人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三8.3 列聯(lián)表及獨(dú)立性檢驗(yàn)（精講）（解析版）

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】8.3列聯(lián)表及獨(dú)立性檢驗(yàn)（精講）考點(diǎn)一獨(dú)立性檢驗(yàn)（小題）【例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）某中學(xué)為調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生的選科傾向，隨機(jī)抽取了300人，其中選考物理的有220人，選考?xì)v史的有80人，統(tǒng)計(jì)各選科人數(shù)如表所示，則下列說法中正確的是（

）．選考類別選擇科目思想政治地理化學(xué)生物物理類80100145115歷史類50453035參考數(shù)據(jù)：，其中.附表：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．選考物理類的學(xué)生中選擇政治的比例比選考?xì)v史類的學(xué)生中選擇政治的比例高B．選考物理類的學(xué)生中選擇地理的比例比選考?xì)v史類的學(xué)生中選擇地理的比例高C．參照附表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為選擇生物與選考類別無關(guān)D．參照附表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為選擇生物與選考類別有關(guān)【答案】C【解析】對(duì)于A項(xiàng)，，，顯然，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)已知，可列出列聯(lián)表選擇生物不選擇生物合計(jì)物理類115105220歷史類354580合計(jì)150150300，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為選擇生物與選考類別無關(guān)，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)C項(xiàng)可知，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.【一隅三反】1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）疫苗是為預(yù)防、控制傳染病的發(fā)生、流行，用于人體預(yù)防接種的預(yù)防性生物制品，其前期研發(fā)過程中，一般都會(huì)進(jìn)行動(dòng)物保護(hù)測試，為了考察某種疫苗的預(yù)防效果，在進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)時(shí)，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：未發(fā)病發(fā)病總計(jì)未注射疫苗30注射疫苗40總計(jì)7030100現(xiàn)從試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率為0.5，則下列判斷中錯(cuò)誤的是（

）．A．注射疫苗發(fā)病的動(dòng)物數(shù)為10B．某個(gè)發(fā)病的小動(dòng)物為未注射疫苗動(dòng)物的概率為C．能在犯錯(cuò)概率不超過0.005的前提下認(rèn)為疫苗有效D．該疫苗的有效率約為80%【答案】C【解析】由題意，“注射疫苗”與“未注射疫苗”的動(dòng)物分別為50，故完善表格如下：未發(fā)病發(fā)病總計(jì)未注射疫苗302050注射疫苗401050總計(jì)7030100由表格可知，A正確；某個(gè)發(fā)病的小動(dòng)物為未注射疫苗動(dòng)物的概率為，故B正確；，故C錯(cuò)誤；注射疫苗的50個(gè)動(dòng)物中，未發(fā)病的概率約為，故D正確.故選：C.2．（2022春·江蘇常州·高二校考階段練習(xí)）北京冬奧會(huì)的舉辦掀起了一陣冰雪運(yùn)動(dòng)的熱潮．某高校在本校學(xué)生中對(duì)“喜歡滑冰是否與性別有關(guān)”做了一次調(diào)查，參與調(diào)查的學(xué)生中，男生人數(shù)是女生人數(shù)的倍，有的男生喜歡滑冰，有的女生喜歡滑冰．若根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法，有的把握認(rèn)為是否喜歡滑冰和性別有關(guān)，則參與調(diào)查的男生人數(shù)可能為（

）參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)男生人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且,可得列聯(lián)表如下：男生女生合計(jì)喜歡滑冰不喜歡滑冰合計(jì)所以，因?yàn)橛械陌盐照J(rèn)為是否喜歡滑冰和性別有關(guān)，所以，解得，所以，結(jié)合選項(xiàng)只有，故選:C.3．（2022·高二單元測試）疫苗是為預(yù)防、控制傳染病的發(fā)生、流行，用于人體預(yù)防接種的預(yù)防性生物制品，其前期研發(fā)過程中，一般都會(huì)進(jìn)行動(dòng)物保護(hù)測試．為了考察某種疫苗預(yù)防效果，在進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)時(shí)，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：未發(fā)病發(fā)病合計(jì)未注射疫苗20注射疫苗30合計(jì)5050100現(xiàn)從試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率為，則下列判斷中錯(cuò)誤的是（

）．A．注射疫苗發(fā)病的動(dòng)物數(shù)為10B．從該試驗(yàn)未注射疫苗的動(dòng)物中任取一只，發(fā)病的概率為C．有99％的把握認(rèn)為疫苗有效D．該疫苗的有效率為75％【答案】D【解析】由題可知，注射疫苗的動(dòng)物共（只），則未注射的為60只，補(bǔ)充列聯(lián)表如下：未發(fā)病發(fā)病合計(jì)未注射疫苗204060注射疫苗301040合計(jì)5050100由此可得A，B正確；計(jì)算得，故有99％的把握認(rèn)為疫苗有效，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：D．考點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)（解答題）【例2】（2022春·山西呂梁·高二校聯(lián)考期中）某體育彩票站點(diǎn)為了預(yù)估2022年彩民購買彩票的情況，對(duì)2021年的購買情況進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查并統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：購買金額/千元人數(shù)/人101520252010(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表；不少于6千元少于6千元合計(jì)男30女12合計(jì)(2)根據(jù)（1）中的2×2列聯(lián)表，判斷是否有90%的把握認(rèn)為彩民的購買金額是否少于6千元與彩民的性別有關(guān)?附：，（其中）0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析(2)沒有【解析】（1）由所給數(shù)據(jù)可得2×2列聯(lián)表如下：不少于6千元少于6千元合計(jì)男183048女124052合計(jì)3070100（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因此根據(jù)臨界值表可知，沒有90%的把握認(rèn)為彩民的購買金額是否少于6千元與彩民的性別有關(guān).【一隅三反】1．（2022陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）某高校為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，用分層抽樣的方法，收集300名學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)），其中女生90名.(1)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：，估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率；(2)在樣本數(shù)據(jù)中，有60名女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)，請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”.附：參考公式及臨界值表：.【答案】(1)(2)列聯(lián)表見解析，有的把握【解析】（1）由頻率分布直方圖得.該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率估計(jì)值為.（2）由（1）知，300名學(xué)生中有人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)，75人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4小時(shí).又因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的，所以每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表如：男生女生總計(jì)每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4小時(shí)453075每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)16560225總計(jì)21090300.所以有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”.2．（2022秋·陜西榆林·高二?？计谀┠持袑W(xué)共有500名教師，其中男教師300名、女教師200名.為配合“雙減政策”，該校在新學(xué)年推行“5+2”課后服務(wù).為緩解教師壓力，在2021年9月10日教師節(jié)大會(huì)上該校就是否實(shí)行“彈性上下班”進(jìn)行了調(diào)查.(1)完成下面的列聯(lián)表；支持實(shí)行“彈性上下班”制不支持實(shí)行“彈性上下班”制合計(jì)男教師200女教師80合計(jì)500(2)判斷能否有的把握認(rèn)為是否支持實(shí)行“彈性上下班”制與教師的性別相關(guān)？參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)列聯(lián)表見解析；(2)沒有90%的把握認(rèn)為支持實(shí)行“彈性上下班”制與教師的性別相關(guān).【解析】（1）完成的列聯(lián)表如下：支持實(shí)行“彈性上下班”制不支持實(shí)行“彈性上下班”制合計(jì)男教師200100300女教師12080200合計(jì)320180500（2）計(jì)算，沒有的把握認(rèn)為是否支持實(shí)行“彈性上下班”制與教師的性別有關(guān).考點(diǎn)三綜合運(yùn)用【例3-1】（2022·河北衡水·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某機(jī)構(gòu)為了解當(dāng)?shù)乩夏耆藢?duì)于去養(yǎng)老機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的態(tài)度，隨機(jī)從該地區(qū)調(diào)查了300位老年人，結(jié)果如下：

性別是否愿意去養(yǎng)老院養(yǎng)老男女愿意9060不愿意6090(1)能否有99.9%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否愿意去養(yǎng)老機(jī)構(gòu)養(yǎng)老與性別有關(guān)？(2)用這300位老年人對(duì)于去養(yǎng)老機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的態(tài)度的頻率估計(jì)該地區(qū)老年人對(duì)于去養(yǎng)老機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的態(tài)度的概率，從該地區(qū)隨機(jī)選取4位老年人，記這4位老年人中愿意去養(yǎng)老機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的人數(shù)為X，求X的分布列及期望.附：，.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)有，理由見解析(2)分布列見解析，【解析】（1）由題可知，.因?yàn)?2＞10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否愿意去養(yǎng)老機(jī)構(gòu)養(yǎng)老與性別有關(guān).（2）這300位老年人中，有150位愿意去養(yǎng)老院養(yǎng)老，所以該地區(qū)老年人愿意去養(yǎng)老院養(yǎng)老的概率為.由題可知，X可能的取值為0，1，2，3，4.且，，，，.故X的分布列為X01234P因?yàn)?，所?【例3-2】（202遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谀?022年新型冠狀“奧密克戎”病毒肆虐，冠狀肺炎感染人群年齡大多數(shù)是50歲以上的人群．該病毒進(jìn)入人體后有潛伏期，潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時(shí)間．潛伏期越長，感染到他人的可能性越高，現(xiàn)對(duì)200個(gè)病例的潛伏期（單位：天）進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)潛伏期中位數(shù)為5，平均數(shù)為7.1，方差為5.06．如果認(rèn)為超過8天的潛伏期屬于“長潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計(jì)樣本，得到下面的列聯(lián)表：年齡潛伏期合計(jì)長潛伏期非長潛伏期50歲以上3011014050歲及50歲以下204060合計(jì)50150200(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可否認(rèn)為“長潛伏期”與年齡有關(guān)？(2)假設(shè)潛伏期Z服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．現(xiàn)在很多省份對(duì)入境旅客一律要求隔離14天，請(qǐng)用概率的知識(shí)解釋其合理性；(3)以題日中的樣本頻率估計(jì)概率，設(shè)1000個(gè)病例中恰有個(gè)屬于“長潛伏期”的概率是，當(dāng)k為何值時(shí)，取得最大值？附：．0.10.050.012.7063.8416.635若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，，．【答案】(1)認(rèn)為“長潛伏期”與年齡無關(guān)．(2)答案見解析(3)k＝250【解析】（1）零假設(shè)為H0：“長潛伏期”與年齡無關(guān)，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得：，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此認(rèn)為H0成立，故認(rèn)為“長潛伏期”與年齡無關(guān)；（2）由題意知潛伏期，由，得知潛伏期超過14天的概率很低，因此隔離14天是合理的；（3）由于200個(gè)病例中有50個(gè)屬于長潛伏期，若以樣本頻率估計(jì)概率，一個(gè)患者屬于“長潛伏期”的概率是，于是.則，當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；∴，．故當(dāng)k＝250時(shí)，g(k)取得最大值．【一隅三反】1．（2022春·上海普陀·高二曹楊二中校考期末）某市為調(diào)研本市學(xué)生體質(zhì)情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，得到體質(zhì)測試樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：人）如表：優(yōu)秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此判斷：能否有的把握認(rèn)為該市學(xué)生體質(zhì)測試是否達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).（注：體質(zhì)測試成績?yōu)閮?yōu)秀?良好或及格則體質(zhì)達(dá)標(biāo)，否則不達(dá)標(biāo)）達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)合計(jì)男生女生合計(jì)其中；(2)體質(zhì)測試成績?yōu)閮?yōu)秀或良好則稱體質(zhì)測試成績?yōu)閮?yōu)良，以樣本數(shù)據(jù)中男?女生體質(zhì)測試成績優(yōu)良的頻率視為該市男?女生體質(zhì)測試成績優(yōu)良的概率，在該市學(xué)生中隨機(jī)選取1名男生，1名女生，設(shè)所選2人中體質(zhì)測試成績優(yōu)良人數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望與方差.【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有的把握認(rèn)為該市學(xué)生體質(zhì)達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)(2)分布列見解析，，【解析】（1）由題得列聯(lián)表如下：達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)合計(jì)男生10801201200女生840120960合計(jì)19202402160所以沒有的把握認(rèn)為該市學(xué)生體質(zhì)達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).（2）由題意男生體質(zhì)測試優(yōu)良率，女生體質(zhì)測試優(yōu)良率.的所有可能取值為.所以的分布列為012，2．（2022秋·浙江寧波·高二寧波市北侖中學(xué)校考期中）2022年卡塔爾世界杯將11月20日開賽，某國家隊(duì)為考察甲、乙兩名球員對(duì)球隊(duì)的貢獻(xiàn)，現(xiàn)作如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：球隊(duì)勝球隊(duì)負(fù)總計(jì)甲參加3060甲未參加10總計(jì)60n乙球員能夠勝任前鋒?中場?后衛(wèi)三個(gè)位置，且出場率分別為：0.1，0.5，0.4；在乙出任前鋒、中場、后衛(wèi)的條件下，球隊(duì)輸球的概率依次為：0.2，0.2，0.7(1)根據(jù)小概率值=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該球隊(duì)勝利與甲球員參賽有關(guān)聯(lián)？(2)根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，問：①當(dāng)乙參加比賽時(shí)，求該球隊(duì)某場比賽輸球的概率；②當(dāng)乙參加比賽時(shí)，在球隊(duì)輸了某場比賽的條件下，求乙球員擔(dān)當(dāng)中場的概率；③如果你是教練員，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)知識(shí)，該如何使用乙球員？附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)認(rèn)為該球隊(duì)勝利與甲球員參賽有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；(2)①；②；③應(yīng)該多讓乙球員擔(dān)任前鋒，來擴(kuò)大贏球場次.【解析】（1）依題意，，零假設(shè)為：球隊(duì)勝利與甲球員參賽無關(guān)，則的觀測值，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為該球隊(duì)勝利與甲球員參賽有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過.（2）①設(shè)表示“乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒”；表示“乙球員擔(dān)當(dāng)中場”；表示“乙球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)”；表示“球隊(duì)輸?shù)裟硤霰荣悺?，有，，，，，則，所以該球隊(duì)某場比賽輸球的概率是0.4.②由①知，球隊(duì)輸?shù)臈l件下，乙球員擔(dān)當(dāng)中場的概率.③由①知，球隊(duì)輸?shù)臈l件下，乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率，球隊(duì)輸?shù)臈l件下，乙球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)的概率，由②知，，所以，應(yīng)該多讓乙球員擔(dān)任前鋒，來擴(kuò)大贏球場次.3．（2022春·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí)）2021年9月3日，教育部召開第五場金秋新聞發(fā)布會(huì)，會(huì)上發(fā)布了第八次全國學(xué)生體質(zhì)與健康調(diào)研結(jié)果.根據(jù)調(diào)研結(jié)果數(shù)據(jù)顯示，我國大中小學(xué)的健康情況有了明顯改善，學(xué)生總