人教版九年級數學上冊重難點專題提優(yōu)訓練專題12圓的有關性質(原卷版+解析)

專題12圓的有關性質考點一圓的基本概念考點二利用垂徑定理求值考點三垂徑定理的實際應用考點四垂徑定理的推論考點五圓周角概念辨析考點六同弧或等弧所對的圓周角相等考點七直徑所對的圓周角是直角，考點八90°的圓周角所對的弦是直徑考點九圓內接四邊形對角互補考點一圓的基本概念例題：（2022·上海民辦建平遠翔學校九年級階段練習）下列說法正確的是（

）A．半圓是弧 B．過圓心的線段是直徑C．弦是直徑 D．長度相等的兩條弧是等弧【變式訓練】1．（2022·山東煙臺·九年級期末）有下列說法：（1）直徑是弦；（2）經過三點一定可以作圓；（3）圓有無數條對稱軸；（4）優(yōu)弧的長度大于劣弧的長度．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2020·廣東·惠州市惠陽區(qū)第一中學九年級期中）下列判斷正確的個數有（

）①直徑是圓中最大的弦；②長度相等的兩條弧一定是等??；③半徑相等的兩個圓是等圓；④弧分優(yōu)弧和劣弧；⑤同一條弦所對的兩條弧一定是等?。瓵．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點二利用垂徑定理求值例題：（2022·江蘇·鹽城市第四中學（鹽城市藝術高級中學、鹽城市逸夫中學）三模）如圖，⊙O的直徑CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC=3：5，則AB的長為（

）A．8B．12C．16D．2【變式訓練】1．（2022·浙江寧波·三模）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長為（

）A． B． C．或 D．或2．（2022·湖南長沙·一模）如圖，在直徑為10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于點C，則OC等于________cm．考點三垂徑定理的實際應用例題：（2022·廣東廣州·二模）往圓柱形容器內裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（

）cm．A．10 B．14 C．26 D．52【變式訓練】1．（2022·四川自貢·中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦長20厘米，弓形高為2厘米，則鏡面半徑為____________厘米．2．（2022·浙江寧波·九年級期末）如圖1，水車又稱孔明車，是我國最古老的農業(yè)灌溉工具，是珍貴的歷史文化遺產．如圖2，圓心O在水面上方，且被水面截得的弦AB長為8米，半徑為5米，則圓心O到水面AB的距離為_______米．考點四垂徑定理的推論例題：（2022·上海嘉定·二模）下列命題中假命題是（

）A．平分弦的半徑垂直于弦 B．垂直平分弦的直線必經過圓心C．垂直于弦的直徑平分這條弦所對的弧 D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦【變式訓練】1．（2021·云南省個舊市第二中學九年級期中）下列語句中不正確的有（

）

①長度相等的弧是等??；②垂直于弦的直徑平分弦；③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對的兩條?。虎莅雸A是圓中最長的弧；⑥不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓.A．5個 B．4個 C．3個 D．2個2．（2022·黑龍江·大慶市第三十六中學九年級期末）下列說法正確的是（

）A．相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧C．等弧所對的圓心角相等，所對的弦相等D．圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條直徑考點五圓周角概念辨析例題：（2022·山西實驗中學九年級階段練習）下列圖形中的角是圓周角的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022·廣東·九年級專題練習）下列說法正確的是（

）A．等弧所對的圓周角相等 B．平分弦的直徑垂直于弦C．相等的圓心角所對的弧相等 D．過弦的中點的直線必過圓心2．（2021·全國·九年級專題練習）觀察下圖中角的頂點與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？考點六同弧或等弧所對的圓周角相等例題：（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，⊙是的外接圓，是⊙的直徑，點P在⊙上，若，則的度數是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，是的兩條半徑，點C在上，若，則的度數為（

）A． B． C． D．2．（2022·四川廣安·二模）如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，則∠ADB的度數為（）A．55° B．64° C．65° D．70°考點七直徑所對的圓周角是直角例題：（2022·廣西梧州·二模）如圖，AB、CD分別是⊙O的直徑，連接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，則下列結論錯誤的是（

）A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE【變式訓練】1．（2022·湖北十堰·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D是AB另一側半圓的中點，若CD=，BC=4，則⊙O的半徑長為（

）A． B．2 C． D．22．（2022·安徽蕪湖·二模）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，邊長BC=，P為弧AD上一點且AP=1，則PC=________________．考點八90°的圓周角所對的弦是直徑例題：（2021·全國·九年級課時練習）如圖，的弦垂直于，，則的半徑等于（

）A． B． C． D．4【變式訓練】1．（2022·江西吉安·一模）如圖，在矩形中，，，為矩形內一點，，連接，則的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．2．（2022·江蘇徐州·模擬預測）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為__________.考點九圓內接四邊形對角互補例題：（2022·湖南婁底·模擬預測）如圖，點B，C，D在⊙O上，若，則的度數是（

）A．50° B．60° C．70° D．100°【變式訓練】1．（2022·新疆·烏魯木齊八一中學九年級期中）在中，四邊形OABC為菱形，點D在上，則的度數是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°2．（2022·福建廈門·模擬預測）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，點E為邊CD上任意一點（不與點C，點D重合），連接BE，若∠A=60°，則∠BED的度數可以是（

）．A．110° B．115° C．120° D．125°一、選擇題1．（2022·山東威海·九年級期末）如圖，點A，B，C都在⊙O上，若＝36°，則∠OAB＝（

）A．18° B．54° C．36° D．72°2．（2022·山西·中考真題）如圖，內接于，AD是的直徑，若，則的度數是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°3．（2022·湖北襄陽·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于點E．若OE∶OB＝3∶5，則直徑AB的長為（

）A．16 B．13 C．10 D．4．（2022·內蒙古包頭·中考真題）如圖，是的兩條直徑，E是劣弧的中點，連接，．若，則的度數為（

）A． B． C． D．5．（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學模擬預測）如圖，BD是的直徑，弦AC交BD于點G．連接OC，若，，則的度數為（

）A．98° B．103° C．108° D．113°二、填空題6．（2022·湖南邵陽·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點，若，則∠C的度數為___________．7．（2022·浙江湖州·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長線交⊙O于點D．若∠APD是所對的圓周角，則∠APD的度數是______．8．（2022·四川·瀘縣毗盧鎮(zhèn)學校九年級期末）《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經驗公式是：弧田面積＝．弧田是由圓弧和其所對的弦圍成（如圖），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現已知弦AB＝16米，半徑等于10米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積為_________平方米．9．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，在⊙O中，半徑r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的動點，則線段OP長的最小值是______．10．（2022·安徽宿州·模擬預測）如圖，是的外接圓，，的平分線交于點D，的平分線交AD于點E，連接BD，若的直徑是，則DE的長為_______．三、解答題11．（2021·江蘇泰州·九年級期中）如圖，AB為圓O直徑，F點在圓上，E點為AF中點，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點C，作CD⊥AB于點D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長度．12．（2022·廣東·中考真題）如圖，四邊形內接于，為的直徑，．(1)試判斷的形狀，并給出證明；(2)若，，求的長度．13．（2022·遼寧沈陽·二模）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，D是弧AC的中點，延長BC到點E，使，連接BD，ED．(1)求證：；(2)若，，⊙O的直徑長為．14．（2021·江蘇·揚州市江都區(qū)雙溝中學一模）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB=AC，BD交AC于點E，延長AD，BC交于點F，且CF=AC．(1)求證∶CD=AD；(2)若AD=，AB=，求FD的長．15．（2022·山東省棗莊市第四十一中學一模）在《折疊圓形紙片》綜合實踐課上，小東同學展示了如下的操作及問題：(1)如圖1，的半徑為4cm，通過折疊圓形紙片，使得劣弧AB沿弦AB折疊后恰好過圓心，求AB長；(2)如圖2，弦AB，垂足為點C，劣弧AB沿弦AB折疊后經過的中點D，，求的半徑．專題12圓的有關性質考點一圓的基本概念考點二利用垂徑定理求值考點三垂徑定理的實際應用考點四垂徑定理的推論考點五圓周角概念辨析考點六同弧或等弧所對的圓周角相等考點七直徑所對的圓周角是直角，考點八90°的圓周角所對的弦是直徑考點九圓內接四邊形對角互補考點一圓的基本概念例題：（2022·上海民辦建平遠翔學校九年級階段練習）下列說法正確的是（

）A．半圓是弧 B．過圓心的線段是直徑C．弦是直徑 D．長度相等的兩條弧是等弧【答案】A【解析】【分析】利用圓的有關定義分別判斷即可．【詳解】解：A、半圓是弧，正確，符合題意；B、過圓心的弦是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；C、直徑是弦，但弦不一定是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；D、在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故原命題錯誤，不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了圓的認識，解題的關鍵是了解圓的有關定義及性質．【變式訓練】1．（2022·山東煙臺·九年級期末）有下列說法：（1）直徑是弦；（2）經過三點一定可以作圓；（3）圓有無數條對稱軸；（4）優(yōu)弧的長度大于劣弧的長度．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】【分析】根據連接圓上任意兩點的線段叫弦，經過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧進行分析．【詳解】解：直徑是圓中最長的弦，說法正確，符合題意；經過不在同一條直線上的三點一定可以作圓，不符合題意；圓有無數條對稱軸，符合題意；沒有強調是在同圓或等圓中，不符合題意；正確的說法有2個，故選：B．【點睛】本題主要考查了圓的認識，關鍵是掌握直徑、弧的定義，注意在同圓或等圓中，優(yōu)弧的長度一定大于劣弧的長度．2．（2020·廣東·惠州市惠陽區(qū)第一中學九年級期中）下列判斷正確的個數有（

）①直徑是圓中最大的弦；②長度相等的兩條弧一定是等?。虎郯霃较嗟鹊膬蓚€圓是等圓；④弧分優(yōu)弧和劣弧；⑤同一條弦所對的兩條弧一定是等?。瓵．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】【詳解】①直徑是圓中最大的弦；故①正確，②同圓或等圓中長度相等的兩條弧一定是等?。还盛诓徽_③半徑相等的兩個圓是等圓；故③正確④弧分優(yōu)弧、劣弧和半圓，故④不正確⑤同一條弦所對的兩條弧可位于弦的兩側，故不一定相等，則⑤不正確．綜上所述，正確的有①③故選B【點睛】本題考查了圓相關概念，掌握弦與弧的關系以及相關概念是解題的關鍵．考點二利用垂徑定理求值例題：（2022·江蘇·鹽城市第四中學（鹽城市藝術高級中學、鹽城市逸夫中學）三模）如圖，⊙O的直徑CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC=3：5，則AB的長為（

）A．8B．12C．16D．2【答案】C【解析】【分析】連接OA，先計算OM=，根據垂徑定理，得到直角三角形AOM，利用勾股定理計算AM，根據垂徑定理，得到AB=2AM，判斷選擇即可．【詳解】連接OA，∵⊙O的直徑CD=20，AB⊥CD，OM：OC=3：5，∴AO=OC=10，OM=，AM=MB，∴AM==8，∴AB=2AM=16，故選C．【點睛】本題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，熟練掌握兩個定理是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·浙江寧波·三模）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】先畫好一個圓，標上直徑CD，已知AB的長為8cm，可知分為兩種情況，第一種情況AB與OD相交，第二種情況AB與OC相交，利用勾股定理即可求出兩種情況下的AC的長；【詳解】連接AC，AO，∵圓O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，當C點位置如圖1所示時，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM==3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=cm；當C點位置如圖2所示時，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5?3=2cm，在Rt△AMC中，AC=cm．故選C．【點睛】本題考查垂徑定理和勾股定理，根據題意正確畫出圖形進行分類討論，熟練運用垂徑定理是解決本題的關鍵．2．（2022·湖南長沙·一模）如圖，在直徑為10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于點C，則OC等于________cm．【答案】3【解析】【分析】根據垂徑定理可將AC的長求出，再根據勾股定理可將OC求出．【詳解】解：如圖，連結OA，則由垂徑定理可得：OC⊥AB，且AC=BC=AB=4cm，在Rt△ACO中，AC=4，OA=5，由勾股定理可得OC==3cm，故答案為3．【點睛】本題綜合考查了圓的垂徑定理與勾股定理．考點三垂徑定理的實際應用例題：（2022·廣東廣州·二模）往圓柱形容器內裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（

）cm．A．10 B．14 C．26 D．52【答案】D【解析】【分析】如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過O作于D，交圓于C，設圓的半徑為r，而再利用勾股定理建立方程即可．【詳解】解：如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過O作于D，交圓于C，則設圓的半徑為r，而解得：圓柱形容器的截面直徑為52cm．故選D【點睛】本題考查的是垂徑定理的實際應用，作輔助線構建符合垂徑定理的模型是解本題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·四川自貢·中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦長20厘米，弓形高為2厘米，則鏡面半徑為____________厘米．【答案】26【解析】【分析】令圓O的半徑為OB=r，則OC=r-2，根據勾股定理求出OC2+BC2=OB2，進而求出半徑．【詳解】解：如圖，由題意，得OD垂直平分AB，∴BC=10cm，令圓O的半徑為OB=r，則OC=r-2，在Rt△BOC中OC2+BC2=OB2，∴（r-2）2+102=r2，解得r=26．故答案為：26．【點睛】本題考查垂徑定理和勾股定理求線段長，熟練地掌握圓的基本性質是解決問題的關鍵．2．（2022·浙江寧波·九年級期末）如圖1，水車又稱孔明車，是我國最古老的農業(yè)灌溉工具，是珍貴的歷史文化遺產．如圖2，圓心O在水面上方，且被水面截得的弦AB長為8米，半徑為5米，則圓心O到水面AB的距離為_______米．【答案】3【解析】【分析】過O作OD⊥AB于D，連接OA，由垂徑定理得AD=BD=AB=4（米），然后在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD的長即可．【詳解】解：過O作OD⊥AB于D，連接OA，如圖所示：則AD=BD=AB=4（米），在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=（米），即圓心O到水面AB的距離為3米，故答案為：3．【點睛】本題考查了垂徑定理的應用和勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．考點四垂徑定理的推論例題：（2022·上海嘉定·二模）下列命題中假命題是（

）A．平分弦的半徑垂直于弦 B．垂直平分弦的直線必經過圓心C．垂直于弦的直徑平分這條弦所對的弧 D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦【答案】A【解析】【分析】根據垂徑定理及其推論分別進行判斷．【詳解】A、平分弦（非直徑）的半徑垂直于弦，所以A為假命題；B、垂直平分弦的直線必經過圓心，所以B選項為真命題；C、垂直于弦的直徑平分這條弦所對的弧，所以C選項為真命題；D、平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦，所以D選項為真命題．故選：A．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理，也考查了垂徑定理的性質．【變式訓練】1．（2021·云南省個舊市第二中學九年級期中）下列語句中不正確的有（

）

①長度相等的弧是等??；②垂直于弦的直徑平分弦；③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對的兩條??；⑤半圓是圓中最長的?。虎薏辉谕粭l直線上的三個點可以確定一個圓.A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【解析】【分析】根據垂徑定理及圓的有關概念和對稱性對每個語句分別進行判斷即可.【詳解】因為能夠完全重合的弧是等弧,故①不正確；垂直于弦的直徑平分弦說法正確；圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故③說法不正確；平分弦(不是直徑)的直線也必平分弦所對的兩條弧，故④說法不正確；半圓的弧長是圓的弧長的一半，不是圓中最長的弧，故⑤說法不正確；不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，故⑥說法正確，∴不正確的語句有4個，故選：B【點睛】本題主要考查了圓的有關概念及垂徑定理，正確理解題意是解題的關鍵.2．（2022·黑龍江·大慶市第三十六中學九年級期末）下列說法正確的是（

）A．相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧C．等弧所對的圓心角相等，所對的弦相等D．圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條直徑【答案】C【解析】【分析】根據圓心角、弧、弦的關系對AC進行判斷；根據垂徑定理的推論對B進行判斷；根據對稱軸的定義對D進行判斷．【詳解】解：A、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所以本選項錯誤；B、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，所以本選項錯誤；C、等弧所對的圓心角相等，所對的弦相等，所以本選項正確；D、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條直徑所在的直線，所以本選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理．考點五圓周角概念辨析例題：（2022·山西實驗中學九年級階段練習）下列圖形中的角是圓周角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據圓周角的定義（角的頂點在圓上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角）判斷即可．【詳解】解：根據圓周角的定義可知，選項中的角是圓周角．故選：．【點睛】本題考查圓周角的定義，解題的關鍵是理解圓周角的定義，屬于中考基礎題．【變式訓練】1．（2022·廣東·九年級專題練習）下列說法正確的是（

）A．等弧所對的圓周角相等 B．平分弦的直徑垂直于弦C．相等的圓心角所對的弧相等 D．過弦的中點的直線必過圓心【答案】A【解析】【分析】根據圓周角定理，垂徑定理的推論，圓心角、弧、弦的關系，對稱軸的定義逐項排查即可．【詳解】解：A.

同弧或等弧所對的圓周角相等，所以A選項正確；B.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，所以B選項錯誤；C、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所以C選項錯誤；D.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，所以D選項錯誤.故選A.【點睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關系,軸對稱圖形，垂徑定理，圓周角定理等知識點．靈活運用相關知識成為解答本題的關鍵．2．（2021·全國·九年級專題練習）觀察下圖中角的頂點與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？【答案】特征見解析，(c)圖中∠3、∠4、∠BAD是圓周角【解析】【詳解】解：(a)∠1頂點在⊙O內，兩邊與圓相交，所以∠1不是圓周角；(b)∠2頂點在圓外，兩邊與圓相交，所以∠2不是圓周角；(c)圖中∠3、∠4、∠BAD的頂點在圓周上，兩邊均與圓相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圓周角．(d)∠5頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓不相交，所以∠5不是圓周角；(e)∠6頂點在圓上，兩邊與圓均不相交，由圓周角的定義知∠6不是圓周角.【點睛】本題主要考查了圓周角的定義，熟練掌握頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角是解題的關鍵．考點六同弧或等弧所對的圓周角相等例題：（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，⊙是的外接圓，是⊙的直徑，點P在⊙上，若，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據圓周角定理得到，，然后利用互余計算出∠A的度數，從而得到的度數．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴，∴∴，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理，解題的關鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．【變式訓練】1．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，是的兩條半徑，點C在上，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據圓周角定理即可求解．【詳解】∵是的兩條半徑，點C在上，∴∠C==40°故選：B【點睛】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或者在等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答本題關鍵．2．（2022·四川廣安·二模）如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，則∠ADB的度數為（）A．55° B．64° C．65° D．70°【答案】B【解析】【分析】利用圓心角、弧、弦的關系得到，再利用圓周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝36°，∠ABD＝∠ACD＝44°，然后根據三角形內角和計算∠ADB的度數．【詳解】解：∵BC＝CD，∴，∵∠ABD和∠ACD所對的弧都是，∴∠BAC＝∠DAC＝36°，，∵∠ABD＝∠ACD＝44°，∴∠ADB＝180°?∠BAD?∠ABD＝180°?72°?44°＝64°，故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關系，熟練掌握圓周角定理是解決問題的關鍵．考點七直徑所對的圓周角是直角例題：（2022·廣西梧州·二模）如圖，AB、CD分別是⊙O的直徑，連接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，則下列結論錯誤的是（

）A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE【答案】D【解析】【分析】根據直徑所對的圓周角是直角，即可判斷A，根據圓周角定理可判斷B選項，根據圓周角與弧的關系可判斷C，根據判斷D選項．【詳解】解：∵AB、CD分別是⊙O的直徑，，∴CB⊥BD，故A選項正確，如圖，連接，，且∠CDE＝62°，，，，，，，，，故B，C選項正確，，，，，BDDE，故D選項不正確，故選D．【點睛】本題考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，掌握圓周角定理是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·湖北十堰·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D是AB另一側半圓的中點，若CD=，BC=4，則⊙O的半徑長為（

）A． B．2 C． D．2【答案】A【解析】【分析】連接AD，過點B作BE⊥CD于點E，證明△ADB和△ADB都是等腰直角三角形，根據勾股定理求解即可．【詳解】解：連接AD，過點B作BE⊥CD于點E，∵AB是⊙O的直徑，D是的中點，∴∠ADB=90°，AD=DB，∴△ADB是等腰直角三角形，∴∠A=∠ABD=45°，∴∠C=∠A=45°，∴△EBC是等腰直角三角形，∵BC=4，∴EC=EB=2，∵CD=，∴DE=，∴BD=，在等腰直角△BDA中，AB=，∴⊙O的半徑長為，故選：A．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理等，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．2．（2022·安徽蕪湖·二模）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，邊長BC=，P為弧AD上一點且AP=1，則PC=________________．【答案】3【解析】【分析】連接，易得為直徑，在中利用勾股定理算出，再在中利用勾股定理算出．【詳解】解：連接，四邊形是正方形，，，是直徑．．在中，，在中，．故答案為：．【點睛】本題考查了圓的內接正多邊形，直徑所對的圓周角的性質，解決本題的關鍵是熟記并靈活運用“直徑所對的圓周角是直角”．考點八90°的圓周角所對的弦是直徑例題：（2021·全國·九年級課時練習）如圖，的弦垂直于，，則的半徑等于（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】【分析】首先連接，由的弦垂直于，即可得是直徑，又由，，根據勾股定理即可求得的長，則可求得的半徑．【詳解】解：連接，，，是的直徑，，，，的半徑為：．故選：A．【點睛】此題考查了圓周角定理與勾股定理．此題難度不大，解題的關鍵是掌握的圓周角所對的弦是直徑定理的應用．【變式訓練】1．（2022·江西吉安·一模）如圖，在矩形中，，，為矩形內一點，，連接，則的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．【答案】A【解析】【分析】首先由題意可知：點P在以AB為直徑的圓上，設圓心為點E，在圓E上任取一點F，連接EF、DF、EP、PD，可知當點E、P、D在一條直線上時，PD最小，再根據三角形三邊的關系即可證得，最后根據勾股定理即可求ED，據此即可求得．【詳解】解：點P在以AB為直徑的圓上，設圓心為點E如圖：在圓E上任取一點F，連接EF、DF、EP、PD當點E、P、D在一條直線上時，PD最小理由如下：，EP=EF(當且僅當點F與點P重合時取等號)此時PD最小，點E是AB的中點，EP是圓的半徑在中，故PD的最小值為8故選：A【點睛】本題考查了三角形三邊的關系，最短距離問題，勾股定理，確定點P的位置是解決本題的關鍵．2．（2022·江蘇徐州·模擬預測）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】利用已知條件，可知∠BPA=90°，P點在以AB為直徑的圓上，如圖，O為圓心，連接OC，OC與圓O的交點P，CP即為最小值，進行計算求值即可．【詳解】解：∵∠ABC=90°，∠PAB=∠PBC，∴∠PBA+∠PBC=90°，∠PBA+∠PAB=90°，∴∠BPA=90°，∴P點在以AB為直徑的圓上，如圖，O為圓心，連接OC，OC與圓O的交點P，CP即為最小值∵AB=6，∴OB=OP=3，∵BC=5，∴OC=,∴CP=，故答案為：【點睛】本題考查的圓中幾何問題的綜合運用，掌握圓的基礎性質，進行計算求值是解題的關鍵．考點九圓內接四邊形對角互補例題：（2022·湖南婁底·模擬預測）如圖，點B，C，D在⊙O上，若，則的度數是（

）A．50° B．60° C．70° D．100°【答案】D【解析】【分析】首先圓上取一點A，連接AB，AD，根據圓的內接四邊形的性質，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度數，再根據圓周角的性質，即可求得答案．【詳解】解：圓上取一點A，連接AB，AD，∵點A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=2∠BAD=100°．故選：D．【點睛】此題考查了圓周角的性質與圓的內接四邊形的性質．此題比較簡單，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．【變式訓練】1．（2022·新疆·烏魯木齊八一中學九年級期中）在中，四邊形OABC為菱形，點D在上，則的度數是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【解析】【分析】設，則，利用菱形性質可得，再由圓內接四邊形的性質可知：，即可求出．【詳解】解：設，則∵四邊形OABC為菱形，∴，∵四邊形ABCD是圓的內接四邊形，∴，即，∴，即．故選：C【點睛】本題考查菱形的性質，圓內接四邊形的性質，圓周角定理，解題的關鍵是找出．2．（2022·福建廈門·模擬預測）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，點E為邊CD上任意一點（不與點C，點D重合），連接BE，若∠A=60°，則∠BED的度數可以是（

）．A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】D【解析】【分析】根據圓內接四邊形對角互補，可求出∠C的度數，然后利用三角形的外角可得∠DEB＞∠C，即可解答．【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=60°，∴∠C=180°-∠A=120°，∵∠DEB是△DCE的一個外角，∴∠DEB＞∠C，∴∠DEB的度數可能是：125°，故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓內接四邊形對角互補是解題的關鍵．一、選擇題1．（2022·山東威?！ぞ拍昙壠谀┤鐖D，點A，B，C都在⊙O上，若＝36°，則∠OAB＝（

）A．18° B．54° C．36° D．72°【答案】B【解析】【分析】利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性質即可得出結論．【詳解】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，∴∠OAB＝（180°－∠AOB）＝54°，故選：B．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半解答是解題的關鍵．2．（2022·山西·中考真題）如圖，內接于，AD是的直徑，若，則的度數是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】C【解析】【分析】首先連接CD，由AD是的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可求得，又由圓周角定理，可得，再用三角形內角和定理求得答案．【詳解】解：連接CD，∵AD是的直徑，∴．∵，∴．故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理、三角形的內角和定理．熟練掌握圓周角定理是解此題的關鍵．3．（2022·湖北襄陽·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于點E．若OE∶OB＝3∶5，則直徑AB的長為（

）A．16 B．13 C．10 D．【答案】C【解析】【分析】連接OC，可知OC=OB，設：OE=3x，則OB=OC=5x，在中，利用勾股定理即可求出OB，由此可求出直徑AB．【詳解】解：如圖，連接OC，則OB=OC，∵⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于點E，∴CE=DE=4，∵OE∶OB＝3∶5，設：OE=3x，則OB=OC=5x，在中，由勾股定理得：，∴，解得：x=1，∴OB=5，即AB=10．故選：C．【點睛】本題主要考查的是圓的垂徑定理，以及勾股定理的應用，合理利用線段比例關系構建直角三角形是解題的關鍵．4．（2022·內蒙古包頭·中考真題）如圖，是的兩條直徑，E是劣弧的中點，連接，．若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】連接OE，由題意易得，則有，然后可得，進而根據圓周角定理可求解．【詳解】解：連接OE，如圖所示：∵OB=OC，，∴，∴，∵E是劣弧的中點，∴，∴；故選C．【點睛】本題主要考查圓周角定理及垂徑定理，熟練掌握圓周角定理及垂徑定理是解題的關鍵．5．（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學模擬預測）如圖，BD是的直徑，弦AC交BD于點G．連接OC，若，，則的度數為（

）A．98° B．103° C．108° D．113°【答案】C【解析】【分析】先求出∠COB的度數，由圓周角定理求出∠BAC的度數，再根據弧、弦之間的關系求出∠ABD=45°，即可得到答案．【詳解】解：∵∠COD=126°，∴∠COB=54°，∴，∵BD是圓O的直徑，∴∠BAD=90°，∵，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，故選C．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，等弧所對的弦相等，等腰直角三角形的性質與判定，三角形內角和定理等等，熟知圓周角定理是解題的關鍵．二、填空題6．（2022·湖南邵陽·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點，若，則∠C的度數為___________．【答案】36°##36度【解析】【分析】連接AD，由直徑所對的圓周角是直角得∠ADB=90°，即可求得∠DAB的度數，由同圓中相等的弧所對的圓周角相等即可得∠C的度數．【詳解】如圖，連接AD．∵AB是直徑，∴∠ADB=90°．∴．∴∠C=∠DAB=36°．故答案為：36°．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角、同圓中相等的弧所對的圓周角相等，掌握這兩個知識點是解題的關鍵．7．（2022·浙江湖州·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長線交⊙O于點D．若∠APD是所對的圓周角，則∠APD的度數是______．【答案】30°##30度【解析】【分析】根據垂徑定理得出∠AOB=∠BOD，進而求出∠AOD=60°，再根據圓周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．【詳解】∵OC⊥AB，OD為直徑，∴，∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∴∠APD=∠AOD=30°，故答案為：30°．【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識，掌握垂徑定理是解答本題的關鍵．8．（2022·四川·瀘縣毗盧鎮(zhèn)學校九年級期末）《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經驗公式是：弧田面積＝．弧田是由圓弧和其所對的弦圍成（如圖），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現已知弦AB＝16米，半徑等于10米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積為_________平方米．【答案】40【解析】【分析】由題意可知OC⊥AB于D，交圓弧于C，由垂徑定理得到米，再由勾股定理得到米，求得米，然后由弧田面積公式即可得出結果．【詳解】解：由題意得：OC⊥AB于D，∴AD＝BD＝AB＝8米，在中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（米），∴CD=OC﹣OD＝10﹣6＝4（米），∴弧田面積＝（弦×矢+矢×矢）＝×（16×4+4×4）＝40（平方米），故答案為：40．【點睛】本題考查了勾股定理以及垂徑定理的應用，熟練掌握垂徑定理是解答本題的關鍵．9．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，在⊙O中，半徑r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的動點，則線段OP長的最小值是______．【答案】6【解析】【分析】過O點作OH⊥AB于H，連接OB，如圖，根據垂徑定理得到AH＝BH＝8，再利用勾股定理計算出OH，然后根據垂線段最短求解．【詳解】解：如圖，過O點作OH⊥AB于H，連接OB，∴AH＝BH＝AB＝×16＝8，，在Rt△BOH中，由勾股定理可得：，∴線段OP長的最小值為6．故答案為：6．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及最短線段問題，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．10．（2022·安徽宿州·模擬預測）如圖，是的外接圓，，的平分線交于點D，的平分線交AD于點E，連接BD，若的直徑是，則DE的長為_______．【答案】1【解析】【分析】連接CD，根據AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，結合圓周角定理和三角形外角性質，得出，根據直徑所對的圓周角為90°，結合BD=CD，，利用勾股定理，求出，即可求出．【詳解】解：連接CD，如圖所示：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴，，∵為直徑，且，∴∠BDC=90°，∴，∴，∴，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵，，∴，∴．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，圓周角定理，三角形外角的性質，等腰三角形的判定，勾股定理，作出輔助線，根據題意證明，是解題的關鍵．三、解答題11．（2021·江蘇泰州·九年級期中）如圖，AB為圓O直徑，F點在圓上，E點為AF中點，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點C，作CD⊥AB于點D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長度．【答案】3【解析】【分析】根據垂徑定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通過證得△AEO≌△ODC，證得CD＝OE＝4，然后根據勾股定理即可求得OD．【詳解】解：∵E點為AF中點，∴OE⊥AF，∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，在△AEO和△ODC中，，∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，∵OC＝5，∴OD＝＝＝3．【點睛】本題考查垂徑定理的逆定理、平行線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，熟練掌握垂徑定理和全等三角形的判定與性質是解答的關鍵．12．（2022·廣東·中考真題）如圖，四邊形內接于，為的直徑，．(1)試