蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典專題2.9線段垂直平分線的性質(zhì)與判定大題專練(重難點(diǎn)培優(yōu))特訓(xùn)(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題2.9線段垂直平分線的性質(zhì)與判定大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)）【知識點(diǎn)1】利用線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行計算與證明1．（2021·江蘇淮安·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于12的長為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，過P、Q兩點(diǎn)作直線交BC于點(diǎn)D，求CD2．（2021·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D、交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長等于22cm．(1)證明：BE+EC=AC；(2)求AC的長．3．（2022·江蘇·九年級期中）如圖，在△ABC中，AB＞AC，按以下步驟作圖：分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于12BC長為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN交AB于點(diǎn)D；連接CD(1)則MN是BC的線．(2)若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周長．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）使用直尺與圓規(guī)完成下面作圖，（不寫作法，保留作圖痕跡，用水筆描黑）(1)在AB上找一點(diǎn)P使得P到AC和BC的距離相等；(2)在射線CP上找一點(diǎn)Q，使得QB＝QC；(3)若BC＝10，則點(diǎn)Q到邊AC的距離為．5．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，DE為邊BC的垂直平分線，與邊BC、AB分別交于D、E兩點(diǎn)．求AC和AE的長．6．（2021·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，△ABC中，BC的垂直平分線DE分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．（1）求證：∠A＝90°；（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的長．7．（2021·江蘇無錫·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點(diǎn)，AC的垂直平分線交AC、AD、AB于點(diǎn)E、F、G，連接CF，BF．（1）點(diǎn)F到△ABC的邊_______和_______的距離相等．（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度數(shù)和BC的長．8．（2021·江蘇·無錫市江南中學(xué)八年級期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．（1）求∠DAF的度數(shù)；（2）如果BC=8，求△DAF的周長．9．（2021·江蘇南通·八年級期中）如圖，已知點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求證：BD＝CE；（2）若點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，BD＝DE，求∠B的度數(shù)．10．（2021·江蘇·鹽城市大豐區(qū)實驗初級中學(xué)八年級期中）如圖，△ABC中，∠B＝90°，BC上一點(diǎn)D，BD=6，CD＝10（1）若AD平分∠BAC，求點(diǎn)D到AC邊的距離；（2）若點(diǎn)D恰好在AC邊的垂直平分線上，求AB的長．【知識點(diǎn)2】利用線段垂直平分線的判定進(jìn)行計算與證明11．（2019·江蘇·南京市第一中學(xué)八年級期中）如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．求證：AD垂直平分EF．12．（2021·江蘇宿遷·八年級期中）已知：如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．（1）AB=6，AC=8，求四邊形AEDF的周長；（2）求證：EF⊥AD．13．（2021·江蘇揚(yáng)州·八年級期中）如圖，AB=AC，DB=DC，點(diǎn)E在AD上，判斷EB與EC數(shù)量關(guān)系，并說明理由．14．（2020·江蘇南通·八年級期中）如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊作等邊△ABD，連接DC，以DC為邊作等邊△DCE，使點(diǎn)B和點(diǎn)E在CD的同側(cè)，CE與BD交于點(diǎn)F，連接BE．（1）根據(jù)題中給定的條件，補(bǔ)全圖形；（2）求證：△ACD≌△BCD；（3）求證：BD垂直平分CE．15．（2021·江蘇常州·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接BD，CE交于點(diǎn)F，CE∥AB．（1）判斷△DEF的形狀，并說明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的長．16．（2021·江蘇南京·八年級期中）如圖，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C．（1）求證：AB＝AC；（2）連接BC，求證：AD⊥BC．17．（2019·江蘇蘇州·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠ABD＝∠ACD＝20°，E為BD延長線上的一點(diǎn)，且AB＝AE．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：DE平分∠ADC；（3）請判斷AD，BD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．18．（2019·江蘇徐州·八年級期中）如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．（1）AB=6，AC=4，求四邊形AEDF的周長；（2）EF與AD有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．【知識點(diǎn)3】有關(guān)線段垂直平分線的作圖問題19．（2021·江蘇淮安·八年級期中）如圖，有點(diǎn)A、B、C、D，請用無刻度直尺和圓規(guī)畫出一點(diǎn)P，使PA＝PB且PC＝PD（不寫作法，請把作圖痕跡用黑水筆描清楚）．20．（2021·江蘇·常州市清潭中學(xué)九年級期中）如圖，A，B，C三點(diǎn)表示三個工廠，要建立一個供水站，使它到這三個工廠的距離相等，求作供水站的位置（不寫作法，尺規(guī)作圖）．21．（2021·江蘇揚(yáng)州·八年級期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形邊長都是1．（1）如圖1，畫出△ABC關(guān)于直線l對稱的圖形△A1B1C1；（2）如圖2，在直線l上找一點(diǎn)P，使PB＝PC；（要求：用圓規(guī)和直尺作圖）（3）如圖2，連接PA、PC，計算四邊形PABC的面積．（4）如圖3，已知直線m是一條小河，有一牧馬人準(zhǔn)備從A處牽馬去河邊飲水，然后返回B處，馬在何處飲水才能使所走的總路程最短，請在圖中作出該點(diǎn)Q的位置．22．（2020·江蘇·宜興市實驗中學(xué)八年級期中）請利用直尺完成下列問題（1）如圖（1）示，利用網(wǎng)格畫圖：①在BC上找一點(diǎn)P，使得P到AB和AC的距離相等；②在射線AP上找一點(diǎn)Q，使QB＝QC．（2）如圖（2）已知在△ABC中，AB＜AC＜BC，D是AC中點(diǎn)，在BC上一點(diǎn)E，利用尺規(guī)作圖作出直線DE，使直線DE平分△ABC周長（保留作圖痕跡）．23．（2020·江蘇·南京市第一中學(xué)八年級期中）如圖，在ΔABC中，AB>AC．

（1）用尺規(guī)作圖法在AB上找一點(diǎn)P，使得PB=PC．（保留作圖痕跡，不用寫作法）；（2）在（1）的條件下，連接PC，若AB=6，AC=4，求ΔAPC的周長．24．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）（1）請在下圖中畫出兩個以AB為腰的等腰△ABC．（要求：1.銳角三角形，直角三角形各畫一個；2.點(diǎn)C在格點(diǎn)上．）（2）如圖所示，OD和EF是兩條互相垂直的道路，A、B是某公司的兩個銷售點(diǎn)，公司要在C處修建一個貨運(yùn)站，使C到兩條道路的距離相等，且到A．B兩個銷售點(diǎn)的距離相等，請作出點(diǎn)C的位置．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題2.9線段垂直平分線的性質(zhì)與判定大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)）【知識點(diǎn)1】利用線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行計算與證明1．（2021·江蘇淮安·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于12的長為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，過P、Q兩點(diǎn)作直線交BC于點(diǎn)D，求CD【答案】8【解析】【分析】連接AD由PQ垂直平分線段AB，推出DA=DB，設(shè)DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根據(jù)AD2=AC2+CD2構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：連接AD．∵PQ垂直平分線段AB，∴DA=DB，設(shè)DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5-x）2，解得x=175∴CD=BC-DB=5-175=8故答案為85【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．2．（2021·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D、交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長等于22cm．(1)證明：BE+EC=AC；(2)求AC的長．【答案】(1)證明見解析(2)AC的長為12【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)定理可得AE=BE，等量代換可證結(jié)論；（2）由題意知BC+CE+BE=22cm，可求BE+CE的值，進(jìn)而可得AC(1)證明：∵

DE是線段AB的垂直平分線∴AE=BE∵AE+EC=AC∴BE+EC=AC．(2)解：∵△BCE的周長為22cm∴BC+CE+BE=22∵BC=10∴BE+CE=12∴AC=BE+CE=12∴AC的長為12cm．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)定理．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)定理．3．（2022·江蘇·九年級期中）如圖，在△ABC中，AB＞AC，按以下步驟作圖：分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于12BC長為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN交AB于點(diǎn)D；連接CD(1)則MN是BC的線．(2)若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周長．【答案】(1)垂直平分；(2)△ACD的周長＝12【解析】【分析】（1）先證明△BMN≌△CMN，得出∠BMN=∠CMN，再利用等腰三角形的“三線合一”即可得出答案；（2）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決問題即可．(1)解：如圖1，連接BM、CM、BN、CN，令MN與BC相交于點(diǎn)O，∵在△BMN和△CMN中，BM=BNCM=CN∴△BMN≌△CMN，∴∠BMN=∠CMN，∵BM=CM，∴直線MN是線段BC的垂直平分線，故答案為：垂直平分；(2)解：∵M(jìn)N垂直平分線段BC，∴DC＝DB，∴△ACD的周長＝AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝8+4＝12【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖——作線段垂直平分線以及線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）使用直尺與圓規(guī)完成下面作圖，（不寫作法，保留作圖痕跡，用水筆描黑）(1)在AB上找一點(diǎn)P使得P到AC和BC的距離相等；(2)在射線CP上找一點(diǎn)Q，使得QB＝QC；(3)若BC＝10，則點(diǎn)Q到邊AC的距離為．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)5【解析】【分析】（1）作出∠C的角平分線交AC于P，點(diǎn)P即為所求；(2)作線段BC的垂直平分線，交CP于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q即為所求；（3）如圖：BC的垂直平分線交BC于E，過Q作QF⊥AC于F點(diǎn)，根據(jù)CP為∠ACB的平分線，得到QF=QE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到∠QEC=90°，也可以證∠QCE=∠CQE，所以得到CE=QE=5，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到QF=QE=5，即可求解；(1)作出∠C的角平分線，標(biāo)出點(diǎn)P(2)作出BC的垂直平分線標(biāo)出點(diǎn)Q(3)如圖：BC的垂直平分線交BC于E，過Q作QF⊥AC于F點(diǎn)，∵QE為BC的垂直平分線，∴QE⊥BC，∠QEC=90°∵CP為∠ACB的平分線，∴QF=QE∴∠PCE=∠ACP=12∵∠QEC=90°∴∠CQE=90°-∠QCE=90°-45°=45°，所以∠QCE=∠CQE所以CE=QE∵QE為BC的垂直平分線，∴BE=CE=12∴CE=QE=5所以QF=QE=5∴點(diǎn)Q到邊AC的距離為5，故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查作圖，應(yīng)用與設(shè)計作圖，角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．5．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，DE為邊BC的垂直平分線，與邊BC、AB分別交于D、E兩點(diǎn)．求AC和AE的長．【答案】AC＝6，AE＝7【解析】【分析】在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理直接求得AC的長，連接AE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到BE=CE，設(shè)AE＝x，則BE＝8-x，在Rt△ACE中根據(jù)AE2＋AC2＝CE2列出等式解得即可．【詳解】在Rt△ABC中，∵AB2＋AC2＝BC2，∴82＋AC2＝102，∴AC＝6；連接CE，設(shè)AE＝x，則BE＝8-x，∵DE為邊BC的垂直平分線，∴CE＝BE＝8-x，在Rt△ACE中，∠A＝90°∴AE2＋AC2＝CE2，x2＋36＝（8－x）2，解得x＝74∴AE＝74【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線上的一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，△ABC中，BC的垂直平分線DE分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．（1）求證：∠A＝90°；（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的長．【答案】（1）見解析；（2）AC=4【解析】【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得結(jié)論；（2）首先確定BD的長，進(jìn)而可得CD的長，再利用勾股定理進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）證明：連接CD，∵BC的垂直平分線DE分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，∴CD＝DB，∵BD2﹣DA2＝AC2，∴CD2﹣DA2＝AC2，∴CD2＝AD2+AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，∴AD＝3，BD＝5，∴DC＝5，∴AC＝CD【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及其逆定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握勾股定理及其逆定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．（2021·江蘇無錫·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點(diǎn)，AC的垂直平分線交AC、AD、AB于點(diǎn)E、F、G，連接CF，BF．（1）點(diǎn)F到△ABC的邊_______和_______的距離相等．（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度數(shù)和BC的長．【答案】（1）AB，AC（或AC，AB）；（2）∠BFC＝90°，BC＝32【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到∠CAD＝∠BAD，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得點(diǎn)F到△ABC的邊AB和AC的距離相等；（2）首先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到AD垂直平分BC，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到CF＝BF，然后由EG垂直平分AC，得到AF＝CF，進(jìn)而得到AF＝CF＝BF＝3，根據(jù)等腰三角形等邊對等角以及外角的性質(zhì)得到∠CFD＝2∠CAD，∠BFD＝2∠BAD，即可求出∠BFC＝90°；在Rt△BFC中，根據(jù)勾股定理即可求出BC的長．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，D是BC中點(diǎn)，∴∠CAD＝∠BAD，∴點(diǎn)F到△ABC的邊AB和AC的距離相等；故答案為：AB和AC（或AC和AB）；（2）∵AB＝AC，D是BC中點(diǎn)，∴AD垂直平分BC，∴CF＝BF，∵EG垂直平分AC，∴AF＝CF，∴AF＝CF＝BF＝3，∵AF＝CF，∴∠FAC＝∠FCA，∴∠CFD＝∠FAC+∠FCA＝2∠CAD，同理可得：∠BFD＝2∠BAD，∴∠BFC＝2∠CAD+2∠BAD＝2∠BAC＝90°，在Rt△BFC中，∠BFC＝90°，∴BC＝BF2+CF2【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)定理和垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)定理和垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理．8．（2021·江蘇·無錫市江南中學(xué)八年級期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．（1）求∠DAF的度數(shù)；（2）如果BC=8，求△DAF的周長．【答案】（1）30°；（2）8【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠B+∠C；根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，DA=BD，F(xiàn)A=FC，則∠EAD=∠B，∠FAC=∠C，得出∠DAF=∠BAC-∠EAD-∠FAC=110°-（∠B+∠C）求出即可．（2）由（1）中得出，AD=BD，AF=FC，即可得出△DAF的周長為BD+FC+DF=BC，即可得出答案．【詳解】解：（1）設(shè)∠B=x，∠C=y．∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴105°+∠B+∠C=180°，∴x+y=75°．∵AB、AC的垂直平分線分別交BA于E、交AC于G，∴DA=BD，F(xiàn)A=FC，∴∠EAD=∠B，∠FAC=∠C．∴∠DAF=∠BAC-（x+y）=105°-75°=30°．（2）∵AB、AC的垂直平分線分別交BA于E、交AC于G，∴DA=BD，F(xiàn)A=FC，∴△DAF的周長=AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=8．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)．注意掌握垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用．9．（2021·江蘇南通·八年級期中）如圖，已知點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求證：BD＝CE；（2）若點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，BD＝DE，求∠B的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠B＝30°．【解析】【分析】（1）作AF⊥BC于點(diǎn)F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BF＝CF，DF＝EF，相減后即可得到正確的結(jié)論．（2）證明DA＝DE＝AE，得出△ADE是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ADE＝60°，由三角形外角的性質(zhì)則可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）解：∵點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，∴DA＝DB，∵DB＝DE，∴DA＝DE，∵AD＝EA，

∴DA＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝60°，∵∠ADE是△ADB的外角，∴∠ADE＝∠B+∠BAD，∵DA＝DB，∴∠B＝∠BAD＝30°．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．10．（2021·江蘇·鹽城市大豐區(qū)實驗初級中學(xué)八年級期中）如圖，△ABC中，∠B＝90°，BC上一點(diǎn)D，BD=6，CD＝10（1）若AD平分∠BAC，求點(diǎn)D到AC邊的距離；（2）若點(diǎn)D恰好在AC邊的垂直平分線上，求AB的長．【答案】（1）6；（2）8【解析】【分析】（1）過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）根據(jù)D恰好在AC邊的垂直平分線上得出AD=CD=10，在Rt△ABD中根據(jù)勾股定理即可得出AB的長．【詳解】（1）過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，∵AD平分∠BAC，∠B=90°，∴DH=BD=6，即點(diǎn)D到AC邊的距離是3；（2）∵點(diǎn)D恰好在AC邊的垂直平分線上，∴AD=CD=10，在Rt△ABD中，∵AD=10，BD=6，∴AB=AD【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．11．（2019·江蘇·南京市第一中學(xué)八年級期中）如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．求證：AD垂直平分EF．【答案】見解析【解析】【分析】證明△AED≌△AFD，可得AE=AF,DE=EF，進(jìn)而可得AD垂直平分EF．【詳解】證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠EAD=∠FAD,DE=EF又AD=AD∴△AED≌△AFD∴AE=AF∴A,D在EF的垂直平分線上即AD垂直平分EF．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與定義，全等三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的判定，掌握垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵．12．（2021·江蘇宿遷·八年級期中）已知：如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．（1）AB=6，AC=8，求四邊形AEDF的周長；（2）求證：EF⊥AD．【答案】（1）14；（2）見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=AE=12AB，DF=AF=1（2）根據(jù)到到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上證明即可．【詳解】（1）解：∵AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE=AE=12AB=12×6=3，DF=AF=12∴四邊形AEDF的周長=AE+DE+DF+AF=3+3+4+4=14；（2）證明：∵DE=AE，DF=AF，∴EF垂直平分AD，即：EF⊥AD．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，熟記性質(zhì)與線段垂直平分線的判定方法是解題得解．13．（2021·江蘇揚(yáng)州·八年級期中）如圖，AB=AC，DB=DC，點(diǎn)E在AD上，判斷EB與EC數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】EB=EC，理由見解析．【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】解：連接BC，∵AB=AC，∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上，又∵DB=DC，∴點(diǎn)D在BC的垂直平分線上，∵兩點(diǎn)確定一點(diǎn)直線，∴點(diǎn)AD是BC的垂直平分線，∵點(diǎn)E在直線AD上，∴EB=EC．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的判定和性質(zhì)，熟知垂直平分線上任意一點(diǎn)到兩頂點(diǎn)的距離相等是解本題的關(guān)鍵．14．（2020·江蘇南通·八年級期中）如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊作等邊△ABD，連接DC，以DC為邊作等邊△DCE，使點(diǎn)B和點(diǎn)E在CD的同側(cè)，CE與BD交于點(diǎn)F，連接BE．（1）根據(jù)題中給定的條件，補(bǔ)全圖形；（2）求證：△ACD≌△BCD；（3）求證：BD垂直平分CE．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的定義作圖連線即可；（2）根據(jù)等邊三角形及等腰直角三角形的定義，利用SSS證明；（3）證明△BED≌△ACD，推出BE=BC，得到點(diǎn)B在CE的垂直平分線上，根據(jù)ED=CD，得到點(diǎn)D在CE的垂直平分線上，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：補(bǔ)圖如下：（2）證明：∵△ABD和△DCE是等邊三角形，∴BD=AD，ED=CD，∠ADF=∠CDE=60°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC．在△ACD和△BCD中，AC=BC,∴△ACD≌△BCD（SSS）．（3）解：由（2）得△ACD≌△BCD，∴∠ADC=∠BDC=30°，∴∠BDE=60°-30°=30°．在△BED和△ACD中，BD=AD,∴△BED≌△ACD（SAS）．∴BE=AC．∴BE=BC．∴點(diǎn)B在CE的垂直平分線上．又ED=CD，∴點(diǎn)D在CE的垂直平分線上．∴BD垂直平分CE．【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的判定定理，作圖能力，掌握各知識點(diǎn)、邏輯推理能力是解題的關(guān)鍵．15．（2021·江蘇常州·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接BD，CE交于點(diǎn)F，CE∥AB．（1）判斷△DEF的形狀，并說明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的長．【答案】（1）△DEF是等邊三角形，見解析；（2）CF=4【解析】【分析】（1）證明△ABD是等邊三角形，可得∠ADB=60°，再由平行線的性質(zhì)可得∠CED=∠EDF=∠DFE=60°，則結(jié)論得證；（2）連接AC交BD于點(diǎn)O，由題意可證AC垂直平分BD，由△ABD是等邊三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=12，由（1）中△EDF是等邊三角形，可得EF=DE=4，可得CF的長．【詳解】解：（1）△DEF是等邊三角形．理由是：∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形．∴∠ABD=∠ADB=60°．∵CE∥AB，∴∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°，∴∠CED=∠ADB=∠DFE，∴△DEF是等邊三角形；（2）連接AC交BD于點(diǎn)O，∵AB=AD，CB=CD，∴AC是BD的垂直平分線，即AC⊥BD．∵AB=AD，∠BAD=60°，∴∠BAC=∠DAC=30°．∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°，∴AE=CE=8，∴DE=AD-AE=12-8=4．∵△DEF是等邊三角形，∴EF=DE=4，∴CF=CE-EF=8-4=4．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，線段垂直平分線的逆定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識，熟練運(yùn)用等邊三角形的判定是本題的關(guān)鍵．16．（2021·江蘇南京·八年級期中）如圖，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C．（1）求證：AB＝AC；（2）連接BC，求證：AD⊥BC．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意證明△ADB≌△ADC即可證明AB＝AC；（2）連接BC，由中垂線的逆定理證明即可．【詳解】證明：（1）∵在△ADB和△ADC中，∠ADB=∴△ADB≌△ADC（AAS），∴AB＝AC；（2）連接BC，∵△ADB≌△ADC，∴AB＝AC，BD＝CD，∴A和D都在線段BC的垂直平分線上，∴AD是線段BC的垂直平分線，即AD⊥BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及中垂線的逆定理，熟記相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．17．（2019·江蘇蘇州·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠ABD＝∠ACD＝20°，E為BD延長線上的一點(diǎn)，且AB＝AE．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：DE平分∠ADC；（3）請判斷AD，BD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）40°；（2）見解析；（3）DE＝AD＋BD，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和垂直平分線的判定可得∠ABC=∠ACB=50°，點(diǎn)A在線段BC的中垂線上，從而證出∠DBC=∠DCB，根據(jù)等角對等邊可得DB=DC，得出AD垂直平分BC，再根據(jù)三線合一即可求出結(jié)論；（2）利用三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)分別求出∠ADC和∠ADE，即可證出結(jié)論；（3）在DE上截取點(diǎn)F，使DF=AD，根據(jù)等邊三角形的判定證出△ADF為等邊三角形，從而得出∠AFD=60°，AD=AF，然后利用AAS證出△ABD≌△AEF，從而得出BD=EF，從而證出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝80°，∴∠ABC=∠ACB=12（180°－∠∵∠ABD＝∠ACD＝20°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=∠ACB－∠ACD=∠DCB∴DB=DC∴點(diǎn)D在線段BC的中垂線上∴AD垂直平分BC∵AB=AC∴AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=12∠（2）∵∠BAD=∠CAD=40°，∠ABD＝∠ACD＝20°∴∠ADC=180°－∠CAD－∠ACD=120°，∠ADE=∠BAD＋∠ABD=60°∴∠ADC=2∠ADE∴DE平分∠ADC；（3）DE＝AD＋BD，理由如下：在DE上截取點(diǎn)F，使DF=AD∵∠ADE=60°∴△ADF為等邊三角形∴∠AFD=60°，AD=AF∴∠ADB=180°－∠ADE=120°，∠AFE=180°－∠AFD=120°∴∠ADB=∠AFE∵AB＝AE∴∠ABE=∠E∴△ABD≌△AEF∴BD=EF∴DE=DF＋EF=AD＋BD【點(diǎn)睛】此題考查的是等腰三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、垂直平分線的判定和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握等腰三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、垂直平分線的判定和全等三角形的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（2019·江蘇徐州·八年級期中）如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．（1）AB=6，AC=4，求四邊形AEDF的周長；（2）EF與AD有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．【答案】（1）10；（2）EF垂直平分AD.【解析】【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)計算；（2）根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到E、F在線段AD的垂直平分線上，得到答案．【詳解】解：（1）∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴AE=12AB=3，AF=1∵AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE=12AB=3，DF=1∴四邊形AEDF的周長=AE+ED+DF+FA=10；（2）EF垂直平分AD．證明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵E是AB的中點(diǎn)，∴DE=AE，同理：DF=AF，∴E、F在線段AD的垂直平分線上，∴EF垂直平分AD.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、線段垂直平分線的判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【知識點(diǎn)3】有關(guān)線段垂直平分線的作圖問題19．（2021·江蘇淮安·八年級期中）如圖，有點(diǎn)A、B、C、D，請用無刻度直尺和圓規(guī)畫出一點(diǎn)P，使PA＝PB且PC＝PD（不寫作法，請把作圖痕跡用黑水筆描清楚）．【答案】作圖見解析【解析】【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合尺規(guī)作圖分別作出線段AB，CD的垂直平分線，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求：【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)及尺規(guī)作圖方法是解題關(guān)鍵．20．（2021·江蘇·常州市清潭中學(xué)九年級期中）如圖，A，B，C三點(diǎn)表示三個工廠，要建立一個供水站，使它到這三個工廠的距離相等，求作供水站的位置（不寫作法，尺規(guī)作圖）．【答案】見解析【解析】【分析】要使得供水站到三個廠的距離相等，即供水站要在線段AB、BC、AC的垂直平分線上，因此作出AB、BC、AC的垂直平分線，三者的交點(diǎn)P即為所求．【詳解】解：如圖所示：連接AB，AC，BC，以A、B為圓心，以大于AB長的一半為半徑畫弧，兩者分別交于M、N，連接M、N，則MN為線段AB的垂直平分線，同理作出線段AC，BC的線段垂直平分線，三者交點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．21．（2021·江蘇揚(yáng)州·八年級期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形邊長都是1．（1）如圖1，畫出△ABC關(guān)于直線l對稱的圖形△A1B1C1；（2）如圖2，在直線l上找一點(diǎn)P，使PB＝PC；（要求：用圓規(guī)和直尺作圖）（3）如圖2，連接PA、PC，計算四邊形PABC的面積．（4）如圖3，已知直線m是一條小河，有一牧馬人準(zhǔn)備從A處牽馬去河邊飲水，然后返回B處，馬在何處飲水才能使所走的總路程最短，請在圖中作出該點(diǎn)Q的位置．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）四邊形PABC的面積為152【解析】【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等，過BC中點(diǎn)D作DP⊥BC交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；（3）根據(jù)S四邊形PABC＝S△ABC＋S△APC列式計算即可得解；（4）過直線m作A點(diǎn)的對稱點(diǎn)A'，連接BA',與m【詳解】解：（1）△A1B1C1如圖所示；（2）如圖所示，作BC的垂直平分線交直線l于點(diǎn)P，此時PB＝PC；（3）如圖：S四邊形PABC