7.3 空間角（精練）（教師版）

7.3空間角（精練）1．（2023·黑龍江哈爾濱）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，O是底面的中心，E，F(xiàn)分別是，AD的中點(diǎn)，那么異面直線(xiàn)OE與所成角的正弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】在正方體中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，是底面的中心，E，F(xiàn)分別是，AD的中點(diǎn)，所以，，，，所以異面直線(xiàn)OE與所成角的余弦值等于，可得異面直線(xiàn)OE與所成角的正弦值為.故選：A．2．（2022·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？既＃┱襟w中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與EF所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，

設(shè)直線(xiàn)與EF所成角為θ，，則==，∴直線(xiàn)與EF所成角的余弦值是．故選：B．3．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）鐘鼓樓是中國(guó)傳統(tǒng)建筑之一，屬于鐘樓和鼓樓的合稱(chēng)，是主要用于報(bào)時(shí)的建筑.中國(guó)古代一般建于城市的中心地帶，在現(xiàn)代城市中，也可以常?？匆?jiàn)附有鐘樓的建筑.如圖，在某市一建筑物樓頂有一頂部逐級(jí)收攏的四面鐘樓，四個(gè)大鐘對(duì)稱(chēng)分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面（四棱柱看成正四棱柱，鐘面圓心在棱柱側(cè)面中心上），在整點(diǎn)時(shí)刻（在0點(diǎn)至12點(diǎn)中取整數(shù)點(diǎn)，含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），已知在3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)，相鄰兩鐘面上的時(shí)針?biāo)诘膬蓷l直線(xiàn)相互垂直，則在2點(diǎn)時(shí)和8點(diǎn)時(shí)，相鄰兩鐘面上的時(shí)針?biāo)诘膬蓷l直線(xiàn)所成的角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，在正四棱柱中，分別為側(cè)面和側(cè)面的中心，為的中點(diǎn)，為點(diǎn)鐘時(shí)針，為點(diǎn)鐘時(shí)針，則，，設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以.所以在2點(diǎn)時(shí)和8點(diǎn)時(shí)，相鄰兩鐘面上的時(shí)針?biāo)诘膬蓷l直線(xiàn)所成的角的余弦值為.

故選：B4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）直三棱柱如圖所示，為棱的中點(diǎn)，三棱柱的各頂點(diǎn)在同一球面上，且球的表面積為，則異面直線(xiàn)和所成的角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樵谥比庵?，所以球心到底面的距離，又因?yàn)椋?，所以，所以底面外接圓半徑，又因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以，而，所以，

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)直線(xiàn)和所成的角為，則.故選：A.5．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均為矩形，，，，.(1)求證：；(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）證明：連接，四邊形和四邊形均為矩形，，，又平面，，所以平面，平面，則，由，所以.（2）設(shè)，，，，，，，過(guò)C點(diǎn)作垂直交于點(diǎn)M，由（1）可知平面，平面，，平面，，平面，設(shè)與平面所成的角為，又，，平面，到平面的距離等于3，連接，在平行四邊形中，，，，，與平面所成角的正弦值6．（2023春·新疆伊犁）如圖：已知直三棱柱中，交于點(diǎn)O，，.(1)求證：；(2)求二面角的正切值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，可得，由題意可知：，即，且，平面，所以平面，且平面，所以，又因?yàn)?，則是正方形，可得，且，平面，所以平面，且平面，所以.（2）連接，可知平面即為平面，則二面角即為二面角，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，則，又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，可得，，平面，所以平面，且平面，則，所以二面角的平面角為，在中，，可得，所以二面角的正切值為.7．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第四中學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）

如圖所示，取中點(diǎn)G，連接，由中位線(xiàn)的性質(zhì)易知：且，又因?yàn)榈酌媸橇庑?，E為的中點(diǎn)，所以，，即四邊形是平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面；（2）

如圖所示，作，垂足為I，作交PC于J，連接AJ，易知即二面角，在菱形中，由于，，平面，易得，在中，，在中，，在中，，即二面角的正弦值為.8．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）如圖所示，在正四棱錐中，底面ABCD的中心為O，PD邊上的垂線(xiàn)BE交線(xiàn)段PO于點(diǎn)F，．

(1)證明：//平面PBC；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【解析】（1）證明：如圖，延長(zhǎng)FO至點(diǎn)M，使，連接MD，∵底面ABCD的中心為O，∴平面ABCD，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴而，∴，∴，∵平面PBC，平面PBC，∴平面PBC；

（2）由（1）知E是PD的中點(diǎn)，又，∴，不妨設(shè)，則，，∵是正四棱錐，底面ABCD的中心為O，∴OC，OD，OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OD，OP為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角標(biāo)系，

則，，，，∴，，，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，，令，則，，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則，令，則，，∴，∴二面角的余弦值為．9．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，同理，所以為直角三角形，又因?yàn)?，，所以，則為直角三角形，故，又因?yàn)?，，所以平?（2）由（1）平面，又平面，則，以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)且與平行的直線(xiàn)為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以，又因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的大小為.10．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿(mǎn)足，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【解析】（1）連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，因?yàn)?，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，二面角平面角為,而，因?yàn)?，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為?1．（2023·四川·校聯(lián)考一模）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，平面平面，，，，

(1)證明：；(2)求與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）證明：取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，CO，因?yàn)槭堑冗吶切危裕忠驗(yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以是等邊三角形，所以，又因?yàn)椋移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）解：由平面平面，平面平面，且平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，在中由余弦定理：，因?yàn)椋傻?，解得，可得，，，，所以，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，可得，所以，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則，即直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為．

12．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】（1）如圖，連接，交于，連接.因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，且為的中點(diǎn).又，故.又，且，所以，所以.又，所以，所以.因?yàn)槠矫?，，所以平?又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，兩兩互相垂直，因此以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.故，，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，即，令，則.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，即，令，則.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以也是平面的一個(gè)法向量.所以.所以平面與平面夾角的余弦值.

13．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）如圖所示，在幾何體中，平面，點(diǎn)在平面的投影在線(xiàn)段上，，，，平面.

(1)證明：平面平面.(2)若二面角的余弦值為，求線(xiàn)段的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2【解析】（1）由題知，平面平面，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，連接，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所以，則共面.因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，則四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，由正弦定理得，即，所以，因?yàn)椋?，所以，?因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?平面，所以平面.因?yàn)?，所以平?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）由（1）知，，，兩兩垂直，分別以，，所在的直線(xiàn)為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，如圖所示，則，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量，所以，即，令，得，所以平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量，所以，即，令，得，所以平面的一個(gè)法向量.所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，不合題意，所以線(xiàn)段的長(zhǎng)為2.

14．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，∥，，，，，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．

(1)求證：直線(xiàn)∥平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）連接BD，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．∥又平面，平面直線(xiàn)∥平面（2），，,,兩兩之間互相垂直以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

,,,,又M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．，,，設(shè)平面的法向量為可得解得令可得法向量,，平面為平面得法向量令平面與平面夾角為且為銳角平面與平面夾角的余弦值為.15．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)設(shè)的中點(diǎn)為，點(diǎn)在棱上（異于點(diǎn)，，且，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）證明：因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所以平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）解：由題意可得兩兩垂直，設(shè)，如圖，以所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，

因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令可得，所以平面的一個(gè)法向量.，設(shè)，即，所以.又，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）.所以，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.1．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）二面角中，，，，且，，垂足分別為A、C，，，，已知異面直線(xiàn)與所成角為，則（

）A． B． C．或5 D．或【答案】D【解析】在內(nèi)做，且使，連接，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，，，由，，，平面，所以平面，因?yàn)?，可得平面，平面，所以，因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)與所成角為，，所以直線(xiàn)與所成角為，當(dāng)時(shí)，如下左圖，由余弦定理可得，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，如下右圖，由余弦定理可得，此時(shí)，即；綜上所述，或.故選：D.

2．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）直角中是斜邊上的一動(dòng)點(diǎn)，沿將翻折到，使二面角為直二面角，當(dāng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度最小時(shí)（

）A．B．C．直線(xiàn)與的夾角余弦值為D．四面體的外接球的表面積為【答案】ABD【解析】如圖所示：過(guò)點(diǎn)作，交于延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)交于于點(diǎn)，作，使得，由二面角為直二面角，可知，設(shè)，則有，，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，，在圖1中，，所以為的平分線(xiàn)，于是有，所以，，由上可知：兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，因?yàn)椋赃x項(xiàng)A正確；因?yàn)椋赃x項(xiàng)B正確；，因?yàn)?，所以直線(xiàn)與的夾角余弦值為，因此選項(xiàng)C不正確；設(shè)四面體的外接球的球心為，顯然有，所以有，，，由，解得，四面體的外接球的半徑為，四面體的外接球的表面積為，因此選項(xiàng)D正確，故選：ABD

3．（2023秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn)，則（

）

A．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等B．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為C．二面角的余弦值為D．平面截正方體所得的截面面積為【答案】ACD【解析】對(duì)于，如圖1所示，取的中點(diǎn)，連接，則有平面,平面,平面..，,平面.平面平面,平面,平面,,所以平面平面.又因?yàn)槠矫?，所以平面，點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，故正確；

對(duì)于，如圖2所示，連接，又平面，所以為直線(xiàn)與平面所成角，由已知得：，所以中，，即B錯(cuò)誤；

對(duì)C，如圖3所示，因?yàn)槠矫妫鹘谎娱L(zhǎng)線(xiàn)于，連接，則，故設(shè)二面角的平面角為，由得，所以，即C正確；對(duì)于D，如圖4所示，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以四點(diǎn)共面，所以截面即為等腰梯形.，梯形的高為，所以梯形的面積為，故D正確.

故選：ACD.4．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，側(cè)棱底面，且，過(guò)棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接.

(1)證明：平面；(2)若，三棱錐的體積是，求直線(xiàn)與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又因?yàn)椋矫?，所以平面，又平面，所?又因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.而平面，所以平面平面，所以，又平面，所以平面；（2）解法一：設(shè)，由（1）得，，可知，由，得，故，在Rt中，，所以，化簡(jiǎn)得，解得，故.由（1）知平面，故即為所求角，在Rt中，，又，故；解法二：設(shè)，由（1）得，，可知，由，得，故，在Rt中，，所以，化簡(jiǎn)得，解得.如圖，以為原點(diǎn)，與垂直的方向，射線(xiàn)，射線(xiàn)分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，則，，由（1）知，平面，所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，又，故.

5．（2022秋·山西運(yùn)城·高三?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，四點(diǎn)共面，且和均為等腰直角三角形，，平面平面，.

(1)求證：直線(xiàn)平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)若點(diǎn)在直線(xiàn)上，求直線(xiàn)與平面所成角的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3).【解析】（1）因?yàn)楹途鶠榈妊苯侨切?，且，所以，所以，又平面平面，所以平?（2）連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，平面平面，所以平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椋?，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，設(shè)平面的法向量，由，令，得，因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值是.（3）設(shè)，則，設(shè)與平面所成的角為，則要使最大，則，所以時(shí)等號(hào)成立，所以，所以與平面所成角的最大值為.6．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱柱中，是的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上一點(diǎn).

(1)求證：；(2)設(shè)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）證明：連接

，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面平面，平面，，在三棱柱中，，，，，平面，平面，．（2）連接，由（1）可知，平面，平面平面，，要使的面積最小，則最小，又，△是等腰直角三角形即時(shí)，最小，是的中點(diǎn)，如圖，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系：

則，，，,0,，設(shè),,，則，即，得，，，即,,，，則，，,,，設(shè)平面的法向量為,,，由，得，即，令，則，，即，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則,，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．7．（2023秋·湖南衡陽(yáng)·高三校考階段練習(xí)）如圖1，在平面圖形中，，，，，沿將折起，使點(diǎn)到的位置，且，，如圖2.

(1)求證：平面平面.(2)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為?若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)線(xiàn)段FG上存在點(diǎn)M，【解析】（1）證明：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以四邊形為等腰梯形，又因?yàn)?，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，，平面AEG，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：由，，且，平面，所以平面，因?yàn)?，可得，所以平面，又由?）知，，所以?xún)蓛苫ハ啻怪?，以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸、軸和軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因?yàn)?，四邊形是矩形，所以，則，，.假設(shè)線(xiàn)段上存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意，令,則，可得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，所以，由平面，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，則，其中，所以，解得，即，所以線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為，且.8．（2023·北京·高三景山學(xué)校?？计谥校┰谒睦忮F中，側(cè)面底面，，為中點(diǎn)，底面是直角梯形，，，，.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積；(3)點(diǎn)Q在線(xiàn)段PC上，平面BDQ和平面PBD的夾角為，求.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【解析】（1）證明：如圖，取PD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，又E為PC中點(diǎn)，∴，且，又，且，∴，且，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）∵側(cè)面底面，，又平面，側(cè)面底面，∴底面，又底面，∴，又易知，且，∴平面，又，∴B到平面的距離等于A到平面的距離，即為AD，∴三棱錐的體積為：.（3）根據(jù)題意