江蘇省南通市海安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題（解析）

實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高三學(xué)業(yè)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)（一）數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算得到，再求的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】，的共軛復(fù)數(shù)為.故選：A2.已知函數(shù)y=fx的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表，函數(shù)y=g123230A.3 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的圖像可知，，根據(jù)表格即可求得.【詳解】根據(jù)的圖像可知，，根據(jù)表格可知，.故選：B3.設(shè)集合，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解不等式得到，，再求集合C即可.【詳解】對(duì)于，則，解得，即，對(duì)于，可得，即，所以且.故選：C.4.命題．若的一個(gè)充分不必要條件是，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】因?yàn)榈囊粋€(gè)充分不必要條件是，則是的真子集，，故選：D．5.設(shè)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，，當(dāng)時(shí)，，則（）A.1 B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，從而得到，再計(jì)算即可.【詳解】是定義域?yàn)槠婧瘮?shù)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，，.故選：A6.我們知道當(dāng)或時(shí)，.若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由結(jié)合基本不等式和對(duì)數(shù)運(yùn)算可知，由題意結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷，即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.7.函數(shù)，對(duì)任意，且，都有，則的范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先設(shè)任意，且，構(gòu)造函數(shù)得到y(tǒng)=gx在1,2為增函數(shù)，從而得到，恒成立，即可得到答案。【詳解】設(shè)任意，不妨令，都有，等價(jià)于任意，且，都有，等價(jià)于任意，且，都有，設(shè)，，則函數(shù)y=gx在1,2則，恒成立。等價(jià)于，恒成立。因?yàn)樵?,2為減函數(shù)，所以，即.故選：D8.若，則的最小值為（）A.2 B.C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用換元法可得，即可利用不等式求解.【詳解】令，則，故，因此，故，故，最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取到等號(hào)，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：得，由基本不等式求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.在單調(diào)遞增B.有兩個(gè)零點(diǎn)C.的最小值為D.在點(diǎn)處切線為【答案】ACD【解析】【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷ABC，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，判斷D.【詳解】，，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以在1,+∞單調(diào)遞增，故A正確；，得，當(dāng)，f'x<0，當(dāng)，f'x>0，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，C正確，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，對(duì)于D，f1=0，，所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f故選：ACD.10.設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)?，若為奇函?shù)，則（）A.BC.函數(shù)的一個(gè)周期是6D.【答案】ABD【解析】【分析】函數(shù)是上的奇函數(shù)，令，求得，可判斷A的正誤,由題意得，令，可得，通過(guò)代換可求得，從而得到函數(shù)的周期，可判斷BC的正誤；根據(jù)函數(shù)的周期性和即可求解D.【詳解】函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，又為偶函數(shù)，故，故A正確；又，即，令，則，，①，令替換，上式化為：，②，由①②得：，即，函數(shù)的周期，故C錯(cuò)誤；在①中，令替換得：，即，③由①③得：，即，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；故B正確，由于,故D正確，故選：ABD．11.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A，利用作差法即可判斷A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，構(gòu)造函數(shù)再利用的單調(diào)性即可判斷B正確，對(duì)選項(xiàng)C，構(gòu)造函數(shù)再利用的單調(diào)性即可判斷C正確，對(duì)選項(xiàng)D，構(gòu)造函數(shù)再利用hx的單調(diào)性即可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)樗?，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，設(shè)，，所以在1,+∞為減函數(shù)，所以.因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，設(shè)，因?yàn)?，所以?,+∞為增函數(shù)，因?yàn)?，所以，即，即，故C正確.對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)，因?yàn)?，設(shè)，x∈1,+，所以在1,+∞為增函數(shù)，因?yàn)?，所以即，所以hx在1,+因?yàn)?，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式代入即可求解.【詳解】.故答案為：13.設(shè)冪函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由是冪函數(shù)可得，再由冪函數(shù)的單調(diào)性和定義域解不等式即可得出答案.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，則，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?,+∞，且，所以函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，所以由可得：，解得：.故答案為：.14.已知曲線與有公共切線，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】先設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)得到切線方程，斜率截距對(duì)應(yīng)相等，得到,構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為存在性問(wèn)題，最終求最值即可.【詳解】設(shè)曲線與的切點(diǎn)分別為，，因?yàn)?，，則兩切線斜率，，所以，，所以，所以，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，即，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在每年的1月份到7月份，某品牌空調(diào)銷售商發(fā)現(xiàn)：“每月銷售量（單位：臺(tái)）”與“當(dāng)年的月份”線性相關(guān)．根據(jù)統(tǒng)計(jì)得下表：月份123456銷量122133415263（1）根據(jù)往年的統(tǒng)計(jì)得，當(dāng)年的月份與銷量滿足回歸方程．請(qǐng)預(yù)測(cè)當(dāng)年7月份該品牌的空調(diào)可以銷售多少臺(tái)？（2）該銷售商從當(dāng)年的前6個(gè)月中隨機(jī)選取3個(gè)月，記為銷量不低于前6個(gè)月的月平均銷量的月份數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）72臺(tái)（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）計(jì)算出與后，借助回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)即可得回歸直線方程，再借助回歸直線方程代入計(jì)算即可得解；（2）得出的所有可能取值后，計(jì)算每種取值對(duì)應(yīng)概率即可得其分布列，借助分布列計(jì)算即可得其期望.【小問(wèn)1詳解】，，又回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以，得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)當(dāng)年7月份該品牌的空調(diào)可以銷售72臺(tái).小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以銷量不低于前6個(gè)月的月平均銷量的月份數(shù)為4，5，6，所以，，，，，所以的分布列為：0123.16.設(shè)公比為正的等比數(shù)列an前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列．（1）求an（2）若數(shù)列bn滿足，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列求和計(jì)算求出公比，再根據(jù)等差中項(xiàng)列式基本量運(yùn)算得出首項(xiàng)，最后應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）中計(jì)算得出,化簡(jiǎn)得出累加得出，最后應(yīng)用裂項(xiàng)相消求和即得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列公比,，所以，即，是等差數(shù)列，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以所以，故，累加法得出，?17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)．（1）證明：直線平面；（2）設(shè)，求平面與平面的夾角．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到，從而得到四邊形為平行四邊形，即.再利用線面平行的判定即可證明.（2）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以且.又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，所以且，即四邊形平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為n1=則，令得.，，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.因?yàn)?，所以平面與平面的夾角為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在x軸上任取一點(diǎn)P，直線與直線相交于點(diǎn)Q，求的最大值；（3）設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記與的面積分別為，，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）3（3）或【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)，得到，聯(lián)立方程組，即可求解；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，由，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（3）根據(jù)題意，得到點(diǎn)O到線段的距離，結(jié)合，求得點(diǎn)M到線段的距離應(yīng)為，代入橢圓的方程，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)，因?yàn)椋傻?，整理得，又因?yàn)椋?lián)立方程組，解得，，所以點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則可得Q點(diǎn)坐標(biāo)為，由，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為.【小問(wèn)3詳解】解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)O到線段的距離，若，則點(diǎn)M到線段的距離應(yīng)為，故M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為或，代入橢圓方程，解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或，故M點(diǎn)的坐標(biāo)為或.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)，證明：曲線是軸對(duì)稱圖形；（3）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）證明詳見(jiàn)解析.（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線方程.（2）令，由求得的對(duì)稱軸，也即曲線的對(duì)稱軸.（3）由在區(qū)間上恒成立列不等式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合圖象來(lái)求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，則切點(diǎn)為.，則斜率為.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，由解得，令，，設(shè)，令，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且.，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱