4.1 數(shù)列的概念（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】4.1數(shù)列的概念（精講）考點一數(shù)列的概念及辨析【例1】（2022·全國·高二課時練習）現(xiàn)有下列說法：①元素有三個以上的數(shù)集就是一個數(shù)列；②數(shù)列1，1，1，1，…是無窮數(shù)列；③每個數(shù)列都有通項公式；④根據(jù)一個數(shù)列的前若干項，只能寫出唯一的通項公式；⑤數(shù)列可以看著是一個定義在正整數(shù)集上的函數(shù)．其中正確的有（

）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【解析】對于①，數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)，而數(shù)集的元素無順序性，①不正確；對于②，由無窮數(shù)列的意義知，數(shù)列1，1，1，1，…是無窮數(shù)列，②正確；對于③，不是每個數(shù)列都有通項，如按精確度為得到的不足近似值，依次排成一列得到的數(shù)列沒有通項公式，③不正確；對于④，前4項為1，1，1，1的數(shù)列通項公式可以為，等，即根據(jù)一個數(shù)列的前若干項，寫出的通項公式可以不唯一，④不正確；對于⑤，有些數(shù)列是有窮數(shù)列，不可以看著是一個定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，⑤不正確，所以說法正確的個數(shù)是1.故選：B【一隅三反】1．（2022·云南·羅平縣第一中學高二開學考試）下列有關數(shù)列的說法正確的是（

）A．同一數(shù)列的任意兩項均不可能相同 B．數(shù)列，0，2與數(shù)列2，0，是同一個數(shù)列C．數(shù)列2，4，6，8可表示為 D．數(shù)列中的每一項都與它的序號有關【答案】D【解析】對于A中，常數(shù)列中任意兩項都是相等的，所以A不正確；對于B中，數(shù)列，0，2與2，0，中數(shù)字的排列順序不同，不是同一個數(shù)列，所以B不正確；對于C中，表示一個集合，不是數(shù)列，所以C不正確；對于D中，根據(jù)數(shù)列的定義知，數(shù)列中的每一項與它的序號是有關的，所以D正確.故選：D.2．（2022·全國·高二課時練習）下列有關數(shù)列的說法正確的是（

）A．同一數(shù)列的任意兩項均不可能相同B．數(shù)列，，與數(shù)列，，是同一個數(shù)列C．數(shù)列1，3，5，7可表示為D．數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…是無窮數(shù)列【答案】D【解析】例如無窮個3構成的常數(shù)列3，3，3，…的各項都是3，故A錯誤；數(shù)列，0，1與數(shù)列0，1，中項的順序不同，即表示不同的數(shù)列，故B錯誤；是一個集合，故C錯誤；根據(jù)數(shù)列的分類，數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…中的項有無窮多個，所以是無窮數(shù)列，D正確.故選：D.3．（2022·廣東）下列有關數(shù)列的說法正確的是（

）A．同一數(shù)列的任意兩項均不可能相同B．數(shù)列，，與數(shù)列，，是同一個數(shù)列C．數(shù)列1，3，5，7可表示為D．數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…是無窮數(shù)列【答案】D【解析】例如無窮個3構成的常數(shù)列3，3，3，…的各項都是3，故A錯誤；數(shù)列，0，1與數(shù)列0，1，中項的順序不同，即表示不同的數(shù)列，故B錯誤；是一個集合，故C錯誤；根據(jù)數(shù)列的分類，數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…中的項有無窮多個，所以是無窮數(shù)列，D正確.故選：D.考點二數(shù)列的通項與項互求【例2-1】（2022·河南）已知一組數(shù)據(jù)2，5，10，17，26，…，按此規(guī)律可以得到第100個數(shù)為（

）A．9802 B．9991 C．10001 D．10202【答案】C【解析】因為2，5，10，17，26，…的一個通項公式為，所以第100個數(shù)為，故選：C【例2-2】（2023·全國·高三專題練習）一定數(shù)目的點在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，這樣的數(shù)被稱為三角形數(shù).如圖，根據(jù)前三個點陣圖形的規(guī)律，第四個點陣表示的三角形數(shù)是（

）A．1 B．6 C．10 D．20【答案】C【解析】根據(jù)規(guī)律可知，第四個點陣表示的三角形數(shù)為：.故選：C【例2-3】（2022·山東煙臺·高二期末）數(shù)列2，0，2，0，…的通項公式可以為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A.當時，，不符；B.當時，，不符；C.當時，，不符；D.當時，，當時，，符合.故選：D.【一隅三反】1．（2022·江蘇）已知數(shù)列的通項公式為，則該數(shù)列的前項依次為（

）A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【答案】A【解析】由通項公式可知：，故選：A2．（2022·廣西）若一數(shù)列為1，，，，…，則是這個數(shù)列的（

）．A．不在此數(shù)列中 B．第13項 C．第14項 D．第15項【答案】D【解析】因，因此符合題意的一個通項公式為，由解得：，所以是這個數(shù)列的第15項.故選：D3．（2022·河南）數(shù)列滿足，則數(shù)列的前12項和為（

）A．64 B．150 C．108 D．240【答案】C【解析】，再分別代入可得，，，.由周期為2，同理可得，.∴.故選：C.4．（2022云南）在數(shù)列中，，，則等于（

）．A． B． C． D．2【答案】C【解析】由，可得：，故數(shù)列為周期性數(shù)列，每3項為一循環(huán)，而，故，故選：C考點三數(shù)列的單調(diào)性【例3-1】（2022·全國·高二課時練習）（多選）下列是遞增數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】A．令，則，是遞增數(shù)列，正確；B．令，則，，不合題意，錯；C．令，則，符合題意．正確；D．令，則，，不合題意．錯．故選：AC．【例3-2】（2022·甘肅省臨洮中學高二階段練習）已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，有，即；當時，有，又，即，綜上，有，故選：C．【一隅三反】1．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式是，則（

）A．不是單調(diào)數(shù)列 B．是遞減數(shù)列 C．是遞增數(shù)列 D．是常數(shù)列【答案】C【解析】因為，所以是遞增數(shù)列.故選：C.2．（2022·北京）已知數(shù)列的通項公式是，則（

）A．不是單調(diào)數(shù)列 B．是遞減數(shù)列 C．是遞增數(shù)列 D．是常數(shù)列【答案】C【解析】因為，所以是遞增數(shù)列.故選：C.3．（2022·北京八中高三階段練習）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則，解得，故的取值范圍是故選：D4．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．必要不充分條件 B．充要條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若為遞增數(shù)列，則，即，得，又，所以，所以，所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．故選：A.考點四數(shù)列的最值【例4-1】（2022·山東）（多選）已知數(shù)列的前項和為，若，則當取得最小值時，的值可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】BC【解析】因為的解集為，所以，對于數(shù)列，當時，；時，；時，，所以，數(shù)列的前項和為取得最小值時，或.故選：BC【例4-2】（2022·上海嘉定·高三階段練習）已知數(shù)列的通項公式為，則取最大值時，___________.【答案】或.【解析】由可得當時，，當時，，當時，，故取最大值時，一定有，設為數(shù)列的最大項，則，即，解得，則或，此時，故答案為：或.【一隅三反】1．（2022·福建省福安市第一中學高二階段練習）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項為（

）．A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【答案】D【解析】假設第n項最大（），有，又，所以，即數(shù)列的最大項為第7項.故選：D.2．（2022·寧夏·平羅中學高三階段練習（理））已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．3【答案】C【解析】由數(shù)列滿足，且，可得，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，；當時，；當時，，所以的最小值為.故選：C.3．（2022·浙江省淳安中學高二期中）數(shù)列(

)A．既有最大項，又有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．既無最大項，又無最小項【答案】A【解析】∵，，∴根據(jù)指數(shù)函數(shù)單