滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期考試滿(mǎn)分全攻略第12講直角三角形(4大考點(diǎn))(原卷版+解析)

第12講直角三角形（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向1.直角三角形全等的判定圖形定理符號(hào)如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)記：H.L）在中，，2.直角三角形的性質(zhì)定理及推論定理1直角三角形的兩個(gè)銳角互余；定理2直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半.推論1：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于.3.勾股定理圖形名稱(chēng)定理符號(hào)表示邊的定理在直角三角形中，斜邊大于直角邊.在中，勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形.在中，，4.兩點(diǎn)的距離公式①數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)m、n，則AB的距離為.②如果直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)，那么兩點(diǎn)間的距離.考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：直角三角形全等的判定與直角三角形的性質(zhì)一、填空題1．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，則下底BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．2．（2022·上海市羅星中學(xué)八年級(jí)期末）已知是等腰三角形，是邊上的高，且，那么此三角形的頂角的度數(shù)為_(kāi)_____．二、解答題3．（2021·上海普陀·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，(1)用直尺和圓規(guī)分別作∠ACB的平分線(xiàn)、線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)、它們的交點(diǎn)M（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，在圖上清楚地標(biāo)注點(diǎn)M）；(2)過(guò)點(diǎn)M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E、F．求證：BE＝AF．4．（2021·上海·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，如圖，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，AB＝BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M、N．（1）求證：PM＝PN；（2）聯(lián)結(jié)MN，求證：PD是MN的垂直平分線(xiàn)．5．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）（1）已知，如圖，在三角形中，AD是BC邊上的高．尺規(guī)作圖：作的平分線(xiàn)（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，寫(xiě)出結(jié)論）﹔（2）在已作圖形中，若l與AD交于點(diǎn)E，且，求證：．6．（2022·上海市崇明區(qū)橫沙中學(xué)八年級(jí)期末）已知：如圖，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求證：∠AFC＝2∠ADC．7．（2022·上海松江·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．(1)求證：CE=CDBE；(2)如果CE=3BE，求的值．8．（2021·上海市南匯第四中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，邊AB的垂直平分線(xiàn)交邊BC于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，取線(xiàn)段BE的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF．求證：AC＝DF．（說(shuō)明：此題的證明過(guò)程需要批注理由）9．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，已知G是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（G點(diǎn)不與A、B點(diǎn)重合），且GEAC，GFBC，若AG＝x，S△GEF＝y(tǒng)．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)定義域；(2)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使△GEF成為直角三角形，若能，請(qǐng)求出AG長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使四邊形GFEB構(gòu)成平行四邊形，若能，直接寫(xiě)出S△GEF的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明由．10．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，連接BD、EC，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，連接BM、DM．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在AC、AB上時(shí)，求證：△BMD為等腰直角三角形；(2)如圖2，將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，使點(diǎn)D落在AB上，此時(shí)（1）中的結(jié)論“△BMD為等腰直角三角形”還成立嗎？請(qǐng)對(duì)你的結(jié)論加以證明；(3)如圖3，將圖2中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．11.（浦東新區(qū)2020期末25）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線(xiàn)段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線(xiàn)段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)二：勾股定理與兩點(diǎn)的距離公式一、填空題1．（2022·上海市崇明區(qū)橫沙中學(xué)八年級(jí)期末）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)、，且，那么m的值是________．2．（2022·上?！ぐ四昙?jí)開(kāi)學(xué)考試）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1，在中，，，．第一步，在邊上找一點(diǎn)，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在處，如圖2，第二步，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在處，如圖3．當(dāng)點(diǎn)恰好在原直角三角形紙片的邊上時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_________．二、解答題3.（浦東四署2020期末23）直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)，在y軸上求一點(diǎn)P，使得是以為直角的直角三角形.4．（2022·上海松江·八年級(jí)期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，正比例函數(shù)的圖像與一個(gè)反比例函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，AB=3．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在直線(xiàn)AB上是否存在點(diǎn)C，使點(diǎn)C到直線(xiàn)OA的距離等于它到點(diǎn)B的距離？若存在，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上，如果△AOP是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．5．（2021·上海市洋涇菊?qǐng)@實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC紙片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按圖所示的方法將△ACD沿AD折疊，使點(diǎn)C恰好落在邊AB上的點(diǎn)C′處，點(diǎn)P是射線(xiàn)AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求折痕AD長(zhǎng)．(2)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AP＝x，DP＝y(tǒng)．求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出此函數(shù)的定義域．(3)當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)．6．（2022·上海浦東新·八年級(jí)期末）某中學(xué)初二年級(jí)游同學(xué)在學(xué)習(xí)了勾股定理后對(duì)《九章算術(shù)》勾股章產(chǎn)生了學(xué)習(xí)興趣．今天，他學(xué)到了勾股章第7題：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問(wèn)索長(zhǎng)幾何？”本題大意是：如圖，木柱，繩索AC比木柱AB長(zhǎng)三尺，BC的長(zhǎng)度為8尺，求：繩索AC的長(zhǎng)度．7．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，有兩條互相垂直的公路，A廠離公路的距離為2千米，離公路的距離為5千米；B廠離公路的距離為11千米，離公路的距離為4千米；現(xiàn)在要在公路上建造一倉(cāng)庫(kù)P，使A廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離與B廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離相等，求倉(cāng)庫(kù)P的位置．鞏固提升鞏固提升1.（松江區(qū)2020期末5）下列條件中不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．兩個(gè)銳角分別對(duì)應(yīng)相等 B．兩條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等 C．一條直角邊和斜邊分別對(duì)應(yīng)相等 D．一個(gè)銳角和一條斜邊分別對(duì)應(yīng)相等2.（金山2020期末4）下列四組數(shù)據(jù)表示三角形的三邊長(zhǎng),其中不能構(gòu)成直角三角形的一組數(shù)據(jù)是()A.1cm,cm,4cm B.5cm,12cm,13cm:C.3cm,4cm,5cm: D.7cm,24cm,25cm3.（市西2020期末4）式子可以理解為（）A.兩點(diǎn)與間的距離 B.兩點(diǎn)與間的距離C.兩點(diǎn)與間的距離 D.兩點(diǎn)與間的鉅離.4.（浦東南片2020期末5）下列各組數(shù)據(jù)是線(xiàn)段長(zhǎng)，其中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）A. B. C.D.5.（徐教院附2019期中6）在銳角△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D、E，AD與BE交于點(diǎn)F，BF＝AC那么∠ABC等于()A.60°B.50°C.48°D.45°6.（浦東新區(qū)2020期末6）如圖，在中，，CD是高，BE平分∠ABC交CD于點(diǎn)E，EF∥AC交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G．在結(jié)論：(1)；(2)；(3)；(4)中，一定成立的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)7.（2019復(fù)附10月考18）如圖，在中，，BE平分，交AD于點(diǎn)E，EF//AC，下列結(jié)論一定成立的是（）A.AB=BF；B.AE=ED；C.AD=DC；C..二、填空題8.（青浦實(shí)驗(yàn)2019期中13）已知直角三角形的一個(gè)銳角為36°，則另一個(gè)銳角的大小為_(kāi)_______________.9.（徐匯龍華2019期中13）如圖，中，已知，DE是AB的垂直平分線(xiàn)，若，那么=_________度.10.（松江區(qū)2020期末13）已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)P（3，2）和Q（﹣1，5），那么PQ＝．11.（浦東新區(qū)2020期末16）如圖，一棵大樹(shù)在離地3米處折斷，樹(shù)頂端落在離樹(shù)桿底部4米處，那么這棵樹(shù)折斷之前的高度是_________米.12.（2019位育10月考18）在中，，CA=CB，AD是中的平分線(xiàn)，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上，如果DE=2CD，那么=.13.（市西2020期末14）如圖，在四邊形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，則∠DAB的度數(shù)是______°．14.（2019曹楊10月考15）如圖，已知，于點(diǎn)D，那么圖中與相等的角是.15.（金山2020期末17）已知△ABC中，∠A=90°，角平分線(xiàn)BE、CF交于點(diǎn)O，則∠BOC=．16.（金山2020期末16）已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)和，則、兩點(diǎn)間的距離等于______．17.（2019華理附10月考18）已知：如圖，在中，且AB=AC，D是邊BC上一點(diǎn)，E是邊AC上一點(diǎn)，AD=AE，若為等腰三角形，則的度數(shù)為.18.（青浦實(shí)驗(yàn)2019期中14）已知，RtΔABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=3，那么AC=________________．19.（松江區(qū)2020期末16）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的長(zhǎng)是．20.（浦東新區(qū)2020期末17）如圖，將等腰繞底角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后得到，如果，那么兩個(gè)三角形的重疊部分面積為_(kāi)___．21.（徐教院附2019期中17）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，則下列結(jié)論:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正確的結(jié)論是____________(填正確結(jié)論的編號(hào))22.（市西2020期末17）如圖，在教學(xué)樓走廊上有一拖把以的傾斜角斜靠在欄桿上，影響了同學(xué)們的行走，小明自覺(jué)地將拖把挪動(dòng)位置，使其傾斜角變?yōu)?如果拖把的長(zhǎng)為2米，則行走的通道拓寬了___________米（結(jié)果保留根號(hào)）.23.（松江區(qū)2020期末17）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC于F，M是CD中點(diǎn)，AM的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，AE⊥AB，∠B＝60°，AF＝，則梯形的面積是．24.（浦東新區(qū)2020期末18）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC邊上一點(diǎn)，BE=3，M為線(xiàn)段AE上一點(diǎn)，射線(xiàn)BM交正方形的一邊于點(diǎn)F，且BF=AE,則BM的長(zhǎng)為_(kāi)___．25.（浦東四署2020期末17）如圖，中，，AC=CB=，，AD=5，CE平分，DE與CE相交于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)等于.26.（松江區(qū)2020期末18）如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝2CD．把△ABC繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m（0＜m＜180）度后，如果點(diǎn)B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，那么m＝．三、解答題27.（浦東南片2020期末21）已知：如圖，中，，平分交于.求的長(zhǎng).28.（松江區(qū)2020期末22）如圖在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度數(shù)．29.（2019浦東一署10月考28）如圖所示：和都是等腰直角三角形，點(diǎn)D在BC上，聯(lián)結(jié)BE、AD，AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交BE于點(diǎn)F.求證：.30.（浦東四署2020期末24）如圖，在中，，CD是斜邊AB上的中線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，交CB于點(diǎn)E，且.（1）求的度數(shù)；（2）求證：BC=3CE.31.（浦東四署2020期末22）如圖，是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB長(zhǎng)為24米，BC長(zhǎng)15米，CD長(zhǎng)為20米，DA長(zhǎng)7米，，求綠地ABCD的面積.32.（青浦實(shí)驗(yàn)2019期中22）已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA.求證：FD⊥BC.33.（金山2020期末22）如圖,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，垂足為E.求證：AB=AC+CD.34.（市西2020期末25）已知：如圖，，分別為垂足，的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，.求證：（1）；（2）.35.（浦東南片2020期末26）已知：如下圖，和中，，為的中點(diǎn)，連接.若，在上取一點(diǎn)，使得，連接交于.（1）求證：.（2）若，求的長(zhǎng).36.（金山2020期末24）已知:如圖,△ABC中,AD⊥BC,點(diǎn)D為垂足,AD=BD,點(diǎn)E在AD上,BE=AC（1）求證:△BDE≌△ADC（2）若M、N分別是BE、AC的中點(diǎn),分別聯(lián)結(jié)DM、DN.求證:DM⊥DN.37.（金山2020期末26）已知:CP是等邊△ABC的外角∠ACE的平分線(xiàn)，點(diǎn)D在邊BC上，以D為頂點(diǎn)，DA為一條邊作∠ADF=60°,另一邊交射線(xiàn)CP于F(1)求證:AD=FD(2)若AB=2,BD=x,DF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式(3)若點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，（1）中的結(jié)論還一定成立嗎？若成立，請(qǐng)證明．38.（浦東四署2020期末26）閱讀下面的材料，然后解答問(wèn)題：我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形.（1）理解并填空：①根據(jù)奇異三角形的定義，請(qǐng)你判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎？（填“是”或“不是”）②若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、、2，則該三角形（填“是”或“不是”）奇異三角形.（2）探究：在，兩邊長(zhǎng)分別是a、c，且，則這個(gè)三角形是否是奇異三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.39.（松江區(qū)2020期末26）已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合，DE∥BC．（1）如圖1，當(dāng)AE＝1時(shí)，求BD長(zhǎng)；（2）如圖2，把△DEA沿著直線(xiàn)DE翻折得到△DEF，設(shè)CE＝x．①當(dāng)點(diǎn)F落在斜邊BC上時(shí)，求x的值；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F落在Rt△ABC外部時(shí)，EF、DF分別與BC相交于點(diǎn)H、G，如果△ABC和△DEF重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域．（直接寫(xiě)出答案）第12講直角三角形（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向1.直角三角形全等的判定圖形定理符號(hào)如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)記：H.L）在中，，2.直角三角形的性質(zhì)定理及推論定理1直角三角形的兩個(gè)銳角互余；定理2直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半.推論1：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于.3.勾股定理圖形名稱(chēng)定理符號(hào)表示邊的定理在直角三角形中，斜邊大于直角邊.在中，勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形.在中，，4.兩點(diǎn)的距離公式①數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)m、n，則AB的距離為.②如果直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)，那么兩點(diǎn)間的距離.考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：直角三角形全等的判定與直角三角形的性質(zhì)一、填空題1．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，則下底BC的長(zhǎng)為_(kāi)_．【答案】7【分析】分別過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，分別利用解直角三角形的知識(shí)得出BE、CF的長(zhǎng)，繼而可得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，∵AB＝4，∠B＝60°，∴∠BAE＝60°，∴BE＝2，同理可得CF＝2，故BC的長(zhǎng)＝BE+EF+FC＝4+AD＝7．故答案為：7【點(diǎn)睛】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，解答本題的關(guān)鍵是求出BE及CF的長(zhǎng)度，要求我們熟練記憶等腰梯形的幾個(gè)性質(zhì)．2．（2022·上海市羅星中學(xué)八年級(jí)期末）已知是等腰三角形，是邊上的高，且，那么此三角形的頂角的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】或者【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分情況討論，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖1，取的中點(diǎn)，連接，，，，，是的中點(diǎn)，，是等邊三角形，，；如圖2，是等腰三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分類(lèi)討論并畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．二、解答題3．（2021·上海普陀·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，(1)用直尺和圓規(guī)分別作∠ACB的平分線(xiàn)、線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)、它們的交點(diǎn)M（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，在圖上清楚地標(biāo)注點(diǎn)M）；(2)過(guò)點(diǎn)M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E、F．求證：BE＝AF．【分析】（1）利用尺規(guī)作出的角平分線(xiàn)，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)即可；（2）證明，可得．(1)解：如圖，點(diǎn)即為所求；(2)解：證明：如圖，連接，，點(diǎn)在的垂直平分線(xiàn)上，，平分，，，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．4．（2021·上海·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，如圖，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，AB＝BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M、N．（1）求證：PM＝PN；（2）聯(lián)結(jié)MN，求證：PD是MN的垂直平分線(xiàn)．【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等證明即可得到答案；（2）利用“HL”證明Rt△PDM≌Rt△PDN，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DM＝DN，然后根據(jù)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理的逆定理即可得到結(jié)論；【詳解】解：(1)∵BD為∠ABC的平分線(xiàn)，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，,∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB，∵點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）；（2）在Rt△PDM和Rt△PDN中，，∴Rt△PDM≌Rt△PDN（HL），∴DM＝DN，∴D在MN的垂直平分線(xiàn)上，∵PM＝PN，∴P在MN的垂直平分線(xiàn)上，∴PD是MN的垂直平分線(xiàn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB和DM=DN是解題的關(guān)鍵．5．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）（1）已知，如圖，在三角形中，AD是BC邊上的高．尺規(guī)作圖：作的平分線(xiàn)（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，寫(xiě)出結(jié)論）﹔（2）在已作圖形中，若l與AD交于點(diǎn)E，且，求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）直接運(yùn)用“角平分線(xiàn)——尺規(guī)作圖”的方法進(jìn)行作圖即可．（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，將AB分成兩部分，再證明ВH=BD，AH=CD，即可求證．【詳解】（1）∠ABC的角平分線(xiàn)如圖所示：（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，ED⊥ВC，∴EH=ED，∵BE=BE，∴△BDE≌△BHE（HL），∵ВH=BD，在Rt△BDE和Rt△ADC中，∴△BDE≌△ADC（HL），∴DE=DC，∴HE=CD，∵AD=BD，∠ADB=90°，∴∠BAD=45°，∵HE⊥AB，∴∠HEA=∠HAE=45°，∴HE=AH=CD，∴BC=BD+CD=BH+AH=AB．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖，掌握全等三角形的判定定理和正確作出輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵．6．（2022·上海市崇明區(qū)橫沙中學(xué)八年級(jí)期末）已知：如圖，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求證：∠AFC＝2∠ADC．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)HL證明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根據(jù)外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】證明：在Rt△ABD與Rt△AED中，，∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），∴∠BAD＝∠EAD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC，∴∠EAD＝∠ADC，∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC，∴∠AFC＝2∠ADC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·上海松江·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．(1)求證：CE=CDBE；(2)如果CE=3BE，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)=．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于F，先根據(jù)AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，得出AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，再證Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），得出BE=DF，然后證明Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）即可；（2）先求出BC=4BE，CD=2BE,，然后S△ABC=，S△ADC=即可．(1)證明：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于F，∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，∴AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴CE=CF，∴CE=CF=CD+DF=CD+BE；(2)解：BC=BE+EC=BE+3BE=4BE，∴S△ABC=，∴CD=CF-FD=CE-BE=3BE-BE=2BE，∴S△ADC=，∴=．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線(xiàn)性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，線(xiàn)段和差倍分，掌握角平分線(xiàn)性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，線(xiàn)段和差倍分是解題關(guān)鍵．8．（2021·上海市南匯第四中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，邊AB的垂直平分線(xiàn)交邊BC于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，取線(xiàn)段BE的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF．求證：AC＝DF．（說(shuō)明：此題的證明過(guò)程需要批注理由）【詳解】先根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得：AE＝BE，再利用直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)得：DF與BE的關(guān)系，最后根據(jù)直角三角形30度的性質(zhì)得AC和AE的關(guān)系，從而得出結(jié)論．【解答】證明：連接AE，∵DE是AB的垂直平分線(xiàn)（已知），∴AE＝BE，∠EDB＝90°（線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)），∴∠EAB＝∠EBA＝15°（等邊對(duì)等角），∴∠AEC＝30°（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），Rt△EDB中，∵F是BE的中點(diǎn)（已知），∴DF＝BE（直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半），Rt△ACE中，∵∠AEC＝30°（已知），∴AC＝AE（直角三角形30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半），∴AC＝DF（等量代換）．【點(diǎn)睛】本題考查中垂線(xiàn)的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的邊與斜邊之間的關(guān)系，能夠熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．9．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，已知G是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（G點(diǎn)不與A、B點(diǎn)重合），且GEAC，GFBC，若AG＝x，S△GEF＝y(tǒng)．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)定義域；(2)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使△GEF成為直角三角形，若能，請(qǐng)求出AG長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使四邊形GFEB構(gòu)成平行四邊形，若能，直接寫(xiě)出S△GEF的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明由．【答案】(1)（）(2)或(3)能，【分析】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FD⊥GE于點(diǎn)D．由題意易得△AFG，△BEG都是等邊三角形，則可得及FG、EG，可求得FD，則可得y與x的關(guān)系；（2）點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能使△GEF成為直角三角形；分兩種情況考慮：；，利用30度角直角三角形的性質(zhì)即可求得AG的值；（3）若四邊形GFEB構(gòu)成平行四邊形，則△CEF是等邊三角形，△FEG是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可求得△FEG的邊長(zhǎng)，則可求得其面積．(1)如圖，過(guò)點(diǎn)F作FD⊥GE于點(diǎn)D．∵△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且GE∥AC，GF∥BC，∴△AFG是等邊三角形，△BEG是等邊三角形，∴，，，∴在中，∠DFG=30°，∴，由勾股定理得：，∴（）；(2)當(dāng)時(shí)，∵，∴，即，解得：；當(dāng)時(shí)，∵，∴，即，解得：；綜上所述：或；(3)若四邊形GFEB構(gòu)成平行四邊形，則△CEF是等邊三角形，△FEG是等邊三角形，∴，由（1）知，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．10．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，連接BD、EC，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，連接BM、DM．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在AC、AB上時(shí)，求證：△BMD為等腰直角三角形；(2)如圖2，將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，使點(diǎn)D落在AB上，此時(shí)（1）中的結(jié)論“△BMD為等腰直角三角形”還成立嗎？請(qǐng)對(duì)你的結(jié)論加以證明；(3)如圖3，將圖2中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)成立，證明見(jiàn)解析；(3)成立，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)∠ABC=∠CDE=90°，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半，可得BM=DM=MC，即有∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，則可得∠MBC+∠MDC=∠MCB+∠MCD=∠ACB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠ACB=245=90，即可證得△BMD為等腰直角三角形；（2）延長(zhǎng)DM交BC于N，先證明△EMD≌△CMN，即有DM=MN，ED=CN，進(jìn)而有AD=CN，BD=BN，則有BM=DN=DM，可得BM⊥DN，即∠BMD=90，則有△BMD為等腰直角三角形；（3）作交DM延長(zhǎng)線(xiàn)于N，連接BN，先證明△EMD≌△CMN，根據(jù)（2）的方法同理可證得△BMD為等腰直角三角形．(1)∵∠ABC=∠CDE=90°，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，∴BM=MC=EC，DM=MC=EC，∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，∴∠MBC+∠MDC=∠MCB+∠MCD=∠ACB，∵∠EMB=∠MBC+∠MCB，∠EMD=∠MDC+∠MCD，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=∠MBC+∠MCB+∠MDC+∠MCD=2∠ACB=245=90，∴△BMD為等腰直角三角形；(2)成立；如圖1，延長(zhǎng)DM交BC于N，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90，∴∠EDB=∠DBC，∴，∴∠DEM=∠NCM，∵M(jìn)為EC中點(diǎn)，∴EM=CM，又∠EMD=∠CMN，∴△EMD≌△CMN，∴DM=MN，ED=CN，∴AD=CN，∴BD=BN，∴BM=DN=DM，∴BM⊥DN，即∠BMD=90，∴△BMD為等腰直角三角形；(3)成立；如圖2，作交DM延長(zhǎng)線(xiàn)于N，連接BN，∵，∴∠BAC=∠MCN=45，∴∠E=∠MCN=45，∵∠DME=∠NMC，EM=CM，∴△EMD≌△CMN，∴CN=DE=AD，MN=DM，又∵∠DAB=180-45-45=90，∠BCN=45+45=90，∴∠DAB=∠BCN，又BA＝BC，∴△DBA≌△NBC(SAS)，∴∠DBA=∠NBC，BD=BN；∴∠DBN=∠ABC=90，∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊中線(xiàn)，∴BM⊥DM，∠DBM=∠BDM=45，BM=DM=MN，即△BMD為等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題是一道三角形的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識(shí)，充分利用直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．11.（浦東新區(qū)2020期末25）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線(xiàn)段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線(xiàn)段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】結(jié)論：（1）60；（2）AD=BE；應(yīng)用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；【解析】解：探究：（1）在△CDA≌△CEB中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△CDA≌△CEB，∴∠CEB=∠CDA=120°，又∠CED=60°，∴∠AEB=120°－60°=60°；（2）∵△CDA≌△CEB，∴AD=BE；應(yīng)用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°．∴∠AEB=∠BEC－∠CED=135°－45°=90°．在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM．∴AE=DE+AD=2CM+BE．考點(diǎn)二：勾股定理與兩點(diǎn)的距離公式一、填空題1．（2022·上海市崇明區(qū)橫沙中學(xué)八年級(jí)期末）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)、，且，那么m的值是________．【答案】【分析】由、，再根據(jù)長(zhǎng)度公式可得出AB的距離表達(dá)式，由即可求得的值．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用勾股定理求兩點(diǎn)距離，掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解決此題的關(guān)鍵．2．（2022·上?！ぐ四昙?jí)開(kāi)學(xué)考試）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1，在中，，，．第一步，在邊上找一點(diǎn)，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在處，如圖2，第二步，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在處，如圖3．當(dāng)點(diǎn)恰好在原直角三角形紙片的邊上時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】或【分析】因?yàn)辄c(diǎn)恰好在原直角三角形紙片的邊上，所以分為當(dāng)落在邊上和邊上兩種情況分析，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：當(dāng)落在邊上時(shí)，如圖（1）：設(shè)交于點(diǎn)，由折疊知：,,,，，設(shè)，則在中，在中，即．當(dāng)落在邊上時(shí)，如圖（2）因?yàn)檎郫B，．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)變換，勾股定理，直角三角形中的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．二、解答題3.（浦東四署2020期末23）直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)，在y軸上求一點(diǎn)P，使得是以為直角的直角三角形.【答案】；【解析】解：設(shè)，由勾股定理得：，，，因?yàn)?，所以即，解得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為4．（2022·上海松江·八年級(jí)期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，正比例函數(shù)的圖像與一個(gè)反比例函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，AB=3．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在直線(xiàn)AB上是否存在點(diǎn)C，使點(diǎn)C到直線(xiàn)OA的距離等于它到點(diǎn)B的距離？若存在，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上，如果△AOP是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)的坐標(biāo)為：或或或【分析】（1）先求解的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式，從而可得答案；（2）分兩種情況討論：如圖，作的角平分線(xiàn)交于過(guò)作于而軸，則如圖，作的角平分線(xiàn)交于過(guò)作于交軸于則再利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)與全等三角形的性質(zhì)，勾股定理可得答案；（3）畫(huà)出圖形，分4種情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理可得答案.(1)解：AB⊥x軸，AB=3，則設(shè)反比例函數(shù)為所以反比例函數(shù)為(2)解：存在，或；理由如下：如圖，作的角平分線(xiàn)交于過(guò)作于而軸，則則而如圖，作的角平分線(xiàn)交于過(guò)作于交軸于則而而設(shè)解得：綜上：或(3)解：如圖，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)解得：綜上：的坐標(biāo)為：或或或【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)的解析式，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡(jiǎn)與二次根式的除法運(yùn)算，熟練的運(yùn)用以上知識(shí)解題是關(guān)鍵.5．（2021·上海市洋涇菊?qǐng)@實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC紙片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按圖所示的方法將△ACD沿AD折疊，使點(diǎn)C恰好落在邊AB上的點(diǎn)C′處，點(diǎn)P是射線(xiàn)AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求折痕AD長(zhǎng)．(2)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AP＝x，DP＝y(tǒng)．求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出此函數(shù)的定義域．(3)當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為(3)PA的值為或或6【分析】（1）根據(jù)題意由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，設(shè)CD=DC′=x，在Rt△BDC中，根據(jù)BD2=C′D2+C′B2，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)題意直接利用勾股定理進(jìn)行分析即可解決問(wèn)題；（3）根據(jù)題意分三種情形：①PA=PD，②AP=AD，③當(dāng)PD=AD時(shí)，分別求解即可．(1)解：如圖1中，由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，設(shè)CD=DC′=x，在Rt△BDC中，∵BD2=C′D2+C′B2，∴（4-x）2=x2+22，解得：x=，∴．(2)如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在C'D左側(cè)，AC=AC'=3，則PC'=3-x，∵，∴．當(dāng)點(diǎn)P在C'D右側(cè)，同理可得．∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為．(3)如圖3中，①當(dāng)PA=PD時(shí)，設(shè)PA=PD=m，在Rt△PCD中，∵PD2=DC′2+C′P2，∴，解得：，∴PA=．②當(dāng)AD=AP′=時(shí)，即P在P′時(shí)，△ADP是等腰三角形，③當(dāng)PD=AD時(shí)，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上．如圖4，AP=2AC'=6．綜上所述，滿(mǎn)足條件的PA的值為或或6．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)由分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題．6．（2022·上海浦東新·八年級(jí)期末）某中學(xué)初二年級(jí)游同學(xué)在學(xué)習(xí)了勾股定理后對(duì)《九章算術(shù)》勾股章產(chǎn)生了學(xué)習(xí)興趣．今天，他學(xué)到了勾股章第7題：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問(wèn)索長(zhǎng)幾何？”本題大意是：如圖，木柱，繩索AC比木柱AB長(zhǎng)三尺，BC的長(zhǎng)度為8尺，求：繩索AC的長(zhǎng)度．【答案】繩索長(zhǎng)是尺【分析】設(shè)，則，由勾股定理及即可求解．【詳解】設(shè)，則，在中，，∴，解得：，答：繩索長(zhǎng)是尺．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理得應(yīng)用，用題意列出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．7．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，有兩條互相垂直的公路，A廠離公路的距離為2千米，離公路的距離為5千米；B廠離公路的距離為11千米，離公路的距離為4千米；現(xiàn)在要在公路上建造一倉(cāng)庫(kù)P，使A廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離與B廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離相等，求倉(cāng)庫(kù)P的位置．【答案】倉(cāng)庫(kù)P在公路上，且在公路的右側(cè)，離公路的距離為6千米處.【分析】以直線(xiàn)建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題述可得A廠，B廠所在點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)倉(cāng)庫(kù)P所在點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0)，根據(jù)“A廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離與B廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離相等”列出方程，求解，根據(jù)方程的解可得出倉(cāng)庫(kù)P的位置．【詳解】解：為兩條互相垂直的公路，以建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖，根據(jù)題意可知,設(shè)P(x,0)，則整理得：，解得．故倉(cāng)庫(kù)P在公路上，且在公路的右側(cè)，離公路的距離為6千米處．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)之間的距離公式．能建立合適的直角坐標(biāo)系，并根據(jù)“A廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離與B廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離相等”列出方程是解決此題的關(guān)鍵．鞏固提升鞏固提升1.（松江區(qū)2020期末5）下列條件中不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．兩個(gè)銳角分別對(duì)應(yīng)相等 B．兩條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等 C．一條直角邊和斜邊分別對(duì)應(yīng)相等 D．一個(gè)銳角和一條斜邊分別對(duì)應(yīng)相等【答案】A；【解析】解：A、兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，不能說(shuō)明兩三角形能夠完全重合，符合題意；B、可以利用邊角邊判定兩三角形全等，不符合題意；C、可以利用邊角邊或HL判定兩三角形全等，不符合題意；D、可以利用角角邊判定兩三角形全等，不符合題意．故選：A．2.（金山2020期末4）下列四組數(shù)據(jù)表示三角形的三邊長(zhǎng),其中不能構(gòu)成直角三角形的一組數(shù)據(jù)是()A.1cm,cm,4cm B.5cm,12cm,13cm:C.3cm,4cm,5cm: D.7cm,24cm,25cm【答案】A；【解析】解：A、∵12+()2=9=32≠42，∴不能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)正確；B、∵52+122=169=132，∴能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵32+42=25=52，∴能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵72+242=625=22，∴能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A．3.（市西2020期末4）式子可以理解為（）A.兩點(diǎn)與間的距離 B.兩點(diǎn)與間的距離C.兩點(diǎn)與間的距離 D.兩點(diǎn)與間的鉅離.【答案】D；【解析】解：∴式子可以理解為兩點(diǎn)與間的距離.故選：D.4.（浦東南片2020期末5）下列各組數(shù)據(jù)是線(xiàn)段長(zhǎng)，其中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）A. B. C.D.【答案】D；【解析】解：A.，此三角形是直角三角形，故不符合題意；B.，此三角形是直角三角形，故不符合題意；C.，此三角形是直角三角形，故不符合題意；D.，此三角形不是直角三角形，故符合題意；故選：D.5.（徐教院附2019期中6）在銳角△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D、E，AD與BE交于點(diǎn)F，BF＝AC那么∠ABC等于()A.60°B.50°C.48°D.45°【答案】D；【解析】解：如圖，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=∠C+∠CAD，∴∠DBF=∠DAC，在△BDF和△ADC中，∴△BDF≌△ADC(AAS)，∴BD=AD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.故選D.6.（浦東新區(qū)2020期末6）如圖，在中，，CD是高，BE平分∠ABC交CD于點(diǎn)E，EF∥AC交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G．在結(jié)論：(1)；(2)；(3)；(4)中，一定成立的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B；【解析】解：∵EF∥AC，∠BCA=90°，∴∠CGE=∠BCA=90°，∴∠BCD+∠CEG=90°，又∵CD是高，∴∠EFD+∠FED=90°，∵∠CEG=∠FED（對(duì)頂角相等），∴∠EFD=∠BCD，故（1）正確；只有∠A=45°，即△ABC是等腰直角三角形時(shí)，AD=CD，CG=EG而立，故（2）（3）不一定成立，錯(cuò)誤；∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠EBF，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（AAS），∴BF=BC，故（4）正確，綜上所述，正確的有（1）（4）共2個(gè)．故選：B．7.（2019復(fù)附10月考18）如圖，在中，，BE平分，交AD于點(diǎn)E，EF//AC，下列結(jié)論一定成立的是（）A.AB=BF；B.AE=ED；C.AD=DC；C..【答案】A；【解析】解：易知，又EF//AC，所以，故，又BE平分，所以，又BE=BE，所以，所以AB=BF，故A正確；B、C、D不一定正確，故答案選A.二、填空題8.（青浦實(shí)驗(yàn)2019期中13）已知直角三角形的一個(gè)銳角為36°，則另一個(gè)銳角的大小為_(kāi)_______________.【答案】54°；【解析】解：設(shè)另一銳角為x，則，所以，故答案為54°．9.（徐匯龍華2019期中13）如圖，中，已知，DE是AB的垂直平分線(xiàn)，若，那么=_________度.【答案】54°；【解析】解：∵DE是AB的垂直平分線(xiàn)，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵，∴設(shè)∠DAC=x，則∠B=∠DAB=2x，∵，∴x+2x+2x=90°，解得：x=18°，∴=3x=54°.故答案為54°.10.（松江區(qū)2020期末13）已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)P（3，2）和Q（﹣1，5），那么PQ＝．【答案】5；【解析】解：∵P（3，2）和Q（﹣1，5），∴PQ＝，故答案為：511.（浦東新區(qū)2020期末16）如圖，一棵大樹(shù)在離地3米處折斷，樹(shù)頂端落在離樹(shù)桿底部4米處，那么這棵樹(shù)折斷之前的高度是_________米.【答案】8；【解析】解：根據(jù)題意可得樹(shù)頂端到折斷處的長(zhǎng)為=5米，則這棵樹(shù)折斷之前的高度是5+3=8米.12.（2019位育10月考18）在中，，CA=CB，AD是中的平分線(xiàn)，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上，如果DE=2CD，那么=.【答案】或；【解析】解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，則DF=DC；當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上時(shí)，因?yàn)镈E=2DC=2DF，故，而，所以；當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同理可得：；故.13.（市西2020期末14）如圖，在四邊形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，則∠DAB的度數(shù)是______°．【答案】135°;【解析】解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，∴AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴設(shè)AB＝2x，則BC＝2x，CD=3x，DA=x,∴AC2=AB2+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2,又CD2-AD2=(3x)2-x2=8x2,∴AC2=CD2-AD2,∵AC2+AD2=CD2,∴ΔACD是直角三角形，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．14.（2019曹楊10月考15）如圖，已知，于點(diǎn)D，那么圖中與相等的角是.【答案】；【解析】解：因?yàn)椋?；又，所以，所?15.（金山2020期末17）已知△ABC中，∠A=90°，角平分線(xiàn)BE、CF交于點(diǎn)O，則∠BOC=．【答案】135°【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵角平分線(xiàn)BE、CF交于點(diǎn)O，∴∠OBC+∠OCB=45°，∴∠BOC=180°﹣45°=135°．故答案為135°．16.（金山2020期末16）已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)和，則、兩點(diǎn)間的距離等于______．【答案】;【解析】解：∵直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)

A（?3，1）和B（3，?1），∴A、B兩點(diǎn)間的距離等于，故答案為．17.（2019華理附10月考18）已知：如圖，在中，且AB=AC，D是邊BC上一點(diǎn)，E是邊AC上一點(diǎn)，AD=AE，若為等腰三角形，則的度數(shù)為.【答案】或；【解析】解：設(shè)，則，又AD=AE，所以.（1）當(dāng)AB=BD時(shí)，，所以，解得；（2）當(dāng)BD=DA時(shí)，，則，解得；故.18.（青浦實(shí)驗(yàn)2019期中14）已知，RtΔABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=3，那么AC=________________．【答案】；【解析】解：設(shè)AC=x．∵∠C=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2x．又∵BC==3，∴x=，∴AC=．故答案為．19.（松江區(qū)2020期末16）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的長(zhǎng)是．【答案】cm.【解析】解：作DE⊥AB于E，由勾股定理得，AB＝＝15，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴CD＝ED，AE＝AC＝9，∴BE＝AB﹣AE＝6，在Rt△BED中，BD2＝DE2+BE2，即，解得，BD＝cm．20.（浦東新區(qū)2020期末17）如圖，將等腰繞底角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后得到，如果，那么兩個(gè)三角形的重疊部分面積為_(kāi)___．【答案】；【解析】解：設(shè)B′C′與AB相交于點(diǎn)D，如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC=45°，∵旋轉(zhuǎn)角為15°，∴∠CAC′=15°，∴∠C′AD=∠BAC-∠CAC′=45°-15°=30°，∴AD=2C′D，在Rt△AC′D中，根據(jù)勾股定理，AC′2+C′D2=AD2，即12+C′D2=4C′D2，解得C′D=，∴重疊部分的面積=．21.（徐教院附2019期中17）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，則下列結(jié)論:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正確的結(jié)論是____________(填正確結(jié)論的編號(hào))【答案】①②③;【解析】解：∵BD⊥CF，AF⊥CF，∴∠BDC=∠AFC=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACF=∠CBD，故①正確；在△ACF和△CBD中，，∴△ACF≌△CBD，∴BD＝FC，CD=AF，故結(jié)論②正確∴FC＝FD+CD=FD+AF，故結(jié)論③正確，∵在Rt△AEF中，AE>AF，∴AE>CD，故結(jié)論④錯(cuò)誤.綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③.22.（市西2020期末17）如圖，在教學(xué)樓走廊上有一拖把以的傾斜角斜靠在欄桿上，影響了同學(xué)們的行走，小明自覺(jué)地將拖把挪動(dòng)位置，使其傾斜角變?yōu)?如果拖把的長(zhǎng)為2米，則行走的通道拓寬了___________米（結(jié)果保留根號(hào)）.【答案】;【解析】解：∵AB=CD=2，∠ABO=45°，∠CDO=60°，∴BO=AB?cos45°=；DO=CD?cos60°=．則BD=BO-DO=．所以小明拓寬了行路通道米．23.（松江區(qū)2020期末17）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC于F，M是CD中點(diǎn)，AM的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，AE⊥AB，∠B＝60°，AF＝，則梯形的面積是．【答案】；【解析】解：設(shè)BF＝x，在Rt△ABF中，∠B＝60°，∴∠BAF＝30°，∴AB＝2BF＝2x，由勾股定理得，（2x）2﹣x2＝（）2，解得，x＝2，∴AB＝4，在Rt△ABE中，∠B＝60°，∴∠AEB＝30°，∴BE＝2AB＝8，∵AD∥BC，∴∠DAM＝∠CEM，在△DAM和△CEM中，，∴△DAM≌△CEM（AAS），∴AD＝CE，∴AD+BC＝CE+BC＝BE＝8，∴梯形的面積＝×（AD+BC）×AF＝．24.（浦東新區(qū)2020期末18）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC邊上一點(diǎn)，BE=3，M為線(xiàn)段AE上一點(diǎn)，射線(xiàn)BM交正方形的一邊于點(diǎn)F，且BF=AE,則BM的長(zhǎng)為_(kāi)___．【答案】或；【解析】解：如圖，當(dāng)BF如圖位置時(shí)，∵AB=AB，∠BAF=∠ABE=90°，AE=BF，∴△ABE≌△BAF（HL），∴∠ABM=∠BAM，∴AM=BM，AF=BE=3，∵AB=4，BE=3，∴AE=，過(guò)點(diǎn)M作MS⊥AB，由等腰三角形的性質(zhì)知，點(diǎn)S是AB的中點(diǎn)，BS=2，SM是△ABE的中位線(xiàn)，∴BM=AE=×5=，當(dāng)BF為BG位置時(shí)，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，∴BG=AE=5，∠AEB=∠BGC，∴△BHE∽△BCG，∴BH：BC=BE：BG，∴BH=．故答案是：或．25.（浦東四署2020期末17）如圖，中，，AC=CB=，，AD=5，CE平分，DE與CE相交于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)等于.【答案】3;【解析】可知：AB=8，延長(zhǎng)DE、CE交AB于G、F.因?yàn)镃E平分，AC=CB=，所以，因?yàn)?，所以為等邊三角形，故AG=DG=AD=5，，因此FG=1，在中，EG=2FG=2，故DE=5-2=3.26.（松江區(qū)2020期末18）如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝2CD．把△ABC繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m（0＜m＜180）度后，如果點(diǎn)B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，那么m＝．【答案】70°或120°；【解析】解：①當(dāng)點(diǎn)B落在AB邊上時(shí)，∵DB＝DB1，∴∠B＝∠DB1B＝55°，∴m＝∠BDB1＝180°﹣2×55°＝70°，②當(dāng)點(diǎn)B落在AC上時(shí)，在RT△DCB2中，∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，∴∠CB2D＝30°，∴m＝∠C+∠CB2D＝120°，故答案為70°或120°．三、解答題27.（浦東南片2020期末21）已知：如圖，中，，平分交于.求的長(zhǎng).【答案】5;【解析】解：過(guò)D作于點(diǎn)E.∵中，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè),則,中,∴，∴x=5，∴.28.（松江區(qū)2020期末22）如圖在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度數(shù)．【答案】135°；【解析】解：如圖示，連接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝，∠BAC＝45°，又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，∴AC2+DA2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴∠DAB＝45°+90°＝135°．故∠DAB的度數(shù)為135°．29.（2019浦東一署10月考28）如圖所示：和都是等腰直角三角形，點(diǎn)D在BC上，聯(lián)結(jié)BE、AD，AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交BE于點(diǎn)F.求證：.【答案與解析】解：因?yàn)槭堑妊苯侨切危ㄒ阎訟C=BC，（等腰直角三角形的定義）；因?yàn)槭堑妊苯侨切危ㄒ阎?，所以CD=CE，（等腰直角三角形的定義）；在中，，所以，所以（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）；因?yàn)橹?，，中，（三角形?nèi)角和為），（對(duì)頂角相等），所以（等式的性質(zhì)），所以（垂直的意義）.30.（浦東四署2020期末24）如圖，在中，，CD是斜邊AB上的中線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，交CB于點(diǎn)E，且.（1）求的度數(shù)；（2）求證：BC=3CE.【答案與解析】解：（1），，，，因?yàn)镃D是斜邊AB上的中線(xiàn)，所以CD=BD，所以，所以，，所以.（2），所以AE=BE，，所以BC=3CE.31.（浦東四署2020期末22）如圖，是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB長(zhǎng)為24米，BC長(zhǎng)15米，CD長(zhǎng)為20米，DA長(zhǎng)7米，，求綠地ABCD的面積.【答案】234（平方米）【解析】解：聯(lián)結(jié)BD.因?yàn)锽C長(zhǎng)15米，CD長(zhǎng)為20米，，所以=25米，在中，BD=25米，AB=24米，AD=7米，，所以，所以是直角三角形.故=84+150=234（平方米）答：綠地ABCD的面積為234平方米.32.（青浦實(shí)驗(yàn)2019期中22）已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA.求證：FD⊥BC.【答案與解析】解：∵BE⊥CD，∴∠CEB=∠AED=90°，在Rt△BEC和Rt△DEA中，，∴Rt△BEC≌Rt△DEA（HL），∴∠CBE=∠ADC，∵∠CBE+∠C=90°，∴∠ADC+∠C=90°，∴DF⊥BC.33.（金山2020期末22）如圖,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，垂足為E.求證：AB=AC+CD.【答案與解析】證明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，∴∠ABC=45°，又∵DE⊥AB，垂足為E，∴∠B=∠EDB