新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)創(chuàng)新題型專(zhuān)題11 立體幾何專(zhuān)題（數(shù)學(xué)文化）（解析版）

專(zhuān)題11立體幾何專(zhuān)題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）笛卡爾是世界著名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父.據(jù)說(shuō)在他生病臥床時(shí)，還在反復(fù)思考一個(gè)問(wèn)題：通過(guò)什么樣的方法，才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來(lái)呢？突然，他看見(jiàn)屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，單位正方體頂點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由圖寫(xiě)出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，然后再利用關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的性質(zhì)寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由圖可知，點(diǎn)SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0.故選：B.2．（2022春·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）民間娛樂(lè)健身工具陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址．如圖所示的是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖．已知底面圓的直徑SKIPIF1<0，圓柱體的高SKIPIF1<0，圓錐體的高SKIPIF1<0，則這個(gè)陀螺的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】結(jié)合組合體表面積的計(jì)算方法計(jì)算出正確答案.【詳解】圓柱、圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，圓錐的母線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，所以陀螺的表面積是SKIPIF1<0.故選：C3．（2022秋·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考期中）《九章算術(shù)》是我國(guó)東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽(yáng)馬”實(shí)為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽(yáng)馬”SKIPIF1<0中，E為SKIPIF1<0的重心，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】連接AE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，則F為CD的中點(diǎn)，利用向量的加減運(yùn)算得答案【詳解】連接AE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，因?yàn)镋為SKIPIF1<0的重心，則F為CD的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B．4．（2022秋·河南商丘·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）榫卯是一種中國(guó)傳統(tǒng)建筑、家具及其他器械的主要結(jié)構(gòu)方式，是在兩個(gè)構(gòu)件上采用凹凸部位相結(jié)合的一種連接方式．凸出的部分叫做榫（或叫榫頭），凹進(jìn)部分叫卯（或叫榫眼、榫槽）．現(xiàn)要在一個(gè)木頭部件制作一個(gè)榫眼，最終完成一個(gè)直角轉(zhuǎn)彎結(jié)構(gòu)的部件，那么制作成的榫眼的俯視圖可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用排除法結(jié)合俯視圖的定義和已知條件分析判斷.【詳解】法一：榫眼的形狀和榫頭一致，故榫眼的俯視圖的輪廓線為虛線且從結(jié)果圖可知榫眼應(yīng)為通透的，排除AD；又C選項(xiàng)的結(jié)構(gòu)左下方部分缺了一塊，這與榫眼的結(jié)構(gòu)不符，符合條件的只有B．法二：因榫眼的制作部件為長(zhǎng)方體，所以，C，D不正確；又榫眼應(yīng)為通透的，所以A不正確，所以符合條件的只有B．故選B．5．（2021秋·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）張衡是中國(guó)東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)得出圓周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱錐SKIPIF1<0的每個(gè)頂點(diǎn)都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用張衡的結(jié)論可得球SKIPIF1<0的表面積為（

）A．30 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，將三棱錐SKIPIF1<0放在長(zhǎng)方體中，求出外接球的半徑以及圓周率的值，再由球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以將三棱錐SKIPIF1<0放在長(zhǎng)、寬、高分別為SKIPIF1<0的長(zhǎng)方體中，三棱錐SKIPIF1<0的外接球即為該長(zhǎng)方體的外接球，外接球的直徑SKIPIF1<0，利用張衡的結(jié)論可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0.故選：D.6．（2021春·陜西榆林·高三?？茧A段練習(xí)）“天圓地方”觀反映了中國(guó)古代科學(xué)對(duì)宇宙的認(rèn)識(shí)，后來(lái)發(fā)展成為中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要思想.中國(guó)古人將琮、璧、圭、璋、璜、琥六種玉制禮器謂之“六瑞”，玉琮內(nèi)圓外方，表示天和地，中間的穿孔表示天地之間的溝通，可以說(shuō)是中國(guó)古代世界觀很好的象征物.下面是一玉琮圖及其三視圖，設(shè)規(guī)格如圖所示（單位：cm），則三視圖中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)在實(shí)物中對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)在實(shí)物玉璧上的最小距離約為（

）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．8.4 B．9.8 C．10.4 D．11.2【答案】A【分析】玉琮的中空部分看成一圓柱，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)可看成是圓柱軸截面所對(duì)應(yīng)矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)，將圓柱側(cè)面展開(kāi)，線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)就是沿該圓柱表面由SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短距離．【詳解】本題考查傳統(tǒng)文化與圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖.由題意，將玉琮的中空部分看成一圓柱，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)可看成是圓柱軸截面所對(duì)應(yīng)矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)，現(xiàn)沿該圓柱表面由SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，如圖，將圓柱側(cè)面展開(kāi)，可知SKIPIF1<0.故選：A．7．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有這樣的圖形：今有圓錐，下周三丈五尺，高五丈一尺（1丈SKIPIF1<0尺）；若該圓錐的母線長(zhǎng)SKIPIF1<0尺，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)求出底面半徑，從而利用勾股定理即可求出該圓錐的母線長(zhǎng).【詳解】易知三丈五尺=35尺，五丈一尺=51尺，設(shè)圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.8．（2021秋·吉林四平·高三四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“阿基米德多面體”也稱(chēng)為半正多面體，半正多面體是由兩種或多種正多邊形面組成，而又不屬于正多面體的凸多面體．如圖，某廣場(chǎng)的一張石凳就是一個(gè)阿基米德多面體，它是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的．若被截正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則該阿基米德多面體的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】通過(guò)圖形可知阿基米德多面體是由六個(gè)全等的正方形和八個(gè)全等的等邊三角形構(gòu)成，分別求解正方形和等邊三角形面積，加和即可.【詳解】由題意知：阿基米德多面體是由六個(gè)全等的正方形和八個(gè)全等的等邊三角形構(gòu)成，其中正方形邊長(zhǎng)和等邊三角形的邊長(zhǎng)均為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0阿基米德多面體的表面積SKIPIF1<0.故選：A.9．（2022秋·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）牟合方蓋是由我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽首先發(fā)現(xiàn)并采用的一種用于計(jì)算球體體積的方法，該方法不直接給出球體的體積，而是先計(jì)算牟合方蓋的體積.劉徽通過(guò)計(jì)算，“牟合方蓋”的體積與球的體積關(guān)系為SKIPIF1<0，并且推理出了“牟合方蓋”的八分之一的體積計(jì)算公式，即SKIPIF1<0，從而計(jì)算出SKIPIF1<0.如果記所有棱長(zhǎng)都為SKIPIF1<0的正四棱錐的體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】計(jì)算出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，SKIPIF1<0，所有棱長(zhǎng)都為SKIPIF1<0的正四棱錐的體積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0．10．（2022秋·湖北襄陽(yáng)·高二襄陽(yáng)市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A11．（2022秋·江西撫州·高二臨川一中?？计谥校┤鐖D，何尊是我國(guó)西周早期的青銅禮器，其造型渾厚，工藝精美，尊內(nèi)底鑄銘文中的“宅茲中國(guó)”為“中國(guó)”一詞最早的文字記載，何尊還是第一個(gè)出現(xiàn)“德”字的器物，證明了周王朝以德治國(guó)的理念，何尊的形狀可近似看作是圓臺(tái)和圓柱的組合體，組合體的高約為40cm，上口直徑約為28cm，經(jīng)測(cè)量可知圓臺(tái)的高約為16cm，圓柱的底面直徑約為18cm，則該組合體的體積約為（

）（其中SKIPIF1<0的值取3）A．11280cm3 B．12380cm3 C．12680cm3 D．12280cm3【答案】D【分析】根據(jù)圓柱和圓臺(tái)的體積公式即可求解.【詳解】由題意得圓柱的高約為SKIPIF1<0（cm），則何尊的體積SKIPIF1<0（cm3）故選：D．12．（2022秋·安徽·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第11卷中將軸截面為等腰直角三角形的圓錐稱(chēng)為“直角圓錐”.若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)直角圓錐性質(zhì)求出圓錐高、母線與底面半徑關(guān)系，根據(jù)圓錐體體積與側(cè)面積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為SKIPIF1<0，根據(jù)直角圓錐的軸截面為等腰直角三角形可得，圓錐高SKIPIF1<0，母線長(zhǎng)SKIPIF1<0，圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圓錐的體積為SKIPIF1<0.故選：A.13．（2022秋·青海西寧·高三統(tǒng)考期中）我國(guó)歷史文化悠久，“爰”銅方彝是商代后期的一件文物，其蓋似四阿式屋頂，蓋為子口，器為母口，器口成長(zhǎng)方形，平沿，器身自口部向下略?xún)?nèi)收，平底?長(zhǎng)方形足?器內(nèi)底中部及蓋內(nèi)均鑄一“爰”字.通高24cm，口長(zhǎng)13.5cm，口寬12cm，底長(zhǎng)12.5cm，底寬10.5cm.現(xiàn)估算其體積，上部分可以看作四棱錐，高約8cm，下部分看作臺(tái)體，則其體積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)棱臺(tái)與棱錐的體積公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D14．（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考期中）在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱(chēng)為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為2和4，對(duì)應(yīng)的圓心角為90°，則圖中異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值．【詳解】圖，設(shè)上底面圓心為SKIPIF1<0，下底面圓心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又異面直線所成角的范圍為SKIPIF1<0，故異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0．故選：A．15．（2023·江西撫州·高三金溪一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）中國(guó)某些地方舉行婚禮時(shí)要在吉利方位放一張桌子，桌子上放一個(gè)裝滿糧食的升斗，斗面用紅紙糊住，斗內(nèi)再插一桿秤、一把尺子，寓意為糧食滿園、稱(chēng)心如意、十全十美．下圖為一種婚慶升斗的規(guī)格，把該升斗看作一個(gè)正四棱臺(tái)，忽略其壁厚，則該升斗的容積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，參考公式：SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由勾股定理算出高h(yuǎn)，即可由公式求體積.【詳解】由題意，正四棱臺(tái)中，設(shè)棱臺(tái)的高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：B16．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·高二湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）波利亞在其論著中多次提到“你能用不同的方法推導(dǎo)出結(jié)果嗎？”，“試著換一個(gè)角度探索下去……”.這都屬于“算兩次”的原理.另外，更廣義上講，“算兩次”也是對(duì)同一個(gè)問(wèn)題，用兩種及其以上的方法解答出來(lái)，即對(duì)同一個(gè)問(wèn)題解兩次，得到相同的結(jié)果，體現(xiàn)殊途同歸，一題多解.試解決下面的問(wèn)題：四面體ABCD中，AB=CD=6，其余的棱長(zhǎng)均為5，則與該四面體各個(gè)表面都相切的內(nèi)切球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)E，連接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)F，連接SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，即可求出三棱錐的體積，設(shè)內(nèi)切球SKIPIF1<0的半徑為R，利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可求出內(nèi)切球的表面積；【詳解】解：取SKIPIF1<0的中點(diǎn)E，連接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)F，連接SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，其余棱長(zhǎng)均為5，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以等腰三角形SKIPIF1<0底邊上的高SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴三棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，設(shè)內(nèi)切球SKIPIF1<0的半徑為R，三棱錐的體積SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以球的表面積為SKIPIF1<0.故選：C.17．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）燈籠起源于中國(guó)的西漢時(shí)期，兩千多年來(lái)，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營(yíng)造一種喜慶的氛圍．如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個(gè)球冠）．如圖2，球冠是由球面被一個(gè)平面截得的，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半徑為R，球冠的高為h，則球冠的面積SKIPIF1<0．已知該燈籠的高為46cm，圓柱的高為3cm，圓柱的底面圓直徑為30cm，則圍成該燈籠所需布料的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由勾股定理求出SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，分別求出兩個(gè)球冠的表面積、燈籠中間球面的表面積、上下兩個(gè)圓柱的側(cè)面積即可求出圍成該燈籠所需布料的面積.【詳解】由題意得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以?xún)蓚€(gè)球冠的表面積之和為SKIPIF1<0，燈籠中間球面的表面積為SKIPIF1<0．因?yàn)樯舷聝蓚€(gè)圓柱的側(cè)面積之和為SKIPIF1<0，所以圍成該燈籠所需布料的面積為SKIPIF1<0．故選：B.18．（2022秋·湖北武漢·高二武漢市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）端午佳節(jié)，人們有包粽子和吃粽子的習(xí)俗，粽子主要分為南北兩大派系，地方細(xì)分特色鮮明，且形狀各異，裹蒸粽是廣東肇慶地區(qū)最為出名的粽子，是用當(dāng)?shù)靥赜械亩~?水草包裹糯米?綠豆?豬肉?咸蛋黃等蒸制而成的金字塔形的粽子，現(xiàn)將裹蒸粽看作一個(gè)正四面體，其內(nèi)部的咸蛋黃看作一個(gè)球體，那么，當(dāng)咸蛋黃的體積為SKIPIF1<0時(shí)，該裹蒸粽的高的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】要使正四面體的高最小，當(dāng)且僅當(dāng)球與正四面體相內(nèi)切，內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，根據(jù)球的體積求出SKIPIF1<0，再根據(jù)等體積法求出SKIPIF1<0；【詳解】解：要使正四面體的高最小，當(dāng)且僅當(dāng)球與正四面體相內(nèi)切，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，如圖正四面體SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為底面三角形的中心，則SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：A19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）魯班鎖（也稱(chēng)孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國(guó)建筑的榫卯結(jié)構(gòu)．如圖1，這是一種常見(jiàn)的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長(zhǎng)均為2，則該魯班鎖的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】補(bǔ)形出正方體，結(jié)合圖形求出正方體棱長(zhǎng)，然后直接求解可得.【詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來(lái)的幾何體，如圖，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故該正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，且被截去的正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則該幾何體的表面積為SKIPIF1<0．故選：A20．（2022秋·江蘇連云港·高三校考階段練習(xí)）芻(chú)甍(méng)是中國(guó)古代算數(shù)中的一種幾何體，其結(jié)構(gòu)特征是：底面為長(zhǎng)方形，上棱和底面平行，且長(zhǎng)度不等于底面平行的棱長(zhǎng)的五面體，是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的楔形體．已知一個(gè)芻甍底邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，底邊寬為SKIPIF1<0，上棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則它的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】計(jì)算出幾何體每個(gè)面的面積，相加即可得解.【詳解】設(shè)幾何體為SKIPIF1<0，如下圖所示：矩形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，側(cè)面為兩個(gè)全等的等腰三角形SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，兩個(gè)全等的等腰梯形SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0內(nèi)的射影點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)作SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)作SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0中，斜高為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，同理可知，梯形SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，該幾何體的表面積為SKIPIF1<0.故選：B.二、多選題21．（2021秋·重慶沙坪壩·高二重慶市天星橋中學(xué)校考階段練習(xí)）三星堆遺址，位于四川省廣漢市，距今約三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遺址祭祀坑區(qū)4號(hào)坑發(fā)現(xiàn)了玉琮.玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，是一種古人用于祭祀的禮器.假定某玉琮中間內(nèi)空，形狀對(duì)稱(chēng)，如圖所示，圓筒內(nèi)徑長(zhǎng)SKIPIF1<0，外徑長(zhǎng)SKIPIF1<0，筒高SKIPIF1<0，中部為棱長(zhǎng)是SKIPIF1<0的正方體的一部分，圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，則（

）A．該玉琮的體積為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0) B．該玉琮的體積為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)C．該玉琮的表面積為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0) D．該玉琮的表面積為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)【答案】BD【分析】體積為圓筒體積（外圓柱減去內(nèi)圓柱體積）加上正方體體積減去內(nèi)切圓柱體積．組合體的表面包含下面幾個(gè)部分：外圓柱側(cè)面在正方體外面的部分，正方體上下兩個(gè)底面去掉其內(nèi)切圓的部分，圓筒的上下兩個(gè)底面（兩個(gè)圓環(huán)），正方體的4個(gè)側(cè)面，內(nèi)圓柱的側(cè)面，面積相加可得．【詳解】由圖可知，組合體的體積SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).故選：BD．22．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“端午節(jié)”為中國(guó)國(guó)家法定節(jié)假日之一，已被列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，吃粽子便是端午節(jié)食俗之一．全國(guó)各地的粽子包法各有不同．如圖，粽子可包成棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正四面體狀的三角粽，也可做成底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0（不含外殼）的圓柱狀竹筒粽．現(xiàn)有兩碗餡料，若一個(gè)碗的容積等于半徑為SKIPIF1<0的半球的體積，則（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）A．這兩碗餡料最多可包三角粽35個(gè)B．這兩碗餡料最多可包三角粽36個(gè)C．這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個(gè)D．這兩碗餡料最多可包竹筒粽20個(gè)【答案】AC【分析】分別求出一個(gè)正四面體狀的三角粽的體積，一個(gè)圓柱狀竹筒粽得體積及兩碗餡料得體積，即可得出答案.【詳解】解：兩碗餡料得體積為：SKIPIF1<0，如圖，在正四面體SKIPIF1<0中，CM為AB邊上得中線，O為三角形ABC的中心，則OD即為正四面體的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以正四面體的體積為SKIPIF1<0，即一個(gè)正四面體狀的三角粽的體積為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以這兩碗餡料最多可包三角粽35個(gè)，故A正確，B錯(cuò)誤；一個(gè)圓柱狀竹筒粽得體積為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個(gè)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.23．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建筑下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為SKIPIF1<0，側(cè)棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0米，則該正四棱錐的（

）A．底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0米 B．側(cè)棱與底面所成角的余弦值為SKIPIF1<0C．側(cè)面積為SKIPIF1<0平方米 D．體積為SKIPIF1<0立方米【答案】ACD【分析】畫(huà)出幾何體的直觀圖，結(jié)合已知條件求得棱錐的底面邊長(zhǎng)，逐項(xiàng)求解，即可得到答案.【詳解】如圖所示，在正四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為正方形SKIPIF1<0的中心，且SKIPIF1<0，設(shè)底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以正四棱錐SKIPIF1<0的底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，所以A正確；因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為側(cè)棱SKIPIF1<0與底面所成的角，在直角SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，所以B錯(cuò)誤；正四棱錐SKIPIF1<0的側(cè)面積為SKIPIF1<0平方米，所以C正確；正四棱錐SKIPIF1<0的側(cè)體積為SKIPIF1<0立方米，所以D正確.故選：ACD.24．（2022秋·湖北襄陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐被稱(chēng)為“鱉臑”.在鱉臑SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0可能成立 B．SKIPIF1<0可能成立C．SKIPIF1<0一定成立 D．SKIPIF1<0可能成立【答案】BCD【分析】利用線面垂直的判定與性質(zhì)判斷出線線是否垂直，即可判斷對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積是否為0．【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0一定成立；故C正確．若SKIPIF1<0，如圖所示：則△SKIPIF1<0為直角三角形，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以△SKIPIF1<0,△SKIPIF1<0均為直角三角形.所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.在△SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可知，三邊不滿足勾股定理，所以△SKIPIF1<0不是直角三角形，三棱錐不是“鱉臑”.故A錯(cuò)誤．由三棱錐是“鱉臑”可知：△SKIPIF1<0為直角三角形.由上面的推理可知：SKIPIF1<0不成立，則SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，三棱錐是“鱉臑”；故B正確．同理可證：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，三棱錐是“鱉臑”；故D正確．故選：BCD25．（2022春·廣東廣州·高一廣州科學(xué)城中學(xué)?？计谥校┨瞥镍P鳥(niǎo)花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(如圖2)，當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁的表面積(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表面積為S平方厘米，半球的半徑為R厘米)固定時(shí)，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R的取值可能為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】首先設(shè)圓柱的高與半球的半徑分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，酒杯的容積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，即可得到答案.【詳解】設(shè)圓柱的高與半球的半徑分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，酒杯的容積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故選：AC.26．（2022·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）素描是使用單一色彩表現(xiàn)明暗變化的一種繪畫(huà)方法，素描水平反映了繪畫(huà)者的空間造型能力．“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時(shí)常用的幾何體實(shí)物模型，如圖是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品．“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對(duì)的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）．若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”由兩個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為6的正四棱柱構(gòu)成，則（

）A．一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線互相垂直B．該“十字貫穿體”的表面積是SKIPIF1<0C．該“十字貫穿體”的體積是SKIPIF1<0D．一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點(diǎn)SKIPIF1<0的最短路線長(zhǎng)為SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】根據(jù)圖形分別求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)合勾股定理判斷垂直；表面積是由4個(gè)正方形和16個(gè)與梯形BDEF全等的梯形組成，分別計(jì)算；體積用兩個(gè)柱體體積減去重疊部分體積；分別計(jì)算按SKIPIF1<0路線和在表面內(nèi)移動(dòng)最短的路徑長(zhǎng)．【詳解】如圖一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線CE、DE則在梯形BDEF中，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0根據(jù)立體圖可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0即CE、DE不垂直，A不正確；該“十字貫穿體”的表面積是由4個(gè)正方形和16個(gè)與梯形BDEF全等的梯形組成則表面積SKIPIF1<0，B正確；如圖兩個(gè)正四棱柱的重疊部分為多面體SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)I則多面體SKIPIF1<0可以分成8個(gè)全等三棱錐SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0該“十字貫穿體”的體積即為SKIPIF1<0，C正確；若按SKIPIF1<0路線，則路線長(zhǎng)為SKIPIF1<0若在表面內(nèi)移動(dòng)，則有：借助部分展開(kāi)圖，如圖所示：∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為鈍角，過(guò)B作NE的垂線BH，垂足為H，則BH在展開(kāi)圖內(nèi)SKIPIF1<0SKIPIF1<0根據(jù)對(duì)稱(chēng)可知此時(shí)最短路徑為SKIPIF1<0則從頂點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點(diǎn)SKIPIF1<0的最短路徑為SKIPIF1<0，D正確；故選：BCD．27．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）祖暅（公元5—6世紀(jì)，祖沖之之子），是我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家，他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異.”這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖將底面直徑皆為SKIPIF1<0，高皆為SKIPIF1<0的橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面SKIPIF1<0上，用平行于平面SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0距離為SKIPIF1<0的平面截兩個(gè)幾何體得到SKIPIF1<0及SKIPIF1<0兩截面，可以證明SKIPIF1<0總成立，若橢半球的短軸SKIPIF1<0，長(zhǎng)半軸SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢半球體的體積為30πB．橢半球體的體積為15πC．如果SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為球心的球在該橢半球內(nèi)，那么當(dāng)球SKIPIF1<0體積最大時(shí)，該橢半球體挖去球SKIPIF1<0后，體積為SKIPIF1<0D．如果SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為球心的球在該半球內(nèi)，那么當(dāng)球SKIPIF1<0體積最大時(shí)，該橢半球體挖去球SKIPIF1<0后，體積為SKIPIF1<0【答案】AC【分析】由題可得SKIPIF1<0，可判斷AB，利用橢圓的性質(zhì)可得球F的最大半徑為1，進(jìn)而可判斷CD.【詳解】由題意知，短軸SKIPIF1<0，長(zhǎng)半軸SKIPIF1<0的橢半球體的體積為SKIPIF1<0，∴A正確，B錯(cuò)誤；橢球的軸截面是橢圓，它的短半軸長(zhǎng)為3，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為5，所以半焦距為4，由于SKIPIF1<0，所以F橢圓的焦點(diǎn)，因此FD是橢圓的最小焦半徑，即球F的最大半徑為1，該橢半球體挖去球F后，體積為SKIPIF1<0，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題28．（2022秋·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，定義了三個(gè)特別重要而基本的多面體，它們是：（1）“塹堵”：兩個(gè)底面為直角三角形的直棱柱；（2）“陽(yáng)馬”：底面為長(zhǎng)方形，且有一棱與底面垂直的棱錐；（3）“鱉臑（biēnào）”：每個(gè)面都為直角三角形的四面體.魏晉時(shí)期的大數(shù)學(xué)家劉徽進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)“塹堵”都可以分割成一個(gè)“陽(yáng)馬”和一個(gè)“鱉臑”且“陽(yáng)馬”和“鱉臑”的體積比為定值.則此定值為_(kāi)_____.【答案】2:1【分析】畫(huà)出圖形，在圖形中分別表示出“陽(yáng)馬”和“鱉臑”的體積即可求解.【詳解】如圖所示，圖為底面為直角三角形的直三棱柱“嶄堵”，SKIPIF1<0，若以SKIPIF1<0作為“鱉臑”的底面，則可選點(diǎn)SKIPIF1<0或點(diǎn)SKIPIF1<0作為頂點(diǎn)，我們選取點(diǎn)SKIPIF1<0為例，連接SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0滿足條件，且棱錐SKIPIF1<0也滿足“陽(yáng)馬”的條件，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0且四邊形SKIPIF1<0為長(zhǎng)方形，設(shè)SKIPIF1<0，則“塹堵”的體積為SKIPIF1<0，“鱉臑”的體積為SKIPIF1<0，所以“陽(yáng)馬”的體積為SKIPIF1<0，所以“陽(yáng)馬”和“鱉臑”的體積比為2：1.故答案為:2:1.29．（2022秋·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）我國(guó)古代將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)作鱉臑，如圖，在鱉臑SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值為_(kāi)_____．（寫(xiě)出一個(gè)值即可，否則有兩個(gè)答案）【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（寫(xiě)出一個(gè)值即可）【分析】分類(lèi)討論SKIPIF1<0是等腰直角三角形中,SKIPIF1<0為直角，SKIPIF1<0為直角，SKIPIF1<0為直角，三種情況即可.【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0是等腰直角三角形，當(dāng)SKIPIF1<0為直角時(shí)，作正方形SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的平面角為SKIPIF1<0（或其補(bǔ)角），又由已知有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0是等腰直角三角形，當(dāng)SKIPIF1<0為直角時(shí)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0是等腰直角三角形，當(dāng)SKIPIF1<0為直角時(shí)，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不可能為直角三角形，不滿足題意.綜上可得異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.30．（2022春·浙江寧波·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）寧波老外灘天主教堂位于寧波市新江橋北堍，建于清同治十一年（公元1872年）.光緒二十五（1899年）增建鐘樓，整座建筑由教堂、鐘樓、偏屋組成，造型具有典型羅馬哥特式風(fēng)格.其頂端部分可以近似看成由一個(gè)正四棱錐和一個(gè)正方體組成的幾何體，且正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，其底面邊長(zhǎng)與正方體的棱長(zhǎng)均為SKIPIF1<0，則頂端部分的體積為_(kāi)_________.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】根據(jù)棱柱和棱錐的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可得如下直觀圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為正四棱錐的高，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0SKIPIF1<031．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）蹴鞠，2006年5月20日，已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類(lèi)似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)(不共面)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則該鞠（球）的體積為_(kāi)_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意可知，三棱錐SKIPIF1<0的外接球的體積即為所求鞠（球）的體積，且三棱錐SKIPIF1<0的三組對(duì)棱均相等，可將三棱錐SKIPIF1<0嵌入到長(zhǎng)方體中求解，即可得出三棱錐SKIPIF1<0外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】解：由題可知，三棱錐SKIPIF1<0的外接球的體積即為所求鞠（球）的體積，又SKIPIF1<0，故三棱錐SKIPIF1<0的三組對(duì)棱均相等，如圖，將三棱錐SKIPIF1<0嵌入到在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球即為在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0的外接球，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又長(zhǎng)方體SKIPIF1<0外接球的直徑即為長(zhǎng)方體SKIPIF1<0的體對(duì)角線，故三棱錐SKIPIF1<0的外接球的半徑為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的體積為：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.32．（2022春·福建泉州·高一泉州五中校考期中）“牟合方蓋”（圖①）是由我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造的，其構(gòu)成是由一個(gè)正方體從縱橫兩側(cè)面作內(nèi)切圓柱（圓柱的上下底面為正方體的上下底面，圓柱的側(cè)面與正方體側(cè)面相切）的公共部分組成的（圖②），假設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則其中一個(gè)內(nèi)切圓柱的表面積為_(kāi)__________；該正方體的內(nèi)切球也是“牟合方蓋”的內(nèi)切球，所以用任一平行于正方體底面的平面去截“牟合方蓋”，截面均為正方形，根據(jù)祖暅原理（夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任何平面所截，如果截得兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等）可得“牟合方蓋”的體積為_(kāi)___________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】根據(jù)正方形邊長(zhǎng)得出內(nèi)切圓柱底面半徑和高可求出表面積，求出截面正方形與其內(nèi)切圓面積比即可得出體積之比，進(jìn)而求出“牟合方蓋”的體積.【詳解】因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為2，則內(nèi)切圓柱底面半徑為1，高為2，所以其中一個(gè)內(nèi)切圓柱的表面積為SKIPIF1<0；因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為2，則內(nèi)切球半徑為1，所以?xún)?nèi)切球體積SKIPIF1<0，設(shè)截面正方形的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則其內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，所以截面正方形與其內(nèi)切圓面積比為SKIPIF1<0，設(shè)方蓋體積為SKIPIF1<0，則根據(jù)祖暅原理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.33．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一．香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲(chóng)、開(kāi)竅的．因地方習(xí)俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色色，玲瓏奪目．圖1的平行四邊形ABCD由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成．將它沿虛線折起來(lái)，可得圖2所示的六面體形狀的香囊．那么在圖2這個(gè)六面體中內(nèi)切球半徑為_(kāi)_________，體積為_(kāi)_________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】由兩個(gè)同底且棱長(zhǎng)都為1的正三棱錐構(gòu)成的幾何體求解.【詳解】解：如圖所示：易知該幾何體是側(cè)棱長(zhǎng)為1，以邊長(zhǎng)為1的等邊三角形SKIPIF1<0為底的兩個(gè)正三棱錐組成，O為SKIPIF1<0的中心，即內(nèi)切球的球心，M為FB的中點(diǎn)，連接HM，作SKIPIF1<0，則ON為內(nèi)切球的半徑，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以?xún)?nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，內(nèi)切球的體積為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<034．（2022·高二單元測(cè)試）《九章算術(shù)》第五卷中涉及一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無(wú)深，袤七尺．該羨除是一個(gè)多面體SKIPIF1<0，如圖，四邊形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為等腰梯形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，梯形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的高分別為3，7，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______，SKIPIF1<0______．【答案】

14

SKIPIF1<0【分析】首先以點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求數(shù)量積以及模.【詳解】過(guò)SKIPIF1<0分別作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂線，垂足分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖所示．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0