滬科版八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期考試滿分全攻略第19章幾何證明(基礎(chǔ)、?？肌⒁族e、壓軸)分類專項訓(xùn)練(原卷版+解析)

第19章幾何證明（基礎(chǔ)、常考、易錯、壓軸）分類專項訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（

）A．的三條中線的交點B．三邊的垂直平分線的交點C．三條角平分線的交點D．三條高所在直線的交點2．（2022·上海·八年級單元測試）三角形的外心是三角形的（

）A．三條中線的交點 B．三條角平分線的交點C．三邊垂直平分線的交點 D．三條高所在直線的交點3．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）下列命題中，真命題是（

）A．三角形的一個外角大于這個三角形的內(nèi)角B．如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等C．一對鄰補(bǔ)角的角平分線互相垂直D．面積相等的兩個三角形全等4．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到線段OB．若OA＝8，則點A經(jīng)過的路徑長度為（

）A． B． C． D．5．（2022·上海·同濟(jì)大學(xué)附屬七一中學(xué)八年級期中）下列語句不是命題的是（

）A．兩條直線相交有且只有一個交點 B．兩點之間線段最短C．延長AB到D，使 D．等角的補(bǔ)角相等6．（2022·上海浦東新·八年級期中）在下列各命題中，是假命題的是（）A．在一個三角形中，等邊對等角 B．全等三角形的對應(yīng)邊相等C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行 D．等角的補(bǔ)角相等7．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，已知釣魚竿的長為，露在水面上的魚線長為，某釣者想看看魚鉤上的情況，把魚竿轉(zhuǎn)動到的位置，此時露在水面上的魚線為，則的長為（

）A． B． C． D．8．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）下列命題中,其逆命題是真命題的命題個數(shù)（

)(1)全等三角形的對應(yīng)角相等;(2)對頂角相等;(3)等角對等邊;(4)兩直線平行,同位角相等;(5)全等三角形的面積相等;A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，若PR＝PS，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）（1）PQ＝PB；（2）AS＝AR；（3）△BRP≌△PSC（4）∠C＝∠SPCA．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題10．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）命題：“對頂角相等”的逆命題是_____________________________．11．（2022·上海市市西初級中學(xué)八年級期中）命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是_________．12．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）請寫出“兩直線平行，同位角相等”的結(jié)論：_____．13．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的_____．14．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）命題“如果，那么”的逆命題是_______，逆命題是______命題（填“真”或“假”）15．（2022·上海市南洋模范初級中學(xué)八年級期中）底邊為已知線段BC的等腰三角形ABC的頂點A的軌跡是_____．16．（2022·上海浦東新·八年級期中）“若，則，”_____命題（選填“是”或“不是”）．17．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題是________________．18．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_____________．19．（2022·上?！ね瑵?jì)大學(xué)附屬七一中學(xué)八年級期中）把命題“同角的余角相等”寫成“如果……，那么……”的形式為______．20．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）平面上經(jīng)過A、B兩點的圓的圓心的軌跡是_____．21．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）命題“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題為_____．22．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）到點A的距離等于6cm的點的軌跡是________________．23．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）“全等三角形的對應(yīng)角相等”的逆命題是_______________________________．24．（2022·上海·八年級期末）已知兩點A、B，到這兩點距離相等的點的軌跡是____________．25．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的長是_____．26．（2022·上海·八年級單元測試）已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點分別為A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B兩點間的距離等于_____．27．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）“若，則”的逆命題為___________________．三、解答題28．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在正方形中，點、分別在、邊上，且，聯(lián)結(jié)、．求證：．【?？肌恳唬x擇題（共5小題）1．（2020秋?閔行區(qū)期中）下列命題是真命題的是（）A．兩個銳角的和還是銳角 B．全等三角形的對應(yīng)邊相等 C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行 D．等腰三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形2．（2019秋?虹口區(qū)校級月考）如圖，BD，CE分別是△ABC的高線和角平分線，且相交于點O，若∠BCA＝70°，則∠BOE的度數(shù)是（）A．60° B．55° C．50° D．40°3．（2022秋?楊浦區(qū)期中）若兩條平行線被第三條直線所截，則下列說法錯誤的是（）A．一對同位角的平分線互相平行 B．一對內(nèi)錯角的平分線互相平行 C．一對同旁內(nèi)角的平分線互相平行 D．一對同旁內(nèi)角的平分線互相垂直4．（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一點D同時滿足以下三個條件：①在直角邊BC上；②在∠CAB的角平分線上；③在斜邊AB的垂直平分線上，那么∠B為（）A．15° B．30° C．45° D．60°5．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是（）A．0＜AD＜10 B．1＜AD＜5 C．2＜AD＜10 D．0＜AD＜5二．填空題（共11小題）6．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）將命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果…那么…”形式為．7．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）將一副三角板如圖所示放置（其中含30°角的三角板的一條較短直角邊與另一塊三角板的斜邊放置在一直線上），那么圖中∠1＝度．8．（2021秋?靜安區(qū)校級期末）命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題是．9．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）命題“同旁內(nèi)角相等，兩直線平行”是（填“真“或“假”）命題10．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）將命題“對頂角相等”改為“如果…那么…”的形式為：．11．（2022秋?虹口區(qū)校級期中）已知三條不同的直線a，b，c在同一平面內(nèi)，下列四個命題：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中正確的是．（填寫序號）12．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD與CE分別是斜邊AB上的高和中線，那么∠DCE＝度．13．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）如圖，在△ABC和△DEF中，∠ACB＝∠EFD＝90°，點B、F、C、D在同一直線上，已知AB⊥DE，且AB＝DE，AC＝6，EF＝8，DB＝10，則CF的長度為．14．（2020秋?徐匯區(qū)校級期中）“等腰三角形兩腰上的中線相等．”的逆命題是．15．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）在△ABC中，∠BAC＝α，邊AB的垂直平分線交邊BC于點D，邊AC的垂直平分線交邊BC于點E，連接AD，AE，則∠DAE的度數(shù)為．（用含α的代數(shù)式表示）16．（2022秋?虹口區(qū)校級期中）如圖，已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：DC＝5：3，則D點到AB的距離是．三．解答題（共2小題）17．（2022秋?靜安區(qū)校級期中）如圖①，點M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點M為△ABC的費馬點．若點M為△ABC的費馬點，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個作銳角三角形費馬點的簡便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點為M，則點M即為△ABC的費馬點．試說明這種作法的依據(jù)．18．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，對角線AC與BD相交于點O，M、N分別是邊BD、AC的中點．（1）求證：MN⊥AC；（2）當(dāng)AC＝8cm，BD＝10cm時，求MN的長．【易錯】一．選擇題（共4小題）1．（2022秋?黃浦區(qū)校級月考）下列命題中，是真命題的是（）A．從直線外一點向直線引垂線，這條垂線段就是這個點到這條直線的距離 B．過一點，有且只有一條直線與已知直線平行 C．兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ) D．兩點之間，線段最短2．（2021秋?浦東新區(qū)期末）下列三個數(shù)為邊長的三角形不是直角三角形的是（）A．3，3，3 B．4，8，4 C．6，8，10 D．5，5，53．（2021秋?浦東新區(qū)期中）在下列各原命題中，逆命題是假命題的是（）A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) B．如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應(yīng)邊相等 C．如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應(yīng)角相等 D．兩個相等的角是對頂角4．（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）BP和CP是△ABC兩個外角的平分線，則∠BPC為（）A． B．90°+ C．90°﹣ D．∠A二．填空題（共2小題）5．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）以線段MN為底邊的等腰三角形的頂角頂點的軌跡是．6．（2020秋?浦東新區(qū)校級月考）在△ABC中，AB＝13cm，AC＝15cm，高AD＝12cm，則BC＝．三．解答題（共1小題）7．（2019秋?浦東新區(qū)期末）如圖（1），已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點．（1）求證：MN⊥DE．（2）連接DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并證明猜想．（3）當(dāng)∠A變?yōu)殁g角時，如圖（2），上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立，若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由．【壓軸】一、單選題1．（2020·上海市曹楊第二中學(xué)附屬學(xué)校八年級期中）如圖，為的外角平分線上一點，過作于，交的延長線于，且滿足，則下列結(jié)論：①≌；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題2．（2022·上海市民辦文綺中學(xué)八年級階段練習(xí)）在中，，，點是中點，點在上，，將沿著翻折，點的對應(yīng)點是點，直線與交于點，那么的面積__________．三、解答題3．（2022·上海·測試·編輯教研五八年級期末）梯形中，，，，，點是中點，過點作的垂線交射線于點，的角平分線交射線于點，交直線于點．(1)當(dāng)點與點重合時，求的長；(2)若點在線段上，，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；(3)聯(lián)結(jié)、，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求的長．4．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，連接BD、EC，點M為EC的中點，連接BM、DM．(1)如圖1，當(dāng)點D、E分別在AC、AB上時，求證：△BMD為等腰直角三角形；(2)如圖2，將圖1中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，使點D落在AB上，此時（1）中的結(jié)論“△BMD為等腰直角三角形”還成立嗎？請對你的結(jié)論加以證明；(3)如圖3，將圖2中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．5．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，正比例函數(shù)的圖像與一個反比例函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)的交點為點A，過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，AB=3．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在直線AB上是否存在點C，使點C到直線OA的距離等于它到點B的距離？若存在，求點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)已知點P在直線AB上，如果△AOP是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．6．（2022·上海松江·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，點D是邊AC上一點（不與點A、C重合），EF垂直平分BD，分別交邊AB、BC于點E、F，聯(lián)結(jié)DE、DF．(1)如圖1，當(dāng)BD⊥AC時，求證：EF=AB；(2)如圖2，設(shè)CD=x，CF=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)BE=BF時，求線段CD的長．7．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）已知：如圖，在△ABC紙片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按圖所示的方法將△ACD沿AD折疊，使點C恰好落在邊AB上的點C′處，點P是射線AB上的一個動點．(1)求折痕AD長．(2)點P在線段AB上運(yùn)動時，設(shè)AP＝x，DP＝y(tǒng)．求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出此函數(shù)的定義域．(3)當(dāng)△APD是等腰三角形時，求AP的長．8．（2021·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）在直角梯形中，，，，聯(lián)結(jié)，如圖（a）．點沿梯形的邊，按照點移動，設(shè)點移動的距離為，．（1）當(dāng)點從點移動到點時，與的函數(shù)關(guān)系如圖（b）中折線所示．則______，_____，_____．（2）在（1）的情況下，點按照點移動（點與點不重合），是否能為等腰三角形？若能，請求出所有能使為等腰三角形的的值；若不能，請說明理由．9．（2021·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，點E、F分別在AB、AD上，AE=AF．連接CE、CF．（1）求證：CE=CF；（2）如果∠BAD=60°，CD=．①當(dāng)AF=時，設(shè)，求與的函數(shù)關(guān)系式；（不需要寫定義域）②當(dāng)AF=2時，求△CEF的邊CE上的高．10．（2020·上海市曹楊第二中學(xué)附屬學(xué)校八年級期中）如圖，在中，，平分線交于點，點為上一動點，過作直線于，分別交直線、、于點、、．（1）當(dāng)直線經(jīng)過點時（如圖2），求證：；（2）當(dāng)是線段的中點時，寫出線段和線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）請直接寫出、和之間的數(shù)量關(guān)系．第19章幾何證明（基礎(chǔ)、?？?、易錯、壓軸）分類專項訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（

）A．的三條中線的交點B．三邊的垂直平分線的交點C．三條角平分線的交點D．三條高所在直線的交點【答案】C【分析】根據(jù)題意，想到角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以要選角平分線的交點．【詳解】∵要使涼亭到草坪三邊的距離相等，∴涼亭應(yīng)在三條角平分線的交點處．故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，需要注意區(qū)分三角形中線的交點、高的交點、垂直平分線的交點以及角平分線的交點之間的區(qū)別．2．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）三角形的外心是三角形的（

）A．三條中線的交點 B．三條角平分線的交點C．三邊垂直平分線的交點 D．三條高所在直線的交點【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外心的定義（三角形的外心是三條邊的垂直平分線的交點）即可得．【詳解】解：三角形的外心是三角形的三邊垂直平分線的交點，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的外心，熟記定義是解題關(guān)鍵．3．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）下列命題中，真命題是（

）A．三角形的一個外角大于這個三角形的內(nèi)角B．如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等C．一對鄰補(bǔ)角的角平分線互相垂直D．面積相等的兩個三角形全等【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的概念、全等三角形的判定定理判斷即可．【詳解】解：A、三角形的一個外角大于這個三角形與它不相鄰的內(nèi)角，本選項說法是假命題，不符合題意；B、如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)，本選項說法是假命題，不符合題意；C、一對鄰補(bǔ)角的角平分線互相垂直，本選項說法是真命題，符合題意；D、面積相等的兩個三角形不一定全等，本選項說法是假命題，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．4．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到線段OB．若OA＝8，則點A經(jīng)過的路徑長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，再根據(jù)弧長公式，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∴點A經(jīng)過的路徑長度為．故選：C【點睛】本題主要考查了求弧長公式，熟練掌握弧長公式為（其中為圓心角，為半徑）是解題的關(guān)鍵．5．（2022·上?！ね瑵?jì)大學(xué)附屬七一中學(xué)八年級期中）下列語句不是命題的是（

）A．兩條直線相交有且只有一個交點 B．兩點之間線段最短C．延長AB到D，使 D．等角的補(bǔ)角相等【答案】C【分析】對事情進(jìn)行判斷真假的陳述句叫做命題，對選項逐個分析即可．【詳解】解：A、兩條直線相交有且只有一個交點，可以判斷是真的陳述句，是命題，不符合題意；B、兩點之間線段最短，可以判斷是真的陳述句，是命題，不符合題意；C、延長到D，使，不可以判斷真假，不是命題，符合題意；D、等角的補(bǔ)角相等，可以判斷是真的陳述句，是命題，不符合題意．故選：C【點睛】本題考查了命題的定義，理解其定義是解題的關(guān)鍵．6．（2022·上海浦東新·八年級期中）在下列各命題中，是假命題的是（）A．在一個三角形中，等邊對等角 B．全等三角形的對應(yīng)邊相等C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行 D．等角的補(bǔ)角相等【答案】C【分析】分別判斷命題的真假即可得出答案．【詳解】在一個三角形中，等邊對等角，正確，是真命題，則A不符合題意；全等三角形的對應(yīng)邊相等，正確，是真命題，則B不符合題意；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，故原命題錯誤，是假命題，則C符合題意；等角的補(bǔ)角相等，正確，是真命題，則D不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了命題的真假，掌握定義是解題的關(guān)鍵．即條件和結(jié)論相矛盾的命題是假命題．7．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，已知釣魚竿的長為，露在水面上的魚線長為，某釣者想看看魚鉤上的情況，把魚竿轉(zhuǎn)動到的位置，此時露在水面上的魚線為，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理分別求出AB和AB′，再根據(jù)BB′=AB-AB′即可得出答案．【詳解】∵AC＝6m，BC＝3m，∴AB＝＝＝3m，∵AC′＝6m，B′C′＝m，∴AB′＝＝＝m，∴BB′＝AB﹣AB′＝3﹣＝2m；故選：B．【點睛】考查了二次根式的應(yīng)用和勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出AB和AB′的長度．8．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）下列命題中,其逆命題是真命題的命題個數(shù)（

)(1)全等三角形的對應(yīng)角相等;(2)對頂角相等;(3)等角對等邊;(4)兩直線平行,同位角相等;(5)全等三角形的面積相等;A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】首先寫出各個命題的逆命題，再進(jìn)一步判斷真假．【詳解】（1）逆命題是：三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，錯誤；（2）逆命題是：相等的角是對頂角，錯誤；（3）逆命題是等邊對等角，正確；（4）逆命題是同位角相等，兩條直線平行，正確；（5）逆命題是面積相等，兩三角形全等，錯誤．故選：B．【點睛】本題主要考查了逆命題的定義及真假性，學(xué)生易出現(xiàn)只判斷原命題的真假，也就是審題不認(rèn)真，難度適中．9．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，若PR＝PS，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）（1）PQ＝PB；（2）AS＝AR；（3）△BRP≌△PSC（4）∠C＝∠SPCA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上可得AP平分∠BAC，由直角三角形全等的判定方法得出Rt△ARP≌Rt△ASP，從而判斷出（2）正確；根據(jù)由一組邊相等和一組角相等無法判斷△BRP≌△PSC，從而判斷出（3）錯誤；同（3）也無法判斷△BRP≌△PSQ，所以PQ≠PB，從而判斷出（1）錯誤；△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，所以∠C與∠SPC不一定相等，從而判斷出（4）錯誤.【詳解】連接AP，∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，∴點P在∠A的平分線上，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴∠SAP＝∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，，∴Rt△ARP≌Rt△ASP，（HL），∴AR＝AS，∴（2）正確；∵PR＝PS，∠PRB＝∠PSC＝90°，∴無法判斷△BRP≌△PSC，故（3）錯誤；∵∠PRB＝∠PSQ＝90°，PR＝PS，無法判斷△BRP≌△PSQ，∴PQ≠PB，故（1）錯誤；∵△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，∴∠C與∠SPC不一定相等，故（4）錯誤；故選A．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì).二、填空題10．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）命題：“對頂角相等”的逆命題是_____________________________．【答案】如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角【分析】交換原命題的題設(shè)與結(jié)論即可得到其逆命題．【詳解】解：命題“對頂角相等”的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”．故答案為：如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．也考查了逆命題．11．（2022·上海市市西初級中學(xué)八年級期中）命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是_________．【答案】有兩個角相等的三角形是等腰三角形；【分析】先找到原命題的題設(shè)和結(jié)論，在將題設(shè)和結(jié)論互換，即可得到答案．【詳解】解：原命題的題設(shè)是：“一個三角形是等腰三角形”，結(jié)論是：“這個三角形兩底角相等”，所以命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”．【點睛】本題考查命題的轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確找到命題的題設(shè)和結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．12．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）請寫出“兩直線平行，同位角相等”的結(jié)論：_____．【答案】同位角相等【分析】命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成的，將這個命題改寫成“如果那么”的形式即可得出答案．【詳解】解：將命題改寫成“如果那么”的形式為：如果兩直線平行，那么同位角相等，則此命題的結(jié)論為：同位角相等，故答案為：同位角相等．【點睛】本題考查了命題，熟練掌握命題的概念是解題關(guān)鍵．13．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的_____．【答案】角平分線【分析】根據(jù)角平分線的判定可知．【詳解】解：根據(jù)角平分線的判定可知：平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的角平分線，故答案為：角平分線．【點睛】本題考查了角平分線的判定，解題關(guān)鍵是明確在角的內(nèi)部（包括頂點）到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．14．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）命題“如果，那么”的逆命題是_______，逆命題是______命題（填“真”或“假”）【答案】

如果a2=b2，那么a=b

假【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，再判斷命題的真假即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：命題“如果a=b，那么a2=b2”的條件是如果a=b，結(jié)論是a2=b2”，故逆命題是如果a2=b2，那么a=b，該命題是假命題．故答案為：如果a2=b2，那么a=b；假．【點睛】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．15．（2022·上海市南洋模范初級中學(xué)八年級期中）底邊為已知線段BC的等腰三角形ABC的頂點A的軌跡是_____．【答案】底邊BC的垂直平分線（除底邊中點外）【分析】由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可以確定答案．【詳解】在已知線段BC的等腰三角形ABC中，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，頂點A必在底邊BC的垂直平分線上．故答案為：底邊BC的垂直平分線（除底邊中點外）．【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．16．（2022·上海浦東新·八年級期中）“若，則，”_____命題（選填“是”或“不是”）．【答案】是【分析】根據(jù)命題的定義判斷即可．【詳解】若，則，是一個命題.故答案為：是．【點睛】本題主要考查了命題的判斷，掌握定義是解題的關(guān)鍵．即是表示判斷一件事情的句子是命題.17．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題是________________．【答案】有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形【分析】根據(jù)逆命題的定義寫出即可．【詳解】解：命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題是“有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形”．故答案是：有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形．【點睛】本題考查了互逆命題的知識，掌握逆命題的定義是解題的關(guān)鍵．兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．18．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_____________．【答案】如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等【分析】找到命題的條件和結(jié)論進(jìn)行改寫即可．【詳解】根據(jù)命題的特點，可以改寫為：“如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等”故答案為：如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等．【點睛】本題考查了命題的特點，解題的關(guān)鍵是“如果”后面接題設(shè)，“那么”后面接結(jié)論．19．（2022·上?！ね瑵?jì)大學(xué)附屬七一中學(xué)八年級期中）把命題“同角的余角相等”寫成“如果……，那么……”的形式為______．【答案】如果兩個角是同角的余角，那么這兩個角相等．【分析】根據(jù)命題的概念把原命題改寫成“如果…，那么…”的形式即可．【詳解】解：命題“同角的余角相等”，改寫成“如果…，那么…”的形式為：如果兩個角是同角的余角，那么這兩個角相等，故答案為：如果兩個角是同角的余角，那么這兩個角相等．【點睛】本題考查的是命題的概念，命題寫成“如果…，那么…”的形式時，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面接的部分是結(jié)論．20．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）平面上經(jīng)過A、B兩點的圓的圓心的軌跡是_____．【答案】線段AB的垂直平分線【分析】要求作經(jīng)過已知點A和點B的圓的圓心，則圓心應(yīng)滿足到點A和點B的距離相等，從而根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)同圓的半徑相等，則圓心應(yīng)滿足到點A和點B的距離相等，即經(jīng)過已知點A和點B的圓的圓心的軌跡是線段AB的垂直平分線．故答案為：線段AB的垂直平分線．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)．掌握線段垂直平分線上的點到該線段兩端點的距離相等是解題關(guān)鍵．21．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）命題“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題為_____．【答案】兩個銳角互余的三角形是直角三角形【分析】把原命題的題設(shè)與結(jié)論部分交換即可得到其逆命題．【詳解】解：命題“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題為“兩個銳角互余的三角形是直角三角形”．故答案為：兩個銳角互余的三角形是直角三角形．【點睛】本題考查了命題與逆命題，解題的關(guān)鍵在于找出原命題的條件和結(jié)論．22．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）到點A的距離等于6cm的點的軌跡是________________．【答案】以A為圓心，6cm為半徑的圓【分析】到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓，據(jù)此解題即可．【詳解】根據(jù)圓的定義，到點A的距離等于定長6cm的點的軌跡是以點A為圓心,6cm為半徑的圓，故答案為：以點A為圓心，6cm為半徑的圓．【點睛】本題考查點的軌跡、圓的定義，是基礎(chǔ)考點，難度容易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．23．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）“全等三角形的對應(yīng)角相等”的逆命題是_______________________________．【答案】對應(yīng)角相等的兩個三角形全等【分析】根據(jù)逆命題的概念，交換原命題的題設(shè)與結(jié)論即可得出原命題的逆命題．【詳解】解：命題“全等三角形的對應(yīng)角相等”的題設(shè)是“兩個三角形是全等三角形”，結(jié)論是“它們的對應(yīng)角相等”，故其逆命題是對應(yīng)角相等的兩個三角形是全等三角形．故答案為：對應(yīng)角相等的兩個三角形是全等三角形．【點睛】此題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．24．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎獌牲cA、B，到這兩點距離相等的點的軌跡是____________．【答案】線段的垂直平分線【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】解：因為線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，所以到這兩點距離相等的點的軌跡是線段的垂直平分線.故答案為：線段的垂直平分線.【點睛】本題考查了線段的垂直平分線，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.25．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的長是_____．【答案】cm【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理求出AB，證明△ACD≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝ED，AE＝AC＝9，根據(jù)角平分線的性質(zhì)、勾股定理列式計算即可．【詳解】解：作DE⊥AB于E，由勾股定理得，AB＝＝＝15，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS）∴CD＝ED，AE＝AC＝9，∴BE＝AB﹣AE＝6，在Rt△BED中，BD2＝DE2+BE2，即BD2＝（12﹣BD）2+62，解得，BD＝，故答案為：cm．【點睛】此題考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握利用勾股定理解直角三角形和全等三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．26．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點分別為A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B兩點間的距離等于_____．【答案】5．【分析】根據(jù)兩點間的距離公式進(jìn)行計算，即A（x，y）和B（a，b），則AB=【詳解】A.B兩點間的距離為：AB===5,故答案為5,故答案是：5.【點睛】本題考查了勾股定理，兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握兩點間的距離公式．27．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）“若，則”的逆命題為___________________．【答案】若，則【分析】把命題的題設(shè)和結(jié)論換一下位置即可．【詳解】解：“若，則”的逆命題為若，則．故答案為∶若，則【點睛】本題主要考查了逆命題，熟練掌握把原命題的結(jié)論作為命題的條件，把原命題的條件作為命題的結(jié)論，所組成的命題叫做原命題的逆命題是解題的關(guān)鍵．三、解答題28．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在正方形中，點、分別在、邊上，且，聯(lián)結(jié)、．求證：．【答案】詳見解析【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根據(jù)已知條件可證≌，即可得出.【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，．在與中，，∴≌（SAS）．∴．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形四邊相等，四角相等都等于90°是解題關(guān)鍵.【?？肌恳唬x擇題（共5小題）1．（2020秋?閔行區(qū)期中）下列命題是真命題的是（）A．兩個銳角的和還是銳角 B．全等三角形的對應(yīng)邊相等 C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行 D．等腰三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形【分析】根據(jù)銳角的概念、全等三角形的性質(zhì)、平行線的判定定理、軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念判斷即可．【解答】解：A、兩個銳角的和還是銳角，是假命題，例如60°+60°＝120°；B、全等三角形的對應(yīng)邊相等，是真命題；C、同旁內(nèi)角合并，兩直線平行，本選項說法是假命題；D、等腰三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，本選項說法是假命題；故選：B．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．2．（2019秋?虹口區(qū)校級月考）如圖，BD，CE分別是△ABC的高線和角平分線，且相交于點O，若∠BCA＝70°，則∠BOE的度數(shù)是（）A．60° B．55° C．50° D．40°【分析】根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵CE平分∠ACB，∠ACB＝70°，∴∠DCO＝35°，∴∠BOE＝∠COD＝90°﹣35°＝55°，故選：B．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?楊浦區(qū)期中）若兩條平行線被第三條直線所截，則下列說法錯誤的是（）A．一對同位角的平分線互相平行 B．一對內(nèi)錯角的平分線互相平行 C．一對同旁內(nèi)角的平分線互相平行 D．一對同旁內(nèi)角的平分線互相垂直【分析】結(jié)合角平分線的定義，根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定進(jìn)行分析，從而得到答案．【解答】解：如圖所示：若兩條平行線被第三條直線所截，一對同位角和內(nèi)錯角的平分線互相平行，一對同旁內(nèi)角的平分線互相垂直，所以C錯誤．故選C．【點評】本題考查兩條平行線被第三條直線所截得的角的角平分線之間的關(guān)系，可結(jié)合圖形進(jìn)行分析．4．（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一點D同時滿足以下三個條件：①在直角邊BC上；②在∠CAB的角平分線上；③在斜邊AB的垂直平分線上，那么∠B為（）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAB＝∠B，根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】解：∵D在斜邊AB的垂直平分線上，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B，∵D在∠CAB的角平分線上，∴∠DAB＝∠DAC，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B＝30°，故選：B．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是（）A．0＜AD＜10 B．1＜AD＜5 C．2＜AD＜10 D．0＜AD＜5【分析】延長AD至點E，使得DE＝AD，可證△ABD≌△ECD，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得AE的取值范圍，即可解題．【解答】解：延長AD至點E，使得DE＝AD，∵在△ABD和△CDE中，∵，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABD≌△CDE是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共11小題）6．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）將命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果…那么…”形式為如果兩個角是同一個角的補(bǔ)角，那么這兩個角相等．【分析】“同角的補(bǔ)角相等”的條件是：兩個角是同一個角的補(bǔ)角，結(jié)論是：這兩個角相等．據(jù)此即可寫成所要求的形式．【解答】解：“同角的補(bǔ)角相等”的條件是：兩個角是同一個角的補(bǔ)角，結(jié)論是：這兩個角相等．則將命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果…那么…”形式為：如果兩個角是同一個角的補(bǔ)角，那么這兩個角相等．故答案是：如果兩個角是同一個角的補(bǔ)角，那么這兩個角相等．【點評】本題考查了命題的敘述，正確分清命題的條件和結(jié)論是把命題寫成“如果…那么…”的形式的關(guān)鍵．7．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）將一副三角板如圖所示放置（其中含30°角的三角板的一條較短直角邊與另一塊三角板的斜邊放置在一直線上），那么圖中∠1＝105度．【分析】根據(jù)三角形的外角定理，即可得出∠1的度數(shù)．【解答】解：由題意可得，∠2＝60°，∠3＝45°，由三角形外角定理，∠1＝∠2+∠3＝60°+45°＝105°．故答案為105．【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和為180°，熟練掌握三角形的內(nèi)角和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難度適中．8．（2021秋?靜安區(qū)校級期末）命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題是有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形．【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題．【解答】解：命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題是“有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形”．【點評】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．9．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）命題“同旁內(nèi)角相等，兩直線平行”是假（填“真“或“假”）命題【分析】利用平行線的判定對命題進(jìn)行判斷即可確定答案．【解答】解：∵同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；∴命題“同旁內(nèi)角相等，兩直線平行”錯誤，是假命題，故答案為：假．【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解平行線的性質(zhì)，難度比較?。?0．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）將命題“對頂角相等”改為“如果…那么…”的形式為：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．【分析】先找到命題的題設(shè)和結(jié)論，再寫成“如果…，那么…”的形式．【解答】解：原命題的條件是：“兩個角是對頂角”，結(jié)論是：“這兩個角相等”，命題“對頂角相等”寫成“如果…，那么…”的形式為：“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”．故答案為：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．【點評】本題主要考查了將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論，比較簡單．11．（2022秋?虹口區(qū)校級期中）已知三條不同的直線a，b，c在同一平面內(nèi)，下列四個命題：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中正確的是①②④．（填寫序號）【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【解答】解：在同一個平面內(nèi)，①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，故答案為：①②④．【點評】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．12．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD與CE分別是斜邊AB上的高和中線，那么∠DCE＝50度．【分析】根據(jù)直角三角形中線的性質(zhì)及互為余角的性質(zhì)計算．【解答】解：∠A＝20°，CD為AB邊上的高，∴∠ACD＝70°，∵∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝20°，∴∠DCE的度數(shù)為70°﹣20°＝50°．故答案為：50．【點評】此題主要考查了直角三角形中線的性質(zhì)及互為余角的性質(zhì)．13．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）如圖，在△ABC和△DEF中，∠ACB＝∠EFD＝90°，點B、F、C、D在同一直線上，已知AB⊥DE，且AB＝DE，AC＝6，EF＝8，DB＝10，則CF的長度為4．【分析】由“AAS”可證△ABC≌△DEF，可得AC＝DF＝6，EF＝BC＝8，即可求CF的長．【解答】解：∵∠ACB＝∠EFD＝90°，AB⊥DE，∴∠B+∠D＝90°，∠B+∠A＝90°∴∠A＝∠D，且∠ACB＝∠EFD＝90°，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（AAS）∴AC＝DF＝6，EF＝BC＝8，∴CF＝BC+DF﹣BD＝4【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABC≌△DEF是本題的關(guān)鍵．14．（2020秋?徐匯區(qū)校級期中）“等腰三角形兩腰上的中線相等．”的逆命題是兩邊上的中線相等的三角形是等腰三角形．【分析】交換命題的題設(shè)和結(jié)論即可得到該命題的逆命題；【解答】解：“等腰三角形兩腰上的中線相等．”的逆命題是兩邊上的中線相等的三角形是等腰三角形，故答案為：兩邊上的中線相等的三角形是等腰三角形．【點評】本題考查了命題與定理的知識，了解如何寫出一個命題的逆命題是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．15．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）在△ABC中，∠BAC＝α，邊AB的垂直平分線交邊BC于點D，邊AC的垂直平分線交邊BC于點E，連接AD，AE，則∠DAE的度數(shù)為2α﹣180°或180°﹣2α．（用含α的代數(shù)式表示）【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得到∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，進(jìn)而得到∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可．【解答】解：分兩種情況：①如圖所示，當(dāng)∠BAC≥90°時，∵DM垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠B＝∠BAD，同理可得，∠C＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°；②如圖所示，當(dāng)∠BAC＜90°時，∵DM垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠B＝∠BAD，同理可得，∠C＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，∴∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α．故答案為：2α﹣180°或180°﹣2α．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．16．（2022秋?虹口區(qū)校級期中）如圖，已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：DC＝5：3，則D點到AB的距離是15．【分析】先求出CD的長，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵AC＝40，AD：DC＝5：3，∴CD＝40×＝15．∵BD平分∠BAC交AC于D，∴D點到AB的距離是15．故答案為：15．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．三．解答題（共2小題）17．（2022秋?靜安區(qū)校級期中）如圖①，點M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點M為△ABC的費馬點．若點M為△ABC的費馬點，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個作銳角三角形費馬點的簡便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點為M，則點M即為△ABC的費馬點．試說明這種作法的依據(jù)．【分析】（1）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS可證△AMB≌△ENB；（2）連接MN，由（1）的結(jié)論證明△BMN為等邊三角形，所以BM＝MN，即AM+BM+CM＝EN+MN+CM，所以當(dāng)E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最小，從而可求此時∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；（3）根據(jù)（2）中費馬點的定義，又△ABC的費馬點在線段EC上，同理也在線段BF上．因此線段EC與BF的交點即為△ABC的費馬點．【解答】解：（1）證明：∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（2）連接MN．由（1）知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最?。藭r，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．（3）由（2）知，△ABC的費馬點在線段EC上，同理也在線段BF上．因此線段EC與BF的交點即為△ABC的費馬點．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，是一道綜合性的題目難度很大．18．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，對角線AC與BD相交于點O，M、N分別是邊BD、AC的中點．（1）求證：MN⊥AC；（2）當(dāng)AC＝8cm，BD＝10cm時，求MN的長．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半判定AM＝MC＝BD，從而推知N點是AC邊上的中點，所以MN是AC的中垂線；（2）在Rt△AMN中，利用勾股定理求得MN的長．【解答】（1）證明：連接AM、MC．在△DCB和△BAD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，M是邊BD的中點，∴AM＝MC＝BD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）；∵N是AC的中點，∴MN⊥AC；（2）解：∵AC＝8cm，BD＝10cm，M、N分別是邊BD、AC的中點．∴AM＝5cm，AN＝4cm；在Rt△AMN中，MN＝＝3cm（勾股定理）．【點評】本題綜合考查了直角三角形斜邊上的中線、勾股定理．解題時，通過作輔助線AM、MC構(gòu)建了直角三角形斜邊上的中線，然后利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”來解答問題．【易錯】一．選擇題（共4小題）1．（2022秋?黃浦區(qū)校級月考）下列命題中，是真命題的是（）A．從直線外一點向直線引垂線，這條垂線段就是這個點到這條直線的距離 B．過一點，有且只有一條直線與已知直線平行 C．兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ) D．兩點之間，線段最短【分析】根據(jù)點到這條直線的距離的概念、平行公理、平行線的性質(zhì)、線段的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：A、從直線外一點向直線引垂線，這條垂線段的長度就是這個點到這條直線的距離，故本選項命題是假命題，不符合題意；B、過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項命題是假命題，不符合題意；C、兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故本選項命題是假命題，不符合題意；D、兩點之間，線段最短，本選項命題是真命題，符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．2．（2021秋?浦東新區(qū)期末）下列三個數(shù)為邊長的三角形不是直角三角形的是（）A．3，3，3 B．4，8，4 C．6，8，10 D．5，5，5【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．【解答】解：A．∵32+32＝18，（）2＝18，∴32+32＝（）2，∴以3，3，三個數(shù)為邊長的三角形是直角三角形，故A不符合題意；B．∵42+（）2＝64，82＝64，∴42+（）2＝82，∴以4，8，三個數(shù)為邊長的三角形是直角三角形，故B不符合題意；C．∵62+82＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴以6，8，10三個數(shù)為邊長的三角形是直角三角形，故B不符合題意；D．∵52+52＝50，（）2＝75，∴52+52≠（）2，∴以5，5，三個數(shù)為邊長的三角形不是直角三角形，故D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?浦東新區(qū)期中）在下列各原命題中，逆命題是假命題的是（）A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) B．如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應(yīng)邊相等 C．如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應(yīng)角相等 D．兩個相等的角是對頂角【分析】先寫出各個命題的逆命題，再根據(jù)平行線的判定定理、全等三角形的判定定理、對頂角的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：A、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的逆命題是同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，是真命題，不符合題意；B、如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應(yīng)邊相等的逆命題是兩個三角形的對應(yīng)邊相等，那么這兩個三角形全等，是真命題，不符合題意；C、如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應(yīng)角相等的逆命題是兩個三角形的對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形全等，是假命題，符合題意；D、兩個相等的角是對頂角的逆命題是對頂角相等，是真命題，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，掌握平行線的判定定理、全等三角形的判定定理、對頂角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）BP和CP是△ABC兩個外角的平分線，則∠BPC為（）A． B．90°+ C．90°﹣ D．∠A【分析】根據(jù)題意得∠PBC＝（∠A+∠ACB），∠PCB＝（∠A+∠ABC），由三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，求得∠P與∠A的關(guān)系，從而計算出∠P的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵BP、CP是△ABC的外角平分線，∴∠PBC＝（∠A+∠ACB），∠PCB＝（∠A+∠ABC），又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝180°﹣（180+∠A）＝90°﹣∠A，故選：C．【點評】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理．解決問題的關(guān)鍵是掌握：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．二．填空題（共2小題）5．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）以線段MN為底邊的等腰三角形的頂角頂點的軌跡是線段MN的垂直平分線（線段MN的中點除外）．【分析】滿足△MNC以線段MN為底邊且CM＝CN，根據(jù)線段的垂直平分線判定得到點C在線段AB的垂直平分線上，除去與MN的交點（交點不滿足三角形的條件）．【解答】解：∵△MNC以線段MN為底邊，CM＝CN，∴點C在線段MN的垂直平分線上，除去與MN的交點（交點不滿足三角形的條件），∴以線段MN為底邊的等腰三角形的頂點C的軌跡是：線段MN的垂直平分線（線段MN的中點除外）．故答案為：線段MN的垂直平分線（線段MN的中點除外）．【點評】本題考查了軌跡：軌跡是動點按一定條件運(yùn)動所經(jīng)過的痕跡．也考查了線段的垂直平分線判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記線段AB的垂直平分線的定義6．（2020秋?浦東新區(qū)校級月考）在△ABC中，AB＝13cm，AC＝15cm，高AD＝12cm，則BC＝14cm或4cm．【分析】高線AD可能在三角形的內(nèi)部也可能在三角形的外部，本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．分別依據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：由于高的位置是不確定的，所以應(yīng)分情況進(jìn)行討論．（1）△ABC為銳角三角形，高AD在△ABC內(nèi)部．BD＝＝5，CD＝＝9，∴BC＝9+5＝14cm．（2）△ABC為鈍角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝5，CD＝9，∴BC＝9﹣5＝4cm．【點評】本題需注意高不確定位置的時候，三角形的形狀有兩種．三．解答題（共1小題）7．（2019秋?浦東新區(qū)期末）如圖（1），已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點．（1）求證：MN⊥DE．（2）連接DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并證明猜想．（3）當(dāng)∠A變?yōu)殁g角時，如圖（2），上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立，若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由．【分析】（1）連接DM，ME，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DM＝BC，ME＝BC，得到DM＝ME，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)計算；（3）仿照（2）的計算過程解答．【解答】（1）證明：如圖（1），連接DM，ME，∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N為DE中點，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）結(jié)論（1）成立，結(jié)論（2）不成立，理由如下：連接DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【壓軸】一、單選題1．（2020·上海市曹楊第二中學(xué)附屬學(xué)校八年級期中）如圖，為的外角平分線上一點，過作于，交的延長線于，且滿足，則下列結(jié)論：①≌；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再證明，即可證明Rt△CDE和Rt△BDF全等；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=BF，利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△ADF全等，可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；∠FDE與∠BAC都與∠FAE互補(bǔ)，可得∠FDE=∠BAC，于是可證；利用外角定理得2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB，由Rt△CDE≌Rt△BDF可得∠ABD=∠DCE，BD=DC，故∠DBC=∠DCB，于是可證明∠DAF=∠CBD．【詳解】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，=∵，∴，在Rt△CDE和Rt△BDF中，∴Rt△CDE≌Rt△BDF，故①正確；∴CE=BF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正確；∵=，∴∠EDF+∠FAE=，∵∠BAC+∠FAE=，∴∠FDE=∠BAC，∵∠FDE=∠BDC，∴∠BDC=∠BAC，故③正確；∵∠FAE是△ABC的外角，∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB，∵Rt△CDE≌Rt△BDF，∴∠ABD=∠DCE，BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴2∠DAF=∠DCE+∠DBC+∠ACB=∠DBC+∠DCB=2∠DBC，∴∠DAF=∠CBD，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④共4個．故選：D．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖判斷出全等的三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于需要二次證明三角形全等．二、填空題2．（2022·上海市民辦文綺中學(xué)八年級階段練習(xí)）在中，，，點是中點，點在上，，將沿著翻折，點的對應(yīng)點是點，直線與交于點，那么的面積__________．【答案】或【分析】通過計算E到AC的距離即EH的長度為3，所以根據(jù)DE的長度有兩種情況：①當(dāng)點D在H點上方時，②當(dāng)點D在H點下方時，兩種情況都是過點E作交AC于點E，過點G作交AB于點Q，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AH,DH的長度，進(jìn)而可求AD的長度，然后利用角度之間的關(guān)系證明，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出GQ的長度，最后利用即可求解．【詳解】①當(dāng)點D在H點上方時，過點E作交AC于點E，過點G作交AB于點Q，，點是中點，．∵，．，，．，，，，

，．由折疊的性質(zhì)可知，，，，．又，．，．，即，．，；②當(dāng)點D在H點下方時，過點E作交AC于點E，過點G作交AB于點Q，，點是中點，．∵，．，，．，，，，

，．由折疊的性質(zhì)可知，，，，．又，．，．，即，．，，綜上所述，的面積為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30°的直角三角形的性質(zhì)，能夠作出圖形并分情況討論是解題的關(guān)鍵．三、解答題3．（2022·上?！y試·編輯教研五八年級期末）梯形中，，，，，點是中點，過點作的垂線交射線于點，的角平分線交射線于點，交直線于點．(1)當(dāng)點與點重合時，求的長；(2)若點在線段上，，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；(3)聯(lián)結(jié)、，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求的長．【答案】(1)(2)(3)的長為或或．【分析】（1）連接，過作于，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，在中，由勾股定理可得，然后證明四邊形ABHD是矩形，求出DH＝AB＝4，CH＝2，在中，由勾股定理可得CD的長；（2）連接，過點作于，求出，，在中，由勾股定理可得，整理后可得答案；分情況討論：當(dāng)在線段上時，當(dāng)時，可證≌，過作于，在中，求出，即可求得；當(dāng)時，設(shè)，可證≌（ASA），求出，然后在中，利用勾股定理可求；當(dāng)點在射線上時，如圖4，此時，同理可得≌，過作交BC的延長線于，在中，求出CH即可解決問題．（1）解：如圖，連接，過作于，，平分，，，，，∴在中，，∵，，∴∠A＝180°－90°＝90°，又∵∠DHB＝90°，∴四邊形ABHD是矩形，∴DH＝AB＝4，AD＝BH＝3，∴CH＝5－3＝2，∴在中，；（2）如圖，連接，過點作于，是的垂直平分線，，，，，，，，，在中，由得：，整理得：，∵點與點重合時，AD＝3，∴，∴；（3）如圖，當(dāng)在線段上時，當(dāng)時，是的垂直平分線，，，∴∠PED＝∠PDE，∠PDC＝∠PCD，∵∠PED＋∠PDE＋∠PDC＋∠PCD＝180°，，平分，，又∵CE＝CE，≌（AAS），，，，過作于，在中，，；當(dāng)時，，設(shè)，則，，，，，，，又∵，≌（ASA），，，，，∴在中，，（負(fù)值已舍去）；當(dāng)點在射線上時，如圖4，此時，，同理可得：≌（AAS），，過作交BC的延長線于，在中，，，；綜上所述：的長為或或．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，連接BD、EC，點M為EC的中點，連接BM、DM．(1)如圖1，當(dāng)點D、E分別在AC、AB上時，求證：△BMD為等腰直角三角形；(2)如圖2，將圖1中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，使點D落在AB上，此時（1）中的結(jié)論“△BMD為等腰直角三角形”還成立嗎？請對你的結(jié)論加以證明；(3)如圖3，將圖2中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)見解析；(2)成立，證明見解析；(3)成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)∠ABC=∠CDE=90°，點M為EC的中點，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得BM=DM=MC，即有∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，則可得∠MBC+∠MDC=∠MCB+∠MCD=∠ACB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠ACB=245=90，即可證得△BMD為等腰直角三角形；（2）延長DM交BC于N，先證明△EMD≌△CMN，即有DM=MN，ED=CN，進(jìn)而有AD=CN，BD=BN，則有BM=DN=DM，可得BM⊥DN，即∠BMD=90，則有△BMD為等腰直角三角形；（3）作交DM延長線于N，連接BN，先證明△EMD≌△CMN，根據(jù)（2）的方法同理可證得△BMD為等腰直角三角形．（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，點M為EC的中點，∴BM=MC=EC，DM=MC=EC，∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，∴∠MBC+∠MDC=∠MCB+∠MCD=∠ACB，∵∠EMB=∠MBC+∠MCB，∠EMD=∠MDC+∠MCD，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=∠MBC+∠MCB+∠MDC+∠MCD=2∠ACB=245=90，∴△BMD為等腰直角三角形；（2）成立；如圖1，延長DM交BC于N，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90，∴∠EDB=∠DBC，∴，∴∠DEM=∠NCM，∵M(jìn)為EC中點，∴EM=CM，又∠EMD=∠CMN，∴△EMD≌△CMN，∴DM=MN，ED=CN，∴AD=CN，∴BD=BN，∴BM=DN=DM，∴BM⊥DN，即∠BMD=90，∴△BMD為等腰直角三角形；（3）成立；如圖2，作交DM延長線于N，連接BN，∵，∴∠BAC=∠MCN=45，∴∠E=∠MCN=45，∵∠DME=∠NMC，EM=CM，∴△EMD≌△CMN，∴CN=DE=AD，MN=DM，又∵∠DAB=180-45-45=90，∠BCN=45+45=90，∴∠DAB=∠BCN，又BA＝BC，∴△DBA≌△NBC(SAS)，∴∠DBA=∠NBC，BD=BN；∴∠DBN=∠ABC=90，∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊中線，∴BM⊥DM，∠DBM=∠BDM=45，BM=DM=MN，即△BMD為等腰直角三角形．【點睛】本題是一道三角形的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識，充分利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，正比例函數(shù)的圖像與一個反比例函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)的交點為點A，過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，AB=3．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在直線AB上是否存在點C，使點C到直線OA的距離等于它到點B的距離？若存在，求點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)已知點P在直線AB上，如果△AOP是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)的坐標(biāo)為：或或或【分析】（1）先求解的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式，從而可得答案；（2）分兩種情況討論：如圖，作的角平分線交于過作于而軸，則如圖，作的角平分線交于過作于交軸于則再利用角平分線的性質(zhì)與全等三角形的性質(zhì)，勾股定理可得答案；（3）畫出圖形，分4種情況討論，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理可得答案.【詳解】（1）解：AB⊥x軸，AB=3，則設(shè)反比例函數(shù)為所以反比例函數(shù)為（2）解：存在，或；理由如下：如圖，作的角平分線交于過作于而軸，則則而如圖，作的角平分線交于過作于交軸于則而而設(shè)解得：綜上：或（3）解：如圖，為等腰三角形，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，設(shè)解得：綜上：的坐標(biāo)為：或或或【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)的解析式，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡與二次根式的除法運(yùn)算，熟練的運(yùn)用以上知識解題是關(guān)鍵.6．（2022·上海松江·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，點D是邊AC上一點（不與點A、C重合），EF垂直平分BD，分別交邊AB、BC于點E、F，聯(lián)結(jié)DE、DF．(1)如圖1，當(dāng)BD⊥AC時，求證：EF=AB；(2)如圖2，設(shè)CD=x，CF=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)BE=BF時，求線段CD的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證明再證明是等邊三角形，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)求解再求解即可得到結(jié)論；（2）如圖，當(dāng)過點，是的垂直平分線，求解如圖，當(dāng)過點則所以分別在AB、BC