上海市四校八大重點高中數(shù)學(xué)自招真題匯編（四）

上海市四校八大重點高中數(shù)學(xué)自招真題匯編四（建平）已知，那么的值。 解：顯然同號若，，則若，，則（交附）小明負責小組里個同學(xué)的作業(yè)本的收發(fā)，但做事比較馬虎。如果他隨機的分發(fā)個同學(xué)的本子，那么他把每個同學(xué)的本子都發(fā)錯的概率是。解：分母為；第一個同學(xué)發(fā)錯有種可能，假設(shè)第一個同學(xué)拿了第四個同學(xué)的本子，則第四個同學(xué)的本子必錯，也有種可能，剩下的只能是第二個同學(xué)拿第三個同學(xué)的本子；第三個同學(xué)拿第二個同學(xué)的本子，∴每個同學(xué)的本子都發(fā)錯的概率為.（上中）定圓的半徑為，動圓的半徑為，且是一個整數(shù)，動圓保持內(nèi)切于圓且沿著圓的圓周滾動一圈，若動圓開始滾動時切點與結(jié)束時的切點是同一點，則共有個可能的值？解：若動圓開始滾動時切點與結(jié)束時的切點是同一點；則是的倍數(shù)；，有個正因數(shù)；∵∴有個可能的值。（上中）學(xué)生若干人租游船若干只，如果每船坐人，就余下人；如果每船坐人，那么就有一船不空也不滿。則學(xué)生共有人？解：設(shè)租游船只；由題意得解得正整數(shù)解為；學(xué)生共有人。（建平）如圖，是⊙的直徑，且，弦的長為，若弦的兩端在圓上滑動時，始終與相交，記點到的距離分別為，則。解：易知，∴易知∴。（華二）解關(guān)于的方程。解：當即時，原方程無解；當即時，當即時，或解得：或。（復(fù)附）二次函數(shù)的圖像開口向上，與軸交于兩點，與軸交于點，以為頂點，若△的外接圓與軸相切，且，則時，的最小值是。解：設(shè)，圓心坐標為,則∵∴，化簡得：，∴在△中，，，∴.，∴∴，解得，∴∴∴∴當時，（此時取負）當時，（此時取正）。綜上當時，的最小值是。（華二）（1）設(shè)是給定的正整數(shù)，化簡：；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，計算的值。解：（1）（注：用倒數(shù)方程因式分解）（2）∵∴∴原式。（復(fù)附）已知實數(shù)滿足：①；②。求證：個數(shù)，。證明：設(shè)中全體非負數(shù)之和為，全體負數(shù)之和為，則，，∴，.若全是非負數(shù)，則若全是負數(shù)，則若有非負數(shù)和負數(shù)，記中全體非負數(shù)之和為，全體負數(shù)之和為，∴當時，當時， ∴綜上：個數(shù)，。【備用】對于正整數(shù)，定義，如果，那么（）。