5.1 三角函數(shù)的定義（精講）（教師版）

5.1三角函數(shù)的定義（精講）一．任意角1.定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．2．分類：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角；,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))3.終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．4.象限角與軸線角易錯(cuò)點(diǎn)：終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同二．弧度制1．定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號(hào)rad表示．2．公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧長(zhǎng))角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長(zhǎng)公式l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2易錯(cuò)點(diǎn)：利用上表中的扇形弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．三．任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)定義設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)．把r＝|OP|sinα＝eq\f(y,r)cosα＝eq\f(x,r)tanα＝eq\f(y,x)定義域RR函數(shù)值在各象限的符號(hào)一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－一．判斷象限角的方法1.圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．2.轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．二．三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦．三．三角函數(shù)的定義1，已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，求角α的三角函數(shù)值．方法：先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解；2.已知角α的一個(gè)三角函數(shù)值和終邊上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求角α的三角函數(shù)值．方法：先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離(帶參數(shù))，根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問(wèn)題；3.已知角α的終邊所在的直線方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函數(shù)值．方法：先設(shè)出終邊上一點(diǎn)P(a，ka)，a≠0，求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離(注意應(yīng)對(duì)a的符號(hào)分類討論)，再利用三角函數(shù)的定義求解．考法一任意角【例1-1】（2023春·青海）下列命題中正確的是（

）A．如果我們把相等的角視為同一個(gè)角，則弧度制建立了一個(gè)從任意角的集合到實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系B．弧度制表示角時(shí)，不同大小的弧度可以表示同一個(gè)角C．終邊相同的角的弧度制表示相差D．終邊相同的角的弧度都相同【答案】A【解析】如果我們把相等的角視為同一個(gè)角，則弧度制建立了一個(gè)從任意角的集合到實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，故A正確，B錯(cuò)誤，終邊相同的角的弧度制表示相差的整數(shù)倍，故C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；故選：A【例1-2】（2023·山東德州）親愛(ài)的考生，本場(chǎng)考試需要2小時(shí)，則在本場(chǎng)考試中，鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一周為12小時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，所以經(jīng)過(guò)2小時(shí)，時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為.故選：B.【例1-3】（2023春·遼寧）下列與終邊相同角的集合中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榻嵌戎岛突《戎撇荒芑煊茫蔄、B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋瑒t與終邊不相同，故D錯(cuò)誤；故選：C.【一隅三反】1．（2023春·上海閔行）下列說(shuō)法正確是（

）A．角60和角600是終邊相同的角B．第三象限角的集合為C．終邊在軸上角的集合為D．第二象限角大于第一象限角【答案】C【解析】，與終邊不相，故A錯(cuò)誤；第三象限角的集合為，故B錯(cuò)誤；終邊在軸上角的集合為，即，即，故C正確；是第二象限角，第一象限角，，故D錯(cuò)誤；故選：C.2．（2023春·廣東清遠(yuǎn)）（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．第一象限的角是銳角C．1弧度的角比1°的角大 D．銳角是第一象限的角【答案】ACD【解析】對(duì)于A：，A正確；對(duì)于B：第一象限的角不一定是銳角，比如，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：1°的角為弧度，比1弧度的角小，C正確；對(duì)于D：根據(jù)象限角的定義，可得D正確.故選：ACD.3．（2023·海南）設(shè)，且的終邊與角的終邊相同，則__________.【答案】【解析】由題意，，則，，所以，，故.故答案為：考法二扇形的弧長(zhǎng)與面積【例2-1】（2023·安徽黃山市）若一扇形的圓心角為144°，半徑為cm，則扇形的面積為_(kāi)_____cm2．【答案】．【解析】扇形的圓心角為144°，半徑為，所以扇形的面積為．故答案為：．【例2-2】（2023·天津河?xùn)|·一模）在面積為4的扇形中，其周長(zhǎng)最小時(shí)半徑的值為（

）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【解析】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，則，所以，則扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，所以周長(zhǎng)最小時(shí)半徑的值為.故選：C.【例2-3】（2022·廣東·一模）為解決皮尺長(zhǎng)度不夠的問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)小組利用自行車(chē)來(lái)測(cè)量A，B兩點(diǎn)之間的直線距離.如下圖，先將自行車(chē)前輪置于點(diǎn)A，前輪上與點(diǎn)A接觸的地方標(biāo)記為點(diǎn)C，然后推著自行車(chē)沿AB直線前進(jìn)（車(chē)身始終保持與地面垂直），直到前輪與點(diǎn)B接觸.經(jīng)觀測(cè)，在前進(jìn)過(guò)程中，前輪上的標(biāo)記點(diǎn)C與地面接觸了10次，當(dāng)前輪與點(diǎn)B接觸時(shí)，標(biāo)記點(diǎn)C在前輪的左上方（以下圖為觀察視角），且到地面的垂直高度為0.45m.已知前輪的半徑為0.3m，則A，B兩點(diǎn)之間的距離約為（

）（參考數(shù)值：）A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m【答案】D【解析】由題意，前輪轉(zhuǎn)動(dòng)了圈，所以A，B兩點(diǎn)之間的距離約為，故選：D.【一隅三反】1．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作．其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積（弦×矢+矢×矢）．弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為，半徑為的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是（

）（精確到）

A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，弦(m)，矢(m)，則弧田面積=()，所以弧田面積約是.故選：A2．（2023·吉林·吉林省實(shí)驗(yàn)校考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)表面積為的圓錐，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)中心角為的扇形，設(shè)該扇形面積為，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)，底面圓半徑，，所以，圓錐表面積，扇形面積，所以.故選：D3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）通用技術(shù)課上，張老師要求同學(xué)們從一個(gè)半徑為的圓形紙片上剪出一個(gè)扇形，制作成一個(gè)圓錐形無(wú)蓋漏斗，當(dāng)它的容積最大時(shí)，扇形圓心角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)扇形的圓心角為，圓錐底面半徑為，則扇形的弧長(zhǎng)為，圓錐底面周長(zhǎng)，解得：，由勾股定理得圓錐的高：，容積，方法一：設(shè)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，容積最大；方法二：由三元均值不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）得：（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），即當(dāng)扇形圓心角的大小為時(shí)，容積最大.故選：C．考法三三角函數(shù)的定義【例3-1】（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為角α終邊上一點(diǎn)，則=______．【答案】【解析】為角α終邊上一點(diǎn)，，則，，.故答案為：【例3-2】．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，若其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，則原式.故選：B.【例3-3】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如果點(diǎn)P在角的終邊上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函數(shù)定義知：，，所以，，即P的坐標(biāo)是.故選：B【例3-4】．（2023春·江西南昌·高一南昌市第十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可知，作出圖示如下：根據(jù)題意可得，，作軸且垂足為；利用三角函數(shù)定義可得，；又點(diǎn)在第四象限，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C【一隅三反】1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)為O，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若的終邊與圓交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知，故，所以，故選：A．2．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）設(shè)α是第二象限角，P（x，1）為其終邊上一點(diǎn)，且，則tanα=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函數(shù)定義可知：，又α是第二象限角，故，所以.故選：B3．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】

設(shè)，則，，因，則，故，，故選：B4．（2023秋·山東菏澤）單位圓上一點(diǎn)從出發(fā)，順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】點(diǎn)從出發(fā)，順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，即.故選：D考法四三角函數(shù)值的正負(fù)判斷【例4-1】（2023春·安徽）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，是第幾象限角（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】因?yàn)椋允堑诙笙藿?故選：B.【例4-2】（2023·浙江杭州）若，且，則角是第（

）象限角．A．二 B．三 C．一或三 D．二或四【答案】D解析】由條件知與異號(hào)，則為第二或第三象限角；又與異號(hào)，則為第三或第四象限角所以為第三象限角，即，，為第二或第四象限角.故選：D.【例4-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角第二象限角，且，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C解析】因?yàn)榻堑诙笙藿牵?，所以，?dāng)是偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第一象限角；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第三象限角.；綜上所述：為第一象限角或第三象限角，因?yàn)?，所以，所以為第三象限角．故選：C．【一隅三反】1．（2023春·遼寧）點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因?yàn)椋瑒t為第三象限角，可得，所以位于第四象限.故選：D.2．（2023·廣東）若滿足，則的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由可知的終邊在第三象限或第四象限，又，則的終邊在第三象限.故選：C.3．（2023春·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)位于第（

）象限.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】，，則點(diǎn)位于第二象限，故選：B4．（2023·四川成都）若是第三象限角，則下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭堑谌笙藿?，，A正確；，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤.故選：A.5．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知角的終邊落在直線上，則__________.【答案】【解析】由角的終邊落在直線上，可得角的終邊位于第二象限，可得，所以.故答案為：.考法五三角函數(shù)線的應(yīng)用【例5-1】（2023·天津）設(shè)，使且同時(shí)成立的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，由正弦曲線得：時(shí)，由余弦曲線得：時(shí)，，因?yàn)?，所以且同時(shí)成立的x的取值范圍是故選：D【例5-2】．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果，那么下列不等式成立的是A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示，在單位圓中分別作出的正弦線、余弦線、正切線，很容易地觀察出，即.故選C.【例5-3】．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，,所以，而，，故選C.【一隅三反】1．（2023·上海）的大小關(guān)系為A． B． C． D．【答案】A【解析】單位圓中，，，故選A.2．（2023·湖北黃岡）關(guān)于，對(duì)于甲、乙、丙、丁四人有不同的判斷，甲:是第三象限角，乙：.丙:，?。翰恍∮?，若這人只有一人判斷錯(cuò)誤，則此人是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】由，所以乙和丁的判斷只有一個(gè)正確，且，若丁的判斷正確，即，則，此時(shí)丙的判斷錯(cuò)誤，不符合題意；若乙的判斷正確，即，此時(shí)滿足，且，此時(shí)甲、丙都正確，符合題意.故選：D.3．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）的值所在的范圍是（

）A