廣東省江門市新會區(qū)陳經(jīng)綸中學2025屆高三上學期9月月考數(shù)學試題（解析版）

新會陳經(jīng)綸中學2024—2025學年高三上學期9月月考數(shù)學卷本試卷共4頁，滿分150分，考試時間為120分鐘（命題人：李振華，審核人：鄭小輝）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運用復數(shù)乘除法運算化簡.【詳解】.故選：A.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式可求得，再結合集合的特征即可計算得出結果.【詳解】解不等式可得，又可得只有當時，的取值分別為在集合中，所以.故選：C3.已知，則（）A B. C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦兩角和公式和同角三角函數(shù)關系求解即可.【詳解】因為，，所以.所以.故選：A4.已知且，則的最小值為（）A.4 B.6 C. D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值.【詳解】且，則，當且僅當，即時取等號，所以當時，的最小值為8.故選：D5.命題p：，，則“”是“p為真命題”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先由，求出的取值范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.【詳解】因為，，所以，得，因為當時，不一定成立，而當時，一定成立，所以“”是“p為真命題”的必要不充分條件.故選：B6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求的定義域，再判斷奇偶性，最后取特殊值判斷即可.【詳解】的定義域為，定義域關于原點對稱，因為，所以是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，排除A選項；取，則，排除C、D選項；故選：B.7.已知為等比數(shù)列的前項積，若，且（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等比中項的性質求解即可.【詳解】由等比數(shù)列的性質，得，所以.故選:B.8.已知函數(shù)的定義域為是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則的值為（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性解方程組求解可得，然后可得.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，即①，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，即②，聯(lián)立①②可得，所以．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，則下列說法正確的是（）A.B.C.與的夾角余弦值為D.在方向上的投影向量為【答案】BCD【解析】【分析】利用向量減法、平行、垂直、夾角余弦值、投影向量的計算方法驗證即可.【詳解】由，，則與不平行，故錯誤；，，則，故正確；，，，故正確；，即在方向上的投影向量為，故正確.故選：.10.若函數(shù)的兩條相鄰對稱軸距離為，且，則（）A. B.點是函數(shù)的對稱中心C.函數(shù)在上單調遞增 D.直線是函數(shù)圖象的對稱軸【答案】AB【解析】【分析】先利用題給條件求得的值，進而求得函數(shù)的解析式，即可判斷選項A；整體代入法驗證選項BD，利用正弦函數(shù)圖像性質判斷選項C.【詳解】∵的兩條相鄰對稱軸距離為.∴，∴.∴.∵，∴，又，則.∴.∴選項A正確；選項B：由，可得函數(shù)對稱中心的橫坐標：.當時，對稱中心為.B正確；選項C：當時，，，∴在上不遞增，C錯誤；選項D：由，.可得對稱軸：，.∴不對稱軸.或驗證法把代入得，∴不是對稱軸.∴D錯誤；故選：AB.11.已知函數(shù)，若方程有四個不同的零點，，，且，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】在同一直角坐標系內作出y=fx和的圖象，結合圖象，可判定A正確；再由圖象得到且，，結合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】如圖所示，在同一坐標系內作出函數(shù)和的圖象，由圖象知，要使得方程有四個不同的零點，只需，所以A正確；對于B中，因為，且函數(shù)關于對稱，由圖象得，且，所以，可得，則，所以，其中，令，當且僅當時，取得最小值，所以，所以B正確；對于C中，是兩個根，所以，即，所以，由是的兩個根，所以，所以，所以C不正確；對于D中，由，可得，令，可得函數(shù)hx在上單調遞增，所以，即，，所以D正確.故選：ABD.【點睛】知識方法點撥：求解復合函數(shù)的零點個數(shù)或方程解的個數(shù)與范圍問題的策略：1、先換元解“套”，令，則，再作出和的圖象；2、由函數(shù)的圖象觀察有幾個的值滿足條件，結合的值觀察的圖象，求出每一個被對應，將的個數(shù)匯總后，即為的根的個數(shù)，即“從外到內”.3、由零點的個數(shù)結合與的圖象特點，從而確定的取值范圍，進而決定參數(shù)的范圍，即“從內到外”，此法成為雙圖象法（換元+數(shù)形結合）.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)則______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)自變量確定代入哪段，結合對數(shù)性質計算即可.【詳解】因為，，所以．故答案為：113.已知向量與的夾角為，，，則______.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)模長公式結合數(shù)量積的定義和運算律即可求解.【詳解】由題意，向量與的夾角為，，，所以，所以,故答案為：614.已知函數(shù)，若，則__________.【答案】【解析】【分析】由題設易得函數(shù)的對稱軸，再結合二次函數(shù)圖像對稱軸對比即得.【詳解】因，函數(shù)的對稱軸為直線，而由可知其對稱軸為直線，故，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值．【答案】（1）（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)導函數(shù)在的值，可求出切線斜率，根據(jù)點斜式寫出切線方程.（2）根據(jù)導函數(shù)，確定單調區(qū)間，進而可得最值.【小問1詳解】由得,又,所以函數(shù)在處的切線方程為:,即【小問2詳解】由,令解得令解得,所以在上單調遞減,在上單調遞增.所以當時,最小,且最小值為,,,故最大值為16.已知等差數(shù)列的公差不為0，其前n項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意列方程組算出即可；（2）由裂項相消法求解即可.小問1詳解】設等差數(shù)列an的公差為，則，解得，．∴．【小問2詳解】由（1）知，，∴，∴．17.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，，求c．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）利用余弦定理進行求解；（2）先利用同角三角函數(shù)關系得到，再使用正弦定理求解【小問1詳解】變形為：，所以，因為，所以，【小問2詳解】因為，且，所以由正弦定理得：，即，解得：18.已知為數(shù)列的前項和，若.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）令，若，求滿足條件的最大整數(shù).【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用與的關系式可得，即，即可得證.（2）由（1）可得，則，設，根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式可得，令，結合，即可求解.【小問1詳解】證明：由可得，當時，，解得，當時，，即，則，即，即，即，又，所以數(shù)列是首項為6，公比為2的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）得，則，設，則令，得，即，即，又，，，所以滿足條件的最大整數(shù)為為5.19.已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若，不相等的實數(shù)滿足，求證：.【答案】（1）極小值為，無極大值（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得解；（2）令，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，再根據(jù)函數(shù)的單調性將雙變量問題轉化為單變量問題，再構造新的函數(shù)，利用導數(shù)證明即可.【小問1詳解】依題意，，則，令，解得，故當時，f'x<0，當時，f故函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，故函數(shù)的極小值為，無極大值；【小問2詳解】令，則，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，在0,+∞上單調遞增，所以，又，所以，所以在R上單調遞增，，即，因，所以，要證，即證，只需證，即，即，令函數(shù)，則，令，則，所以為R上的增函數(shù)，當時