新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)創(chuàng)新題型專題06 向量專題（新定義）（解析版）

專題06向量專題（新定義）一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對(duì)任意的SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．對(duì)任意的SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)給出的運(yùn)算“⊙”的新定義，結(jié)合已知的向量的數(shù)量積公式及模長(zhǎng)公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則有SKIPIF1<0，故A正確；SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故D正確.故選：B.2．（2022春·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）定義SKIPIF1<0.若向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0為單位向量，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0為關(guān)于SKIPIF1<0的關(guān)系式，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由向量SKIPIF1<0為單位向量，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B3．（2021春·云南昆明·高一云南師大附中?？计谥校┢矫鎯?nèi)任意給定一點(diǎn)SKIPIF1<0和兩個(gè)不共線的向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由平面向量基本定理，平面內(nèi)任何一個(gè)向量SKIPIF1<0都可以唯一表示成SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的線性組合，SKIPIF1<0，則把有序數(shù)組SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0在仿射坐標(biāo)系SKIPIF1<0下的坐標(biāo)，記為SKIPIF1<0，在仿射坐標(biāo)系SKIPIF1<0下，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為非零向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論中（

）①SKIPIF1<0②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0③若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0

④SKIPIF1<0一定成立的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用向量的新定義結(jié)合向量的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】在仿射坐標(biāo)系SKIPIF1<0下，設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，①正確；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故②不一定正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以存在唯一的實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以③正確；SKIPIF1<0，由②知，SKIPIF1<0，所以④不一定正確，所以正確的有2個(gè)，故選：B4．（2022·高一單元測(cè)試）若對(duì)于一些橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的向量，它們的模相同，但坐標(biāo)不同，則稱這些向量為“等模整向量”，例如向量SKIPIF1<0，即為“等模整向量”，那么模為SKIPIF1<0的“等模整向量”有（

）A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．12個(gè)【答案】D【分析】把SKIPIF1<0，分別寫出向量即可.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0所以模為SKIPIF1<0的等模整向量有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以模為SKIPIF1<0的等模整向量共有12個(gè).故選：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】在求向量模的有關(guān)問(wèn)題時(shí)通常的處理方法有：(1)a2＝a·a＝|a|2或SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0；(3)若a＝(x，y)，則|a|＝SKIPIF1<0.5．（2017·四川廣元·統(tǒng)考三模）對(duì)于SKIPIF1<0個(gè)向量SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0個(gè)不全為0的示數(shù)SKIPIF1<0，使得：SKIPIF1<0成立；則稱向量SKIPIF1<0是線性相關(guān)的，按此規(guī)定，能使向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0線性相關(guān)的實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】由題可得SKIPIF1<0，結(jié)合條件可得SKIPIF1<0，即得.【詳解】由題可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩等式兩邊相加可得SKIPIF1<0.故選：B．6．（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三統(tǒng)考期中）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量SKIPIF1<0，定義SKIPIF1<0，若平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都在集合SKIPIF1<0中，則SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由題意可可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，對(duì)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0進(jìn)行賦值即可得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．又由SKIPIF1<0，可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0又夾角SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，對(duì)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0進(jìn)行賦值即可得出SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．故選：C．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，但如果平面坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸不垂直，則這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．如圖，在斜坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)P作兩坐標(biāo)軸的平行線，其在x軸和y軸上的截距a，b分別作為點(diǎn)P的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，記SKIPIF1<0，則在x軸正方向和y軸正方向的夾角為SKIPIF1<0的斜坐標(biāo)系中，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0距離為SKIPIF1<0B．點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0C．向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行的充要條件是SKIPIF1<0D．點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)“斜坐標(biāo)系”的定義，結(jié)合向量運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0軸正方向的單位向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸正方向的單位向量為SKIPIF1<0，對(duì)于A選項(xiàng)：由已知得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0及斜坐標(biāo)的定義可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：根據(jù)“斜坐標(biāo)系”的定義可知：點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0不共線，所以SKIPIF1<0，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是零向量，則SKIPIF1<0成立，同時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成立，此時(shí)SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0是非零向量，則SKIPIF1<0存在非零常數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)直線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，所以直線SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)A到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D8．（2022春·黑龍江大慶·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成SKIPIF1<0角的兩條數(shù)軸，SKIPIF1<0分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系xOy為SKIPIF1<0斜坐標(biāo)系，若SKIPIF1<0，則把有序數(shù)對(duì)SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0的斜坐標(biāo)，記為SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0的斜坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0﹒則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為SKIPIF1<0A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④【答案】D【分析】借鑒單位向量夾角為SKIPIF1<0時(shí)的情況，注意夾角為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；數(shù)量積為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為SKIPIF1<0.【詳解】對(duì)于①.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故①正確；對(duì)于②.SKIPIF1<0，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③.SKIPIF1<0，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④.SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為SKIPIF1<0，故④錯(cuò)誤.故選：D9．（2021春·上海浦東新·高一華師大二附中?？茧A段練習(xí)）如圖，定義SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的向量積SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的起點(diǎn)相同時(shí)，由SKIPIF1<0的方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與SKIPIF1<0方向相同時(shí)，旋轉(zhuǎn)過(guò)的最小角，對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的向量積有如下的五個(gè)結(jié)論：①SKIPIF1<0；

②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；

④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】結(jié)合題目中的新定義的概念逐項(xiàng)分析即可得出結(jié)論.【詳解】①SKIPIF1<0至少有一個(gè)為0時(shí)，顯然成立；SKIPIF1<0都不為0時(shí)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；綜上：SKIPIF1<0，故①正確；②SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故②錯(cuò)誤；③SKIPIF1<0，故③正確；

④由③知：SKIPIF1<0，故④正確；⑤SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不一定相等，故⑤錯(cuò)誤；故選：C.10．（2022春·山西朔州·高一校考階段練習(xí)）定義SKIPIF1<0為兩個(gè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0間的“距離”，若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足下列條件：(ⅰ)SKIPIF1<0；(ⅱ)SKIPIF1<0；(ⅲ)對(duì)于任意的SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，現(xiàn)給出下面結(jié)論的編號(hào)，①.SKIPIF1<0②.SKIPIF1<0③.SKIPIF1<0④.SKIPIF1<0⑤.SKIPIF1<0則以上正確的編號(hào)為（

）A．①③ B．②④ C．③④ D．①⑤【答案】B【分析】根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0對(duì)于任意的SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，再利用向量的數(shù)量積逐一判斷即可.【詳解】由于SKIPIF1<0，又對(duì)于SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，顯然有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0對(duì)于任意的SKIPIF1<0恒成立，顯然有SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故序號(hào)①錯(cuò)誤，進(jìn)而SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即序號(hào)④正確.再由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，顯然序號(hào)②正確.從而序號(hào)③錯(cuò)誤，再由②SKIPIF1<0，故序號(hào)⑤錯(cuò)誤.綜上知本題正確的序號(hào)為②④.故選：B.【點(diǎn)睛】本題命制是以新定義為背景，考查向量長(zhǎng)度及數(shù)量積等知識(shí)概念，同時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)換、不等式恒成立問(wèn)題，符合以生考熟的高考理念，考查知識(shí)內(nèi)容源于教材，試題面向全體考生，不同思維能力層次的考生度可以利用熟悉的通法來(lái)解決問(wèn)題，從而增強(qiáng)考生的自信心，有利于考生正常發(fā)揮，屬于中檔題.11．（2018·湖南·統(tǒng)考一模）在實(shí)數(shù)集SKIPIF1<0中，我們定義的大小關(guān)系“SKIPIF1<0”為全體實(shí)數(shù)排了一個(gè)“序”，類似的，我們這平面向量集合SKIPIF1<0上也可以定義一個(gè)稱為“序”的關(guān)系，記為“SKIPIF1<0”．定義如下：對(duì)于任意兩個(gè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)“SKIPIF1<0”或“SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”，按上述定義的關(guān)系“SKIPIF1<0”，給出下列四個(gè)命題：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，則對(duì)于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；④對(duì)于任意的向量SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．其中正確的命題的個(gè)數(shù)為(

)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】按照新定義，對(duì)每一個(gè)命題進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于①，由定義可知①是正確的；對(duì)于②，中SKIPIF1<0，滿足已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，只要有一個(gè)沒(méi)有等號(hào)，則一定SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，都滿足SKIPIF1<0，正確；對(duì)于③，∵SKIPIF1<0，∴命題正確，對(duì)于④，中若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，錯(cuò)誤，因此有①②③正確.故選:B.【方法點(diǎn)睛】新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解新概念，并掌握解決新概念下問(wèn)題的方法，有一定的難度.本題中新概念關(guān)系“＞”與向量的坐標(biāo)之間的大小關(guān)系聯(lián)系在一起，由實(shí)數(shù)大小關(guān)系的傳遞性可得新關(guān)系“＞”的傳遞性，但向量的數(shù)量積與新關(guān)系“＞”之間沒(méi)有必然的聯(lián)系，這可通過(guò)舉反例說(shuō)明.實(shí)際上舉反例說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，是數(shù)學(xué)中一個(gè)常用的方法.12．（2017秋·河南鄭州·高三鄭州一中階段練習(xí)）若非零向量SKIPIF1<0的夾角為銳角SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0被SKIPIF1<0“同余”.已知SKIPIF1<0被SKIPIF1<0“同余”，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】首先根據(jù)“同余”的定義得SKIPIF1<0，再根據(jù)投影公式，列式求解.【詳解】根據(jù)SKIPIF1<0被SKIPIF1<0“同余”，則有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為：SKIPIF1<0，故選：A.13．（2022春·陜西榆林·高一榆林市第一中學(xué)?？计谥校┰O(shè)SKIPIF1<0定義一種向量積：SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在SKIPIF1<0的圖象上運(yùn)動(dòng)，且滿足SKIPIF1<0(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則SKIPIF1<0的最大值A(chǔ)及最小正周期T分別為()A．2，π B．2,4πC．SKIPIF1<0，4π D．SKIPIF1<0，π【答案】C【分析】根據(jù)題意,設(shè)出Q的坐標(biāo)，根據(jù)SKIPIF1<0的運(yùn)算得到P、Q坐標(biāo)間的關(guān)系，從而得到SKIPIF1<0的解析式，即可求得最大值和最小正周期．【詳解】由題意知可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則根據(jù)SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0而P在SKIPIF1<0的圖象上運(yùn)動(dòng)，滿足SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以最大值為SKIPIF1<0，即A=SKIPIF1<0最小正周期為SKIPIF1<0故選：C．14．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，定義SKIPIF1<0.已知向量SKIPIF1<0為單位向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，代入新定義求解即可.【詳解】由題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C15．（2022春·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)?？计谥校┯汼KIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平面內(nèi)的非零向量，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)向量加法減法的幾何意義和向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合排除法解題.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：考慮SKIPIF1<0，根據(jù)向量加法減法法則幾何意義知：SKIPIF1<0，所以A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：根據(jù)平面向量數(shù)量積可知：不能保證SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，所以它們的較小者一定小于等于SKIPIF1<0，所以B錯(cuò)誤D正確；C選項(xiàng)：考慮SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以C錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查向量相關(guān)新定義問(wèn)題，其本質(zhì)考查向量加減法運(yùn)算的幾何意義，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和辨析，綜合性較強(qiáng)，解題中結(jié)合排除法得選項(xiàng).16．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于向量SKIPIF1<0，把能夠使得SKIPIF1<0取到最小值的點(diǎn)SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0的“平衡點(diǎn)”.如圖，矩形SKIPIF1<0的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，聯(lián)結(jié)SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn).下列的結(jié)論中，正確的是（

）A．SKIPIF1<0的“平衡點(diǎn)”為SKIPIF1<0.B．SKIPIF1<0的“平衡點(diǎn)”為SKIPIF1<0的中點(diǎn).C．SKIPIF1<0的“平衡點(diǎn)”存在且唯一.D．SKIPIF1<0的“平衡點(diǎn)”必為SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用“平衡點(diǎn)”的定義、三角形中兩邊之和大于第三邊，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一驗(yàn)證．【詳解】對(duì)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的“平衡點(diǎn)”為線段上的任意一點(diǎn)，故SKIPIF1<0錯(cuò)誤；對(duì)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的“平衡點(diǎn)”為三角形內(nèi)部對(duì)3條邊的張角均為SKIPIF1<0的點(diǎn)，故SKIPIF1<0錯(cuò)誤；對(duì)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的“平衡點(diǎn)”是線段SKIPIF1<0上的任意一點(diǎn)，故SKIPIF1<0錯(cuò)誤；對(duì)SKIPIF1<0，因?yàn)榫匦蜸KIPIF1<0的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，聯(lián)結(jié)SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的“平衡點(diǎn)”必為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確．故選：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查“平衡點(diǎn)”的求法，考查對(duì)新定義的理解與應(yīng)用，求解時(shí)要注意平面向量知識(shí)的合理運(yùn)用．二、多選題17．（2022春·浙江·高一期中）如圖所示，在平面上取定一點(diǎn)O和兩個(gè)以點(diǎn)O為起點(diǎn)的不共線向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，稱為平面上的一個(gè)仿射坐標(biāo)系，記作SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0與有序數(shù)組SKIPIF1<0之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，有序數(shù)組SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0在傷射坐標(biāo)系SKIPIF1<0下的坐標(biāo)，記作SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是夾角為SKIPIF1<0的單位向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，向量數(shù)量積的定義，運(yùn)算律及投影向量的概念，逐項(xiàng)分析即得.【詳解】由題可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故A正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0是夾角為SKIPIF1<0的單位向量，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故B正確；∴SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為SKIPIF1<0，故D正確.故選：ABD.18．（2022春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)任意兩個(gè)非零向量SKIPIF1<0，定義新運(yùn)算：SKIPIF1<0.已知非零向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且向量SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是整數(shù)，則SKIPIF1<0的值可能是（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．4【答案】BC【分析】由題意可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0的范圍，可得SKIPIF1<0從而定點(diǎn)答案.【詳解】由題意可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)?SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.故選：BC.19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)的一組基向量，O為SKIPIF1<0內(nèi)的定點(diǎn)，對(duì)于SKIPIF1<0內(nèi)任意一點(diǎn)P，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)SKIPIF1<0為點(diǎn)P的廣義坐標(biāo)．若點(diǎn)A，B的廣義坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，關(guān)于下列命題正確的是（

）A．線段A，B的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為SKIPIF1<0B．A，B兩點(diǎn)間的距離為SKIPIF1<0C．若向量SKIPIF1<0平行于向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若向量SKIPIF1<0垂直于向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】AC【分析】由題目給的定義結(jié)合向量的線性運(yùn)算、向量的模長(zhǎng)、向量的平行及垂直依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】根據(jù)題意得，設(shè)A，B的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故線段A，B的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為SKIPIF1<0，A正確；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是相互垂直的單位向量時(shí)，A，B兩點(diǎn)間的距離為SKIPIF1<0，否則距離不為SKIPIF1<0，B錯(cuò)誤；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0時(shí)，結(jié)論顯然成立，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都不為SKIPIF1<0時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為相互垂直的單位向量時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直的充要條件是SKIPIF1<0，故D不正確.故選：AC．20．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)SKIPIF1<0是大于零的實(shí)數(shù)，向量SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，定義向量SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】根據(jù)定義求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，再根據(jù)平面向量的數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合恒等變換公式可求出SKIPIF1<0，由此可判斷A和B選項(xiàng)；利用向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算、模長(zhǎng)公式以及基本不等式，可判斷C和D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橄蛄縎KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，所以A不正確，B正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取得等號(hào)，所以SKIPIF1<0，故C正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取得等號(hào)，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：BCD21．（2022·浙江溫州·高一永嘉中學(xué)統(tǒng)考競(jìng)賽）設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是平面上任意三點(diǎn)，定義向量的運(yùn)算：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0由向量SKIPIF1<0以點(diǎn)SKIPIF1<0為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直角得到（若SKIPIF1<0為零向量，規(guī)定SKIPIF1<0也是零向量）.對(duì)平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，下列說(shuō)法正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為不共線向量，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BD【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A選項(xiàng)；利用A選項(xiàng)中的結(jié)論結(jié)合題中定義可判斷B選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；對(duì)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是否共線進(jìn)行分類討論，結(jié)合題中定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】設(shè)向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，A錯(cuò)；對(duì)任意的SKIPIF1<0，由A選項(xiàng)可知，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不共線時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B對(duì)；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，C錯(cuò)；當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不共線時(shí)，由C選項(xiàng)可知，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.任取兩個(gè)向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，對(duì)任意的實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共線時(shí)，設(shè)存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0，D對(duì).故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量中的新定義，解題的關(guān)鍵在于理解題中運(yùn)算的含義，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.22．（2023春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？茧A段練習(xí)）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，定義SKIPIF1<0，若平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都在集合SKIPIF1<0中．給出以下命題，其中一定正確的是（

）A．若SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0的取值個(gè)數(shù)最多為7D．若SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0的取值個(gè)數(shù)最多為SKIPIF1<0【答案】AC【分析】由新定義可知SKIPIF1<0，再對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)A，若SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，兩式相乘得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)B，若SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，相乘得到SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取值SKIPIF1<0時(shí)符合SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，相乘得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值個(gè)數(shù)最多為7個(gè)，故C正確；對(duì)D，若SKIPIF1<0時(shí)，由上面推導(dǎo)方法可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值個(gè)數(shù)最多為SKIPIF1<0，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對(duì)對(duì)應(yīng)知識(shí)進(jìn)行再遷移.23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義平面向量的一種運(yùn)算“SKIPIF1<0”如下：對(duì)任意的兩個(gè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，下面說(shuō)法一定正確的是（

）A．對(duì)任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0B．存在唯一確定的向量SKIPIF1<0使得對(duì)于任意向量SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立C．若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線D．若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的模相等【答案】AD【分析】由SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，即可判斷A；假設(shè)存在唯一確定的向量SKIPIF1<0使得對(duì)于任意向量SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，即方程組SKIPIF1<0，對(duì)任意SKIPIF1<0恒成立，解方程可判斷B；若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，分別表示出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0即可判斷C；若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，分別表示出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0即可判斷D.【詳解】設(shè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對(duì)于A，對(duì)任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)存在唯一確定的向量SKIPIF1<0使得對(duì)于任意向量SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0恒成立，即方程組SKIPIF1<0，對(duì)任意SKIPIF1<0恒成立，而此方程組無(wú)解，故B不正確；對(duì)于C，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，故C不正確；對(duì)于D，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的模相等，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬于創(chuàng)新題，考查平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.三、填空題24．（2023春·江蘇泰州·高一靖江高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，定義SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的“向量積”，SKIPIF1<0是一個(gè)向量，它的模等于SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】2【分析】分別計(jì)算兩個(gè)向量的模長(zhǎng)及夾角，代入計(jì)算即可.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,故答案為：225．（2018春·安徽蕪湖·高一蕪湖一中校考階段練習(xí)）在平面斜坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，平面上任一點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸方向相同的單位向量），則SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0關(guān)于斜坐標(biāo)系SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______【答案】SKIPIF1<0【分析】由斜坐標(biāo)定義用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，然后平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求得模．【詳解】由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．26．（2019春·安徽蕪湖·高一校聯(lián)考期中）定義SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則與SKIPIF1<0方向相反的單位向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】先求得SKIPIF1<0，然后求得與SKIPIF1<0方向相反的單位向量的坐標(biāo).【詳解】SKIPIF1<0，所以與SKIPIF1<0方向相反的單位向量的坐標(biāo)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<027．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高三?？茧A段練習(xí)）已知對(duì)任意平面向量SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)SKIPIF1<0角得到向量SKIPIF1<0．如圖所示，頂角SKIPIF1<0的等腰三角形PQR的頂點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則頂點(diǎn)R的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)SKIPIF1<0，表示出SKIPIF1<0，根據(jù)已知列出式子即可求出.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0