三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．題型四：求離心率的范圍例10．（2023·寧夏·高二寧夏育才中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的離心率為e，，分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)使得是鈍角，則滿足條件的范圍例11．（2023·黑龍江綏化·高二綏化市第一中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓上有一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若使得為直角三角形的點(diǎn)有8個，則橢圓的離心率的范圍是．例12．（2023·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的范圍是．變式13．（2023·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)作斜率存在且不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，若存在以為直徑的圓過原點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是.變式14．（2023·高二單元測試）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)可作以為直徑的圓的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的范圍為.變式15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，是橢圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），是的平分線與軸的交點(diǎn)，若，則橢圓離心率的范圍是．變式16．（2023·江蘇南通·高二江蘇省西亭高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓上存在點(diǎn)使得則離心率范圍．變式17．（2023·黑龍江·高二統(tǒng)考期末）已知是橢圓的兩焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，若，則離心率的范圍是.變式18．（2023·四川眉山·高二四川省眉山第一中學(xué)?？计谥校┮阎?，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)，使為等腰三角形，則橢圓離心率的范圍是．變式19．（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，以為直徑的圓與橢圓有四個交點(diǎn)，則橢圓離心率的范圍為（

）．A． B． C． D．變式20．（2023·高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)A、B為橢圓的長軸頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式21．（2023·安徽安慶·高二安慶市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）橢圓（a＞b＞0）上存在一點(diǎn)P滿足，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．變式22．（2023·四川成都·高二石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知P為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓焦點(diǎn)，且，則橢圓離心率的范圍是（

）A． B． C． D．題型五：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系例13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)在橢圓上，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)不在橢圓上 B．點(diǎn)不在橢圓上C．點(diǎn)在橢圓上 D．無法判斷上述點(diǎn)與橢圓的關(guān)系例14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)和焦點(diǎn)在軸上的橢圓：，且過作橢圓的切線有兩條，則該橢圓半焦距的取值范圍是（）A． B． C． D．例15．（2023·山東青島·高二山東省萊西市第一中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）若直線與圓沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2變式23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓，則下列各點(diǎn)不在橢圓內(nèi)部的是（

）A． B．C． D．變式24．（2023·全國·高二專題練習(xí)）點(diǎn)在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型六：直線與橢圓的位置關(guān)系例16．（2023·高二課時練習(xí)）若直線與橢圓有唯一公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．例17．（2023·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）直線與橢圓恒有兩個不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是．例18．（2023·上海閔行·高二閔行中學(xué)?？计谥校┲本€與曲線的公共點(diǎn)的個數(shù)是.變式25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線和曲線的位置關(guān)系為.題型七：弦長問題例19．（2023·高二課時練習(xí)）過橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為的弦的長是．例20．（2023·高二課時練習(xí)）直線被橢圓所截得的弦長為，求實(shí)數(shù)的值．例21．（2023·浙江臺州·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離比是.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)若直線與軌跡交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由.變式26．（2023·江蘇·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓C：，左，右焦點(diǎn)分別為，，橢圓C經(jīng)過，．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P使得，求的面積．變式27．（2023·陜西商洛·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的下焦點(diǎn)、上焦點(diǎn)為，離心率為.過焦點(diǎn)且與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn).(1)求的值；(2)求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值.題型八：中點(diǎn)弦問題例22．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條恰好被點(diǎn)平分的弦，則這條弦所在直線的方程是例23．（2023·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？计谀┰O(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓外，、在橢圓上，且是線段的中點(diǎn).若直線、的斜率之積為，則橢圓的離心率為.例24．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知過點(diǎn)的直線，與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB以點(diǎn)M為中點(diǎn)，則直線AB的方程是.變式28．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線截橢圓所得弦的中點(diǎn)M與橢圓中心連線的斜率為．變式29．（2023·全國·高二專題練習(xí)）中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓的方程為．變式30．（2023·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是.變式31．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則正數(shù).變式32．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，P為的中點(diǎn)，直線的斜率為，若，則橢圓的離心率的取值范圍為．變式33．（2023·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知斜率為k的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中垂線交軸于點(diǎn)，則的取值范圍是.變式34．（2023·河北保定·高二河北省唐縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線(1)求的方程；(2)是否存在過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．變式35．（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓：，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為．(1)若，求直線的斜率；(2)記，探究：是否存在直線，使得，若存在，寫出滿足條件的直線的一個方程；若不存在，請說明理由．變式36．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓的離心率為e，且過點(diǎn)和．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個不同點(diǎn)A，B關(guān)于直線對稱，求．變式37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為．(1)求C的方程；(2)若，試問C上是否存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對稱，若存在，求出P，Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．變式38．（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)，直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓上存在兩點(diǎn)，使得關(guān)于直線對稱，求實(shí)數(shù)的范圍．題型九：橢圓的實(shí)際應(yīng)用例25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）開普勒第一定律也稱橢圓定律?軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點(diǎn)上.將某行星看作一個質(zhì)點(diǎn)，繞太陽的運(yùn)動軌跡近似成曲線，行星在運(yùn)動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點(diǎn)距離，距離太陽最遠(yuǎn)的距離稱為遠(yuǎn)日點(diǎn)距離.若行星的近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是18（距離單位：億千米），近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是16，則（

）A．39 B．52 C．86 D．97例26．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）運(yùn)用微積分的方法，可以推導(dǎo)得橢圓（）的面積為．現(xiàn)學(xué)校附近停車場有一輛車，車上有一個長為的儲油罐，它的橫截面外輪廓是一個橢圓，橢圓的長軸長為，短軸長為，則該儲油罐的容積約為（）（

）A． B． C． D．例27．（2023·河北石家莊·高二河北新樂市第一中學(xué)統(tǒng)考期中）1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人連地球衛(wèi)星“東方紅一號”，從此我國開向了人造衛(wèi)層的新篇章.人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普物行星運(yùn)動定律；衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等，如圖建系，設(shè)橢圓道的長軸長，短軸長，焦距分別為2a，2b，2c，下列結(jié)論正確的是（

）A．衛(wèi)星向徑的最大值為2aB．衛(wèi)星向徑的最小值為2bC．衛(wèi)星繞行一周時在第三象阻內(nèi)運(yùn)動的時間小于在第四象限內(nèi)運(yùn)動的時間D．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越圓變式39．（2023·高二課時練習(xí)）在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同、扁平程度相同的橢圓．已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為cm.變式40．（2023·高二課時練習(xí)）某操場的正前方有兩根高度均為6m、相距10m的旗桿（都與地面垂直）.有一條26m長的繩子，兩端系在兩根旗桿的頂部，并按如圖所示的方式繃緊，使得繩子和兩根旗桿處在同一個平面內(nèi).假定這條繩子在系到旗桿上時長度沒有改變，求繩子與地面（水平面）的接觸點(diǎn)到兩根旗桿的距離各是多少.

變式41．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，賽馬場的形狀是長100m，寬50m的橢圓.求距離頂點(diǎn)10m的寬度是多少.

變式42．（2023·高二課時練習(xí)）水星運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道是以太陽的中心為一個焦點(diǎn)的橢圓，軌道上離太陽中心最近的距離約為，最遠(yuǎn)的距離約為.假設(shè)以這個軌道的中心為原點(diǎn)，以太陽中心及軌道中心所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求水星軌道的方程.變式43．（2023·高二課時練習(xí)）2016年8月16日，中國自主研制的世界首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子號”成功發(fā)射升空，已知它的運(yùn)行軌道是以地心為一個焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)A距地面498km、遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面503km，地球半徑為6371km，求“墨子號”衛(wèi)星的軌道方程（結(jié)果保留整數(shù)）.

變式44．（2023·高二課時練習(xí)）某顆小行星的運(yùn)行軌道是一個橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點(diǎn)處.如圖所示，小行星離太陽的最近距離是1.486天文單位，最遠(yuǎn)距離是5.563天文單位（1天文單位是指太陽與地球之間的平均距離，約為，是天文學(xué)的一種長度單位）.求橢圓軌道的長半軸和短半軸之長各是多少個天文單位（參考數(shù)據(jù)）.

題型十：定點(diǎn)定值問題例28．（2023·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓C：的左頂點(diǎn)為A，橢圓C的離心率為且與直線相切．(1)求橢圓C的方程；(2)斜率存在且不為0的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A），且．則直線l是否恒過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)請說明理由．例29．（2023·貴州貴陽·高二清華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的兩條直線分別交橢圓于、兩點(diǎn)，且滿足，問：直線是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過定點(diǎn)，請說明理由．例30．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，求證：直線過定點(diǎn).變式45．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.變式46．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，過原點(diǎn)O的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長，交橢圓于另一點(diǎn)B，求證：kPA·kPB為定值．變式47．（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓：，其長軸的兩個端點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)（除，外），(1)設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值；(2)若直線，分別與軸交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).試問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.變式48．（2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)，M、N為橢圓上異于點(diǎn)P且關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證為定值．一、單選題1．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若是該橢圓上的一個動點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．2．（2023·高二課時練習(xí)）若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．3．（2023·貴州貴陽·高二清華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知離心率為的橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為該橢圓上位于軸上方一點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為（

）A．或 B．或C．或 D．或4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點(diǎn)四點(diǎn)．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）開普勒第一定律也稱橢圓定律?軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點(diǎn)上.將某行星H看作一個質(zhì)點(diǎn)，H繞太陽的運(yùn)動軌跡近似成曲線，行星P在運(yùn)動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點(diǎn)距離，距離太陽最遠(yuǎn)的距離稱為遠(yuǎn)日點(diǎn)距離.若行星C的近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是20（距離單位：億千米），近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是81，則（

）A．181 B．97 C．52 D．196．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？茧A段練習(xí)）在橢圓上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大時，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．7．（2023·北京·高二101中學(xué)?？计谥校┮阎狝，B，C是橢圓上的三個點(diǎn)，直線AB經(jīng)過原點(diǎn)O，直線AC經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F，若，且，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．8．（2023·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┰O(shè)橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上的任意一點(diǎn)，的最小值取值范圍為，其中，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·江蘇·高二南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）2022年4月16日9時56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半粗圓組成的“曲圓”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與軸交于點(diǎn)．若過原點(diǎn)的直線與上半橢圓交于點(diǎn)，與下半圓交于點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）