7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（解析版）人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三

7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征考法一離散型隨機(jī)變量的均值【例1-1】（2023·山東濟(jì)寧）若隨機(jī)變量的分布列為且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)所給的分布列，可得，由，可得，解得.故選:A.【例1-2】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）隨機(jī)變量的概率分布為1240.40.30.3則等于（

）A．11 B．15 C．35 D．39【答案】B【解析】由題意得，所以,故選：B【一隅三反】1．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·高二統(tǒng)考期末）隨機(jī)變量X的分布列如表，則的值為（

）X123P0.2A0.4A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2【答案】B【解析】由得，所以，所以.故選：B2（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為X12345P0.10.30.40.10.1則；.【答案】2.810.4【解析】,.故答案為：2.8；10.4.3．（2023上·天津河?xùn)|）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為：X1234Pmn已知，則.【答案】/0.5【解析】依題意有，解得，則.故答案為：.考法二離散型隨機(jī)變量的方差【例2-1】（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中校考期末）隨機(jī)變量有3個(gè)不同的取值，且其分布列如下：01則的值為．【答案】/0.1875【解析】依題意，的取值為0，1，且，，則的期望，所以的方差.故答案為：【例2-2】（2023下·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谥校┮阎姆植剂腥缦卤硭?，設(shè)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由分布列可得，所以，，又因?yàn)?，則.故選：A.【例2-3】（2023下·福建廈門·高二廈門一中?？计谀┠掣叨W(xué)生在參加物理、歷史反向?qū)W考中，成績(jī)是否取得等級(jí)相互獨(dú)立，記為“該學(xué)生取得等級(jí)的學(xué)考科目數(shù)”，其分布列如下表所示，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得、的分布列如下表所示：由分布列的性質(zhì)可得，所以，，所以，，，所以，，設(shè)該生物理、歷史學(xué)考獲得等級(jí)的概率分別為、，則有，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，．故選：B.【一隅三反】1．（2024·浙江溫州·統(tǒng)考一模）已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表所示.則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由分布列可得，，故選：D2．（2023下·山西晉中·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）02A． B． C． D．【答案】AC【解析】依題意，解得，所以的分布列為：－102P則，故A正確；則，故C正確；所以的分布列為：02P則，，故B錯(cuò)誤；所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.3．（2024上·河南·高三校聯(lián)考期末）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下，則的最大值為（

）X012PaA． B． C． D．1【答案】C【解析】，故，易得，，則，故，，又因?yàn)椋裕蔬x：C．考法三離散型隨機(jī)變量的均值與方差綜合運(yùn)用【例3-1】（2024上·江西）（多選）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：01230.40.30.2若離散型隨機(jī)變量滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由分布列的性質(zhì)知，則，故，故A正確；，故C錯(cuò)誤；則，故B正確；所以，故D正確．故選：ABD．【例3-2】（2023上·天津武清）有兩個(gè)隨機(jī)變量和，它們的分布列分別如下表：123450.030.30.50.160.01123450.10.20.30.20.2則關(guān)于它們的期望，和它們的方差和，下列關(guān)系正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】A【解析】,,所以且，故選：A【一隅三反】1．（2023下·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)和方差分別為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由期望、方差的性質(zhì)知：，.故選：C2．（2024浙江溫州）已知隨機(jī)變量X，Y的分布列如下：X10Y2P0.50.5P0.50.5則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，.故選：D.3．（2023下·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如下表：X12345Pm0.10.2n0.3若離散型隨機(jī)變量，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】AB選項(xiàng)，有題意得，且，解得，A錯(cuò)誤，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，C正確；D選項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，D錯(cuò)誤.故選：BC4．（2023下·河北石家莊）（多選）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為其中．則下列說(shuō)法正確的是（

）012A． B．C．隨著的從小到大變化，先增大后減小 D．有最小值【答案】AC【解析】，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，又，是關(guān)于b的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，所以，當(dāng)b從小到大變化的時(shí)候，是先增后減，當(dāng)時(shí)取得最大值，沒(méi)有最小值，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.考法四均值與方差在實(shí)際生活簡(jiǎn)單應(yīng)用【例4-1】（2023·北京）設(shè)有甲、乙兩地生產(chǎn)的兩批原棉，它們的纖維長(zhǎng)度X，Y的分布如表1、表2所示．表1X252423222120P0.10.20.30.10.10.2表2Y252423222120P0.050.20.250.30.10.1試問(wèn)：這兩批原棉的質(zhì)量哪一批較好？【答案】乙地原棉比甲地原棉的質(zhì)量要好一些【解析】?jī)膳蘩w維長(zhǎng)度的均值分別為，．這兩批原棉的纖維平均長(zhǎng)度相等．兩批原棉纖維長(zhǎng)度的方差分別為，．這說(shuō)明乙地原棉纖維更加齊整，故乙地原棉比甲地原棉的質(zhì)量要好一些【一隅三反】1（2023上·安徽）（多選）投資甲，乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示．表1

股票甲收益的分布列收益X（元）02概率0.10.30.6表2

股票乙收益的分布列收益Y（元）012概率0.30.40.3關(guān)于兩種股票，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．投資股票甲的期望收益較大 D．投資股票甲比投資股票乙風(fēng)險(xiǎn)高【答案】ACD【解析】，，，，則投資股票甲的期望收益較大，投資股票甲比投資股票乙風(fēng)險(xiǎn)高.，．故選：ACD2.（2024湖北）甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ與η，且ξ，η的分布列為：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3（1）求a，b的值；（2）計(jì)算ξ，η的期望與方差，并以此分析甲、乙技術(shù)狀況．【答案】（1）a＝0.3；b＝0.4；（2）2.3；2；0.81；0.6；甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)．【解析】(1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)＞E(η)，說(shuō)明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，說(shuō)明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)．3（2024下·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某短視頻軟件經(jīng)過(guò)幾年的快速發(fā)展，深受人們的喜愛(ài)，該軟件除了有娛樂(lè)屬性外，也可通過(guò)平臺(tái)推送廣告．某公司為了宣傳新產(chǎn)品，現(xiàn)有以下兩種宣傳方案：方案一：投放該平臺(tái)廣告，據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，其收益X分別為0元，20萬(wàn)元，40萬(wàn)元，且，期望．方案二：投放傳統(tǒng)廣告，據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，其收益Y分別為10萬(wàn)元，20萬(wàn)元，30萬(wàn)元，其概率依次為．(1)請(qǐng)寫出方案一的分布列，并求方差；(2)請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)給出建議，該公司宣傳應(yīng)該投放哪種廣告？并說(shuō)明你的理由．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，方差為180(2)答案見(jiàn)解析，理由見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)，，依題意得①，又②，由①②解得：，．∴X的分布列為X02040P0.10.30.6則．（2）由題得Y的分布列為Y102030P0.30.40.3則，．由可知采用平臺(tái)廣告投放期望收益較大，又，說(shuō)明平臺(tái)廣告投放的風(fēng)險(xiǎn)較高．綜上所述，如果公司期望高收益，選擇平臺(tái)廣告；如果公司期望收益穩(wěn)定，選擇傳統(tǒng)廣告．單選題1．（2024河北）設(shè)隨機(jī)變量的方差，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】.故選：C.2．（2024湖北）已知隨機(jī)變量X的分布列為X024P0.40.30.3則等于（

）A．13 B．11C．2.2 D．2.3【答案】A【解析】因?yàn)椋?故選：A.3．（2023江西）已知隨機(jī)變量X的分布列為X123P且，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】結(jié)合題意：，因?yàn)?，所以，解得：，故選：A.4．（2024上·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）已知的分布列為-101則下列不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，由分布列的性質(zhì)可得，解得，則，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)或時(shí)，，所以，，D正確.故選：C5（2024廣西）隨機(jī)變量的概率分布為，其中是常數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，解得則故選：D6（2024·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是：01則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（）A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】D【解析】由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大.故選：D.7．（2024·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考一模）下圖是離散型隨機(jī)變量的概率分布直觀圖，其中，則錯(cuò)誤的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由題知解得，A選項(xiàng)正確；所以，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)正確；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D8．（2024·廣東廣州）設(shè)，隨機(jī)變量取值的概率均為0.2，隨機(jī)變量取值的概率也均為0.2，若記分別為的方差，則（

）A．B．C．D．與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)【答案】C【解析】由題意得，，故，記則同理因?yàn)?，則，，，故，即得，與的大小關(guān)系與的取值無(wú)關(guān)，故選：C多選題9．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）隨機(jī)變量和，其中，且，若的分布列如表：X1234Pmn則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】根據(jù)分布列可知①，因?yàn)椋?，解得，又由分布列可得，整理得②，①②?lián)立解得，，故選：BCD10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知X的分布列為X01P則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】AC【解析】對(duì)A：由，知A正確；對(duì)B：由，知B錯(cuò)誤；對(duì)C、D：因?yàn)榈姆植剂袨樗?，故C正確；，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11．（2023·廣東東莞）已知m，n均為正數(shù)，隨機(jī)變量X的分布列如下表；則下列結(jié)論一定成立的是（）X012PmnmA． B．C． D．【答案】BC【解析】由題意，且，而，大小不確定，A錯(cuò)誤；，B正確；，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；由，所以，不一定小于1，D錯(cuò)誤；故選：BC12．（2022·全國(guó)·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，隨機(jī)變量，的分布列如下表所示：0101下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若且，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【解析】依題意，，則，又，，所以，，所以，對(duì)于A：因?yàn)榍遥?，所以，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋捎跓o(wú)法確定與的大小關(guān)系，即無(wú)法判斷的正負(fù)，故無(wú)法確定與的大小關(guān)系，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椋?，，所以，即，即，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，但是無(wú)法確定與的大小關(guān)系，即無(wú)法判斷的正負(fù)，故無(wú)法確定與的大小關(guān)系，故D錯(cuò)誤；故選：AC填空題13．（2023下·貴州畢節(jié)·高二?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為X012P0.1且，則．【答案】/【解析】由題可得，解得所以.故答案為：.14．（2023下·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）已知隨機(jī)變量的分布列如表：012mn若，則．【答案】【解析】，①，又②，聯(lián)立①②得，所以，則．故答案為：．15．（2023下·北京大興·高二統(tǒng)考期末）已知隨機(jī)變量和的分布列分別是：X101p01能說(shuō)明不成立的一組的值可以是；．【答案】（答案不唯一）【解析】依題意，隨機(jī)變量和的期望分別為，則，同理，由，得，整理得，因此且或者且，所以不成立的一組的值可以為，.故答案為：；16．（2023·安徽）一離散型隨機(jī)變量的分布列為：01230.1其中為變數(shù)，為正常數(shù)，且當(dāng)時(shí)方差有最大值，則的值為．【答案】0.1/【解析】由題意得，，，當(dāng)時(shí)有最大值，此時(shí)，解得．故答案為：．解答題17．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為012(1)求的值；(2)求；(3)若，求.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）依題意，由分布列得，解得，所以的值為.（2）由（1）得.（3）法一：因?yàn)椋?法二：因?yàn)?，所以的分布列如下：所?8（2023江蘇）甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ與η，且ξ，η的分布列為：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3（1）求a，b的值；（2）計(jì)算ξ，η的期望與方差，并以此分析甲、乙技術(shù)狀況．【答案】（1）a＝0.3；b＝0.4；（2）2.3；2；0.81；0.6；甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)．【解析】(1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)＞E(η)，說(shuō)明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，說(shuō)明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)．19．（2024·黑龍江鶴崗市）甲?乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無(wú)底薪，40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205若將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問(wèn)題：（1）記乙公司送餐員日工資為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）小王打算到甲?乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇，并說(shuō)明理由.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）推薦小王去乙公司應(yīng)聘，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，故的所有可能取值為、、、、，故的分布列為：228234240247254故.（2）甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為：，則甲公司送餐員日平均工資為元，因?yàn)橐夜舅筒蛦T日平均工資為元，，所以推薦小王去乙公司應(yīng)聘.20．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）為了解客戶對(duì)A，B兩家快遞公司的配送時(shí)效和服務(wù)滿意度情況，現(xiàn)隨機(jī)獲得了某地區(qū)客戶對(duì)這兩家快遞公司評(píng)價(jià)的調(diào)查問(wèn)卷，已知A，B兩家公司的調(diào)查問(wèn)卷分別有120份和80份，全部數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：快遞公司A快遞公司B快遞公司項(xiàng)目份數(shù)評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)配送時(shí)效服務(wù)滿意度配送時(shí)效服務(wù)滿意度292416124756404844402420假設(shè)客戶對(duì)A，B兩家快遞公司的評(píng)價(jià)相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)從該地區(qū)選擇A快遞公司的客戶中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該客戶對(duì)A快遞公可配送時(shí)效的評(píng)價(jià)不低于75分的概率：(2)分別從該地區(qū)A和B快遞公司的樣本調(diào)查問(wèn)卷中，各隨機(jī)抽取1份，記X為這2份問(wèn)卷中的服務(wù)滿意度評(píng)價(jià)不低于75分的份數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望：(3)記評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)為“優(yōu)秀”等級(jí)，為“良好”等級(jí)，為“一般”等級(jí)?已知小王比較看重配送時(shí)效的等級(jí)，根據(jù)該地區(qū)A，B兩家快遞公司配送時(shí)效的樣本評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)的等級(jí)情況，你認(rèn)為小王選擇A，B哪家快遞公司合適？說(shuō)明理由，【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，(3)我認(rèn)為小王應(yīng)該選擇B快遞公司，因?yàn)?/p>