導(dǎo)數(shù)應(yīng)用專題8之06 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式(解析版)

第六篇導(dǎo)數(shù)專題06利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)考點(diǎn)考點(diǎn)一常規(guī)不等式的證明典例1．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性．(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由已知可得，求出的值，然后分別解不等式、，可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得，可證得結(jié)論成立.(1)解：因?yàn)?，所以，解得，所以．函?shù)的定義域?yàn)?，令，得；令，得．所以函?shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.(2)證明：要證，即證，只需證．令，其中，則．令，則，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，，所以存在，使，可得，?dāng)時(shí)，，即，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，則在上單調(diào)遞增．所以．所以，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).變式1-1．已知函數(shù)．(1)試比較與的大?。?2)證明：，．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，求出單調(diào)性，極值，最值，得到結(jié)果；（2）在第一問(wèn)求解的基礎(chǔ)上，通過(guò)變形得到，再經(jīng)過(guò)放縮證明出不等式.(1)．理由如下：設(shè)，則．由，得；由，得．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在x=0處取得極小值，也是最小值，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．(2)證明：由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．，從而，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故．因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，即，即．【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)證明不等式，放縮是一種常見(jiàn)方法，常見(jiàn)的放縮有切線放縮，最值放縮等，比如本題中所用的，（）為切線放縮，而為最值放縮.變式1-2．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，得到和，進(jìn)而求得切線的方程；（2）令，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，得到，即，得到，再令，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，得到，兩式相加，即可求解.(1)解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得，所以，因?yàn)?，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即曲線在點(diǎn)處的切線方程.(2)證明：令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，則①.令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以②，①②可得，即.變式1-3．已知函數(shù)．(1)若，證明：在上存在唯一的零點(diǎn)；(2)若，證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再由零點(diǎn)存在性定理求證即可；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分析當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于等于0，利用函數(shù)單調(diào)遞增，求出函數(shù)的最小值即可證明.(1)當(dāng)時(shí)，，故，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，由零點(diǎn)存在性定理知，在上存在唯一的零點(diǎn).(2)，，當(dāng)時(shí)，，令，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，令，則，故時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，，，綜上可知，時(shí)，，故，在時(shí)單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，．考點(diǎn)二含n不等式的證明典例2．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：…【答案】(1)分類討論，答案見(jiàn)解析.(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用換元法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)的單調(diào)性得到，結(jié)合累加法證得.當(dāng)時(shí)，根據(jù)的單調(diào)性得到，結(jié)合累加法證得.從而證得原不等式成立.(1)令，∵①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都有是上的增函數(shù)，由于當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；②當(dāng)，對(duì)任意都有是上的減函數(shù)，從而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，則，則在遞增，在遞減從而在區(qū)間和單調(diào)遞增，在區(qū)間和單調(diào)遞減.綜上所述，①當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減；②當(dāng)時(shí)，從而在區(qū)間和單調(diào)遞增，在區(qū)間和單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；(2)①當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞減，令，有，即累加得.②當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞增，令，有，即累加得從而對(duì)任意都成立．【點(diǎn)睛】證明有兩個(gè)不等號(hào)的不等式成立，可分別證明這兩個(gè)不等式連接的式子成立，從而證得不等式成立.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可以根據(jù)“同增異減”來(lái)判斷.變式2-1．已知函數(shù)，.(1)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）等價(jià)于，即，記，只要證明即可，分，和三種情況討論函數(shù)的最值，從而可得出答案；（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上成立，即，令，則，由此即可證得結(jié)論.(1)解：等價(jià)于，即，記，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，由，，所以，即不恒成立；當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則，所以不恒成立；當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即恒成立，所以在上恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是；(2)證明：當(dāng)時(shí)，在上成立，即，令，則，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問(wèn)題和不等式的證明問(wèn)題，考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)換思想，有一定的難度.變式2-2．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－.(1)求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(x)＝，對(duì)?x1(0，＋∞)，?x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)證明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).【答案】(1)a＝1，增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(3)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義先求出，再求導(dǎo)解不等式可得單調(diào)區(qū)間；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(x)max≤g(x)max，再分別求最大值建立不等式即可求解；（3）根據(jù)（1）中的不等式放縮，再通過(guò)裂項(xiàng)相消法求和可證明.(1)由已知得f′(x)＝－a，∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.于是f′(x)＝－1＝，當(dāng)x(0，1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞).(2)由(1)知x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即f(x1)的最大值為0，由題意知：對(duì)?x1(0，＋∞)，?x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，只需f(x)max≤g(x)max.∵g(x)＝，（等號(hào)成立）∴只需，解得.(3)證明：要證明(nN*，n≥2).只需證，只需證.由(1)當(dāng)x(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，f(x)＝lnx－x＋1≤0，即lnx≤x－1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，，，所以＝，∴.變式2-3．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)求證：（，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）不等式恒成立，即恒成立.再構(gòu)造函數(shù)，只需即可.（2）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，對(duì)所求的式子兩邊取對(duì)數(shù)證明，即可得到答案；(1)因當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立.設(shè)，只需即可.由，（i）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立；（ii）當(dāng)時(shí)，由，因，所以，①若，即時(shí)，在區(qū)間上，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上無(wú)最大值；②若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無(wú)最大值，不滿足條件；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，因，∴，∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)當(dāng)時(shí)，在上恒成立，又，，∴.鞏固練習(xí)練習(xí)一常規(guī)不等式的證明1．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)x>0時(shí)，證明：【答案】(1)極大值為，無(wú)極小值(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）首先確定定義域?yàn)榍髮?dǎo)可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分和時(shí)，兩種情況討即可得解；（2）要證即證，令，求導(dǎo)利用隱零點(diǎn)問(wèn)題的解決方法求得即可.(1)定義域?yàn)椋瑒t，時(shí)，，在單調(diào)遞增，時(shí)，，在單調(diào)遞減，故函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值(2)證明等價(jià)證明（），即.令，令，則在上單調(diào)遞增，而，故在上存在唯一零點(diǎn)，且，時(shí)，，在上單調(diào)遞減；時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，又因?yàn)榧?，所以，從而，即【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)函數(shù)則原函數(shù)為增函數(shù)，原函數(shù)為減函數(shù)，同時(shí)考查了極值的概念.本題的關(guān)鍵點(diǎn)如下：（1）極值點(diǎn)在何處取得；（2）隱零點(diǎn)問(wèn)題在求最值中的運(yùn)用.2．已知函數(shù).(1)若，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)求證：當(dāng)時(shí)，（注：）.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求得，得出函數(shù)的單調(diào)性和，分和，兩種情況討論，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）中的單調(diào)性，證得當(dāng)時(shí)，恒成立，把不等式轉(zhuǎn)化為證明，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性性與最小值，證得，進(jìn)而證得恒成立.(1)解：由題意，函數(shù)，可得，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有且只有一個(gè)零點(diǎn)綜上：當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn).(2)解：當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，即當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)?，所以，要證，只需證，只需證，只需證，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又由不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以恒成立.3．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及在上的最小值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)答案不唯一，見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性分類討論求出最小值．（2）先引入函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)證明，然后利用不等式性質(zhì)得，要證不等式轉(zhuǎn)化為只要證，再引入新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求得最小值可得證．(1)由，得，，令，得，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.①當(dāng)，即時(shí)，與題設(shè)矛盾，舍去，②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此；③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此.綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.(2)證明：設(shè)，，則，易得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，故恒成立.

要證，只需證，因?yàn)?，所以，故只需證（因時(shí)，左邊小于右邊，所以可以帶等號(hào)），即.令，則，易得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，故.因此當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，證明函數(shù)不等式．難點(diǎn)是不等式的證明，需要引入函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合不等式的性質(zhì)可使函數(shù)簡(jiǎn)化，問(wèn)題簡(jiǎn)化，本題屬于較難題．4．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)的單調(diào)性，即可證明；若，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，存在，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得到，又由，得，即，再求出，即可證明．(1)由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，．令，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，，所以．當(dāng)時(shí)，，，，所以．所以（即）在上單調(diào)遞減．又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)由（1）知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；若，當(dāng)時(shí)，，，，所以．當(dāng)時(shí)，，，，所以，所以（即）在上單調(diào)遞減．又，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，又由，得，即，所以，因?yàn)?，所以，，，，所以．所以，綜上所述，．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；(4)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．練習(xí)二含n不等式的證明5．已知函數(shù).(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)證明：(，).【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析﹒【解析】【分析】(1)參變分離不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值即可；(2)利用(1)的結(jié)論，令k＝1，得(x＞1)，令，得，從而可求所給式子的范圍.(1)，令，則＝，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，單調(diào)遞減，∴，∴；(2)由(1)知，時(shí)，有不等式對(duì)任意恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“＝”號(hào)，∴，恒成立，令(，且)，則，∴，即(，)，∴(，).【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是利用(1)中的結(jié)論，取k＝1時(shí)得到不等式，從而得到x＞1時(shí)，，令，即可構(gòu)造不等式，從而通過(guò)裂項(xiàng)相消法求出的范圍，從而證明結(jié)論.6．已知函數(shù)在處取得極值(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式都成立.【答案】(1)增區(qū)間是，減區(qū)間是(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用極值點(diǎn)列方程求出，代入，求導(dǎo)即可得單調(diào)性；（2）由（1）可得，令，則，利用其即可證明不等式.(1)，為的極值點(diǎn)，令＋－的增區(qū)間是，減區(qū)間是；(2)由（1）知當(dāng)時(shí)，，即令，則，即，即7．已知函數(shù).(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）分離變量得到，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可得結(jié)果；（2）當(dāng)，時(shí)可證得，放縮可得，利用等比數(shù)列求和公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求得，由此可得結(jié)論.(1)由題意得：定義域?yàn)椋挥傻茫?；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)由（1）知：當(dāng)，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，即；，，即，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到恒成立問(wèn)題求解和不等式的證明問(wèn)題；證明不等式的關(guān)鍵是能夠充分利用（1）中