第6章 空間向量與立體幾何單元綜合測試卷（解析版）

第6章空間向量與立體幾何單元綜合測試卷第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)直線的方向向量為，兩個不同的平面的法向量分別為，則下列說法中錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】對于A，若兩個平面的法向量互相垂直，則兩個平面垂直，即A正確；對于B，若兩個不同的平面的法向量互相平行，則兩個平面互相平行，即B正確；對于C，若一直線的方向向量與一平面的法向量平行，則該直線垂直于該平面，即C正確；對于D，若一直線的方向向量與一平面的法向量垂直，則該直線平行于該平面或者在該面內(nèi)，即D錯誤.故選：D2．已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量的模為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】向量，，，，向量在向量方向上的投影向量的模為.故選：D.3．如圖，在四面體OABC中，，，.點M在OA上，且，為BC中點，則等于（）A． B．C． D．【答案】B【解析】連接，是的中點，，，.故選：B4．已知O，A，B，C為空間中不共面的四點，且，若P，A，B，C四點共面，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為P，A，B，C四點共面，所以，所以.故選:C．5．如圖，以棱長為的正方體的具有公共頂點的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，點在體對角線上運(yùn)動，點為棱的中點，則當(dāng)最小時，點的坐標(biāo)為（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】連接，過點作于點，如下圖：則垂直于平面．設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則由正方體體對角線的性質(zhì)可得點的縱坐標(biāo)也為，由正方體的棱長為，得，因為，所以，所以，又因為，所以，所以當(dāng)時，最小，此時點的坐標(biāo)為.故選：D．6．如圖，在正方體中，點M是上靠近點C的三等分點，點N滿足，若N為AM與平面的交點，則t＝（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在正方體中，由點M是上靠近點C的三等分點，得，于是，由N為AM與平面的交點，得點共面，則，所以.故選：C7．已知等腰直角三角形ABC，，點D為BC邊上的中點，沿AD折起平面ABD使得，則異面直線AB與DC所成角的余弦值為（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】已知等腰直角三角形,點是中點，則,沿著翻折平面可得,所以,又,平面，所以平面,不妨設(shè),則，以為基底的空間向量，所以，則所以，因為是異面直線，所以異面直線的余弦值為.故選：B8．閱讀下面材料：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線的方程為.根據(jù)上述材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為平面的方程為，所以平面的一個法向量為.同理可知，與分別為平面與的一個法向量.設(shè)直線的方向向量為，則，不妨取，則.設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．給出下列命題，其中正確命題有（

）A．空間任意三個不共面的向量都可以作為一個基底B．已知，則與任何向量都不構(gòu)成空間的一個基底C．已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底D．是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，則共面【答案】ACD【解析】選項中，根據(jù)空間基底的概念，可得任意三個不共面的向量都可以作為一個空間基底，所以正確；選項中，根據(jù)空間基底的概念，可得不正確；選項中，因為所以與任何向量都共面，故不能構(gòu)成一個空間基底，所以正確；選項中，由不能構(gòu)成空間的一個基底，可得共面，又由過相同點，可得四點共面，所以正確.故選：ACD.10．已知空間向量，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對于A選項，，且，則與不共線，A錯；對于B選項，，所以，，所以，，B對；對于C選項，，C對；對于D選項，，D對.故選：BCD.11．已知正方體的棱長為1，則（

）A．與平面所成角的正弦值為B．為平面內(nèi)一點，則C．異面直線與的距離為D．為正方體內(nèi)任意一點，，，，則【答案】BCD【解析】以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，對于A中，由，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，又由，設(shè)與平面所成角為，則，即與平面所成角的正弦值為，所以A錯誤；對于B中，在正方體中，可得平面，因為平面，所以，即在直線上的射影為，所以，所以B正確；對于C中，由，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，因為，且平面，平面，所以平面，所以異面直線與的距離，即為直線到平面的距離，又由，可得，所以C正確；對于D中，設(shè)點，其中，可得，且，則，，，則，所以D正確.故選：BCD.12．已知正方體的棱長為1，為棱（包含端點）上的動點，下列命題正確的是（

）A．二面角的大小為B．C．若在正方形內(nèi)部，且，則點的軌跡長度為D．若平面，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為【答案】BCD【解析】由正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，其中，對于A：，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故.故，而二面角為銳二面角，故其余弦值為，不為，故二面角的平面角不是，故A錯誤.對于B：，故，即，故B正確.對于C：由在正方形內(nèi)部，且，若分別是上的點，且，此時，由圖知：O在上，即O在以為圓心，為半徑的四分之一圓弧上，所以點軌跡的長度為；故C正確.對于D：設(shè)直線與平面所成的角為.因為平面，故為平面的法向量，而，故，而，故，故D正確.故選：BCD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，且，則實數(shù)．【答案】5【解析】因為，所以存在實數(shù)，使得，即，所以，解得，，，所以故答案為：514．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，M為AB的中點，N為PD的中點.若PA=4，AB=2，則.【答案】【解析】如圖，由題意可以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,因M為AB的中點，N為PD的中點，故,于是,，則.故答案為：.15．在棱長為3的正方體中，為線段靠近的三等分點.為線段靠近的三等分點，則直線到平面的距離為.【答案】/【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，而平面，平面，故平面，所以直線到平面的距離即為點到平面的距離.又，，設(shè)平面的法向量為，故，即，取，則，又，故點到平面的距離為.故答案為：.16．如圖，四面體的每條棱長都等于，分別是上的動點，則的最小值是，此時．【答案】【解析】由題意可知，三個向量兩兩間的夾角為，當(dāng)分別是的中點，取得最小值，理由如下，因為分別是的中點，，則，所以，同理可證，由異面直線公垂線的性質(zhì)可知，此時取得最小值，此時，，所以，又，，，，，所以.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

(1)求的值；(2)證明：C，E，F(xiàn)，G四點共面.【解析】（1）∵，∴，，，，∴，，∴.（2）證明：由（1）得：，令，即，解得∴.故C，E，F(xiàn)，G四點共面.18．（12分）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為．記，，．

(1)求的長；(2)求與夾角的余弦值．【解析】（1）由題意知：，，∴，又∵，∴，∴，即的長為，（2）∵，∴，∴，，∴，即與夾角的余弦值為．19．（12分）已知空間三點，設(shè)．(1)若，，求；(2)求與的夾角的余弦值；(3)若與互相垂直，求k．【解析】（1）因為，所以，又因為，所以，又因為，所以，因此或；（2）因為所以與的夾角的余弦值為；（3）因為與互相垂直，所以或.20．（12分）如圖所示的幾何體ABCDE中，DA⊥平面EAB，AB=AD=AE=2BC=2，M是EC上的點(不與端點重合)，F(xiàn)為AD上的點，N為BE的中點.

(1)若M為CE的中點，(i)求證:平面(ii)求點F到平面MBD的距離.(2)若平面MBD與平面ABD所成角(銳角)的余弦值為試確定點M在EC上的位置.【解析】（1）DA⊥平面EAB，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，則，，，，，M為CE的中點，，N為BE的中點，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.(i)，，又平面，平面；(ii)，平面的法向量為，點F到平面MBD的距離為：；（2）由M是EC上的點(不與端點重合)，可設(shè)，，，，點坐標(biāo)為設(shè)平面MBD的法向量為，則，即，令，得.DA⊥平面EAB，平面EAB又，，平面ABD，平面ABD，平面ABD，平面ABD的一個法向量為平面MBD與平面ABD所成角(銳角)的余弦值為，，解得或點M是EC的中點或是EC上的靠近點C的四等分點.21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點.(1)求平面與平面所成銳二面角的余弦值；(2)求點到平面的距離；(3)在線段上，是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值：若不存在，請說明理由.【解析】（1）取中點為，連接，因為，且，，，所以,又因為平面，平面，所以,所以以為坐標(biāo)原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，,所以，令則，所以，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則.（2）,所以點到平面的距離為.（3）存在，，理由如下設(shè)上存在一點，設(shè)，，，又因為直線與平面所成角的正弦值為，由（1）知平面的一個法向量為，所以：，解得，又因為，所以：，故存在，且.22．（12分）如圖，在三棱柱中，，側(cè)面是正方形，二面角的大小是．(1)求三棱柱的體積；(2)若點是線段上的一個動點，求直線與平面所成角的最大值．【解析