蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典專題2.4線段、角的軸對(duì)稱性特訓(xùn)(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題2.4線段、角的軸對(duì)稱性【名師點(diǎn)睛】角平分線的性質(zhì)：二、角平分線的判定三、線段垂直平分線的性質(zhì)四、線段垂直平分線的【典例剖析】【例1】（2019秋?廣陵區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BE＝FC．求證：BD＝DF．【變式1】（2021秋?如皋市期中）如圖，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線，將三角尺的直角頂點(diǎn)P在射線OM上滑動(dòng)，兩直角邊分別與OA，OB交于點(diǎn)C和D，證明：PC＝PD．【例2】（2019秋?新北區(qū)期中）作圖題：在∠ABC內(nèi)找一點(diǎn)P，使它到∠ABC的兩邊的距離相等，并且到點(diǎn)A、C的距離也相等．（寫(xiě)出作法，保留作圖痕跡）【例3】（2021秋?丹陽(yáng)市期中）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．已知△ADE的周長(zhǎng)為13cm．（1）求線段BC；（2）分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長(zhǎng)為27cm，則OA的長(zhǎng)為cm．【變式3】（2021秋?高港區(qū)月考）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交線段AB，BC于點(diǎn)M，P，AC的垂直平分線分別交線段AC，BC于點(diǎn)N，Q．（1）如圖，當(dāng)∠BAC＝80°時(shí)，求∠PAQ的度數(shù)；（2）當(dāng)∠BAC滿足什么條件時(shí)，AP⊥AQ，說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，BC＝10，求△APQ的周長(zhǎng)．

【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?靖江市期末）如果用一根手指頂在一塊質(zhì)地均勻的三角形薄板的（）處，這塊薄板就能保持平衡．A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn) C．三條高線所在直線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)2．（2021秋?江都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，若∠BAC＝114°，則∠EAF為（）A．40° B．44° C．48° D．52°3．（2021秋?錫山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，若△ABC的周長(zhǎng)為19cm，AE＝3cm，則△ACD的周長(zhǎng)為（）A．22cm B．19cm C．13cm D．7cm4．（2021秋?徐州期中）如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝10，DE＝3，則△BCE的面積為（）A．16 B．15 C．14 D．135．（2021秋?崇川區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若AB＝8，△ABD的面積為16，則CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．86．（2021秋?常州期末）如圖，∠ABC、∠ACE的平分線BP、CP交于點(diǎn)P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分別為F、G，下列結(jié)論：①S△ABP：S△BCP＝AB：BC；②∠APB+∠ACP＝90°；③∠ABC+2∠APC＝180°，其中正確的結(jié)論有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)7．（2021秋?崇川區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接AE．若AD＝3，△ACE的周長(zhǎng)為13，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．19 B．16 C．29 D．188．（2020秋?天寧區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線DE，分別與AB邊和AC邊交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，BC邊的垂直平分線FG，分別與BC邊和AC邊交于點(diǎn)F和點(diǎn)G，又△BEG的周長(zhǎng)為16，且GE＝1，則AC的長(zhǎng)為（）A．16 B．15 C．14 D．139．（2020秋?射陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，連接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，點(diǎn)P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DP的最小值是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.510．（2021秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．填空題（共8小題）11．（2020秋?玄武區(qū)校級(jí)期中）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說(shuō)：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”小明的做法，其理論依據(jù)是．12．（2022?廣陵區(qū)一模）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，如果AC＝6cm，BC＝8cm，則DE的長(zhǎng)為cm．13．（2022?宿城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，則∠EAC＝．14．（2021秋?如皋市期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，BC＝7cm，對(duì)角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為cm2．15．（2021秋?蘇州期中）如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M，N兩點(diǎn)，∠ACB＝135°，則∠MCN＝度．16．（2021秋?錫山區(qū)期末）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是10，∠B和∠C的平分線交于P點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作BC的垂線交BC于點(diǎn)D，且PD＝2，則△ABC的面積是．17．（2021秋?泰興市期末）如圖，在銳角△ABC中、∠A＝80°，DE和DF分別垂直平分邊AB、AC，則∠DBC的度數(shù)為°．18．（2018秋?惠山區(qū)期中）如圖，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線MN分別交AB、BC于點(diǎn)M、N．若M在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，則∠APC的度數(shù)為三．解答題（共6小題）19．（2019秋?泰興市期中）如圖：已知OA和OB兩條公路，以及C、D兩個(gè)村莊，建立一個(gè)車站P，使車站到兩個(gè)村莊距離相等即PC＝PD，且P到OA，OB兩條公路的距離相等．20．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AH⊥BC，垂足為H，且BH＝CH，E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，分別交BC，AC于F，M．（1）求證∠B＝∠C；（2）若AB＝5，AH＝3，AE＝2，求MF的長(zhǎng)．21．（2021秋?南京期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O．（1）求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上：（2）若AB＝AC＝10，BC＝12，則OA＝．22．（2021秋?儀征市期中）如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC交AB于M、N．（1）若AB＝12cm，求△MCN的周長(zhǎng)；（2）若∠ACB＝118°，求∠MCN的度數(shù)．23．（2021秋?靖江市校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高．（1）試說(shuō)明AD垂直平分EF；（2）若AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15，求DE的長(zhǎng)．24．（2021秋?虎丘區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E、F．（1）求證：PE＝PF；（2）若∠BAC＝60°，連接AP，求∠EAP的度數(shù)．【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題2.4線段、角的軸對(duì)稱性【名師點(diǎn)睛】角平分線的性質(zhì)：二、角平分線的判定三、線段垂直平分線的性質(zhì)四、線段垂直平分線的【典例剖析】【例1】（2019秋?廣陵區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BE＝FC．求證：BD＝DF．【分析】因?yàn)椤螩＝90°，DE⊥AB，所以∠C＝∠DEB，又因?yàn)锳D平分∠BAC，所以CD＝DE，已知BE＝FC，則可根據(jù)SAS判定△CDF≌△EDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，，∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．【變式1】（2021秋?如皋市期中）如圖，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線，將三角尺的直角頂點(diǎn)P在射線OM上滑動(dòng)，兩直角邊分別與OA，OB交于點(diǎn)C和D，證明：PC＝PD．【分析】過(guò)點(diǎn)P點(diǎn)作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根據(jù)垂直的定義得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是∠AOB的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PE＝PF，利用四邊形內(nèi)角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，則∠PCE＝∠PDF，然后根據(jù)“AAS”可判斷△PCE≌△PDF，根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到PC＝PD．【解答】證明：過(guò)點(diǎn)P點(diǎn)作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如圖，∴∠PEC＝∠PFD＝90°，∵OM是∠AOB的平分線，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF，在△PCE和△PDF中，∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PC＝PD．【例2】（2019秋?新北區(qū)期中）作圖題：在∠ABC內(nèi)找一點(diǎn)P，使它到∠ABC的兩邊的距離相等，并且到點(diǎn)A、C的距離也相等．（寫(xiě)出作法，保留作圖痕跡）【分析】先作出∠ABC的角平分線，再連接AC，作出AC的垂直平分線，兩條平分線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)．【解析】①以B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交BC、AB于D、E兩點(diǎn)；②分別以D、E為圓心，以大于DE為半徑畫(huà)圓，兩圓相交于F點(diǎn)；③連接BF，則直線BF即為∠ABC的角平分線；⑤連接AC，分別以A、C為圓心，以大于AC為半徑畫(huà)圓，兩圓相交于H，G兩點(diǎn)；⑥連接GH交BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求．【例3】（2021秋?丹陽(yáng)市期中）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．已知△ADE的周長(zhǎng)為13cm．（1）求線段BC；（2）分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長(zhǎng)為27cm，則OA的長(zhǎng)為7cm．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA＝DB，EA＝EC，即可得到BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13cm；（2）由BC＝13結(jié)合OB+OC+BC＝27得到OB+OC＝14，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得OA＝OB＝OC，繼而求得OA的長(zhǎng)．【解析】（1）∵OM是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，同理，EA＝EC，∵△ADE的周長(zhǎng)13，∴AD+DE+EA＝13，∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13（cm）；（2）連接OB，OC，∵△OBC的周長(zhǎng)為27，∴OB+OC+BC＝27，∵BC＝13，∴OB+OC＝14，∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB，同理，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝7（cm），故答案為：7．【變式3】（2021秋?高港區(qū)月考）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交線段AB，BC于點(diǎn)M，P，AC的垂直平分線分別交線段AC，BC于點(diǎn)N，Q．（1）如圖，當(dāng)∠BAC＝80°時(shí)，求∠PAQ的度數(shù)；（2）當(dāng)∠BAC滿足什么條件時(shí)，AP⊥AQ，說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，BC＝10，求△APQ的周長(zhǎng)．【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C，再利用三角形內(nèi)角和可得∠BAC的度數(shù)；（3）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)可得AP＝BP，AQ＝CQ，然后求出△APQ周長(zhǎng)等于BC，從而得解．【解析】（1）∵M(jìn)P、NQ分別是AB、AC的垂直平分線，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，∵AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∴∠PAQ＝∠BAP+∠CAQ﹣∠BAC＝∠B+∠C﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°；（2）如圖，∵AP⊥AQ，∴∠PAQ＝90°，由（1）得，∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，∠BAP+∠CAQ＝∠BAC﹣90°，∴180°﹣∠BAC＝∠BAC﹣90°，∴∠BAC＝135°；答：當(dāng)∠BAC＝135°時(shí)，AP⊥AQ；（3）∵△APQ周長(zhǎng)＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+QC＝BC，∵BC＝10，∴△APQ周長(zhǎng)＝10．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?靖江市期末）如果用一根手指頂在一塊質(zhì)地均勻的三角形薄板的（）處，這塊薄板就能保持平衡．A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn) C．三條高線所在直線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)題意得：支撐點(diǎn)應(yīng)是三角形的重心．根據(jù)三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)即可得出答案．【解析】∵三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，∴如果用一根手指頂在一塊質(zhì)地均勻的三角形薄板的重心處，這塊薄板就能保持平衡．故選：B．2．（2021秋?江都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，若∠BAC＝114°，則∠EAF為（）A．40° B．44° C．48° D．52°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【解析】在△ABC中，∠BAC＝114°，則∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°，∵EG是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理：∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，故選：C．3．（2021秋?錫山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，若△ABC的周長(zhǎng)為19cm，AE＝3cm，則△ACD的周長(zhǎng)為（）A．22cm B．19cm C．13cm D．7cm【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，AB＝2AE＝6（cm），根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【解析】∵△ABC的周長(zhǎng)為19cm，∴AB+AC+BC＝19cm，∵DE是AB的垂直平分線，AE＝3cm，∴DA＝DB，AB＝2AE＝6（cm），∴AC+BC＝19﹣6＝13（cm），∴△ACD的周長(zhǎng)＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝13（cm），故選：C．4．（2021秋?徐州期中）如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝10，DE＝3，則△BCE的面積為（）A．16 B．15 C．14 D．13【分析】過(guò)E作EEF⊥BC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出EF＝DE＝3，根據(jù)三角形面積公式求出即可．【解析】過(guò)E作EF⊥BC于F，∵CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，∴EF＝DE＝3，∵BC＝10，∴△BCE的面積為＝15，故選：B．5．（2021秋?崇川區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若AB＝8，△ABD的面積為16，則CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)三角形的面積公式求出DE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出CD．【解析】作DE⊥AB于E，如圖所示：則×AB×DE＝16，即×8×DE＝16，解得，DE＝4，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE＝4，故選：B．6．（2021秋?常州期末）如圖，∠ABC、∠ACE的平分線BP、CP交于點(diǎn)P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分別為F、G，下列結(jié)論：①S△ABP：S△BCP＝AB：BC；②∠APB+∠ACP＝90°；③∠ABC+2∠APC＝180°，其中正確的結(jié)論有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PF＝PG，根據(jù)三角形的面積公式即可得到①正確；過(guò)P作PH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的定義和外角定理得到∠CAF＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAF，∠PAF＝∠ABC+∠APB，求得∠ACB＝2∠APB，于是得到∠APB+∠ACP＝90°，故②正確；根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得到∠ABC+∠FPG＝180°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠APF＝∠APG，∠CPH＝∠CPG，于是得到∠ABC+2∠APC＝180°，故③正確．【解析】∵PB平分∠ABC，PF⊥BD，PG⊥BE，∴PF＝PG，∴S△ABP：S△BCP＝AB?PF：BC?PG＝AB：BC，故①正確；過(guò)P作PH⊥AC于H，∵PC平分∠ACE，∴PH＝PG，∴PF＝PH，∴PA平分∠CAF，∵BP平分∠ABC，∴∠CAF＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAF，∠PAF＝∠ABC+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB，∵∠ACB+∠ACE＝180°，∴＝∠APB+∠ACP＝90°，故②正確；∵PF⊥AB，PG⊥BC，∴∠ABC+90°+∠FPG+90°＝360°，∴∠ABC+∠FPG＝180°，在Rt△PAF和Rt△PAH中，，∴Rt△PAF≌Rt△PAH（HL），∴∠APF＝∠APG，同理：Rt△PCH≌Rt△PCG（HL），∴∠CPH＝∠CPG，∴∠FPG＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，故③正確；故選：D．7．（2021秋?崇川區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接AE．若AD＝3，△ACE的周長(zhǎng)為13，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．19 B．16 C．29 D．18【分析】由AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，易得AE＝BE，又由△ACE的周長(zhǎng)是13，可求得AC+BC＝13，繼而求得答案．【解析】∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，AB＝2AD＝6，∵△ACE的周長(zhǎng)是13，∴AC+AE+CE＝AC+BE+CE＝AC+BC＝13，∴△ABC的周長(zhǎng)是：AB+AC+BC＝6+13＝19．故選：A．8．（2020秋?天寧區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線DE，分別與AB邊和AC邊交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，BC邊的垂直平分線FG，分別與BC邊和AC邊交于點(diǎn)F和點(diǎn)G，又△BEG的周長(zhǎng)為16，且GE＝1，則AC的長(zhǎng)為（）A．16 B．15 C．14 D．13【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EA、GB＝GC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【解析】∵DE是AB邊的垂直平分線，∴EB＝EA，∵FG是BC邊的垂直平分線，∴GB＝GC，∵△BEG的周長(zhǎng)為16，∴GB+GE+EB＝16，∴AE+GE+GC＝16，∴AC+GE+GE＝16，∵GE＝1，∴AC＝16﹣2＝14，故選：C．9．（2020秋?射陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，連接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，點(diǎn)P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DP的最小值是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【分析】作DE⊥BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABD＝∠CBD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．【解析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，則DE即為DP的最小值，∵∠BAD＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ABD＝∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝AD＝2，故選：C．10．（2021秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理判斷①；證明Rt△PAM≌Rt△PAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠APM＝∠APD，判斷②；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷④．【解析】①過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴點(diǎn)P在∠ACF的角平分線上，故①正確；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正確；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB，③正確；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正確，故選：D．二．填空題（共8小題）11．（2020秋?玄武區(qū)校級(jí)期中）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說(shuō)：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”小明的做法，其理論依據(jù)是在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．【分析】過(guò)兩把直尺的交點(diǎn)P作PE⊥AO，PF⊥BO，根據(jù)題意可得PE＝PF，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，可得OP平分∠AOB．【解析】如圖所示：過(guò)兩把直尺的交點(diǎn)P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上），故答案為：在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．12．（2022?廣陵區(qū)一模）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，如果AC＝6cm，BC＝8cm，則DE的長(zhǎng)為3cm．【分析】首先利用勾股定理求出AB，然后利用角平分線的性質(zhì)得到CD＝DE，接著在Rt△DEB中利用勾股定理建立方程模型求解．【解析】∵AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，∠C＝90°，∴CD＝DE，AC＝AE，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝10cm，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣AC＝10﹣6＝4，設(shè)DE＝x，則CD＝x，BD＝8﹣x，在Rt△DEB中，BD2＝DE2+BE2，∴（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝DE＝3cm．故答案為：3．13．（2022?宿城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，則∠EAC＝70°．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE＝BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAE＝∠B＝30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解析】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°，∵∠C＝50°，∴∠EAC＝180°﹣∠C﹣∠AEC＝70°，故答案為：70°．14．（2021秋?如皋市期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，BC＝7cm，對(duì)角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為14cm2．【分析】過(guò)D作DE⊥BC于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝AD＝4cm，再根據(jù)三角形的面積公式求出答案即可．【解析】過(guò)D作DE⊥BC于E，∵∠A＝90°，對(duì)角線BD平分∠ABC，∴AD＝DE，∵AD＝4cm，∴DE＝4cm，∵BC＝7cm，∴S△BCD＝＝14（cm2），故答案為：14．15．（2021秋?蘇州期中）如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M，N兩點(diǎn)，∠ACB＝135°，則∠MCN＝90度．【分析】據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠B；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得∠ACM+∠BCN的度數(shù)，然后求解．【解析】∵∠ACB＝135°，∴∠A+∠B＝45°．∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠ACM+∠BCN＝45°．∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）＝135°﹣45°＝90°．故答案為：90．16．（2021秋?錫山區(qū)期末）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是10，∠B和∠C的平分線交于P點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作BC的垂線交BC于點(diǎn)D，且PD＝2，則△ABC的面積是10．【分析】過(guò)P點(diǎn)分別作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，由角平分線的性質(zhì)可求PE＝PF＝PD＝2，結(jié)合三角形的周長(zhǎng)，利用S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC可求解．【解析】過(guò)P點(diǎn)分別作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接AP，∵∠B和∠C的平分線交于P點(diǎn)，PD⊥BC，∴PE＝PF＝PD＝2，∵△ABC的周長(zhǎng)是10，∴AB+BC+AC＝10，∴S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC＝＝＝＝10．17．（2021秋?泰興市期末）如圖，在銳角△ABC中、∠A＝80°，DE和DF分別垂直平分邊AB、AC，則∠DBC的度數(shù)為10°．【分析】連接DA、DC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC+∠ACB＝100°，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，DA＝DC，進(jìn)而得到DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解析】連接DA、DC，∵∠BAC＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，∵DE和DF分別垂直平分邊AB、AC，∴DA＝DB，DA＝DC，∴DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA，∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝80°，∴∠DBC＝∠DBC＝×（100°﹣80°）＝10°，故答案為：10．18．（2018秋?惠山區(qū)期中）如圖，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線MN分別交AB、BC于點(diǎn)M、N．若M在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，則∠APC的度數(shù)為115°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BMN+∠BNM＝130°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到MA＝MP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算．【解析】∵∠B+∠BMN+∠BNM＝180°，∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣50°＝130°，∵M(jìn)在PA的中垂線上，∴MA＝MP，∴∠MAP＝∠MPA，同理，∠NCP＝∠NPC，∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠NPC+∠NCP，∴∠MPA+∠NPC＝×130°＝65°，∴∠APC＝180°﹣65°＝115°，故答案為：115°．三．解答題（共6小題）19．（2019秋?泰興市期中）如圖：已知OA和OB兩條公路，以及C、D兩個(gè)村莊，建立一個(gè)車站P，使車站到兩個(gè)村莊距離相等即PC＝PD，且P到OA，OB兩條公路的距離相等．【分析】作∠AOB的角平分線和線段CD的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為P點(diǎn)．【解析】如圖，點(diǎn)P為所作．20．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AH⊥BC，垂足為H，且BH＝CH，E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，分別交BC，AC于F，M．（1）求證∠B＝∠C；（2）若AB＝5，AH＝3，AE＝2，求MF的長(zhǎng)．【分析】（1）利用線段垂直平分線的店鋪與性質(zhì)可證明結(jié)論；（2）證明△CMF∽△CAH，列比例式計(jì)算可求解．【解答】（1）證明：∵AH⊥BC，垂足為H，且BH＝CH，∴AH是BC的垂直平分線．∴AB＝AC．∴∠B＝∠C；（2）解：∵AH⊥BC，AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH．∵AH⊥BC，EF⊥BC，∴∠AHB＝∠EFB＝90°．∴AH∥EF．∴∠BAH＝∠E，∠CAH＝∠AME．∴∠E＝∠AME．∴AM＝AE＝2．∵AB＝AC＝5，∴CM＝AC﹣CM＝3．∵AH∥EF，∴△CMF∽△CAH．∴＝．∴＝．∴MF＝．21．（2021秋?南京期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O．（1）求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上：（2）若AB＝AC＝10，BC＝12，則OA＝．【分析】（1）連接OA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA＝OB，OA＝OC，得到OB＝OC，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理證明結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AO交BC于D，先證明AD垂直平分BC，由等腰三角形的性質(zhì)可求BD＝6，再兩次利用勾股定理可求解OA的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OA，∵A