人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二第10章 概率 重難點歸納總結(jié)（解析版）

第10章概率重難點歸納總結(jié)考點一古典概型【例1-1】（2023·陜西安康）某校動漫社團(tuán)成員共6人，其中社長2人，現(xiàn)需要選派3人去參加動漫大賽，則至少有1名社長人選的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】記社長為A，，其他成員為，，，，所以從6人中任選3人，共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，20種，其中至少含一個社長的有16種，所以概率為，故選：D．【例1-2】（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）2022年下半年，我國新冠肺炎疫情“多點散發(fā)”的特點愈加明顯，為了有效阻斷疫情的快速傳播，全國各地均提供了生活必需品線上采購服務(wù)，某地區(qū)為了更好的做好此項工作，高質(zhì)量服務(wù)于百姓生活，對愛好線上采購生活必需品的人員進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位線上采購愛好者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計該地區(qū)愛好線上采購生活必需品人員的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)工作人員為了確定20歲以下和80歲以上是否具有主動性和代表性，在參與調(diào)查的100位線上采購愛好者中20歲以下和80歲以上人員中抽取兩名進(jìn)行電話訪問，求被訪問者恰有一名是80歲以上的概率．【答案】(1)歲(2)(3)【解析】（1）該地區(qū)愛好線上采購生活必需品人員的平均年齡為（歲）（2）這100位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間的頻率為.故估計該地區(qū)一位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間的概率.（3）參與調(diào)查的100位線上采購愛好者中20歲以下的人數(shù)為人，記為；80歲以上的人數(shù)為人，記為.從這三名中抽取兩名進(jìn)行電話訪問，所有情況如下：，共10種.其中被訪問者恰有一名是80歲以上的情況分別為，共6種.則被訪問者恰有一名是80歲以上的概率為【一隅三反】1．（2022秋·云南玉溪）歐幾里得大約生活在公元前330~前275年之間，著有《幾何原本》《已知數(shù)》《圓錐曲線》《曲面軌跡》等著作.若從上述4部書籍中任意抽取2部，則抽到《幾何原本》的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】記4部書籍分別為a、b、c、d，則從從4部書籍中任意抽取2部的基本事件為、、、、、共有6個，抽到《幾何原本》的基本事件為、、共有3個，所以抽到《幾何原本》的概率為：.故選：A.2．（2023春·河南）在1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)，作為a，b的值，使方程有2個不相等的實數(shù)根的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取為，，，，，，，，，，，共12種，其中使有2個不等實根，即，的有8個，所以.故選：D.3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）某工廠為了檢驗?zāi)钞a(chǎn)品的質(zhì)量，隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測量其某一質(zhì)量指數(shù)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)，按分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計該產(chǎn)品這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)；(2)若采用分層抽樣的方法從這一質(zhì)量指數(shù)在和內(nèi)的該產(chǎn)品中抽取6件，再從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求這2件產(chǎn)品不是取自同一組的概率.【答案】(1)15.(2).【解析】（1）因為，，所以該產(chǎn)品這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)該產(chǎn)品這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為，則，解得；（2）由頻率分布直方圖可得，即在和的產(chǎn)品分別由件，采用分層抽樣的方法抽取的6件產(chǎn)品中這一質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)的有4件，記為，這一質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)的有2件，記為，從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的情況有，共15種；其中符合條件的情況有，共8種，故所求概率.4．（2023北京平谷）某高中高一500名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示．(1)從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于60的概率；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；(3)估計隨機(jī)抽取的100名學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，估計測評成績的75%分位數(shù)；(4)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．【答案】(1)(2)人(3)眾數(shù)為；測評成績的75%分位數(shù)為(4)【解析】（1）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于60的頻率為：，則分?jǐn)?shù)小于60的頻率為：，故從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于60的概率估計為；（2）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為：，則分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為：人，則總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為：人；（3）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在區(qū)間的頻率最高，則隨機(jī)抽取的100名學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)估計為，由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)小于70的頻率為，分?jǐn)?shù)小于80的頻率為，則測評成績的75%分位數(shù)落在區(qū)間上，則測評成績的75%分位數(shù)為；（4）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為人，因為樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為人，又因為樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，所以樣本中的男生共有人，則樣本中的女生共有人，所以總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為.考點二事件的運算與關(guān)系【例2-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知件產(chǎn)品中有件正品，其余為次品.現(xiàn)從件產(chǎn)品中任取件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，下列選項中的兩個事件互為對立事件的是（

）A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品【答案】D【解析】對于A項，恰好有1件次品和恰好有兩件次品互為互斥事件，但不是對立事件；對于B項，至少有1件次品和全是次品可以同時發(fā)生，不是對立事件；對于C項，至少有1件正品和至少有1件次品可以同時發(fā)生，不是對立事件；對于D項，至少有1件次品即存在次品，與全是正品互為對立事件.故選：D.【例2-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）甲、乙兩個元件構(gòu)成一并聯(lián)電路，設(shè)E=“甲元件故障”，F(xiàn)=“乙元件故障”，則表示電路故障的事件為（

）A．EF B．EF C．E D．【答案】B【解析】因為甲、乙兩個元件構(gòu)成一并聯(lián)電路，所以只有當(dāng)甲、乙兩個元件都故障時，才造成電路故障，所以表示電路故障的事件為.故選：B【一隅三反】1．（2022秋·云南曲靖）（多選）現(xiàn)從3名男生和2名女生中選3名同學(xué)參加演講比賽，下列各對事件中為互斥事件的是（

）A．事件M“選取的3人都是男生”，事件N“2名女生都被選中”B．事件M“選取的3人中至少有1名女生”，事件N“選取的3人中至少有1名男生”C．事件M“選取的3人中恰有1名男生”，事件N“選取的3人中恰有1名女生”D．事件M“選取的3人中至多有1名女生”，事件N“選取的3人中恰有1名男生”【答案】ACD【解析】對于A，“選取的3人都是男生”與“2名女生都被選中”不能同時發(fā)生，故為互斥事件，故A正確.對于B，“選取的3人中至少有1名女生”包含“選取的3人中有2名女生,1名男生”，“選取的3人中至少有1名男生”包含“選取的3人中有2名女生,1名男生”，故可同時發(fā)生，故不為互斥事件，故B錯誤.對于C，“選取的3人中恰有1名男生”即為“選取的3人中1名男生，2名女生”，“選取的3人中恰有1名女生”即為“選取的3人中1名女生，2名男生”，不能同時發(fā)生，故為互斥事件，故C正確.對于D，“選取的3人中至多有1名女生”即為“選取的3人中均為男生或2名男生，1名女生”，故“選取的3人中至多有1名女生”與“選取的3人中恰有1名男生”不能同時發(fā)生，故為互斥事件，故D正確.故選：ACD.2．（2022·湖北）某小組有1名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加圍棋比賽，事件“至多有1名男生”與事件“至多有1名女生”（

）A．是對立事件 B．都是必然事件C．不是互斥事件 D．是互斥事件但不是對立事件【答案】C【解析】事件“至多有1名男生”和“至多有1名女生”均為隨機(jī)事件，故B錯誤.事件“至多有1名男生”有兩種情況：2名學(xué)生都是女生或2名學(xué)生一男一女.“至多有1名女生”有一種情況：2名學(xué)生一男一女.故兩個事件不是對立事件、互斥事件，故AD錯誤，C正確，故選：C.3．（2022·高一課時練習(xí)）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：“向上的點數(shù)為”，其中，“向上的點數(shù)為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（

）A． B． C．與互斥 D．與對立【答案】C【解析】對于A，，，∴，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，與不能同時發(fā)生，是互斥事件，故C正確；對于D，，，與是互斥但不對立事件，故D錯誤；故選：C4．（2022·上海·高二專題練習(xí)）已知事件A、B、C滿足A?B，B?C，則下列說法不正確的是（

）A．事件A發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生B．事件B發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生C．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生D．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生【答案】D【解析】由已知可得A?C，又因為A?B，B?C，如圖事件A，B，C用集合表示：則選項A，B正確，事件，則C正確，D錯誤故選：D．5（2023上海徐匯）已知是兩個隨機(jī)事件，且，則下列選項中一定成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤.故選：C.考點三事件的相互獨立性【例3-1】（2023春·江蘇南京）（多選）甲乙兩人準(zhǔn)備買一部手機(jī)，購買國產(chǎn)手機(jī)的概率分別為，，購買白色手機(jī)的概率分別為，，若甲乙兩人購買哪款手機(jī)互相獨立，則（

）A．恰有一人購買國產(chǎn)手機(jī)的概率為B．兩人都沒購買白色手機(jī)的概率為C．甲購買國產(chǎn)白色手機(jī)的概率為D．甲乙至少一位購買國產(chǎn)白色手機(jī)的概率為【答案】AD【解析】由已知，甲乙兩人購買哪款手機(jī)互相獨立，“甲購買國產(chǎn)手機(jī)”記為事件，；“乙購買國產(chǎn)手機(jī)”記為事件，；“甲購買白色手機(jī)”記為事件，；“乙購買白色手機(jī)”記為事件，，對于選項A，恰有一人購買國產(chǎn)手機(jī)的概率為，故選項A正確；對于選項B，兩人都沒購買白色手機(jī)的概率為，故選項B錯誤；對于選項C，“甲購買國產(chǎn)白色手機(jī)”記為事件，其概率為，故選項C錯誤；對于選項D，“乙購買國產(chǎn)白色手機(jī)”記為事件，其概率為，結(jié)合選項C的判斷，甲乙至少一位購買國產(chǎn)白色手機(jī)的概率為，（也可以用進(jìn)行計算），故選項D正確.故選：AD.【例3-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是（

）A．2個球都是紅球的概率為B．2個球不都是紅球的概率為C．至少有1個紅球的概率為D．2個球中恰有1個紅球的概率為【答案】ACD【解析】設(shè)“從甲袋中摸出一個紅球”為事件，從“乙袋中摸出一個紅球”為事件，則，，對于A選項，2個球都是紅球為，其概率為，故A選項正確，對于B選項，“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事件，其概率為，故B選項錯誤，對于C選項，2個球至少有一個紅球的概率為，故C選項正確，對于D選項，2個球中恰有1個紅球的概率為，故D選項正確．故選：ACD．【一隅三反】1．（2022廣西）某俱樂部通過抽獎活動回饋球迷，獎品為第22屆世界杯足球賽吉祥物“拉伊卜”.已知中獎的概率為，則參加抽獎的甲、乙兩位球迷都中獎的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為抽獎中獎的概率為，則參加抽獎的甲、乙兩位球迷都中獎的概率為：.故選：B.2．（2022山東淄博）近年來，部分高校根據(jù)教育部相關(guān)文件規(guī)定開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點（也稱強(qiáng)基計劃），假設(shè)甲?乙?丙三人通過強(qiáng)基計劃的概率分別為，那么三人中恰有兩人通過強(qiáng)基計劃的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】記甲、乙、丙三人通過強(qiáng)基計劃分別為事件,顯