浙江省金華市山河聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE16-浙江省金華市山河聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）第Ⅰ卷一、選擇題1.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為2，則的值等于（）A.15 B.16 C.17 D.18【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果.【詳解】依題意.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.2.在中，已知，，，則該三角形最大內(nèi)角度數(shù)是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理計算的值，由此求得該三角形的最大內(nèi)角度數(shù).【詳解】由于是最大的邊長，故是最大的內(nèi)角，，由于，所以.故選：C點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.3.不等式的解集為，則（）A. B.1 C. D.3【答案】A【解析】【分析】依據(jù)一元二次不等式的解集列方程，由此求得的值.【詳解】由于一元二次不等式的解集為，所以，解得，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)一元二次不等式的解集求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則（）A.16 B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，由于，所以解得.所以.故選：C點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用差比較法選出正確選項(xiàng).【詳解】依題意，則，，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查比較大小的方法，屬于基礎(chǔ)題.6.在中，角，，的對邊分別為，，，若（為非零實(shí)數(shù)），則下列結(jié)論錯誤的是（）A.當(dāng)時，是直角三角形 B.當(dāng)時，是銳角三角形C.當(dāng)時，是鈍角三角形 D.當(dāng)時，是鈍角三角形【答案】D【解析】【詳解】分析：利用正余弦定理逐一進(jìn)行推斷即可.詳解：當(dāng)時，，依據(jù)正弦定理不妨設(shè)明顯是直角三角形；當(dāng)時，，依據(jù)正弦定理不妨設(shè)，明顯△ABC是等腰三角形，說明∠C為銳角，故是銳角三角形；當(dāng)時，，依據(jù)正弦定理不妨設(shè)，，說明∠C為鈍角，故是鈍角三角形；當(dāng)時，，依據(jù)正弦定理不妨設(shè)，此時，不等構(gòu)成三角形，故命題錯誤故選D點(diǎn)睛：對于余弦定理肯定要熟記兩種形式：（1）；（2）.7.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)取最大值時，的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，不妨設(shè)a6＝9t，a5＝11t，則公差d＝－2t，其中t>0，因此a10＝t，a11＝－t，即當(dāng)n＝10時，Sn取得最大值．8.已知向量，，，則向量、的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量模與數(shù)量積運(yùn)算公式，我們易計算出，，，代入我們易求出向量與的夾角．【詳解】解：，，，設(shè)向量、的夾角為，則，又，得，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問點(diǎn)是平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角，其中利用計算兩個向量的夾角是解答本題的關(guān)鍵，屬于簡潔題．9.已知實(shí)數(shù)，滿意，且，則的最小值為（）A.21 B.24 C.25 D.27【答案】D【解析】【分析】首先由題意得到，化簡得到，再利用基本不等式即可得到最小值.【詳解】因?yàn)?，所?所以.因?yàn)椋裕?所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“”.所以的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式，同時考查了學(xué)生的計算實(shí)力，屬于中檔題.10.若不等式在上恒成立，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)自變量范圍得到恒成立，變換為恒成立，故，解得答案.【詳解】當(dāng)時，，故恒成立.，即恒成立，易知，解得恒成立，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題，意在考查學(xué)生的計算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力，確定恒成立是解題的關(guān)鍵.二、填空題11.已知平面對量，，若，則______；若，則______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】干脆利用向量平行和垂直公式計算得到答案.【詳解】平面對量，，若，則，解得；若，則，解得.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)向量平行垂直求參數(shù)，屬于簡潔題.12.若，滿意則的最小值為______．最大值為_______．【答案】(1).(2).4【解析】【分析】如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義得到答案.【詳解】如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)：，則，則表示直線在軸的截距，故當(dāng)直線過點(diǎn)，即，時，有最小值為；當(dāng)直線過點(diǎn)，即，時，有最大值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值，意在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合實(shí)力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.13.已知正數(shù)a，b滿意a+b=1，則的最小值等于__________，此時a=____________.【答案】(1).3(2).【解析】【分析】依據(jù)題意，分析可得，由基本不等式的性質(zhì)可得最小值，進(jìn)而分析基本不等式成立的條件可得a的值，即可得答案．【詳解】依據(jù)題意，正數(shù)a、b滿意，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為3，此時.故答案為：3；.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式及其應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.在中，，，，的面積等于，則______，邊上中線的長為______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)面積公式得到，再依據(jù)余弦定理得到，解得，，依據(jù)勾股定理逆定理得到，計算得到答案.【詳解】，故，依據(jù)余弦定理：，故，，解得，，故，故，，故.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了面積公式，余弦定理，意在考查學(xué)生的計算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.15.設(shè)數(shù)列中，，則通項(xiàng)___________．【答案】【解析】∵∴，，，，，，將以上各式相加得：故應(yīng)填；【考點(diǎn)】：此題重點(diǎn)考察由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【突破】：重視遞推公式的特征與解法的選擇；抓住中系數(shù)相同是找到方法的突破口；此題可用累和法，迭代法等；16.若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍______．【答案】【解析】【分析】干脆利用肯定值三角不等式計算得到答案.【詳解】，當(dāng)時等號成立，不等式有解，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了肯定值三角不等式，意在考查學(xué)生的計算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.17.已知為△的重心，過點(diǎn)的直線與邊分別相交于點(diǎn).若,則與的面積之比為________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)，求得的比值，然后利用三角形的面積公式，求得兩個三角形面積的比值.【詳解】設(shè)，，由于三點(diǎn)共線，故.由于與有公共角，由三角形面積公式得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三點(diǎn)共線的向量表示，考查三角形的面積公式，考查三角形重心的性質(zhì)，屬于中檔題.第Ⅱ卷三、解答題18.已知數(shù)列滿意，．設(shè)．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）詳見解析；（2）．【解析】【分析】（1）化簡得到即，得到證明.（2），代入等式得到答案.【詳解】（1），，由條件可得，即，又，所以是首項(xiàng)為1，公比為2等比數(shù)列．（2）由（1）可得，，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的證明，求通項(xiàng)公式，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.19.已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值，以及取得最大值時的值．【答案】（1）；（2）當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值為．【解析】【分析】（1）干脆解二次不等式得到答案.（2）化簡得到，利用均值不等式計算得到答案.【詳解】（1）由題意得，因?yàn)榉匠逃袃蓚€不等實(shí)根，，又二次函數(shù)的圖象開口向下，所以不等式的解集為；（2）由題意知，，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式，利用均值不等式求最值，意在考查學(xué)生的計算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.20.已知，，，（1）求與的夾角；（2）求；（3）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）將等式綻開得到，再利用向量夾角公式得到答案.（2）計算，綻開得到答案.（3）計算得到，故，利用面積公式計算得到答案.【詳解】（1）∵，∴．又，，∴，∴．∴，又，∴．（2），∴.（3）與的夾角，則，故，∴，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的夾角，向量的模，三角形的面積，意在考查學(xué)生的計算實(shí)力和轉(zhuǎn)化實(shí)力.21.在中，角，，所對的邊分別為，，，，的面積．（1）求角；（2）求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（Ⅰ）由可得到，代入，結(jié)合正弦定理可得到，再利用余弦定理可求出的值，即可求出角；（Ⅱ）法一：由，，即可得到，然后化簡，推斷的范圍即可求出的范圍.法二：利用，，即可求出，再利用三角形兩邊之和大于第三邊，即可求出的范圍.【詳解】（1）由可知，∴．由正弦定理得．由余弦定理得，∴，∴．（2）法一：由（1）知，∴，．的∵，∴，∴，∴∴的取值范圍為：法二：∴∵∴的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的運(yùn)用，考查了三角形的面積公式，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．22.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列滿意，為數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若對隨意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系作差可知數(shù)列為等差數(shù)列與公差，即可求得通項(xiàng)公式；（2）由（1）表示數(shù)列的通項(xiàng)公式，由裂項(xiàng)相消法求和即可；（3）分類探討為偶數(shù)與奇數(shù)時轉(zhuǎn)化不等式，再由基本不等式與函數(shù)的單調(diào)性求最值，最終由不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化求參數(shù)取值范圍即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，因?yàn)?，，所以，兩式相減得，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所