專題12 數(shù)列-【好題匯編】五年（2020-2024）高考數(shù)學真題分類匯編（含答案解析）

專題12數(shù)列考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點01等差等比數(shù)列應用2023天津甲乙Ⅱ卷2022乙卷2020北京卷等差等比數(shù)列及求和在高考中主要考查基本量的基本運算，是常規(guī)求和方法發(fā)的基本應用。包括：錯位相減求和，奇偶性求和，列項求和等。考點02數(shù)列求和2024甲天津卷2023ⅠⅡ甲乙卷2022甲卷2021ⅠⅡ乙卷2020浙江ⅠⅡ卷考點03數(shù)列情景類問題2024北京2023北京2021北京Ⅰ卷2020Ⅱ卷情景化與新定義是高考的一個新的考點，一般采用學過的知識去解決新定義問題，因加以重視，是高考的一個方向，并且作為壓軸題的可能性比較大，難度大?？键c04數(shù)列新定義問題2024Ⅰ北京卷2023北京卷考點05數(shù)列與其他知識點交匯及綜合問題2024Ⅱ卷2023北京天津乙Ⅱ卷2022北京浙江ⅠⅡ卷2021甲浙江2020浙江Ⅱ卷知識的綜合是未來高考的一個重要方向，主要是數(shù)列與統(tǒng)計概率相結合，數(shù)列作為一個工具與解析幾何，函數(shù)結合等，屬于中等難度?？键c01等差等比數(shù)列應用一選擇題1．(2020北京高考·第8題)在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列()．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】B【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項，由于，故數(shù)列中的正項只有有限項：，．故數(shù)列中存在最大項，且最大項為．故選：B．2．(2023年天津卷·第6題)已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為 ()A．3 B．18 C．54 D．152【答案】C解析：由題意可得：當時，，即，①當時，，即，②聯(lián)立①②可得，則．故選：C．3．(2023年新課標全國Ⅱ卷·第8題)記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則 ()．A．120 B．85 C． D．【答案】C解析：方法一：設等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當時，，即為，易知，，即；當時，，與矛盾，舍去．故選：C．4．(2023年全國甲卷理科·第5題)設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則 ()A． B． C．15 D．40【答案】C解析：由題知,即,即,即．由題知,所以．所以．故選:C．5．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(理)·第8題)已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則 ()A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D解析：設等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以．故選：D．二、填空題3．(2023年全國乙卷理科·第15題)已知為等比數(shù)列，，，則______．【答案】解析：設的公比為，則，顯然，則，即，則，因為，則，則，則，則，故答案為：．考點02數(shù)列求和一選擇題1．（2024·全國·高考甲卷文）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D2．（2024·全國·甲卷）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由結合等差中項的性質(zhì)可得，即可計算出公差，即可得的值.【詳解】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.3．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第6題)數(shù)列中，，，若，則 ()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C解析：在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得．故選：C．【點睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關鍵就是求出數(shù)列的通項公式，考查計算能力，屬于中等題．二、填空題4．(2020年浙江省高考數(shù)學試卷·第11題)已知數(shù)列{an}滿足，則S3=________．【答案】10解析：因為，所以．即．5．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學（海南）·第15題)將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．【答案】解析：因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項和為，故答案為：．三解答題：6．(2023年新課標全國Ⅱ卷·第18題)已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．【答案】(1)；(2)證明見解析．解析：(1)設等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項公式是．(2)方法1：由(1)知，，，當為偶數(shù)時，，，當時，，因此，當為奇數(shù)時，，當時，，因此，所以當時，．方法2：由(1)知，，，當為偶數(shù)時，，當時，，因此，當為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當為奇數(shù)時，，當時，，因此，所以當時，．7．(2021年新高考Ⅰ卷·第17題)已知數(shù)列滿足，(1)記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；(2)求的前20項和．【答案】；．【解析】(1)由題設可得又，，故即即所以為等差數(shù)列，故．(2)設的前項和為，則，因為，所以．8．(2021年高考全國乙卷理科·第19題)記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求的通項公式．【答案】(1)證明見解析；(2)．解析：(1)由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;(2)由(1)可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，,,當n=1時，,當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴．9．(2023年新課標全國Ⅰ卷·第20題)設等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．(1)若，求的通項公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．【答案】(1)(2)解析：(1)，，解得，，又，，即，解得或(舍去)，．(2)為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，，即，解得或(舍去)當時，，解得，與矛盾，無解；當時，，解得．綜上，．10．(2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）·第17題)記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】(1)解：因為，即①，當時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．(2)解：由(1)可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當或時．11．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第17題)記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求使成立的n的最小值．【答案】【解析】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項公式為：．(2)由數(shù)列的通項公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為．12（2023年全國乙卷）1．記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因為，令，解得，且，當時，則，可得；當時，則，可得；綜上所述：.13．(2020年新高考全國Ⅰ卷（山東）·第18題)已知公比大于的等比數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2)．解析：(1)由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設首項為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項公式為．(2)由于，所以對應的區(qū)間為：，則；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個．所以．14．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學（海南）·第18題)已知公比大于的等比數(shù)列滿足．(1)求通項公式；(2)求．【答案】(1)；(2)解析：(1)設等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數(shù)列的通項公式為：．(2)由于：，故：．15．(2023年全國甲卷理科·第17題)設為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)解析：(1)因為，當時，，即；當時，，即，當時，，所以，化簡得：，當時，，即，當時都滿足上式，所以．(2)因為，所以，，兩式相減得，，，即，．16.(2020天津高考·第19題)已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(Ⅰ)求和的通項公式；(Ⅱ)記的前項和為，求證：；(Ⅲ)對任意的正整數(shù)，設求數(shù)列的前項和．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)．【解析】(Ⅰ)設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．由，，可得．從而的通項公式為．由，又，可得，解得，從而的通項公式為．(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以．(Ⅲ)當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，對任意的正整數(shù)，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：．因此，．所以，數(shù)列的前項和為．17（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項和為．若．(1)求數(shù)列前項和；(2)設，．（ⅰ）當時，求證：；（ⅱ）求．【答案】(1)(2)①證明見詳解；②【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，因為，即，可得，整理得，解得或（舍去），所以.（2）（i）由（1）可知，且，當時，則，即可知，，可得，當且僅當時，等號成立，所以；（ii）由（1）可知：，若，則；若，則，當時，，可知為等差數(shù)列，可得，所以，且，符合上式，綜上所述：.考點03數(shù)列情景類題目一、選擇題1．(2020年高考課標Ⅱ卷理科)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石) () ()A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C解析：設第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，設為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以．故選：C2．(2022新高考全國II卷·第3題)圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0．1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0．725，則 () ()A．0．75 B．0．8 C．0．85 D．0．9【答案】D解析：設，則，依題意，有，且，所以，故．故選D．3．(2021高考北京·第6題)《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種．這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．160【答案】C解析：由題意，五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，設公差為，因為，，可得，可得，又由長與寬之比都相等，且，可得，所以．故選：C．二、填空題4．(2023年北京卷·第14題)我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權”．已知9枚環(huán)權的質(zhì)量(單位：銖)從小到大構成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則___________；數(shù)列所有項的和為____________．【答案】①．48②．384解析：方法一：設前3項的公差為，后7項公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因為為等比數(shù)列，則，且，所以；又因為，則；空2：設后7項公比為，則，解得，可得，所以．故答案為：48；384．5．(2021年新高考Ⅰ卷·第16題)某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______．【答案】5【解析】(1)對折次可得到如下規(guī)格：，，，，，共種；(2)由題意可得，，，，，，設，則，兩式作差得，因此，,故答案為；．6（2024·北京·高考真題）設與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.其中正確結論的序號是.【答案】①③④【分析】利用兩類數(shù)列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對于①，因為均為等差數(shù)列，故它們的散點圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個公共點，故中至多一個元素，故①正確.對于②，取則均為等比數(shù)列，但當為偶數(shù)時，有，此時中有無窮多個元素，故②錯誤.對于③，設，，若中至少四個元素，則關于的方程至少有4個不同的正數(shù)解，若，則由和的散點圖可得關于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；若，考慮關于的方程奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，當有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個偶數(shù)解，當有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個奇數(shù)解，因為，不可能同時成立，故不可能有4個不同的整數(shù)解，即M中最多有3個元素，故③正確.對于④，因為為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點圖呈上升趨勢，后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.故答案為：①③④.考點04數(shù)列新定義問題1（2024·全國·高考Ⅰ卷）設m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分數(shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分數(shù)列；(2)當時，證明：數(shù)列是可分數(shù)列；(3)從中一次任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分數(shù)列的概率為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）首先，我們設數(shù)列的公差為，則.由于一個數(shù)列同時加上一個數(shù)或者乘以一個非零數(shù)后是等差數(shù)列，當且僅當該數(shù)列是等差數(shù)列，故我們可以對該數(shù)列進行適當?shù)淖冃?，得到新?shù)列，然后對進行相應的討論即可.換言之，我們可以不妨設，此后的討論均建立在該假設下進行.回到原題，第1小問相當于從中取出兩個數(shù)和，使得剩下四個數(shù)是等差數(shù)列.那么剩下四個數(shù)只可能是，或，或.所以所有可能的就是.（2）由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下兩個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組.（如果，則忽略②）故數(shù)列是可分數(shù)列.（3）定義集合，.下面證明，對，如果下面兩個命題同時成立，則數(shù)列一定是可分數(shù)列：命題1：或；命題2：.我們分兩種情況證明這個結論.第一種情況：如果，且.此時設，，.則由可知，即，故.此時，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下三個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組；③，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）故此時數(shù)列是可分數(shù)列.第二種情況：如果，且.此時設，，.則由可知，即，故.由于，故，從而，這就意味著.此時，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下四個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，，共組；③全體，其中，共組；④，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）這里對②和③進行一下解釋：將③中的每一組作為一個橫排，排成一個包含個行，個列的數(shù)表以后，個列分別是下面這些數(shù)：，，，.可以看出每列都是連續(xù)的若干個整數(shù)，它們再取并以后，將取遍中除開五個集合，，，，中的十個元素以外的所有數(shù).而這十個數(shù)中，除開已經(jīng)去掉的和以外，剩余的八個數(shù)恰好就是②中出現(xiàn)的八個數(shù).這就說明我們給出的分組方式滿足要求，故此時數(shù)列是可分數(shù)列.至此，我們證明了：對，如果前述命題1和命題2同時成立，則數(shù)列一定是可分數(shù)列.然后我們來考慮這樣的的個數(shù).首先，由于，和各有個元素，故滿足命題1的總共有個；而如果，假設，則可設，，代入得.但這導致，矛盾，所以.設，，，則，即.所以可能的恰好就是，對應的分別是，總共個.所以這個滿足命題1的中，不滿足命題2的恰好有個.這就得到同時滿足命題1和命題2的的個數(shù)為.當我們從中一次任取兩個數(shù)和時，總的選取方式的個數(shù)等于.而根據(jù)之前的結論，使得數(shù)列是可分數(shù)列的至少有個.所以數(shù)列是可分數(shù)列的概率一定滿足.這就證明了結論.2（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進行如下變換：將的第項均加1，其余項不變，得到的數(shù)列記作；將的第項均加1，其余項不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項都相等”的充要條件為“”．【答案】(1)(2)不存在符合條件的，理由見解析(3)證明見解析【詳解】（1）因為數(shù)列，由序列可得；由序列可得；由序列可得；所以.（2）解法一：假設存在符合條件的，可知的第項之和為，第項之和為，則，而該方程組無解，故假設不成立，故不存在符合條件的；解法二：由題意可知：對于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，假設存在符合條件的，且，因為，即序列共有8項，由題意可知：，檢驗可知：當時，上式不成立，即假設不成立，所以不存在符合條件的.（3）解法一：我們設序列為，特別規(guī)定.必要性：若存在序列，使得的各項都相等.則，所以.根據(jù)的定義，顯然有，這里，.所以不斷使用該式就得到，必要性得證.充分性：若.由已知，為偶數(shù)，而，所以也是偶數(shù).我們設是通過合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中，使得最小的一個.上面已經(jīng)說明，這里，.從而由可得.同時，由于總是偶數(shù)，所以和的奇偶性保持不變，從而和都是偶數(shù).下面證明不存在使得.假設存在，根據(jù)對稱性，不妨設，，即.情況1：若，則由和都是偶數(shù)，知.對該數(shù)列連續(xù)作四次變換后，新的相比原來的減少，這與的最小性矛盾；情況2：若，不妨設.情況2-1：如果，則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾；情況2-2：如果，則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾.這就說明無論如何都會導致矛盾，所以對任意的都有.假設存在使得，則是奇數(shù)，所以都是奇數(shù)，設為.則此時對任意，由可知必有.而和都是偶數(shù)，故集合中的四個元素之和為偶數(shù)，對該數(shù)列進行一次變換，則該數(shù)列成為常數(shù)列，新的等于零，比原來的更小，這與的最小性矛盾.綜上，只可能，而，故是常數(shù)列，充分性得證.解法二：由題意可知：中序列的順序不影響的結果，且相對于序列也是無序的，（ⅰ）若，不妨設，則，①當，則，分別執(zhí)行個序列、個序列，可得，為常數(shù)列，符合題意；②當中有且僅有三個數(shù)相等，不妨設，則，即，分別執(zhí)行個序列、個序列可得，即，因為為偶數(shù)，即為偶數(shù)，可知的奇偶性相同，則，分別執(zhí)行個序列，，，，可得，為常數(shù)列，符合題意；③若，則，即，分別執(zhí)行個、個，可得，因為，可得，即轉為①，可知符合題意；④當中有且僅有兩個數(shù)相等，不妨設，則，即，分別執(zhí)行個、個，可得，且，可得，即轉為②，可知符合題意；⑤若，則，即，分別執(zhí)行個、個，可得，且，可得，即轉為③，可知符合題意；綜上所述：若，則存在序列，使得為常數(shù)列；（ⅱ）若存在序列，使得為常數(shù)列，因為對任意，均有成立，若為常數(shù)列，則，所以；綜上所述：“存在序列，使得為常數(shù)列”的充要條件“”.3(2023年北京卷·第21題)已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù)．(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．【答案】(1)，，，(2)(3)證明見詳解解析：(1)由題意可知：，當時，則，故；當時，則，故；當時，則故；當時，則，故；綜上所述：，，，．(2)由題意可知：，且，因為，則，當且僅當時，等號成立，所以，又因為，則，即，可得，反證：假設滿足的最小正整數(shù)為，當時，則；當時，則，則，又因為，則，假設不成立，故，即數(shù)列是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以．(3)(ⅰ)若，構建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對任意，均有①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因為，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，使得；(ⅱ)若，構建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對任意，均有．①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因為，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，使得；綜上所述：存在使得．考點05數(shù)列與其他知識點交匯及綜合問題一、選擇題1．(2023年北京卷·第10題)已知數(shù)列滿足，則 ()A．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立【答案】B解析：法1：因為，故，對于A，若，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立，由數(shù)學歸納法可得成立．而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對部分成立，故A不成立．對于B，若可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立即由數(shù)學歸納法可得成立．而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確．對于C，當時，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立即由數(shù)學歸納法可得成立．而，故，故為減數(shù)列，又，結合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個數(shù)有限，矛盾，故C錯誤．對于D，當時，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立由數(shù)學歸納法可得成立．而，故，故為增數(shù)列，又，結合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個數(shù)有限矛盾，故D錯誤．故選：B．法2：因為，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對于A，因為，則，當時，，，則，假設當時，，當時，，則，綜上：，即，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設存常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯誤；對于B，因為，當時，，，假設當時，，當時，因為，所以，則，所以，又當時，，即，假設當時，，當時，因為，所以，則，所以，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，此時，取，滿足題意，故B正確；對于C，因為，則，注意到當時，，，猜想當時，，當與時，與滿足，假設當時，，當時，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，假設存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯誤；對于D，因為，當時，，則，假設當時，，當時，，則，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯誤．故選：B．2．(2020年浙江省高考數(shù)學試卷·第7題)已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是 ()A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．【答案】D解析：對于A，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，由可得，，A正確；對于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，由可得，B正確；對于C，，當時，，C正確；對于D，，，．當時，，∴即；當時，，∴即，所以，D不正確．故選：D3．(2022高考北京卷·第6題)設是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的 ()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù)．若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當時，；若，則，由可得，取，則當時，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”；若存在正整數(shù)，當時，，取且，，假設，令可得，且，當時，，與題設矛盾，假設不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列．所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”．所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的充分必要條件．故選,C．4．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第11題)0-1周期序列在通信技術中有著重要應用．若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期．對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是 ()A． B． C． D．【答案】C解析：由知，序列的周期為m，由已知，，對于選項A，，不滿足；對于選項B，，不滿足；對于選項D，，不滿足；故選：C【點晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學生對新定義的理解能力以及數(shù)學運算能力，是一道中檔題．5．(2023年全國乙卷理科·第10題)已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則 ()A．－1 B． C．0 D．【答案】B解析：依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，．故選：B二解答題6（2024·全國·高考Ⅱ卷）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構造點：過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設為的面積，證明：對任意正整數(shù)，.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）由已知有，故的方程為.當時，過且斜率為的直線為，與聯(lián)立得到.解得或，所以該直線與的不同于的交點為，該點顯然在的左支上.故，從而，.（2）由于過且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.展開即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點，故方程必有一根.從而根據(jù)韋達定理，另一根，相應的.所以該直線與的不同于的交點為，而注意到的橫坐標亦可通過韋達定理表示為，故一定在的左支上.所以.這就得到，.所以.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.（3）方法一：先證明一個結論：對平面上三個點，若，，則.（若在同一條直線上，約定）證明：.證畢，回到原題.由于上一小問已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以對任意的正整數(shù)，都有.而又有，，故利用前面已經(jīng)證明的結論即得.這就表明的取值是與無關的定值，所以.方法二：由于上一小問已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以對任意的正整數(shù)，都有.這就得到，以及.兩式相減，即得.移項得到.故.而，.所以和平行，這就得到，即.7．(2023年天津卷·第19題)已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項公式和．(2)已知為等比數(shù)列，對于任意，若，則，(Ⅰ)當時，求證：；(Ⅱ)求的通項公式及其前項和．【答案】(1)，；(2)(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項和為．解析：(1)由題意可得，解得，則數(shù)列的通項公式為，求和得．(2)(Ⅰ)由題意可知，當時，，取，則，即，當時，，取，此時，據(jù)此可得，綜上可得：．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，據(jù)此猜測，否則，若數(shù)列的公比，則，注意到，則不恒成立，即不恒成立，此時無法保證，若數(shù)列的公比，則，注意到，則不恒成立，即不恒成立，此時無法保證，綜上，數(shù)列的公比為，則數(shù)列的通項公式為，其前項和為：．8．(2022新高考全國I卷·第17題)記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析解析：(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；(2)∴9．(2020年浙江省高考數(shù)學試卷·第20題)已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．(Ⅰ)若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與an的通項公式；(Ⅱ)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．【答案】(I)；(II)證明見解析．解析：(I)依題意，而，即，由于，所以解得，所以．所以，故，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以．所以()．所以(II)依題意設，由于，所以，故．所以．由于，所以，所以．即，．10（2023年新高考Ⅱ卷）2．甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的